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篇章说明：本篇文章主要针对2023年高考数学甲卷的立体几何部分进行详细解析，旨在帮助考生更好地理解和掌握解答技巧，提高考试成绩。
文章将从题目分析、解题思路和步骤、相关知识点详解等方面展开，希望对广大考生有所帮助。
一、题目分析1.1 题目类型本次数学甲卷的立体几何部分主要包括平面与空间直角坐标系、三视图、旋转体、二面角等内容。
1.2 题目数量根据往年高考数学甲卷的趋势，立体几何部分一般有3-4道题目，覆盖面较广，深度一般。
二、解题思路和步骤2.1 题目分析在解答立体几何题目时，首先要仔细阅读题目，理清题意，确定所给数据和所求量，并尽可能画出对应的图形。
2.2 利用相关知识点根据题目所涉及的内容，运用相关的立体几何知识进行分析和计算，例如平面与空间直角坐标系的性质、旋转体的体积计算方法、三视图的绘制等。
2.3 运用解题技巧在解题过程中，要善于运用立体几何的解题技巧，例如利用平行投影、三视图推导、旋转体的切割与拼接等方法，增加解题的灵活性和多样性。
2.4 对答案进行检验在得出最终答案后，要对答案进行反复检验，确保计算和推导过程的准确性，避免因计算错误导致得出错误的结论。
三、相关知识点详解3.1 平面与空间直角坐标系平面与空间直角坐标系是立体几何的基础，涉及点、线、面的坐标计算以及相关性质的运用，考生需熟练掌握坐标计算和平面几何性质，例如点到直线的距离公式、向量的运算与应用等。
3.2 三视图三视图是立体图形的展开图，由正视图、俯视图和侧视图组成，通过三视图可以确定立体图形的形状和大小，考生需要掌握三视图的画法及相互关系，能够准确理解和绘制三视图。
3.3 旋转体旋转体是立体几何的一个重要内容，包括圆柱体、圆锥体、旋转抛物面等，通过观察旋转体的特点，运用相关计算公式可以准确求解旋转体的体积和表面积。
3.4 二面角二面角是平面几何与立体几何的交叉部分，涉及到二面角的性质、计算和应用等内容，考生需要掌握二面角的相关知识点，能够准确应用到解题过程中。
图 1DPECBA鳖臑几何体的试题赏析与探究岳 峻1 阮艳艳2安徽省太和县太和中学 2366002015年湖北高考数学之后，广大考生感言：阳马、鳖臑，想说爱你不容易；中学教师考后反思：阳马、鳖臑，不说爱你又没道理；试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.阳马、鳖臑是什么呢？ 1 试题再现 1.1 文科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图1所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．(I)证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(II)记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 1.2 理科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图2，在阳马ABCD P -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BED FPECBA图2(I)证明：PB 平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(II)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值． 2 鳖臑的史料 2.1 史料《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。
斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。
中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．”2.2 阐释阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.3 试题赏析图3图43.1 生僻字问题试题中出现了中国古代数学巨著《九章算术》中“阳马”“鳖(b īe)臑(n ào)”的生僻词，但题目中已经对这两个词语的含义进行了现代文解释，从而高考考生对四棱锥-P ABCD 所具备的特点能够完全理解，并且也能够知道如何判断四面体是否是鳖臑，因此本题中的生僻字不会对考生解题带来困扰．鳖臑，并没闹！3.2 教材溯源北京师范大学出版社《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》的“第一章 立体几何初步”的“第六节 垂直关系”的例题1（第37页）：如图5所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90B ，点P 为ABC∆所在平面外一点，⊥PA 平面ABC 。
高中数学立体几何高考试题分析与教学策略分析作者：蔡宝胜来源：《新教育时代·学生版》2017年第17期摘要：伴随着新课程的不断深入和改革，高中教学课程逐渐增多，在高中教学课程中，立体几何是几何中的重点内容，同时也是高考的重中之重。
本文主要分析高中数学立体几何高考试题，并提出教学策略，希望能够为高中数学立体几何的教学提供参考。
关键词：立体几何高中数学教学策略高考试题在高中数学教学中，立体几何教学不仅是教学的重点，同样也是教学的难点，高中阶段，立体几何的学习对学生有着较高要求，其需要将图形、作图以及解题联合在一起，通过图像图形方式解答数学知识，所以需要教师规范作图，通过有效的教学方式提升学生学习效率。
一、对高考中出现的立体几何试题进行分析如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠ BAP=∠ CDP=90°。
证明：平面PAB⊥平面PAD。
若PA=PD=AB=DC∠ ADP=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。
[2017年全国卷理科卷第18题]点评：立体几何作为解答题重要组成部分，以发展学生的空间观念，培养把握图形的能力、空间想象能力，几何直观的能力为目标。
近几年的高考试题慢慢降低了难度，用更多的常规图形呈现于高考试题中，将几何知识贴近生活的体现出来。
从辩证严谨的角度考查了立体几何证明问题，从度量计算的角度综合空间向量运算考查了立体几何的二面角大小问题。
解析：（1）由已知∠BAP=∠ CDP=90°，可得AB⊥AP，CD⊥PD由于AB//CD，所以AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD又AB在平面PAD ，所以平面PAB⊥平面PAD（2）取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE，∵ABCD∴四边形ABCD为平行四边形∴OEAB ABOE由（1）知，AB⊥平面PAD∴OE⊥平面PAD，又PO、AD平面PAD∴OE⊥PO，OE⊥AD又∵PA=AD，∴PO⊥AD∴PO、OE、AD两两垂直∴以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系哦o-xyz设PA=2，则D（-，0，0）、B（，2，0）、P（0，0，）、C（-，2，0），设为平面的法向量由，得令y=1，则z=，x=0，可得平面PBC的一个法向量∵∠ APD=90°，∴PD⊥PA又知AB⊥平面PAD，PD平面PAD∴PD⊥AB，又PA∩AB=A∴PD⊥平面PAB即是平面PAB的一个法向量，∴所以二面角A-PB-C的余弦值本题利用常规的四棱锥，考查了面面垂直和空间二面角的大小。
对全国高考北京卷立体几何题的解法探究与反思看了2008年全国高考北京卷理（文）第16题眼前一亮，其低起点使每个考生都易于下手，其难点处考查知识面之宽足能让学生找到十几种解法，而要完整地解好此题，对能力要求之高也足以让学生深感立体几何的魅力所在。
题目：如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==， 90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．本题是立体几何的一道常规题，难度不大，主要考察直线与平面的位置关、棱锥等基础知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力；重点考查一个定理（三垂线定理）、一种关系（线面的垂直）、一个角（二面角）。
通过阅卷，我们不难发现题虽然简单，但令不少考生耗时费力，考生得分情况并不乐观，主要体现在：缺少空间想象能力，位置关系的论证思路不清晰，不明确二面角的含义，不能正确地找出二面角的平面角，还有计算上的不准确。
现将本题的解法和及对考生解题情况反思如下：1．对第一问的解法探究解法一：取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP = ， PD AB ∴⊥．AC BC = ，CD AB ∴⊥． PD CD D = ，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂ 平面PCD ， PC AB ∴⊥．解法二：AC BC = ，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C = ，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂ 平面ABC ， PC AB ∴⊥．解法三：2290,2=∴︒=∠==AB ACB BC AC22==∴==BP AP AB BP AP222=-=∴⊥AC PA PC AC PCBC PC PB BC PC ⊥∴=+∴222 AC BC C = ， PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂ 平面ABC ， PC AB ∴⊥．A CB PACB D P解法四：PBC AC BC AC PC AC 平面⊥∴⊥⊥,由解法二或解法三能证出:BC PC ⊥ 根据三垂线定理得：AB PC ⊥ 反思：线线垂直，是线面垂直和面面垂直的基础，在空间线面位置关系中占有重要的位置，解法一、解法二、解法三体现数学中的转化思想，即：线⊥线⇐线⊥面；解法四印证了三垂线定理在证明线线垂直中所起的重要作用，纵观考生的解题过程，发现部分考生首先空间概念没建立起来，再有不能将已知进行加工、整合、运用，还有平面几何知识如：勾股定理，等腰三角形的性质等不能恰当的运用。
从鳖臑谈起
作者：常文武
来源：《新高考·高二数学》2017年第09期
学到立体几何，许多同学会感到很无助，甚至不知老师在讲台上所云为何.其主要原因是因为我们缺乏空间感，很多的立体图没有办法弄懂其真实的情况到底是怎样的.但是你知道吗？其实通过折纸或身边的三角板就可以轻松化解这一困境.
本文题目所言的“鳖臑”就是一个能够把立体几何中所涉及的所有概念具体化、形象化的一个学具，并且它可以方便地通过折叠一张纸或摆弄三角板来制作完成。
纸结构
鳖臑也出现在现行沪教版高三数学立体几何教材中.据该教材所言，鳖臑是我国的数学名著《九章算术》中定义的一种四面体，它的各个面都是直角三角形.湖北省2015年高考也考到了这一概念，
10.整理平整，完成.
如果手边有两副一样大的三角板，可从中各取出一个等腰直角三角板，用它们来拼组鳖臑.先胶合两块板的直角边形成平行四边形，然后再将胶合的棱折叠成90°二面角，轻轻放在桌上即形成鳖臑（图3）.
制作完成一个鳖臑后，我们就可利用这个学具来辅助立體几何的学习了.
先用水彩笔在鳖臑的每个角上分别标注大写的英文字母A，B，C，D.
我们来看异面直线定义、异面直线夹角、二面角定义、二面角的平面角、线面角定义、直线与平面垂直、直线与平面斜交、四面体的体积计算、空间填充的概念等等，都可用这个鳖臑贯穿起来.
以上还是非常基础的研究，后续的研究需要多制作几个鳖臑出来，有了更多的鳖臑，还要注意制作左右镜像对称的鳖臑各半.我们就可以用它们来验证《九章算术·商功>中的几句话：
斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.有一张纸只有正面而没有背面.。
探究鳖臑的性质”教学设计探讨宋辉(南京市中华中学,210019)1研究背景2015年湖北文科高考卷首次出现鳖臑、阳马这 两个古代数学词汇，在近期立体几何微专题复习中 又遇到了鳖臑的问题，九十年代江苏高考题:三棱锥 的四个面中，最多有几个直角三角形.这引起了我的 注意，查阅《九章算术•商功》：斜解立方，得两塹 堵.斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖 臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其 形露矣阳马，亦称角梁，中国古代建筑的一种构 件.用于四阿（庑殿）屋顶、厦两头（歇山）屋顶转角 45°线上，安在各架椽正侧两面交点上.“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”，今称为刘徽原理.刘徽注 《九章算术》关于体积问题的论述已经接触到现代 体积理论的核心问题：四面体体积问题的解决是多 面体体积理论的关键.目前学生只会运用锥体、柱体及球体的体积公式，对这些体积公式是如何得到的却知之甚少.如为什么锥体体积公式是^力，又为什么柱体体积公式是▲阳马和鳖臑是中国古人对一些特殊锥体的称谓.取一长 方体，沿对角面一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，其体积（U )是长方体体积（F)的一半，再沿它的一顶点和与之相对的棱剖开，得四棱锥和三 棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱 锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成 的四面体，称为鳖臑.但是上课时如果按照以上顺序 展开，比较突兀，生硬，因此必须精心设计.笔者在教学实践中以鳖臑问题为主题进行教学 设计，主要解决6个问题：（1)探究三棱锥何时为鳖 臑的判定定理；（2)如何利用鳖臑的性质解决相关 问题;（3)如何从鳖臑引出阳马概念；（4)如何研究 阳马的性质；（5)如何由阳马设计问题引出堑堵;(6)探究堑堵与鳖臑的关系.和学生一起推导棱锥、棱柱的体积公式，从而增强学生对这些公式的理解 深度及欣赏能力.2教学目标(1)通过教师的启发、引导，学生能得到判断三 • 26 •棱锥4 - BCD为“鳖臑”的判定定理；（2)学生能利 用“鳖臑”性质解决相关的计算问题；（3)学生能探 究阳马的性质；（4)所有学生知道堑堵、阳马、鳖臑 之间关系；（）学生能体会到数学文化的魅力.3教学过程：在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个直 角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱锥4 - B C D中，丄底面B C D从三棱锥4 - B C D中选择合适的两条棱填空;若______丄______，则该三棱锥为“鳖臑”.设计意图:通过问题的开放性，引导学生得到判 断“鳖臑”的判定定理.学生归纳:一个三棱锥为鳖臑的判定定理:一个 三棱锥的底面为直角三角形，若过直角三角形的非 直角顶点的一条侧棱垂直于底面，则该三棱锥为鳖臑已知三棱锥4 - B C D中，，I B丄底面BCD，A B C D=99°，AB=B C=2，CD=1.问题（1)求4D与平面ABC所成角的正弦值；设计意图:通过问题引导学生能利用“鳖臑”性 质，求线面角.问题（2)求二面角C -4D -B所成角的余弦值；设计意图:通过问题引导学生能利用“鳖臑”性 质，求面面角.问题(3)若点£为4匚中点，试判断四面体£- BCD是否为“鳖臑”；设计意图：通过问题引导学生能利用“鳖臑”的判定定理判定三棱锥£- BCD为“鳖臑”.问题(4)试求“鳖臑4 - BCD”的外接球的表 面积；设计意图：通过问题引导学生能利用“鳖臑”性 质，求“鳖臑4 - BCD”的外接球的半径.问题（5)试求异面直线4D、B C所成角的余弦值；设计意图：通过问题引导学生能利用“鳖臑”性 质，求异面直线所成角的大小，通过寻找异面直线所 成角的过程巧妙的引出阳马的概念.案例分析阳马的定义：四棱锥p-M C D中，四边形为矩形，丄平面问题(6)阳马有什么性质？阳马的性质：()四个侧面都是直角三角形；(2) —个阳马可分割成两个等积的鳖臑(3) 阳马的五个顶点共球面.()阳马与分割成的鳖臑的外接球是同一个球设计意图:通过问题引导学生探究阳马的性质.问题(7)求证:阳马的五个顶点共球面.通过问题引导学生探究阳马的外接球的性质; 知道阳马的外接球与鳖臑的外接球之间的关系.问题（8)若四棱锥户-4B C D为阳马，过D作 乃五平行且等于以，连接则①三棱锥P - 是否为鳖臑;②多面体- £D C是怎样的几 何体，它有哪些性质？设计意图:通过问题引出堑堵的概念，引导学生 探究堑堵的性质.4教学反思(1)本节课采用主题式教学，为学生提供了 一个良好的学习情境，立足于学生的知识水平和 生活实际，打通了学生书本世界和生活世界的界限；主题式教学要求学生在学习情境中进行自主(上接第2页）另外，作为一种可视化的思维方法，思维导图将 学生思考的痕迹记录下来，让学生在相互交流的 过程中，快速清晰地把握其他同学的知识要点和 思考方向，使得交流讨论过程纵深发展，更有 意义.(3)借助思维导图的开放性，优化课堂总结有效的课堂总结是教师和学生合作，一起对教 学内容进行梳理和概括的重要环节，是前后知识深 度整合，构建系统知识框架的必要阶段.思维导图具 有强大的伸缩性和开放性，它顺应人们大脑的自然 思维模式，将所思所想自然的在图上绘制出来，可以 短时间内快速系统的整合所学知识.其无限的层次 性，有效地凸显了学生思考的发展性，关键知识点间 连接线促使学生注意力高度集中，激发学生积极主 动思考，帮助学生对所学新知进行全方位和系统的 分析和描述.结点展开的过程中，促使思维逐步发 散、走向深入，促进知识系统更加全面，思维更加缜 密灵活.的探讨和学习，有利于学生的主体作用的发挥；主题式教学要求师生既是学习情境的组织者，又 是学习情境中的共同探讨者，有利于构建民主、平等、合作的师生关系；主题式教学为学生创设了有挑战性的问题情境，有利于激发学生的学习兴趣和斗志.()教学设计关注预设，考验教师把握课堂、驾 驭课堂的能力，再好的教学设计，在课堂中都会遇到 不可预见的生成，正是这种不可预见的课堂生成，构 成了丰富多彩的课堂活动，考量教师的教学智慧，提 高课堂效率永远是我们追求的目标.(3)培养学生的思维，需要好的问题载体，而好 的问题的串联，从浅入深，从易到难，从感性到理性，可以不断优化学生的思维品质.只有让学生亲身体 验，启发内心感悟，激发心理共鸣，才能真正转化为 学生认识客观规律、分析解决实际问题的能力.才能 使学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考 世界，会用数学语言表达世界.参考文献：[1]曹广福，刘丹.课题式教学法探析[J].数学 教育学报，2〇2〇,29(3):32 -36.[]郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践 [].数学教育学报，2019,28(5):24 -32.4小结著名图论学者哈里曾说过：千言万语不及一 张图”，为促进课堂总结发挥其良好的教学效果，笔 者在教学中采用了思维导图方式，引导学生积极思 考，在听课过程中感觉疲惫时，或讨论交流、或独立 思考，动手动脑，绘制所学知识的思维导图.经过一 个学期的实践，效果非常好，很多孩子对知识理解的 更深入，知识系统构建的更加全面，也很喜欢用思维 导图的方式总结反思.参考文献：[1]义务教育数学新课程标准[S].北京:北京 师范大学出版社，2017.[]樊佳佳.注重课堂总结提高课堂效果[].基础教育论坛，2018,（10) :6 -27.[3] 张桂芳.思维导图在数学教学中的应[J].教学管理与教育研究，202，（7) ：7 -78.[4] 吕丽洪.科学运用思维导图，提升学生数学科核心素养[J].课程教育研究，2019,(06) :16 -18.• 27•。
图 1DPECBA鳖臑几何体的试题赏析与探究岳 峻1 阮艳艳2安徽省太和县太和中学 2366002015年湖北高考数学之后，广大考生感言：阳马、鳖臑，想说爱你不容易；中学教师考后反思：阳马、鳖臑，不说爱你又没道理；试题评价专家说：湖北高考数学试题注重数学本质，突出数学素养，彰显数学文化.阳马、鳖臑是什么呢？1 试题再现 1.1 文科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图1所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．(I)证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(II)记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 1.2 理科试题《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图2，在阳马ABCD P -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE(I)证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；(II)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值． 2 鳖臑的史料2.1 史料《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。
斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。
阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。
中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．”2.2 阐释D F PECBA图2阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.3 试题赏析 3.1 生僻字问题试题中出现了中国古代数学巨著《九章算术》中“阳马”“鳖(b īe)臑(n ào)”的生僻词，但题目中已经对这两个词语的含义进行了现代文解释，从而高考考生对四棱锥-P ABCD 所具备的特点能够完全理解，并且也能够知道如何判断四面体是否是鳖臑，因此本题中的生僻字不会对考生解题带来困扰．鳖臑，并没闹！3.2 教材溯源北京师范大学出版社《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》的“第一章 立体几何初步”的“第六节 垂直关系”的例题1（第37页）：如图5所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90B ，点P 为ABC ∆所在平面外一点，⊥PA 平面ABC 。
问：四面体PABC 中有几个直角三角形？教材借助于这道例题给同学们介绍了鳖臑几何体，并提出思考问题（第38页）：仔细观察，你可以从图5中得出几组互相垂直的平面？让同学们更进一步认识这一特殊几何体。
教材紧接着在随后的例题2中就给出了以鳖臑为载体的几何命题的证明问题（第38页）：如图6，AB 为⊙O 的直径，⊙O 所在平面PACB图5图3图4PC ABα为α，α⊥PA 于A ，C 为⊙O 上异于A ，B 的一点。
求证：平面⊥PAC 平面PBC 。
该题借助于鳖臑这一几何体中丰富的垂直关系，让学生来熟悉垂直中的判定定理以及性质定理的应用。
3.3 设计理念普通高中数学课程标准中指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。
为此，高中数学教学应注重体现数学的文化价值，而2015年湖北卷就很恰当的体现了数学文化价值上的考查。
命题者将题目的背景取自于古代数学典籍并不意味着试题的难度增大，匠心独运地体现了我国古代数学成果的灿烂辉煌，拓宽了知识面，考查考生的阅读能力、审题能力和应用能力，培养考生的创新精神，注重数学本质，提高数学素养，彰显命题组的博学与智慧．尤其是理科第19题、文科第20题，创新于数学史料的加工，以阳马和鳖臑为载体进行命题，来源于教材又囿于教材，彰显数学文化，数学味道正，文化气息浓，让“枯燥”的高考试卷多了几分生气和灵性，给人耳目一新的感觉．4 鳖臑几何体的性质的探究 4.1 鳖臑几何体中的垂直关系如图7，鳖臑几何体-P ABC 中，⊥PA 平面ABC ，⊥AC CB ，⊥AM PB 于M ，AN PC ⊥于N ．（1）证明：BC PAC ⊥平面； （2）证明：PB AMN ⊥平面； （3）证明：PBC AMN ⊥平面平面；（4）证明：⊥PB MN ．证明 （1）因为⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以⊥PA BC ， 又⊥AC CB ，=ACPA A ,所以BC PAC ⊥平面；（2）因为BC PAC ⊥平面，⊂AN 平面PAC ，所以⊥BC AN ， 又AN PC ⊥，=PCBC C ，所以⊥AN 平面PBC ，则⊥AN PB ，又⊥AM PB ，所以PB AMN ⊥平面；（3）因为PB AMN ⊥平面，所以PBC AMN ⊥平面平面． （4）因为BC PAC ⊥平面，所以平面⊥PBC 平面PAC ， 又AN PC ⊥，所以⊥AN 平面PBC ，则⊥AN MN ，又PB AMN ⊥平面，所以⊥PB MN ，评注 图形中异面直线PA 与BC 的距离等于线段AC 的长度；异面直线AN 与PB 的距离等于线段MN 的长度；4.2 鳖臑几何体中的空间角如图8，设α为CB 与斜线PB 的夹角∠PBC ，β为CB 与斜线PB 在底面ABC 的射影AB 的夹角∠ABC ，θ为PB 与底面ABC 所成的角∠PBA ，γ为二面角--A PB C 的平面角，ρ为直线AB 与平面PBC 所成的角，ϕ为直线PC 与底面ABC 所成的角， ω为直线PC 与平面PAB 所成的角，则（1）cos cos cos αβθ=；（2）cos sin cos ϕγθ=；（3）sin sin sin ρϕβ=；（4）sin sin sin θϕα=； （5）ωβαsin sin tan =. 证明 （1）cos cos cos βθα=⋅=BC ABAB PB ； （2）cos cos sin cos cos ϕγθ∠====∠ANPAN AN AP AM PAM AMAP；（3）sin sin sin ϕβρ=⋅==AN AC ANAC AB AB ；（4）sin sin sin ϕαθ=⋅==PA PC PAPC PB PB；（5）过C 作⊥CH AB 于H ，连接PH ，则⊥CH 平面PAB ，ω∠=CPH ，αωβtan sin sin ===BC PCPCCH BC CH. 评注 图形中二面角--P BC A 的平面角的大小等于ϕ，二面角--A PB C 的平面角的大小等于γ，二面角--B PA C 的平面角的大小等于2πδβ=-；直线AB 与平面PAC 所成的角为δ，直线AC 与平面PBC 所成的角为ϕ，直线AC图 9DPECBA与平面PAB 所成的角为2πδβ=-，直线PB 与平面PAC 所成的角为2πα-，直线PA 与平面PBC 所成的角为2πϕ-.5 鳖臑几何体模型的应用 5.1 2015湖北真题评析 例1 （同1.1 文科试题）解析 （I ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥， 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥， 而=PDCD D ，所以BC PCD ⊥平面.而DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥.又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而=PCBC C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD ∠,BCE ∠,DEC ∠,DEB ∠.（II ）因为PD ⊥底面ABCD ，PD 是阳马P ABCD -的高， 又点E 是PC 的中点，则点E 到底面ABCD 的距离为PD 的12， 由于2∆=ABCDBCD S S ，所以121341132∆⋅==⋅ABCD BCD S PDV V S PD ．例2 （同1.2 理科试题）解析 （I ）同例1 证明DE ⊥平面PBC .而⊂DE 平面DEF ，所以平面⊥DEF 平面PBC . 而平面⋂DEF 平面EF PBC =，EF PB ⊥， 所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，.（II ）因为PB ⊥平面DEF ，PD ⊥底面ABCD ，则平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角即为PB 与PD 所成的角3π∠=BPD ，不妨设1PD DC ==，则=BD ，在∆Rt BCD 中, =BCDC BC = 5.2 鳖臑在手，横扫立体几何试题鳖臑几何体不仅覆盖了立体几何中点、线、面的各种位置关系，以及各种空间角的计算，又突出了“垂直”这个横贯立体几何知识的“红线”，因此，鳖臑几何体是探求空间中线线、DFPECBA图10线面、面面垂直关系的十分重要的基本图形，也是研究棱锥、棱台的基本模型。
例 3 已知BAC ∠在α内，P PE AB α∉⊥，于E ，PF AC ⊥于F ，=PE PF ，α⊥PO ，求证：O 在BAC ∠的平分线上（即BAO CAO ∠=∠）． 解析 因为,,PE AB PF AC PO α⊥⊥⊥，由三垂线定理逆定理知：,AB OE AC OF ⊥⊥，因为,PE PF PA PA ==，所以PAE Rt ∆≌PAF Rt ∆，则AE AF =， 又因为AO AO =，所以Rt AOE Rt AOF ∆≅∆，故BAO CAO ∠=∠．评注 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线．本题图形中的三棱锥P OAF -就是鳖臑几何体，显然，这个三棱锥中蕴含着棱锥、棱台的所有要素。
例4 （2015新课标I ）如图12，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若120ABC ∠=，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -. 解析 (1)因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又BE ⊥平面ABCD ，所以几何体BCG E -是鳖臑，由鳖臑几何体的垂直关系性质1可知⊥CG 平面BEG ,又⊂CG 平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2) 因为120ABC ∠=，AE EC ⊥，=AE CE，所以=AC ，因为三棱锥E ACD -的体积为3BCG E -的体积为6设=BG x ,则,2===CG BC AB x,==AE CE，=BE ，所以BCG E -的体积为211336∆⋅==BCG S BE ，所以1=x ， 所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积故三棱锥E ACD -的侧面积为3+例5 （2015新课标Ⅱ）如图13，长方体ABCD -1111A B C DA 1ED GCBA 图12中，16AB = ，10BC = ，18AA =，点E ，F 分别在1111,A B D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(I)在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；(II)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 解析 (I)交线围成的正方形EHGF 如图14. (II)如图14，作EM ⊥AB 于M ,则1AM A E =4=，8=EM ；因为四边形EHGF 为正方形,所以EH EF =10=，于是6=HM ，所以10AH =. 作⊥AQ EH 于Q ，连接QF ，则三棱锥-A QEF 就是鳖臑几何体，其中∠QFA 就是AF 与平面EHGF 所成角，设,,,βθα∠=∠=∠=QFE AFQ AFE 由鳖臑几何体的性质，则cos cos cos αβθ=，又cos αβ==cos 15θθ===， 故AF 与平面EHGF所成角的正弦值为15. 例6 （2015山东）如图15，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：//BD 平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，CF = DE ，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．解析 (1)略.(2)由G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB ， 因为AB BC ⊥，所以BC GH ⊥，又CF ⊥平面ABC ，所以几何体EHC F -是鳖臑几何体；假设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为γ，,ϕθ∠=∠=FHC FGC ，则由鳖臑几何体的性质可知：cos sin cos ϕγθ=，又cos ,cos 23ϕθ==，所以sin 2γ=，故平面FGH 与平面ACFD 所成的角C 1图14EFCH GBAD图15（锐角）为3． 6 结束语除此之外，在2015年的高考题中还有很多以鳖臑这一几何体为背景的立体几何问题，限于篇幅，忍痛割爱，不再赘述。
