2015-2017立体几何高考真题
1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==16
3
r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=320
9
，故堆放的米约为
320
9
÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221
42222
r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.
考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；
（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂
直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r
的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r
为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线
AE 与CF 所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ， 又∵AE ⊥EC ，∴EG=3，EG ⊥AC ，
在Rt △EBG 中，可得BE=2，故DF=
2
2
. 在Rt △FDG 中，可得FG=
62
. 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=2，DF=22可得EF=322
， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ， ∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，
∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB u u u r
为单位长
度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （0
0），E （
），F （－
1,0
），C （0
0），∴AE u u u r =（1
），CF uuu r =（-1，
） (10)
分
故cos ,3||||
AE CF AE CF AE CF ⋅<>==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
所以直线AE 与CF
. 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
4、（2015年2卷6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A ．
81 B ．71 C ．61 D ．5
1 【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，
设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=
⨯=，故剩余几何体体积为33315
66
a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5
1
，故选D ．
考点：三视图．
A
1
5、（2015年2卷9题）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球
O 的表面积为（
） A
．36π B．64π C．144π D．256π
【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最
大，设球O 的半径为R ，此时23111
36326
O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．
6、（2015年2卷19题）（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，
=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平
面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：
（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =
-=，所以10AH =．以D
为坐标原点，DA u u u r
的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =u u u r ，(0,6,8)HE =-u u u r
．设(,,)n x y z =r
是平面EHGF 的法向量，则
0,
0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即100,680,x y z =⎧⎨
-+=⎩所以可取(0,4,3)n =r ．又(10,4,8)AF =-u u u r ，故45
cos ,15n AF n AF n AF
⋅<>==
⋅r u u u r r u u u r r u u u r ．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为45
15
．
A 1
A
B 1B
D 1D
C 1
C
F E H G
M
考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．
D D C
A
E F
A B C
B
