校本课程-趣味数学5-分形几何

数学分形几何
数学分形几何是一门非常有趣的数学分支，它研究的是自相似的图形和形态。

分形几何的研究源于20世纪70年代，由于它的特殊性质和广泛应用，在数学、自然科学、计算机科学、艺术等领域都有很多的应用。

在分形几何中，我们可以看到许多具有吸引力的形状，例如谢尔宾斯基三角形、科赫曲线、曼德勃罗集等等。

这些形状都具有自相似的性质，即它们的局部结构和整体结构非常相似。

除了美丽的图形之外，分形几何还有很多应用。

例如，在天气预报中，我们可以使用分形图形来预测天气的变化；在医学图像处理中，我们可以使用分形几何来处理医学图像中的噪声；在金融领域中，我们也可以使用分形几何来研究股票价格的变化等等。

总之，数学分形几何是一门有趣且实用的学科，它不仅能让我们欣赏美丽的图形，还能为我们解决实际问题提供帮助。

- 1 -。

分形几何教案【导言】分形几何是一门研究自相似和重复结构的学科，它在数学、自然科学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本教案旨在通过引导学生进行分形几何实践活动，培养学生的观察力、思维能力和创造力。

【教学目标】1. 了解分形几何的定义和基本概念；2. 探索自然中的分形结构；3. 学习使用分形生成软件制作分形图像；4. 培养学生的分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】1. 分形几何的基本概念和特点；2. 分形几何在自然界中的应用；3. 制作分形图像的方法和技巧；4. 学生的观察力和创造力的培养。

【教学准备】1. 计算机和分形生成软件；2. 纸张、铅笔、彩色笔等绘画工具；3. 自然界中的分形结构图片集；4. 分形几何教学PPT或其他教辅材料。

【教学过程】一、导入（10分钟）引导学生观察自然界中的分形结构，比如树木的分叉、云彩的形状等，让学生思考这些结构是否具有某种规律性。

二、概念讲解（15分钟）讲解分形几何的基本概念，如自相似性、分形维度等，通过实例解释相关概念，并展示分形结构在自然界中的广泛存在。

三、分组探索（20分钟）将学生分成小组，让每个小组选择一个自然界中的分形结构进行观察和记录，可以通过拍照、绘制画图等方式进行记录。

四、小组展示（15分钟）请每个小组展示他们观察到的分形结构，并简要介绍该结构的特点和规律性。

五、分形生成软件实践（25分钟）引导学生使用分形生成软件，比如Mandelbrot Set Generator，制作自己的分形图像。

可以让学生尝试不同参数的设定，观察生成图像的变化。

六、分形图像展示与分析（20分钟）请学生展示并解释他们制作的分形图像，引导学生观察图像的规律性，并讨论分形几何在图像处理、数据压缩等领域的应用。

【拓展活动】1. 自学分形几何的发展历程和经典分形模型，比如科赫雪花、谢尔宾斯基三角形等；2. 设计分形艺术作品，如分形绘画、分形雕塑等；3. 探索分形结构的应用，如分形天线、分形天线、分形天线等。

《分形几何》教学大纲大纲说明课程代码：4935017总学时：48学分：3适用专业：数学与应用数学专业（本科）预修课程：实变函数，概率论一、本课程的性质、任务与教学基本要求：《分形几何》课程是面向数学类专业学生开设的一门选修课。

通过本课程的教学，使学生掌握分形几何中的基本概念、基本方法并熟识基本理论；会应用基本理论考察自然现象的分形本质，计算分形维数，在图象压缩方面有初步的应用。

大纲正文第一章预备知识学时：3学时第一节基本集合和测度理论第二节概率论知识第三节质量分布第二章Hausdorff 测度与维数学时：6学时第一节Hausdorff 测度第二节Hausdorff 维数第三节Hausdorff 维数计算的例子第四节Hausdorff 维数的等价定义第三章维数的其他定义学时：6学时第一节盒计数维数第二节盒计数维数的性质和问题第三节修正盒计数维数第四节另外一些维数定义第四章维数计算方法学时：9学时第一节基本方法第二节有限测度子集第三节位势理论方法第四节Fourier变换方法第五章分形集的局部结构学时：6学时第一节密度第二节1-集的结构第三节s-集的切线第六章分形集的投影和分形集的积学时：9学时第一节任意集的投影第二节整数维集的投影第三节乘积公式第七章自相似和自仿射集变换确定的分形学时：9学时第一节迭代函数系统第二节自相似和自仿射集第三节对编码成象的应用考核方式与要求：学生最终成绩是结合平时成绩和期未考试相结合评定，成绩按五级制记载。

参考书目：1．谢和平等，《分形几何---数学基础与应用》，重庆大学出版社,1995。

2．K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press，1985 3．陈守吉等编，《分形与图象压缩》，上海科技教育出版社。

小学数学教案：趣味几何学1. 引言1.1 概述小学数学教育中的几何学一直被认为是比较抽象和难以理解的内容之一。

传统的几何学教学方法往往过于死板，缺乏趣味性，容易使学生失去兴趣和动力。

因此，本文旨在通过设计趣味几何学教案，让学生能够在轻松愉快的氛围中探索几何学知识，并培养他们对数学的兴趣。

1.2 文章结构本文分为五个部分进行阐述。

引言部分对本文进行概述及文章结构介绍。

第二部分将探讨趣味几何学的意义，包括培养学生对几何学的兴趣、提升学生空间想象力以及培养解决问题的能力等方面。

第三部分将介绍设计趣味几何学教案的原则，包括理论与实践相结合、合理利用教具和游戏元素以及掌握学生的认知水平和兴趣点等方面。

第四部分将以一个示例教案“探索三角形属性的游戏活动”为例进行详细说明，并介绍教学步骤与方法。

最后，第五部分将对本文进行小结，并展望趣味几何学在小学数学教育中的应用前景。

1.3 目的本文的主要目的是想探讨如何通过设计趣味几何学教案来激发学生对几何学的兴趣，并提升他们的空间想象力以及解决问题的能力。

同时，本文也希望能够为小学数学教师和教育机构提供一些可行的方法和策略，以丰富几何学教育内容，使其更加生动有趣，促进学生在数学领域的全面发展。

2. 趣味几何学的意义2.1 培养学生对几何学的兴趣趣味几何学可以通过有趣的教学方法和活动，激发学生对几何学的兴趣。

传统的几何学教育常常以枯燥乏味的理论知识为主，使得很多学生对数学产生厌倦或恐惧心理。

而通过引入趣味几何活动，如游戏、拼图等形式，可以增加课堂上的互动性和乐趣性，吸引学生参与到小组合作或个人竞争中，从而培养他们对几何学的浓厚兴趣。

2.2 提升学生空间想象力在教授具体形状和空间关系时，趣味几何活动可以帮助学生更好地理解和运用抽象概念。

通过涉及实际物体、拼图等操作材料进行空间构建，可以让学生亲身参与其中，并触类旁通地应用到其他问题中去。

这样可促进他们发展空间想象力，提高解决问题时的创造力和灵活思维能力。

第三节分形一、分形概念在前面章节中讨论的物体表示使用了欧氏几何方法,即物体形状由方程来描述。

这些方法适用于讨论加工过的物体:具有平滑的表面和规则的形状。

但自然景物,如山脉和云,则是不规则或粗糙的,欧氏方法不能真实地表现这些物体。

可以使用分形几何方法(Fracta1 geometry)来真实地描述自然景物，使用过程而不是使用方程来对物体进行建模。

正如我们所期望的,过程描绘的物体其特征远不同于方程描绘的物体。

物体的分形几何表示可以用于很多领域,以描述和解释自然现象的特性。

在计算机图形学中,使用分形方法来产生自然景物显示及各种数学和物理系统的可视化。

分形物体有两个基本的特征:每点上具有无限的细节以及物体整体和局部特性之间的自相似性。

自相似性可以有不同的形式,这取决于分形表示的选择。

我们利用一个过程来描述分形物体,该过程为产生物体局部细节指定了重复操作。

自然景物,理论上可以用重复无限次的过程得到表示。

事实上,自然景物的图形显示仅使用有限步生成。

看两个被认为是分形的典型的例子：例1 三分康托(Cantor)集设E0是闭区间[0,1]，即E0是满足0≤x≤1的实数x组成的点集；E1是E0去掉中间1/3之后的点集，即E1是两个闭区间[0，1/3]和[1/3，2/3]；E2是分别去掉E1中两个区间的中间1/3之后的点集，即E2已经是四个闭区间。

此过程要继续进行，E k是2k个长度为1/3k的闭区间组成的点集。

三分康托集F是属于所有的E k的点组成的集，即。

F可以看成是集序列E k当k趋于无穷时的极限。

只能画出k取定时的某个E k。

当k充分大时，E k是对F的很好的近似的表现。

三分康托集中去掉的线段的总长度是多少？可以求出，是1。

还剩下多少呢？注意到三分康托集是区间[0,1]中的可以展成以3为底的幕级数的下面形式的数组成的:a13-1+a23-2+a33-3…其中a i的取值限制为0或2，不取1。

为看清这一事实,注意从E0得到E1时,去掉的是a i=1的数，从E1得E2时,去掉的是a2=1的数，并以此类推。

高一一数学校本课程《趣味数学》《趣味数学》目录第1课收藏中有趣的问题-“收藏”和“模糊数学时间不等式的性质应用于有趣的主题D，两边之间不等式的推广和有趣的例子？？13类9不等式性质的应用有趣的主题D-平均不等式的应用15第10课立体几何的有趣主题-由规则多面体拼接形成的新多面体的面数朗斯？16第11课立体几何的有趣话题-球在平面上的投影1912 D班解析几何的有趣话题魔幻莫比乌斯圆2113班D最短距离问题中解析几何的有趣话题2214学时安排和组合D抽屉原理中的有趣问题2315学时的有趣话题D触球游戏第16课概率中的24个有趣话题第17课简单逻辑中的25个有趣问题第18课28个解决数学问题的策略311-数学1课的“一组有趣的问题”教学要求：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造及时解决问题；教学过程：一、情景介绍1965年，美国数学家扎德发表论文《模糊集合》，开辟了一门新的数学分支――模糊数学。

二、尝试用例子来探索新知识模糊数学是经典集合概念的推广。

在经典集合论当中，每一个集合都必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：A.十、1，（x？A）0，（x？A）。

ZAD将发挥其特有的功能a(x)改成所谓的“隶属函数”a（x）：0？？a（x）？1.这里一个叫做“模糊函数”，？A.十、它被称为X到a的“成员”。

ax=1经典集合论要求隶属度只能取0，1二值，模糊集合论则突破了这一限制，100%从属于某个；？A.x？=0表示它不属于a，20%可以属于a，80%不属于a？？等等，这些模糊集对于由扩展模糊性引起的事情是对的和错的判断上的上的不确性提供了数学描述。

由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分支，从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起形成通常所称的模糊数学，模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。

“趣味数学”校本课程的设计与实践作者：解海霞齐晨于丽明来源：《北京教育·普教版》2021年第07期“趣味数学”校本课程将数学知识寓于游戏之中，把单调的数学学习过程变为艺术性的游戏活动，让学生在游戏中学习、在玩中收获。

1.“趣味数学”校本课程的板块设计“趣味数学”校本课程的全部内容分为“数学思维”和“数学好玩”两部分。

“数学思维”的主导思想是借助此部分的教学为学生在国家课程的学习进行补充和拓展。

例如，我们筛选出国家课程中的思考题，将思考题进行改编，纳入“数学思维”中，结合问题解决及思维提升进行教学设计，让更多学生掌握解题策略或解答方法。

“数学好玩”的主导思想是借助一些学生能够接受、动手操作机会多的数学游戏，来激发学生的学习愿望和探索意识，如“数独”“汉诺塔”“九连环”“魔方”等。

学生在实际操作中，将手与脑充分结合，知行合一，使学生的数学素养和综合能力得以提升。

2.“趣味数学”校本课程的内容体系“数学思维”和“数学好玩”的课程设计具有系统性和可持续发展性。

在“数学思维”板块中，根据不同年级分别设置若干节“方程是个好方法”的教学内容，突出方程的重要性、简洁性、易理解等特点。

低年级用实物来表示等量关系，再逐渐演化到用图形表示等量关系，再到高年级学生认识的方程。

通过一系列符合学生认知规律的设计，使学生的数学思维水平逐步由具体形象思维过渡到抽象逻辑思维。

在“数学好玩”板块中，借助多种多样的数学游戏帮助学生了解数学、了解生活，激发学生的探究欲望。

例如，在设计时加入“数独”的学习。

在教材内容安排上采用螺旋上升式，从一年级的四宫数独到二年级的六宫数独，再到三至六年级的九宫数独，逐步培养学生的数学思维和数感。

3.“趣味数学”校本课程的课堂实施我们采用专任教师与数学教师相结合的授课方式。

在低、中年级段，聘任了专任教师教授全年级的“趣味数学”课程，这样能够有效帮助教师找准学生的思维和知识提升点。

高年级段，主要让数学教师进行授课，这是基于高年级知识难度大、灵活性强，校本课程和国家课程相互补充的考虑。

小学数学公开课教案趣味几何构造小学数学公开课教案趣味几何构造一、引言数学是一门精确而又有趣的学科，在小学阶段培养学生对数学的兴趣和思维能力至关重要。

为了使数学课堂更加生动有趣，本文将分享一节小学数学公开课的教案，其中重点讲解趣味几何构造。

二、教学目标与重点1. 教学目标：通过本节课的学习，学生将能够：- 理解几何构造的基本概念和方法；- 运用几何构造方法解决问题；- 培养学生在解决几何问题时的观察能力和动手实践能力；- 培养学生对几何学习的兴趣和积极态度。

2. 教学重点：- 介绍几何构造的概念和方法；- 运用几何构造方法解决具体问题；- 引导学生进行动手实践。

三、教学内容与步骤1. 教学内容：本节课将重点讲解以下几个几何构造内容：- 通过给定线段和圆心，构造与线段相等的线段；- 构造等腰三角形的高；- 构造正方形；- 构造正三角形。

2. 教学步骤：a) 导入环节：通过展示一些有趣的几何图形，引起学生对几何构造的兴趣。

b) 概念讲解：简要讲解几何构造的概念和基本方法，向学生介绍几何构造的重要性和实用性。

c) 具体内容讲解与示范：- 通过给定线段AD和圆心O，教师演示如何构造与线段AD相等的线段BC；- 通过构造等腰三角形ABC，教师演示如何构造等腰三角形ABC 的高；- 通过构造正方形ABCD，教师演示如何构造正方形；- 通过构造正三角形ABC，教师演示如何构造正三角形。

d) 学生实践：学生们根据教师的示范和指导，尝试自己进行几何构造。

e) 总结与展望：教师与学生一起总结本节课学习的重点内容和方法，并展望下一节课的内容。

四、教学评价与反馈1. 教学评价：教师通过观察学生在课堂上的表现和实践结果，进行个别评价。

评价的主要依据包括学生对几何构造知识的掌握程度、解决问题的效果等。

2. 反馈：教师将对学生的表现给予积极正面的反馈，同时针对学生的不足之处提供指导和建议，以促进他们的进一步提高。

五、延伸活动建议为了巩固学生在几何构造方面的知识和技能，可以考虑以下一些延伸活动：- 设计一道几何构造的谜题，让学生自行解答并展示；- 安排几何构造实践小组活动，让学生协作完成一系列几何构造任务；- 组织几何构造竞赛，鼓励学生在限定时间内完成特定的几何构造任务。