Key Problems of Bidimensional Empirical Mode DecompositionGuangtao GeSchool of Information and Electronic Engineering Zhejiang Gongshang UniversityHangzhou, Chinaggtggtggt@Guangtao GeDepartment of Information Science & ElectronicEngineeringZhejiang UniversityHangzhou, Chinaggtggtggt@Abstract—In recent years , an emerging theory of Empirical Mode Decomposition (EMD) is an important breakthrough inthe field of signal processing. This paper reviews three key problems in the development of the Bidimensional EmpiricalMode Decomposition (BEMD) theory and introduces the latest developments of surface-fitting algorithms, boundary corruption solution methods and the BEMD criterion for stopping the sifting process. Then this paper also commentsseveral open problems in BEMD theory and discusses the existing difficult problems .Keywords-component; Bidimensional Empirical Mode Decomposition; surface-fitting; boundary corruption; BEMD criterion二维经验模态分解的关键问题葛光涛1， 21.浙江工商大学信息与电子工程学院，杭州，中国，3100182. 浙江大学信息与电子工程学系，杭州，中国，310027ggtggtggt@【摘要】近年国际上出现的经验模态分解理论(Empirical Mode Decomposition , EMD)是信号处理领域的一个重大突破。
本文综述了二维经验模态分解(Bidimensional Empirical Mode Decomposition , BEMD)理论发展过程中涉及的三个关键问题,并着重介绍了曲面拟合、边界污染处理和停止准则制定这三个方面的最新进展,评述了其中的公开问题,对研究中现存的难点问题进行了探讨。
【关键词】二维经验模态分解；曲面拟合；边界污染；停止准则1 引言1998 年美国国家宇航局（NASA）的Norden E.huang等人首次提出对一列时间序列数据先进行经验模态分解(以Empirical Mode Decomposition表示 , 简写作EMD)，然后对各个分量作希尔伯特变换。
这种变换被称为希尔伯特黄变换（Hilbert-Huang transform, HHT）[1,3]。
这种信号处理方法被认为是近年来对以傅立叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。
该方法从本质上讲是对一个复杂的信号进行平稳化处理[2]，其结果是将信号中不同尺度的波动或趋势逐级分解开来，由于这种分解是基于局部特征尺度，作为一种完全的数据驱动方法，它具有良好的局部适应性，因此，该方法既能对平稳信号进行分析，又能对非平稳信号进行分析。
以往很多的一维信号处理方法被成功地推广到空间二维信号处理领域，被应用于二维图像数据的处理时同样可以得到良好的效果[4]。
例如，傅立叶变换、离散余弦变换以及小波变换等信号处理的技术已经广泛应用于数字图像处理领域，具体应用包括图像滤波、图像复原、图像增强、图像拼接、图像压缩以及数字水印等方面。
经验模态分解方法在一维信号处理方面已经获得巨大的成功，所以如果能将一维经验模式分解方法推广到二维，将会给图像处理等领域提供一种新的有效的数据处理手段。
二维经验模态分解理论的发展过程中主要涉及以下几个重要问题[5]：曲面的精确拟合，边界污染的克服，合理停止准则的制定等。
2010 International Conference on Remote Sensing (ICRS)978-1-4244-8729-5/10/$26.00 ©2010 IEEE ICRS20102二维经验模态分解理论中曲面拟合方法的研究进展二维经验模态分解中首先要解决的一个重要的问题就是曲面的精确拟合问题，曲面拟合就是指将空间散乱点集插值为连续光滑的曲面。
二维经验模态分解包络曲面和均值曲面拟合的优劣直接关系到每一步分解的执行结果，并最终决定了各模态的性质和独立性，是二维经验模态分解理论发展过程中必须解决的首要和根本的问题。
2.1经典的曲面拟合方法经验模态分解理论问世伊始，学者们早期的工作就是在不断的丰富和发展一维经验模态分解中的包络曲线拟合方法。
将极值点联结为光滑的曲线，需要选用适当的函数进行曲线插值拟合[6]。
现在已经采用的经典插值方法包括：多项式插值、阿克玛(Akima)插值、分段Hermit插值和样条插值等等[7,8]。
当被拟合的极值点由一维空间散布到二维空间时，问题的就变得更为复杂。
将EMD分解向二维推广的过程中，最初采用的方法是将图像分别按行（列）分析，利用EMD 方法逐行（列）进行插值处理，然后把处理结果合成，进而得到合成的各层二维IMF[9,10]，这种方法的本质是利用一维信息来分析二维信号，并没有考虑到二维信号的结构特征。
另外一种改进的方法是参考小波变换从一维推广到二维的张量积方法，分别在水平和竖直两个正交方向上提取图像的二维包络[11]，这种方法主要适用于除水平和竖直两个方向外其他方向空间相关性不强的图像，也不利于将图像的整体特征包融在拟合算法内。
更合理的思想是对于二维散布的极值点进行整体性的二维拟合。
因此，二维信号的包络曲面拟合问题实质也就是一个空间散乱点的曲面拟合问题，这是计算几何中的一个经典难题。
目前，已有的空间散乱点曲面拟合基本方法是：先对空间散乱点在水平面的投影进行三角剖分，然后在各个剖分基元上，对若干个点采用某种插值方法进行局部的拟合，最终再把各个局部拟合曲面平滑连接为最终的包络曲面。
此类算法包括：J.C.Nunes 等人提出的基于形态学操作和径向基函数插值(RBF，Radial Basis Function)的包络曲面拟合方法[12,13]，由于计算代价过高，J.C.Nunes又提出了改进的算法[14,15]；宋平舰等人采用B样条插值方法将经验模式分解方法二维化[16,17]；刘忠轩等人提出了DEMD 的方法[18]，这种方法在分解框架中考虑了图像的方向性, 并从分解的每个成分中对每个点提出三个特征以进行图像处理， DEMD 方法对于纹理图像的处理比较有效。
二维信号包络曲面拟合算法的提高方向是合理性，精确性和快速性。
由于曲面拟合算法的合理性和精确性主要取决于二维插值算法在计算几何领域的发展，因此，为了获得更适合实际应用的二维经验模态分解算法，许多信号和图像处理专家目前把更多的精力投入到二维信号包络曲面快速拟合算法的研究上。
例如，C.Damerval 等人提出一种基于三角剖分和立方样条插值的快速二维EMD 方法[19]，该方法一定程度上降低了计算量，提高了计算效率。
2.2基于有限元的二维经验模态分解快速算法Y. Xu等人提出了有限元法[20]，该方法是目前在速度上最具优势的一种算法。
这种基于有限元的二维信号均值曲面快速拟合算法的主要步骤如下：1)确定二维信号的特征点。
2)对特征点集进行德劳内三角剖分[21,22]（Delaunay method），得到三角形网格。
对特征点集进行德劳内三角剖分的结果如图 1.1所示，图中每个三角形的顶点都是特征点。
3)计算有限元基函数。
4)应用拉普拉斯算子平滑特征数据集。
5)插值建立二维信号均值曲面。
Fig. 1.1 Delaunay Partition of characteristic points set intotriangular mesh图1.1 特征点集德劳内三角剖分结果示意图拟合二维信号上下包络曲面的目的是求它们的平均值以获得均值曲面，Y. Xu的算则能够利用有限元基函数（finite-element basis functions）直接插值出均值曲面，因此，Y. Xu的算法客观上节省了至少一半的计算任务，这也是Y. Xu的算法在计算速度上有明显优势的最主要原因。
3边界拟合方法的研究进展在模态分解过程中数据集合的边界会出现发散和失真的现象，并会向内污染整个数据集，使获得的分解遭到严重破坏，因此边界污染也是分解过程中必须要克服的困难。
边界问题实质上是在拟合中出现的一种异常现象，是由边界拟合的不精确结果经过迭带后向内扩散而形成的。
在有限长信号的分析或处理过程中一般都会遇到边界处理问题。
在一维信号处理中，需要通过插值算法将极点联结成光滑的曲线，在信号内部的极值点总是能获得的，而在边界处拟合包络线或均值曲线时需用到边界外的极值点或信号，这些极值点或信号需要经过分析人为给定，数据外的信息为零，任何人为的预测都将引起误差，每次筛选又是用信号的极值点拟合信号的均值曲线其边界处理误差的影响不只局限在边界的有限范围内，而会向信号的内部传播，“污染”整个数据序列，使得整个结果严重失真。
Huang等人首先提出的边界处理方法是特征波法，即在信号的边界处加上一个特征波，特征波是指一个正弦信号，其周期和幅值是与边界相邻的三个波的平均周期和幅值，这种方法经证明能够有效的改善在三次样条插值端点处大的摆动(the wide swings)。
关于边界处的拟合问题，很多学者也提出了改进的方法：邓拥军等人提出了一种基于神经网络的方法对原始信号进行延拓[24]。
张郁山提出了一个“边筛分，边延拓”的边界处理方法[25]，利用自回归（AR）模型对一个给定信号两端进行延拓。
黄大吉等人提出了镜像闭合延拓和包络的极值延拓两种方法[26]。
余泊提出了自适应时变滤波分解经验模式分解法[27]。
盖强根据波形相关的思想提出了用信号中与边界三角波形最相匹配的波形来预测边界局部均值的波形匹配预测法[28]。
