下载文档原格式
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
第二节常系数线性方程的解法由前面的讨论，我们知道关于线性方程的通解的结构问题，从理论上说，可以认为已经解决了，但是求方程通解的方法还没有具体给出。
事实上，对于一般的线性方程是没有普遍的解法的。
本节介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性方程及可以化为这一类型的方程。
我们将看到，为了求得常系数齐线性方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。
对于某些特殊的非齐线性方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。
所以我们一定要记住常系数线性方程固有的这种简单特性。
这一节的内容完全可以和线性振动理论（质点振动理论、电磁振荡理论等）结合起来学习。
从这里我们可以清晰地看出，物理问题提供微分方程以很直观的实际背景，而微分方程为更深刻地立即物理现象提供有力的工具，这是我们学习这一节要注意的问题。
讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及到实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。
4.2.1复值函数与复值解如果对于区间中的每一实数，有复数与它对应，其中和是在区间上定义的实函数，是虚数单位，我们就说在区间上给定了一个复值函数。
如果实函数，当趋于时有极限，我们就称复值函数当趋于时有极限，并定义如果，我们就称在连续。
显然，在连续就相当于、在连续。
当在区间上每点都连续时,就称在区间上连续。
如果极限存在,就称在有导数（可微）。
且记此极限为或者。
显然，在处有导数相当于、在处有导数，且如果在区间上每点都有导数，就称在区间上有导数。
对于高阶导数可以类似地定义。
设、是定义在上的可微函数,是复值常数，容易验证下列等式成立：在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常数。
下面给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义由上述定义立即推得如果以表示复数的共轭复数，那末容易证明=此外，函数还有下面重要性质：（1）事实上，记，，那末由定义得到（2），其中为实变量。
齐次线性方程组(2)X b=A 它可写作矩阵形式：的方程组形如)(122112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn m n m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 称为线性方程组n m ij a A ⨯=)(是系数矩阵其中T m T n b b b x x x ),,(),,(2121 ==b X 称)(b A B =为增广矩阵,通常写成),()|(b A b A 或一、线性方程组的概念b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组当,k x ,,k x ,k x ,,k ,,k ,k x ,,x ,x nn 2211n21n 21=== 则我们称变成恒等式若能使得每一个等式都每一个方程后代入方程组中的分别用数是方程组的一个解方程组的解的全体组成一个集合，我们称这集合为方程组的解集合。
所谓解方程组实际上就是求出它的解集合。
)1(221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n m n m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x 21X 若令,a a a a aa a a a A mn m m n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212222111211则（1）可写成矩阵形式:(2)0X =A 一、齐次线性方程组则(1) 也可写成向量形式:nj a a a mj j j j ,,2,121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α若令系数矩阵的列向量组）的为齐次线性方程组（即向量组1,,21n ααα 那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？是齐次线性方程组的解，称为零解.T )0,0,0( =X 显然(3)0...n 2211=+++αααn x x x由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式AX =0有非零解⇔R （A ）< n齐次线性方程组AX =0只有零解⇔R （A ）= n齐次线性方程组n ααα ,,21线性无关,那么R(A)=n 。
齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有：（1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。
有非零解的充要条件是R(A)<n ；（2）齐次线性方程组AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；（3）齐次线性方程组AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数n 时，存在基础解系，并且基础解系中含有n-r(A)个解向量；（4）对于齐次线性方程组AX=0，如果r(A)<n ，则任意n-r(A)个线性无关的解都是 基础解系。
定理1:设A 是n m ⨯的矩阵，B 是s n ⨯的矩阵，并且AB=0，那么r(A)+r(B)n ≤分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。
同学们还要掌握本定理的证明方法。
证：设s B B B B ,,,21 的列向量为，则),,,(21s B B B B =，AB=0，即0),,,(21=s B B B A 所以 s j AB j ,,2,1,0 ==所以，s B B B ,,,21 都是齐次线性方程组AB=0的解r(B)=秩)(),,,(21A r n B B B s -≤所以 r(A)+r(B)n ≤评论：AB=0，对B 依列分块，时处理此类问题的惯用方法。
例1：要使,110,20121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，只要系数矩阵A 为(A)[-2 1 1 ] (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110102 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--110201 (D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110224110 解：由答案之未知量的个数是3。
,110,20121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，并且21,ξξ线性无关，所以 1)(2)(3≤≥-A r A r ，从而，.只有（A ）是正确的。
齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a， b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。
当系数矩阵a的秩等于增广矩阵b的秩时非齐次线性方程组有解。
（矩阵的秩就是指矩阵通过初等行变换和初等列变换得到的非零行或非零列的个数。
）当方程存有唯一解时，r(a)=r(b)=n；当方程组有无限多个解时,r(a)=r(b)=r\ucn；当方程组难解时，r（a）＜r（b）。
1、非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组比如：x+y+z=1;2x+y+3z=2;4x-y+3z=3;2、齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组例如：x+y+z=0;2x+y+3z=0;4x-y+3z=0;齐次线性方程组求解步骤：1、对系数矩阵a展开初等行转换，将其化成行阶梯形矩阵；2、若r(a)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(a)=r\ucn（未知量的个数），则原方程组存有非零求解，展开以下步骤：3、继续将系数矩阵a化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；4、挑选出最合适的民主自由未知量，并挑适当的基本向量组，代入同解方程组，获得原方程组的基础卢播，进而写下吉龙德。
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。
若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。
（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。
（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数，即可写出含n-r个参数的通解。
常微分方程的常系数线性齐次方程一、前言在科学研究，物理、化学、工程等学科中，经常需要研究动态系统及其特性，而常微分方程是研究动态系统的重要工具，常微分方程常常是一些简单的描述自然规律的数学模型。
而常微分方程中最常见的方程就是线性齐次方程，本文将重点探讨常系数线性齐次方程。
二、线性齐次方程线性齐次方程是指一个方程形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$，其中$p(x)$和$q(x)$是$x$的函数，$y$是$x$的函数。
这个方程的特点是它的二阶导数、一阶导数和本函数都是线性的，并且本函数的系数为$0$，因此它是齐次的。
这个方程的一般形式可以写为下面的形式：$y''+ay'+by=0$其中$a,b$都是常数。
三、常系数线性齐次方程常系数线性齐次方程是指常数$a,b$都是常数的线性齐次方程，即：$y''+ay'+by=0$对于这个方程，可以得到它的特征方程：$r^2+ar+b=0$特征方程的根决定了方程的通解的形状。
根据根的不同情况，可以分为三种情况：1. 两个实根当特征方程有两个实根$r_1$和$r_2$时，通解可以写为：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$其中$C_1,C_2$是任意常数。
2. 一个实根当特征方程只有一个实根$r$时，通解可以写为：$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$其中$C_1,C_2$是任意常数。
3. 两个复根当特征方程有两个复根时，通解可以写为：$y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$其中$a$是实数，$b$是非零实数，$C_1,C_2$是任意常数。
四、应用常系数线性齐次方程可以应用于多个领域，如化学动力学、机械振动、电路分析等领域。
在机械振动领域，常系数线性齐次方程可以描述弹簧振子、摆钟等系统的运动，分析它们的振幅、周期等特性。
在电路分析领域，常系数线性齐次方程可以描述电路中电感、电容的影响，预测电路的响应等。
