定积分与二重积分的互化

浅谈定积分与二重积分中的统一解题技巧作者：肖菊霞来源：《科技视界》2014年第21期【摘要】积分学是高等数学的主要分支。

定积分与二重积分的概念和计算是积分学的重要组成部分，其在在几何、物理、概率统计等方面有着重要应用。

二重积分作为定积分的推广，其二者有着共同的解题技巧，包括利用几何意义、对称性、换元法来简化定积分与二重积分的计算。

【关键词】定积分；二重积分；对称性；几何意义；换元法0 前言如何解题对于学好高等数学的重要性毋庸置疑，定积分与二重积分的计算是高等数学的一个重点，也是难点。

而许多学生见到稍难一点的题目就无从下手，不知如何思考，这样就影响了学习的积极性。

定积分作为积分学的基础，在二重积分的计算中起着重要作用，掌握起来也相对比较容易。

本文总结出了一些定积分二重积分共有的计算技巧，可以让学生在学好定积分的基础上掌握二重积分的计算技巧，通过类比与推广，达到巧妙解决一般的定积分与二重积分的计算问题。

1 利用几何意义计算积分值2 利用对称性计算积分值3 利用换元法简化计算3.1 牛顿—莱布尼兹公式给定积分的计算提供了一种有效的方法，但它完全依赖于求被积函数的原函数，但有时原函数是很难直接求出来的，此时可采用定积分的换元法。

3.2 二重积分计算的一般方法是将其化为两次单积分，但当积分区域难于确定定积分限或者被积函数比较复杂时，可以考虑应用换元法。

4 建议定积分的通常计算方法是得到原函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算；二重积分的一般计算步骤是：①画出积分域；②选择坐标系，选择时要遵循i域边界应尽量多为坐标线ii 被积函数关于坐标变量易分离；③确定积分序，需注意i积分域分块要少ii累次积分好算为妙；④写出积分限，方法有图示法和不等式法。

在计算的时候要充分利用它们的几何意义，对称性以及换元法来简化计算。

二重积分的计算是以定积分的计算为基础，只有会熟练的计算定积分，并把定积分的基本计算技巧熟练地推广到二重积分才能更好的掌握二重积分的计算。

定积分和二重积分的相同点和不同
定积分和二重积分是微积分中的两个重要概念，它们在数学和应用领域都有广泛的应用。

虽然定积分和二重积分都涉及到积分的概念，但它们在定义、计算方法和应用方面有着一些不同之处。

定积分和二重积分的相同点在于它们都是积分的一种形式。

积分是微积分的重要内容，是求取函数的面积、体积、质量、平均值等数学量的方法之一。

定积分和二重积分都可以用来求取曲线、曲面下的面积、体积等。

定积分和二重积分的不同之处在于它们的定义和计算方法有所不同。

定积分是对函数在一定区间上的积分，可以看作是对函数在一维上的积分。

而二重积分是对二元函数在一个二维区域上的积分，可以看作是对函数在二维平面上的积分。

定积分的计算方法通常使用黎曼和或牛顿-莱布尼兹公式，而二重积分的计算方法通常使用重积分法或换元法。

定积分和二重积分在应用方面也有一些不同之处。

定积分常用于求取曲线下的面积、质心、转动惯量等。

例如，在物理学中，定积分可以用来求取物体的质量、质心以及转动惯量等物理量。

而二重积分常用于求取平面区域上的质量、重心、转动惯量等。

例如，在工程学中，二重积分可以用来求取平面区域上的质心、转动惯量以及液体的体积等。

定积分和二重积分是微积分中的两个重要概念，它们在定义、计算方法和应用方面都有一些不同之处。

定积分是对函数在一维上的积分，用于求取曲线下的面积、质心、转动惯量等。

二重积分是对二元函数在二维区域上的积分，用于求取平面区域上的质量、重心、转动惯量等。

尽管定积分和二重积分有所不同，但它们都是积分的一种形式，都有着重要的数学和应用价值。

定积分拆分成两个积分的公式定积分是计算函数在给定区间上的面积或曲线长度的数学工具。

有时我们需要将一个定积分拆分成两个积分进行计算，这种方法被称为积分拆分定理。

积分拆分定理是基于积分的线性性质。

根据积分的线性性质，我们可以在被积函数中引入一个新的函数，并将原来的积分拆分成两个部分，然后分别计算这两个部分的积分。

最后将这两个积分的结果相加，就得到了原始定积分的结果。

下面我们将介绍两种常见的积分拆分定理：换元积分法和分部积分法。

1.换元积分法换元积分法也被称为变量代换法。

它通过引入一个新的变量来将原来的积分转化为一个简单的积分。

具体步骤如下：步骤一：选择适当的变量代换。

我们需要选择一个适当的新变量来代替原来的变量，以使得被积函数在新变量下的形式更简单。

步骤二：计算变量代换后的导数。

将选定的新变量表示为原变量的函数，并计算其对原变量的微商。

步骤三：将原来的积分限和被积函数转化为新变量的积分限和被积函数。

通过将原来的变量用新变量表示，并利用变量代换的导数，将原来的积分限和被积函数用新变量表示出来。

步骤四：计算新变量下的积分。

计算新变量下的积分，并将结果转换回原变量的积分。

2.分部积分法分部积分法是将积分表达式中的被积函数拆分成两个因子的乘积，并选择其中一个因子进行微分，另一个因子进行积分。

具体步骤如下：步骤一：选择适当的因子。

我们需要选择一个适当的因子进行微分和积分，以使得新的积分形式更简单。

步骤二：计算微分和积分。

对选择的因子进行微分和积分，并将结果表示为新的积分形式。

步骤三：重复应用分部积分法。

如果新的积分形式仍然复杂，我们可以继续使用分部积分法，将新的积分进行再次拆分，并应用分部积分法。

步骤四：计算最终的积分。

重复应用分部积分法，直到积分不再复杂，可以直接计算出结果为止。

需要注意的是，选择合适的变量代换和因子是积分拆分定理的关键。

这需要对被积函数有一定的了解，并结合经验和技巧进行选择。

此外，积分拆分定理在应用过程中还需要注意积分限的变换和计算积分的技巧，以避免错误和混淆。

定积分和二重积分的几何意义一、定积分的几何意义1. 当函数y = f(x)≥0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

例如，对于函数y=x + 1，x∈[0,2]，∫_{0}^2(x + 1)dx表示由直线y=x + 1，x = 0，x = 2和x轴围成的梯形的面积。

2. 当函数y = f(x)≤0，x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的相反数。

例如，对于函数y=-x，x∈[0,1]，∫_{0}^1(-x)dx的值为-(1)/(2)，其绝对值(1)/(2)就是由y =-x，x = 0，x = 1和x轴围成的三角形的面积。

3. 当函数y = f(x)在[a,b]上有正有负时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去在x轴下方部分的面积。

例如，对于函数y=sin x，x∈[0,2π]，∫_{0}^2πsin xdx=0，这是因为sin x在[0,2π]上，x轴上方和下方的图形面积相等。

二、二重积分的几何意义1. 当z = f(x,y)≥0，(x,y)∈ D时（D为积分区域）- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶，以xOy平面上的区域D 为底的曲顶柱体的体积。

例如，对于z = x^2+y^2，D为x^2+y^2≤1的圆形区域，∬_{D}(x^2+y^2)dσ表示以抛物面z = x^2+y^2为顶，以单位圆x^2+y^2≤1在xOy平面上的区域为底的曲顶柱体的体积。

2. 当z = f(x,y)≤0，(x,y)∈ D时- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶（此时z值为负），以xOy 平面上的区域D为底的曲顶柱体体积的相反数。

二重积分三角函数交换积分次序在数学中，二重积分是一种重要的积分形式，涉及到在二维平面上对某个区域内的函数进行积分运算。

而在二重积分中，交换积分次序是一个重要而且常见的操作，尤其是当二重积分中包含有三角函数时，交换积分次序可以简化运算过程，使得数学推导更加清晰和简洁。

本文将就二重积分中的三角函数交换积分次序这一主题展开讨论，帮助读者深入理解这一数学概念。

1. 二重积分的基本概念让我们简要回顾一下二重积分的基本概念。

在二维平面上，对于一个给定的区域D，我们希望计算函数f(x, y)在该区域上的积分。

这时，我们可以通过将该区域分割成许多小的面积区域，并在每个小区域上进行积分运算，最终将这些小的积分值相加得到整个区域上的二重积分值。

这种运算方法不仅可以用于计算面积，还可以推广到更一般的函数情形，从而求得函数在该区域上的积分值。

2. 三角函数在二重积分中的应用对于二重积分中包含有三角函数的情况，通常会涉及到极坐标系的转换。

由于三角函数在极坐标系下有着更加简单的表达形式，因此将二维平面上的直角坐标系通过极坐标系进行转换，可以使得原本复杂的积分计算变得更加简单和直观。

这种变换方法在处理涉及到圆形区域或者具有旋转对称性的区域时尤其有用，可以大大简化积分的计算过程。

3. 三角函数交换积分次序的重要性在具体的计算过程中，我们可能会遇到需要交换二重积分的积分次序的情况。

特别是当原始的积分次序使得积分计算变得非常复杂或者难以进行时，通过交换积分次序往往可以使得计算过程变得更加简单明了。

在涉及到三角函数的二重积分中，这一操作尤为常见和重要。

通过恰当地选择积分次序，可以使得三角函数的积分形式变得更加简单，从而使整个计算过程更加高效。

4. 三角函数交换积分次序的具体操作具体来说，当我们需要对一个区域内的三角函数进行二重积分时，可以通过对其中的一个积分变量进行积分，然后再对另一个积分变量进行积分。

这种操作实质上就是交换了原始的积分次序，但需要注意的是，为了避免计算错误，我们需要在进行积分变量的交换时，同时调整积分的上下限，并且要格外小心地处理边界情况，以确保交换积分次序的操作是正确的。

本科毕业论文几类积分的运算及其关系SEVERAL TYPES OF INTEGRAL OPERATORS AND THEIRRELATIONSHIP学院（部）：理学院专业班级：数学与应用数学10-1学生姓名：戴永红指导教师：周小红讲师2014年 5 月30 日几类积分计算及其关系摘要本文首先通过积分的概念和性质举出了一些常见的积分。

随后对列举出的每一种积分都给出了它们的一些概念、公式以及计算方法。

接着讨论了每一种积分相互之间的关系，其中包括了不定积分和定积分两者之间的关系，曲面积分与二重积分两者之间的关系，曲面积分与三重积分之间的关系，以及曲面积分与曲线积分两者之间的关系。

随后对本文所述的所有积分进行了对比和总结。

关键词：定积分，不定积分，面积分，线积分，重积分，计算方法，关系安徽理工大学毕业论文ON THE CITY FESTIVAL’S MAR KETINGSTRATEGYABSTRACTFirstly, through the introduction of the concept and nature of the integration of several common points. Subsequently points are given for each of its concepts, formulas and calculations in this area. Followed by a discussion of the relationship between various types of integration with each other, including the relationship between the indefinite integral and definite integral between the relationship between surface integrals and double integrals, between the surface and triple integrals, and surface integrals and the relationship between the curve pointsKEYWORDS：definite integral, indefinite integral, the area of re-integration, calculation method, the relationship目录摘要 (I)ABSTRACT (II)绪论 (1)1. 概念与性质 (1)1.1.不定积分 (1)1.2.定积分 (2)1.3.二重积分 (3)1.4.三重积分 (4)1.5.曲线积分 (5)1.6.曲面积分 (6)2. 积分的计算 (7)2.1.定积分的计算 (7)2.2.二重积分的计算 (7)2.3.三重积分 (9)2.4.第一型曲线积分 (12)2.5.第二类曲线积分 (12)2.6.第一型曲面积分的计算 (12)2.7.第二型曲面积分的计算 (13)3. 几类积分之间的关系 (14)3.1.定积分和线积分以及二重积分和面积分之间的联系 (14)3.2.二重积分与线积分 (15)3.3.面积分与三重积分 (17)3.4.曲线积分与曲面几分 (19)结论 (22)参考文献 (23)谢辞 (24)绪论古代欧洲就有许多的方面的记录显示着积分学的应用。

定积分与二重积分的互化
二重积分与定积分的区别在于定积分的被积函数是一元函数，积分区域是区间。

而二重积分的被积函数是二元函数，积分区域是平面区域。

二重积分与定积分的联系在于定义上二重积分也表示为和式极限，该极限也是通过“分割、近似代替、求和、取极限”而得到的。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分。

也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若只有有限个间断点，则定积分存在。

若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

二重积分转化为二次积分的“三定法”
张庆海;范卓;王德强
【期刊名称】《科教导刊》
【年(卷),期】2016(000)018
【摘要】计算二重积分最关键的是在定积分计算的基础上，掌握好将二重积分转化为二次积分的方法步骤。

笔者结合自身的教学经验，将二重积分转化为二次积分的方法总结为“三定法”，即“定系、定序和定限”。

【总页数】3页(P24-25,42)
【作者】张庆海;范卓;王德强
【作者单位】军事经济学院基础部数理教研室湖北·武汉 430035;军事经济学院学员旅湖北·武汉 430035;军事经济学院学员旅湖北·武汉 430035
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.关于二重积分转化为二次积分的讨论 [J], 郝琳;朱亚红;曾静
2.用元素法把二重积分直接化为单积分 [J], 熊明
3.二重积分与二次积分 [J], 龚冬保
4.二重积分化为累次积分的体积推导法 [J], 伍启期
5.论二次积分如何还原成二重积分再重新交换积分顺序 [J], 杨显中;王学荣
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。