六下奥数1中国剩余定理

中国剩余定理（模板+详解）问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。

问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。

上⾯给出了解法。

再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。

定理1：⼏个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。

以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。

⼀共有四个步骤。

下⾯详细解释每⼀步的原因。

（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。

105÷3=35。

显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。

相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。

那么这个基础数就是35。

记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。

体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。

21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。

中国剩余定理知识点总结在初等数论中，我们经常会遇到形如x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)的线性同余方程组，其中ai和mi都是整数，m1, m2, ..., mn是两两互质的正整数。

中国剩余定理就是解决这类问题的重要方法。

下面我们来详细介绍一下中国剩余定理的一些基本知识点。

1. 中国剩余定理的表述中国剩余定理可以用如下的形式来表述：对于给定的两两互质的正整数m1, m2, ..., mn，以及任意的整数a1, a2, ..., an，中国剩余定理断言，存在一个解x，使得对于所有的i=1,2,...,n，都有x≡ai(mod mi)。

这个解x是唯一存在的，并且可以用下面的形式来表示：x = a + tM其中a是通解，t是任意整数，M是m1, m2, ..., mn的最小公倍数，即M=lcm(m1, m2, ..., mn)。

2. 中国剩余定理的应用在数论和密码学等领域中，中国剩余定理有着广泛的应用。

例如，可以利用中国剩余定理来解决一些测定一些重要的数学问题，如幂模运算、循环小数、素数和因数分解等问题。

在密码学中，中国剩余定理也被广泛应用。

例如在RSA公钥密码系统中，中国剩余定理能够加速大数的幂模运算，从而大大提高RSA的加密和解密速度。

3. 中国剩余定理的证明中国剩余定理的证明是通过数学归纳法来完成的。

首先我们可以证明当n=2时定理成立，然后利用数学归纳法来证明对于任意n都成立。

具体来说，我们首先假设对于n=k（k≥2）时定理成立，即对于任意的m1, m2, ..., mk，以及任意的整数a1, a2, ..., ak，能够找到一个解x使得x≡ai(mod mi)。

然后我们来考察下一个情况，即n=k+1时定理成立。

我们可以利用n=k时的结果来构造一个新的解x'，然后利用一些数论知识来证明x'也满足n=k+1时的情况。

通过这样的数学归纳法的证明，我们可以得出中国剩余定理的正确性。

谈“中国剩余定理”小学解法谈“中国剩余定理”小学解法前问题解答中所涉题目属于“中国剩余定理”，也称为鬼谷算，还叫隔墙算，或称为韩信点兵等。

“中国剩余定理”是公元5-6世纪、我国南北朝时期的一部著名算术著作《孙子算经》中的一个“物不知数”的解法问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？答曰：二十三。

解法后来归结为口诀诗：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

这诗的口诀的解法是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就得到所求的数。

如上题解：70×2+21×3+15×2=233， 233-105×2=23但这种解法比较局限，只能是除以3，5，7的，其它的就无法解。

“中国剩余定理”实质是初等数论解一元一次同余式方程组，按小学培优是不定方程组，这对于小学生来讲，无疑过于深奥和复杂。

所以小学涉及到的题目往往比较特殊，因而可以分类使用特殊简单的方法解答。

当然一般复杂的也可使用稍复杂的通解，现整理如下：第一类：余数相同或除数与余数的差相同，那么解答的方法是：除数的公倍数加上相同余数或除数的公倍数减去相同的除数与余数的差。

再根据要求加，减公倍数。

如：题1，一个数在100到200之间，除以3余2，除以5余2，除以7余2，这个数是几？解，最小是2，加上（3，5，7）的公倍数105得2+105=107.题2，一个数一个数在100到200之间，除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个数是几？解，3-2，5-4，7-6的差是1，所以（3，5，7）的公倍数105减去1得105-1=104昨天问题解答题：一列队伍中的人数比20多，比30少。

按1，2，3，4报数，最后一个人报3，按1，2，3报数，最后一个人报2。

这列队伍的人数是多少？解，差是1，在20到30之间，4和3的公倍数24减1 得24-1=23第二类，部分同第一类，分两步，先按第一类解答出第一步，在试算出第二步。

中国剩余定理简单公式中国剩余定理，又称孙子定理，是一种用来求解一类模线性方程组的方法。

它的基本思想是将一个复杂的方程组化简成一些简单的方程，并通过求解这些简单方程来得到原方程的解。

中国剩余定理的简单公式可以表示为：假设给定一组模数m1, m2, ..., mn，并且这些模数两两互素（即最大公约数为1），同时给定一组余数a1, a2, ..., an，那么存在一个整数x，满足以下条件：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)其中≡表示'同余'关系，即两个数除以某个数的余数相等。

中国剩余定理的求解过程可以按照以下步骤进行：1. 计算模数的乘积M = m1 * m2 * ... * mn。

2. 计算每个模数除以M的余数Mi，即 Mi = M / mi。

3. 计算Mi关于模数mi的乘法逆元ni，即满足 Mi * ni ≡ 1 (mod mi)。

4. 计算解x，即 x = (a1 * Mi * ni + a2 * Mi * ni + ... + an * Mi * ni) % M。

通过以上步骤，就可以得到模线性方程组的解x。

中国剩余定理在密码学、编码理论、计算机科学等领域有着重要的应用。

它可以高效地求解大数模运算问题，同时也可以用来对数据进行加密和解密，保护数据的安全性。

此外，中国剩余定理还可以用来加速计算，提高算法的效率。

总结起来，中国剩余定理是一种非常有用的数学工具，它通过将复杂的方程组转化为简单的方程，大大简化了问题的求解过程。

无论是在理论研究还是实际应用中，中国剩余定理都具有重要的价值和意义。

1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（ChineseRemainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，-=233105128-=，12810523为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115++是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不a b c一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

中国剩余定理公式中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是数论中的一个重要定理，它提供了一种解决一组同余方程的方法。

这个定理最早由中国数学家孙子在《孙子算经》中给出，后来由法国数学家孟德尔在17世纪将其形式化并证明。

中国剩余定理在现代密码学、编码及计算机科学等领域中得到广泛应用。

首先，我们来看一个简单的例子来理解中国剩余定理的基本思想。

假设有一个装满了一百个鸡蛋的蛋筐，如果每十二个蛋放进一个篮子，那么这些蛋需要放在多少个篮子里？我们可以用模运算来解决这个问题。

我们首先计算100除以12的商和余数，即100÷12=8余4、商表示放入篮子的个数，余数表示篮子中剩余的蛋数。

因此，我们需要8个篮子，并且还剩下4个蛋。

这个例子中就是使用了中国剩余定理。

定理的正式表述为：如果有一组模数互质的同余方程组{x ≡ a1 (mod n1), x ≡ a2 (mod n2), ..., x ≡ ak (mod nk)}，其中n1、n2、…、nk为正整数，a1、a2、…、ak为任意整数，而且n1、n2、…、nk两两互质，那么同余方程组在模n = n1 × n2 × … × nk下有唯一解。

中国剩余定理的解法可以通过构造一个同余方程组{x ≡ a1 (modn1), x ≡ a2 (mod n2), ..., x ≡ ak (mod nk)}，其中n1、n2、…、nk为给定的模数，a1、a2、…、ak为给定的余数。

然后我们找到这个同余方程组在模n = n1 × n2 × … × nk下的唯一解。

具体步骤如下：1. 计算n = n1 × n2 × … × nk。

2. 对于每一个i，计算Ni = n / ni。

3. 对于每一个i，计算Mi，使得Mi × Ni ≡ 1 (mod ni)。

可以使用扩展欧几里得算法来计算Mi。

中国剩余定理的全部内容我们在此，把中国剩余定理说得清清楚楚，明明白白，方便教师教学，学生学习和理解。

该定理说穿了，是不需要证明的，是因为，每一个剩余数的存在都是必然的，唯一的。

理由如下：1、素数当A，B，C，D，…，H为不同的素数时，有：因它们为不同的素数，所以，它们之间是不能相互整除的。

自然数除以A的余数分为0，1，2，3，…，A-1，共A种不同的选择，除以其它素因子的余数也是一样，分别为B，C，D，…，H种不同的选择。

这些不同的余数按排列组合共为A*B*C*D*…*H种排列，即在除以素数A，B，C，D，…，H中各选择一个余数，为在A*B*C*D*…*H之内的一个具体的数，它们是一一对应的，必然存在的，所以，这是无需证明的。

例，某数为M，M/3余1，M/5余3，M/7余2，M/11余5，求M＝？因为，M在3*5*7*11中是唯一的，所以，我们就采取计算唯一数的方法：（1）、满足除以11余5的数为等差数列5+11N，（2）、将5+11N取7项：5，16，27，38，49，60，71，只有16满足除以7余2，因11*7＝77，得新等差数列16+77N，（3）、将16+77N取5项：16，93，170，247，324，只有93除以5余3，因77*5＝385，得新等差数列93+385N，（4）、将93+385N取3项：93，478，863，得478为满足这些条件的数，因385*3＝1155，即478+1155数列的所有项都满足这些条件。

2、单合数如果，前面所列的素因子中，不包括素数P，S，D，那么，不论是P，S，D，还是P的N次方，S的K次方，D的Z次方都不能被A，B，C，D，…，H整除，那么，自然数除以P的N次方的余数同样有P的N次方个不同的选择，除以S的K次方的余数同样有S的K次方个不同的选择，除以D的Z次方的余数同样D 的Z次方个不同的选择，同样按排列组合在A*B*C*D*…*H*（P的N次方）*（S 的K次方）*（D的Z次方）内，对除以A，B，C，D，…，H，P的N次方，S 的K次方，D的Z次方各选择一个余数，对应这之内的一个数，都是一一对应的，必然存在的。

中国剩余定理证明方法我想和你聊聊一个超级酷的数学定理——中国剩余定理。

这定理就像是一把神秘的数学钥匙，能打开好多看似复杂得让人头疼的锁呢！咱先从一个简单的例子说起吧。

想象有这么一个情景，小明、小红和小李在玩数字游戏。

小明说他有一些苹果，这些苹果除以3余1；小红说她也有一些苹果，这些苹果除以5余3；小李说他的苹果除以7余2。

现在要算出最少有多少个苹果，这可怎么算呢？这就可以用到中国剩余定理啦。

中国剩余定理其实在很早以前就被咱们聪明的中国古代数学家发现了。

它的核心思想呢，有点像把不同的条件“拼凑”在一起找到一个满足所有条件的解。

那怎么证明这个定理呢？咱们先得了解同余的概念。

同余就像是一群数字在按照相同的“节奏”跳动。

比如说，10和13除以3都是余1，那我们就说10和13对于模3是同余的。

这就好比一群小伙伴按照3个一组排队，10和13都排在同一位置呢。

现在咱们来正式证明中国剩余定理。

假设我们有一组两两互质的数，比如说m₁, m₂, …, mₙ。

我们要找到一个数x，使得x满足x ≡ a₁ (mod m₁), x ≡ a₂ (mod m₂), …, x ≡ aₙ (mod mₙ)。

我们先对每个mᵢ做一些处理。

我们构造一个数M，M = m₁× m₂× …× mₙ。

然后对于每个mᵢ，我们再构造一个Mᵢ = M / mᵢ。

比如说，我们有m₁ = 3，m₂ = 5，m₃ = 7，那么M = 3×5×7 = 105，M₁ = 105 / 3 = 35，M₂ = 105 / 5 = 21，M₃ = 105 / 7 = 15。

这时候就有个很巧妙的地方啦。

我们要找到一个数yᵢ，使得Mᵢyᵢ≡ 1 (mod mᵢ)。

这就像是在每个单独的“小队伍”（以mᵢ为模的同余类）里找到一个特别的“代表”。

这可不容易找呢！不过通过一些计算方法是可以找到的。

比如说对于m₁ = 3，M₁ = 35，我们要找到y₁使得35y₁ ≡ 1 (mod 3)，经过计算可以发现y₁ = 2。

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。

这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。

①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。

如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。

解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20，23， 26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。

1. 六年级奥数中国剩余定理及余数性质拓展学生版2. 掌握中国剩余定理的核心思想,并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题〈1〉趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945〈注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积〉,然后再加3,得9948〈人〉。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。

中国剩余定理〈Chinese Remainder Theorem 〉在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

〈2〉趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位,他在解答“物不知其数”问题〈即：有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何？〉时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为“中国剩余定理”〈Chinese Remainder Theorem 〉,是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀,是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝,是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半,是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知,是说把上面乘得的3个积加起来,减去105的倍数,减得差就是所求的数．知识点拨 教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数,21乘5除所得的余数,15乘7除所得的余数,把这3个结果加起来,如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大,则继续减去105,最后所得的整数就是所求．也就是-=-=,12810523270321215233⨯+⨯+⨯=,233105128为什么70,21,15,105有此神奇效用？70,21,15,105是从何而来？先看70,21,15,105的性质：70被3除余1,被5,7整除,所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1,被3与7整除的数,因此21b是被5除余b,被3与7整除的数；同理15c是被7除余c,被3、5整除的数,105是3,5,7的最小公倍数．也就是说,702115++是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数,这个数可能是解答,但不一a b c定是最小的,因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后,对类似于上面的题目,我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。

中国剩余定理古代数学的光辉业绩——中国剩余定理我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？”这里的几何指多少的意思。

翻译成数学语言就是：求正整数N，使N 除以3余2，除以5余3，除以7余2。

如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。

术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。

以二百一十减之，即得。

凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。

一百六以上，一百五减之，即得。

”过了一千多年，到了十六世纪，数学家程大位在他所著的《算法统宗》里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得之。

歌诀的前三句给出了三组数，后一句给出了一个数：3 705 217 15105三组数的共同特征是：70除以3余1，除以5、7余0；21除以5余1，除以3、7余0；15除以7余1，除以3、5余0。

首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。

然后，他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。

70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。

2×70满足原题第一个余数条件，且被5、7整除。

3×21满足原题第二个余数条件，且被3、7整除。

2×15满足原题第三个余数条件，且被3、5整除。

统统相加得和：N=2×70+3×21+2×15=233。

N必然满足原题所有三个余数条件。

但N不一定是最小的。

歌诀最后一句“除百零五便得知”，这里“除”的意思是“减”，意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。

这个23就是问题的最小解。

这最后一句也可以理解为N除以105的余数就是问题的最小解。

中国古代数学有一个传统，总是以具体的数量关系表示一般的规律。

中国剩余定理例题解法
中国剩余定理，又称“中国余数定理”，是一种中国古代数学概念，可以用来解决数学上关于模线性方程组（Modular Linear Equations）的更多复杂问题。

中文剩
余定理指的是事件发生“先后”之间的比例。

例如，“中国剩余定理”可用来解决一个名为“四个值的线性方程组”的问题。

假设有4个数：a、b、c、d，其中a + b = c + d 并且 b = a + c，则根据中国余数定理
可以求出 a、b、c、d 的值。

此时，我们可以将此等式拆分为“a ≡ c (mod b)”，并且“a ≡ d (mod c)”，也就是说a与c、d在b、c这两个数模上一定有某一关系。

在中国的古代数学中，推出了用于计算a、b、c、d的公式，可以通过让其输入求得最终
结果。

同样地，中国剩余定理也可以用来解决一些更为复杂的模数方程组，具体来说，就是可以解决多元模线性方程，这些方程组涉及数量更多，当中出现的变量也更多。

例如，对于一个4元一次模线性方程组：a + b ≡ c (mod d)，a + c ≡ d (mod b)，a + d ≡ b (mod c)，可以使用中国剩余定理推出用于求解的方法，从而可以求出a、b、c、d 的值。

除此之外，中国剩余定理还广泛应用于加密技术中，比如RSA和Elliptic
Curve Cryptography等。

一般来说，加密算法需要一个可随机改变的密钥，而中国
剩余定理可以用来在求解大数表达式的方法中来产生这种随机密钥，使得加密算法受到保护。

总之，中国剩余定理是一种具有悠久历史的中国数学概念，可以用来解决模线性方程。

它广泛应用于数学当中，也是一种重要的加密技术。

剩余定理简单公式摘要：1.剩余定理简介2.剩余定理公式推导3.剩余定理应用示例4.结论正文：剩余定理，又称中国剩余定理，是一种在数论中解决同余问题的方法。

它可以用来求解一组同余方程组，尤其适用于求解模素数的情况。

剩余定理基于模运算的性质，具有一定的数学美感。

首先，我们来推导剩余定理的公式。

设有m1, m2, ..., mn 和a1, a2, ..., an 两个分别模m1, m2, ..., mn 同余的数列，我们可以得到以下等式：a1 ≡ a1 (mod m1)a2 ≡ a2 (mod m2)...an ≡ an (mod mn)将上述等式相乘，得到：a1 * a2 * ...* an ≡ a1 * a2 * ...* an (mod m1 * m2 * ...* mn)由乘法分配律，上式可以变形为：a1 * a2 * ...* an ≡ a1 * a2 * ...* an * 1 ≡ a1 * a2 * ...* an * (1 + m1 * m2 * ...* mn k) (mod m1 * m2 * ...* mn)其中k 为满足m1 * m2 * ...* mn k ≡ 1 (mod m1 * m2 * ...* mn) 的整数。

接下来，我们来看一个剩余定理的应用示例。

假设我们需要求解以下同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 5 (mod 7)根据剩余定理，我们可以将问题转化为求解以下同余方程：x * (1 + 3 * 7 k1) ≡ 2 * (1 + 3 * 7 k2) (mod 3 * 7)x * (1 + 3 * 7 k1) ≡ 5 * (1 + 3 * 7 k3) (mod 3 * 7)其中k1, k2, k3 为满足1 + 3 * 7 k1 ≡ 1 (mod 3), 1 + 3 * 7 k2 ≡ 1 (mod 7), 1 + 3 * 7 k3 ≡ 1 (mod 3 * 7) 的整数。

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。

这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。

① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23…它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11…除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29…它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。

如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。

解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26…再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28…这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30…就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。