五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法(A
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中国剩余定理（模板+详解）
中国剩余定理（模板+详解）问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：⼏个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
小学奥数教程之-中国剩余定理 及余数性质拓展 (90) (含答案)
（2）趣题二
我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为 “中国剩余定理 ”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以 3 所得的余数用 70 乘． 五树梅花廿一枝，是说除以 5 所得的余数用 21 乘． 七子团圆正月半，是说除以 7 所得的余数用 15 乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的 3 个积加起来，减去 105 的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用 70 乘 3 除所得的余数，21 乘 5 除所得的余数，15 乘 7 除所得的 余数，把这 3 个结果加起来，如果它大于 105，则减去 105，所得的差如果仍比 105 大，则继续减去 105， 最后所得的整数就是所求．也就是 2 × 70 + 3× 21 + 2 ×15 =233 ， 233 −105 = 128 ，128 −105 = 23 为什么 70，21，15，105 有此神奇效用？70，21，15，105 是从何而来？ 先看 70，21，15，105 的性质：70 被 3 除余 1，被 5，7 整除，所以 70a 是一个被 3 除余 a 而被 5 与 7 整除的数；21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此 21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理 15c 是被 7 除余 c，被 3、5 整除的数，105 是 3，5，7 的最小公倍数．也就是说， 70a + 21b + 15c 是被 3 除余 a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数． 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．
我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为 “中国剩余定理 ”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以 3 所得的余数用 70 乘． 五树梅花廿一枝，是说除以 5 所得的余数用 21 乘． 七子团圆正月半，是说除以 7 所得的余数用 15 乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的 3 个积加起来，减去 105 的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用 70 乘 3 除所得的余数，21 乘 5 除所得的余数，15 乘 7 除所得的 余数，把这 3 个结果加起来，如果它大于 105，则减去 105，所得的差如果仍比 105 大，则继续减去 105， 最后所得的整数就是所求．也就是 2 × 70 + 3× 21 + 2 ×15 =233 ， 233 −105 = 128 ，128 −105 = 23 为什么 70，21，15，105 有此神奇效用？70，21，15，105 是从何而来？ 先看 70，21，15，105 的性质：70 被 3 除余 1，被 5，7 整除，所以 70a 是一个被 3 除余 a 而被 5 与 7 整除的数；21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此 21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理 15c 是被 7 除余 c，被 3、5 整除的数，105 是 3，5，7 的最小公倍数．也就是说， 70a + 21b + 15c 是被 3 除余 a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数． 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．
中国剩余定理知识点总结
中国剩余定理知识点总结在初等数论中，我们经常会遇到形如x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)的线性同余方程组，其中ai和mi都是整数，m1, m2, ..., mn是两两互质的正整数。
中国剩余定理就是解决这类问题的重要方法。
下面我们来详细介绍一下中国剩余定理的一些基本知识点。
1. 中国剩余定理的表述中国剩余定理可以用如下的形式来表述：对于给定的两两互质的正整数m1, m2, ..., mn，以及任意的整数a1, a2, ..., an，中国剩余定理断言，存在一个解x，使得对于所有的i=1,2,...,n，都有x≡ai(mod mi)。
这个解x是唯一存在的，并且可以用下面的形式来表示：x = a + tM其中a是通解，t是任意整数，M是m1, m2, ..., mn的最小公倍数，即M=lcm(m1, m2, ..., mn)。
2. 中国剩余定理的应用在数论和密码学等领域中，中国剩余定理有着广泛的应用。
例如，可以利用中国剩余定理来解决一些测定一些重要的数学问题，如幂模运算、循环小数、素数和因数分解等问题。
在密码学中，中国剩余定理也被广泛应用。
例如在RSA公钥密码系统中，中国剩余定理能够加速大数的幂模运算，从而大大提高RSA的加密和解密速度。
3. 中国剩余定理的证明中国剩余定理的证明是通过数学归纳法来完成的。
首先我们可以证明当n=2时定理成立，然后利用数学归纳法来证明对于任意n都成立。
具体来说，我们首先假设对于n=k（k≥2）时定理成立，即对于任意的m1, m2, ..., mk，以及任意的整数a1, a2, ..., ak，能够找到一个解x使得x≡ai(mod mi)。
然后我们来考察下一个情况，即n=k+1时定理成立。
我们可以利用n=k时的结果来构造一个新的解x'，然后利用一些数论知识来证明x'也满足n=k+1时的情况。
通过这样的数学归纳法的证明，我们可以得出中国剩余定理的正确性。
五年级培优 竞赛 二合一 精讲系列之9 余数(例题 练习 课后作业一条龙)
第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数 5-5-4 余数性质(二).教师版
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0知识点拨教学目标5-5-4.余数性质（二）这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学奥数5-5-4 余数性质(二).专项练习及答案解析
1.学习余数的三大定理及综合运用 2.理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
数论之余数问题
数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a〔b=q……r，也就是a＝b〓q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23〓16除以5的余数等于3〓1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23〓19除以5的余数等于3〓4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
奥数数论题库17-余数问题_知识例题精讲
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
知识点拨教学目标5-6余数问题例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
奥数巧方法之弃九法
奥数巧方法之弃九法奥数我们知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。
有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。
利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。
例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。
分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。
只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。
口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。
所以这个多位数除以9余1。
例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：首先想到的能是利用高斯求和法，因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之和，与1＋2＋…＋100除以9的余数相同。
很容易得出和是5050。
因为5050的数字和为5＋0＋5＋0=10，利用弃九法，弃去一个9余1，故5050除以9余1。
因此题中的数除以9余1。
现再讲一种方法。
因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。
中国剩余定理
5.中国剩余定理
❖ 公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物 不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二， 问物几何？”答为“23”。也就是求同余式组x≡2 （mod3）， x≡3 （mod5 ），x≡2 （mod7）（式中a≡b （modm）表示m 整除a－b ）的正整数解。
❖ 求解如下形式的同余方程组
x a1 (modm1 )
x
a2
(modm2
)
x ar (modmr )
其中：ai , mi Z ，1 i r ，gcd(mi , m j ) 1，i j 。
❖ 令r个整数 m1, m2 ,, mr两两互素，a1, a2 ,, ar是任意r个整数，
❖ 解 此时m=5*6*7*11=2310
M1=6*7*11=462，
M2=5*7*11=385
M3=5*6*11=330，
M4=5*6*7=210
因为M’iMi≡1(modmi),i=1,2,3,4
得到M’1=3,M’2=1,M’3=1,M’4=1
故x≡3*462*b1+385b2+330b3+210b4(mod2310)
除数 余数 最小公倍数 衍数 乘率 各总
答数
最小 答数
32
5*7 2 35*2*2
140+ 2335 3 3*5*7=105 7*3 1 21*1*3 63+30 2*105
=233 =23
72
3*5 1 15*1*2
例 有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人， 每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？
则r个同余方程组
x ai mod（m其i 中
1 i ） r 模
❖ 公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物 不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二， 问物几何？”答为“23”。也就是求同余式组x≡2 （mod3）， x≡3 （mod5 ），x≡2 （mod7）（式中a≡b （modm）表示m 整除a－b ）的正整数解。
❖ 求解如下形式的同余方程组
x a1 (modm1 )
x
a2
(modm2
)
x ar (modmr )
其中：ai , mi Z ，1 i r ，gcd(mi , m j ) 1，i j 。
❖ 令r个整数 m1, m2 ,, mr两两互素，a1, a2 ,, ar是任意r个整数，
❖ 解 此时m=5*6*7*11=2310
M1=6*7*11=462，
M2=5*7*11=385
M3=5*6*11=330，
M4=5*6*7=210
因为M’iMi≡1(modmi),i=1,2,3,4
得到M’1=3,M’2=1,M’3=1,M’4=1
故x≡3*462*b1+385b2+330b3+210b4(mod2310)
除数 余数 最小公倍数 衍数 乘率 各总
答数
最小 答数
32
5*7 2 35*2*2
140+ 2335 3 3*5*7=105 7*3 1 21*1*3 63+30 2*105
=233 =23
72
3*5 1 15*1*2
例 有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人， 每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？
则r个同余方程组
x ai mod（m其i 中
1 i ） r 模
小学数学奥赛5-5-4 余数性质(二).学生版
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学奥数-余数问题-完整版题型训练
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
小学奥数—同余问题
数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小升初奥数数论剩余定理要点及解题技巧
小升初奥数数论剩余定理要点及解题技巧【篇一】中国剩余定理的由来韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少?首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然后再加3，得9948(人)。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
」孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
【篇二】中国剩余定理在数论中的地位中国剩余定理是数论四大定理(威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理)之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。
中国剩余定理问题的解题技巧【问题】有1个数，除以7余2.除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少?这种问题称为“中国剩余定理”问题。
我一般用两种方法解决这类问题。
第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。
第二种是最小公倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。
还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。
所以一般不用。
下面分别介绍一下常用的两种方法。
通用的方法：逐步满足法【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。
小学奥数余数问题[1]
![小学奥数余数问题[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/1f257a585022aaea988f0f1c.png)
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。
2.余数的乘法定理5-6余数问题教学目标知识点拨例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
(word完整版)弃九法
弃九法在数学运算中，有些题目涉及到大数的计算，大数计算时通常采用尾数法。
尾数法中,涉及一种特殊的计算方法，叫做弃九法，“弃九法"也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减计算的结果是否错误。
一、定义把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数(和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数.且一个数的弃九数与该数除以9的余数相同.【例如】3217：3＋2＋1＋7＝13（去掉1个9）1＋3＝4 （我们就称最后的4为弃九数）。
二、求解步骤1.在计算时，将算式中的各个数字除以9，留其余数进行相同的计算(或算出各数的弃九数进行计算)；2.计算时，如有数字不在0—8之间，通过加上或减去9或9的倍数到达0—8之间；3．将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照,得到答案。
特别说明:本方法只建议考生在+、—、×运算中使用。
三、演算步骤1．验算加法851＋346＝1198是否成立？【解析】因为8+5+1=14，1+4=5，所以851的弃九数是5；3+4+6=13，1+3=4，则346的弃九数是4。
而1+1+9+8=19，1+9=10，1+0=1,说明1198的弃九数是1，且5＋4 ≠1,则等号不成立。
2．验算减法1345－732＝613是否成立？【解析】因为1+3+5+4=12,1+2=3，所以1345的弃九数是3;7+3+2=12，1+2=3，所以732的弃九数是3，则6+1+3=10，1+0=1，所以613的弃九数是1,3—3=0≠1，所以等式不成立。
3．验算乘法（公考中涉及的题型）46876×9537＝447156412是否成立?【解析】因为4+6+8+7+6=31,3+1=4，所以46876的弃九数是4；9+5+3+7,=24，2+4=6,9537的弃九数是6，4+4+7+1+5+6+4+1+2=35，3+5=8，则447156412的弃九数是8，4×6=24，2+4=6≠8，则等式不成立。
中国剩余定理
中国剩余定理中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种数论中的重要定理，用于求解一类关于模数不互素的同余方程组。
该定理由中国古代数学家孙子（Sunzi）在《孙子算经》中首次提出，因此得名。
中国剩余定理的核心思想是将一个复杂的同余方程组转化为一组简单的同余方程，然后通过求解这些简单方程来得到原方程的解。
中国剩余定理的应用广泛，不仅在数论中有重要的地位，还在密码学、编码理论、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
中国剩余定理的具体表述如下：设n1, n2, , nk为k个正整数，它们两两互素，即gcd(ni, nj) = 1 (i ≠ j)。
给定k个整数a1, a2, , ak，求解同余方程组：x ≡ a1 (mod n1) x ≡ a2 (mod n2) . x ≡ ak (mod nk)中国剩余定理告诉我们，如果k个正整数n1, n2, , nk两两互素，那么对于给定的任意k个整数a1, a2, , ak，上述同余方程组一定存在解，并且解唯一模n = n1 * n2 * , * nk。
具体的解可以通过如下步骤求得：1.计算N = n1 * n2 * . * nk。
2.对于每个i，计算Ni = N / ni。
3.对于每个i，计算Mi = Ni^(-1) mod ni，其中Ni^(-1)是Ni在模ni下的逆元。
4.计算x = (a1 * N1 * M1 + a2 * N2 * M2 + . + ak * Nk * Mk) mod N。
通过上述步骤，我们可以得到方程组的唯一解x，满足x ≡ ai (mod ni) (1 ≤ i ≤ k)。
中国剩余定理的证明较为复杂，可以利用数论中的一些基本定理和性质进行推导。
但无论是证明还是应用，中国剩余定理都是一个非常有用的工具。
在密码学中，中国剩余定理被广泛应用于RSA算法的加密和解密过程中，以提高计算效率。
在编码理论中，中国剩余定理可以用于设计纠错码，提高数据传输的可靠性。
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五年级奥数.数论•中国剩余定理及弃九法（A【例门将1至2（X）8这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数； 12345678910111213 - 20072008,试求这个多位数除以9的余数.【考氏】弃九法【堆废】3冕【題型】解察【妙析】以19992000 IX个八伎数为例，它放9冷的余数等于（149厶949424040 + 0）被9除的余数，但是由于1999与（14-9 + 94-9）^ 9徐的余数相同，20CO与（2 4-04 04-0J被9除的余數相同，曲以19992000就与（iw 2（扌械9除的余数相同.由此可得.从1开於的自然数12345678910111213•- 2OO72OOS破9於的余数与荊2008个自然敷之和除以9的余秋相同.植猎等差数列求和公式，这个和为：（12008）、2008 =2017036 ,它秋9除的余數为1•另外还可以2利用连埃9个自然敛之和必能坡9楚冷逗个性质，籽腹多位数分成123456789, 101112131415161718・ ................... . 199920002001200220032004200520062007. 2008 爭数，可见它放 9除的余数与2008被9除的余数相同.因此，此数被9冷的余数为1・【答案】1I［矶固H连埃写出从I开始的自然敷,写到2009时停止,得到一个多位1234567891011-19992000, 请说明：这个多位数除以3,得到的余数是几？为什么？【考点】弁九法【难度】3星【题型】解答【关坡词】第六屈，希空杯［分析】因为连续3个白然歎可以被3整除，而且最后一个白產數祁是3的信数，因为1998是3的倍數，所以123456789101 1…W9M是3的倍数，又因为1234567«9101 1 I9992O<M）= 1234567X9101 1 199800：X）0000 + 199—丨斗 1 998 + 2 , 所以1234567891011 - 19992000 冷以3 ,得到的余效是0.【答案】0■例2）将12345678910111213……依次写到第2013个数字，组成一个2013位数，那么此数除以9的余数是 ___________ -【考支】卉九法【难度】3星【題型】填空【解析】本题第一步是实求出第2013个妓字是什么，牌对败牛求和・I〜9共有9个数字，10-99共有90 个两位数，共冇数字:90* 2 = 1X0 （个X 100—999共900个三位数•共有900*3= 2700 （个），所以教连续写.不会写到999•从100开始是3位數.每三个数字衷示一个數，（207 9180）-3 »即有608个三位数，从100开始的第608个三位数是707,因为连绫9个自然敷之和能被9整冷，所以排列起来的9个自然耿也能祓9駐除，707个歎能分成的纽数足：707 4-9 ■兀（纽）……5 ,依次排列后，列702仍轶能被9扭除，但703704705706707中7+3+7444-7+54.7+64-7+7.60, 6W=6.所以余数为 6【答隶】6「巩圍J右2个三位数相乘的积是一个五位数，枳的后四位是7037,第一个数各个位的数字之和是6第二个数的各个位数字之和足8,求两个二位数的和。
【考点】弃尢法【难廃】3星【题型】解答【解析】木题条件仅给出了两个柬数的数牛之和，同时发现乘枳的一部分已经给出，即乘积的f 分数字之和已经蛤出，我们可以来用弃九法原理的便推来构造出原三位數”因为这足一个一定止确竹算式.网以一迄可以满足弃九法的条件.两个三位数险以9的余數分别为7和X,所以等式一边除以9的余敷为2,那么口7037除以9的余歌也必须为2, □只能是3•特37037分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即 37037 - 37x 1001 - )43x259所以两个三位敎是143和259•那么两个三位教的和是402【咨案】402「例打设2O132015的各位数字之和为川，A的各位教字之和为刀，B的各何数字之和为<7 ,加么Cm【考瑕】弃九法【难度】3 < 【题型】填空【解析】由于一个敛除以9的余數与它的各位歌字之和除以9的余数相同，所以2013回'与A. B、C、D除以9都同余•而2013除以9的余数为& 则2013“门除以9的余數与除以9的余数相同，而6?-36除以9的余救为0,所以除以9的余歎为()••另一方面.由于2013" <10000叫严,所以20l3aou的位数不翅过8052位,莎么它的各位敏字之和不4£ii<JxXO52 ■ 7246X , F? 4 < 7246X ；那幺A的8代敏字之和< Mx 5 - 4S , R的參位数字之和C < 9x2 « IX , C小于IX且徐以9的余数为0,那么「为9.【答案】9「讥目了 3个二位数乘积的算式abc x bca x cab = 234235286 (兀中UJ>Q AC)・布校对时，发现右边的积的数7顺序出现锚嵌，但足知道最后一位6是正确的，问原式中的赢是多少？【考点】卉九法【难度】3星【题型】解第【关钱词】2000年，华杯乗【解析】由于 2H2352X6・2 43 4A4 2*34542 4X46・K(mo<19) , abcxbca^cab B (a 4•/> + rf (m(xl9), 于是(4 4^4打彳=*(mod9) »从而(用“40 4<r = 0,l,2…」(mod®)代入上式检验)a +b + cm2」.8(mod9)…⑴,对“进彳亍讨论：如果a・9»那么〃 4 C?二2,5,E(mo<19)…⑵》又.cs £的个位数子是6,斯■以c的个位数字为4bxr可能为4x1、7x2. ”刍、6x4 ,其中只有(bf)= (4」人(8符令⑵•经检验只有 98夕83* 39#328245符合題意.如杲a-8，那么b + c = 3・6・0(mod9)…(3),又bxe的人伎数字为2或7,则〃x c可能为2 x1 .4x3 > 6x2 . 7x6. 7x1,算中只有(b.c) = (2・1)符合(3).经檢验，亦= 821不合题意.如果。
・7,那么fe + r = 4 7J(mAd0)...(4)»则bx可能为4x2. 6x3. K中没有符合⑷的(/>«) • 如果“se,那么 fc S 5 1 Ci4 , ahcxhcaxcah<700x 600x 5fKl = 210fM)0000< 2223345 »6 > 因<匕这时赢不可能甘合题意.加上所述，abc - 983是本题咋一的解.【签策】983「仇“ 一个小F 200的澈它除以11余乳除以13余10.这个数是几？【考点】余数性质综合【难度】3 £ 【题型】解答【解析】根据总结，我们发现这阳个於数与余数的基都等于11-8-13-10-3 ,观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除•所以［4 13)=143,所以这个數是143-3=140.【答隶】140I巩胃)求满足卜列条件的最小自然数；用3除余2,用5除余1,用7除余1。
【考点、】余数性质综合【申度】3星【題型】解笑【解祈】该敷减去1以后是5和7的公倍数・因此我们可以以5和7的公倍數中去弓找签案.下面列举一些同叶被 5 除余 1 > 杭 7 险余 1 的数，即L 36 , 71, 106> 141, 176> 211, 246,……从以上數中寻找最小的被3於余2的敏. 36=0(mod?) , 71=2 ( mod3 > >符合条件的盘小的数足71.【答隶】71［例刀5年级3班冋学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3心排成5行少1人，排成6排多5 人，问上体育课的同学最少—人。
【考点、】余数性质琮合【芈度】2星【题型】填空【关位词】第三屈.小数扌Q初第【解析】題意和当于：除以3余厶除以4余3,除以5余4,除以6余5»这样我们根据总结知道都只能••凑缺”，朋以都缺1,这样班级人数就是［3. 4. 5、6J-1=60-1=59 A.【答案】59I巩岡】右一个口然数，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,则这个数最小是・【考点】余敕徃质综含【难度】2星【题理】填空【关1 2007年，第12屈，华杯賽.五年级，决賽，第7题.10分【解圻】这个数加1能同时2 , 3 , 4 , 5 > 6 除，而［2 , 3 , 4 , 5 , 6J-60 所以这个数最小是 60-1=59.【答案】59「例C 小朋友们要做一次渤物保护'渲传活动，若】人聿3个动物小玩貝，则最右余下2个动物小玩H:廿1人金4个动物小玩民则杲后余F 3个动物小玩艮：片I人拿5个动物小玩民则昂后余卜4动物小切:具。
那么这次活动中小朋友至少拿f ___________ 个动物小圻貝。
【考点】屮国期余定理【艰度】2星【题型】填空【关扯词】2010年，学而思杯，3年圾，第9题【解诉】那么再加一个阮具，玩具总•敦就能同吋被3.4.5整除，能同时被3.4.5整徐最小整敏位60.所以这次活动小朋友至少余了 59个玩具.【答隶】59【孔同】竹一批国书总数在1000本以内，若按24本书包成一抽，则最后一捆差2本；若按28本书包成一拥，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最万一捆是30本.那久这批图书共有本.【考点】余戟性质综合[难度】3星【题型】境空[关技词】2009年，迎春杯，六年级，初赛，3题「解柄】由題意可知，这找书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆全书时，都特恰好分成整■數本•所以这批弔的本釵加上2之后是24, 2X, 32的公倍数，而[24.28.32] = 672 ,所以这批书的本数是672k_2(it是整数).由干这批书少干10(X1 所以ir只能为I ,这批书有f»" &【答案】670本I：例77 —个口然数被7, 8, 9除的余数分别是1, 2. 3,并II三个商数的和是570,求这个口然数.【考点】余數•浊质综合【难度】2星【題型】解答【解析】这个數被7,8.9於的余数分別是1・2,3,所以这个歎加上6后能被7, 8,9整於，^[7.8.9] = 504 , 所以这个數加上6后足504的信數.由于这个以被7, 8, 9除晒三个商数的和是570,那么这个欽加上6后被械7, 8, 9除的三个商数的^^.570 + 14 1 4 1-573 ,而504 + 9 + 5()4 + 8 +5()4+ 7- 7x8 + 7x9-1-8x9-19] , 573 + 191 - 3 .所■以逗个数加上6等于504的3倍，这个欽是504x 3- 6 -1506.【答1500「巩円】数丨19很奇特：当被2除时，余数为1：当被3除时，余数为2：当被4除时，余数为3：当被5 除时，余数为4；肖被6除时，余数为5.问；口有迖种性质的二位数连冇儿个？【考点】余数柱质炼今【难度】3星【越型】解答【解析】|1, 2, 3, 4, 5, 6|-60.三伎数中60的倍数15个.所以，冷了 119外，还有15-1-14 (个). 【答枭】14I例的“民间流传着一则故——，韩信点兵I秦朝木年，楚汉相争.一次，韩信将1500名将I:与楚王大将于锋交战.苦战一场，楚军不敌，败退回苕，汉军也死伤四五百人.忽令后军來报，说台楚军骑兵追来.韩侑便急速点兵迎敌.他命今十兵3人一排，结果多出2名：接着命今七兵5人一排，结果名出3名；他乂命令十兵7人一幷，结果乂多出2名.輔信卩上向将十们宣布；我军冇1073名页匕敌人不足五白；我们居高临下，以众击寡，一定能打败敢人.••根摇故事中的条伴, 你能畀出軸信有多少将士么？【考点】中国利余乂理【玳皮】3冕【题史】解答【分析】也就是说：一个自然数在1(X)0花1100之间.徐以3余2,险以5余3.除以7余2.求符合条件的数.方法一：先列出徐以3余2的教：2. 5, & 11. 14, 17. 20. 23, 26.…；再列出徐以5余3的数：3, 8, 13, 18, 23, 28,…•这两列数中，筲先出现的公共数是X. 3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15＞整数，列出这一率数是8, 23, 38,…，再列出滄以7余2的数2, 9, 16, 23, 30,•- »就得出符合题目条件的最小数是23.而⑶5, 7J-1O5 »我们就把題冃转化为：求1000-1100之间被105冷余23的敦.鞋信有105x10^23 = 1073 (个)将士.方法二：我们先找出被.3 徐余 2 的數：2 , 5 , 8, 11, 14, 17 , 20 , 23 , 26, 29 , 32 , 35 , 38, 4k 44 -;祓 5 除余 3 的欽：3, 8, 13, 18, 23, 2«, 33, 38・43, 48, 53, 58…；被 7 徐余 2 的数：2, 9, 16, 23, 32. 37, 44, 51- •三个条件都符合的最小的数足23,以后的是一次加上3, 5, 7妁公倍敛.直到加到】00() 和1100之间.毎果是2^4. 1()5 K 1() - 1073 .具体到实际的做题过程中时.从较先的除数开％做会方俛一些・方法三：利用租俎位的解法.将题目转化为：求233加上105的倍数在1000 -110()之间的数•通过:尝试可以求出这个数是233 + 105浜8 “073•【答■案】1073「巩同H 一个故除以3、5、7、II的余数分别是2、3、4、5.求符介条件的最小的数.【考点】中国剩余定理【难虔】3星【题垂】解答【解析】法一：特3・5. 7. 11这4个缴3个3个一皑分別计算公倍欵.如表:3.5.7的公倍数屮披11除余5的數不太妤找■但注恚到210除以11余1,所以210x5-105()被II除余5,由此可4v 77(1 4- 693 + 16 5 1 ()50 = 267X是特合条件的一个值，但不是聂小值. 还需要减去3、5、7、11的公倍數使捋它小于它们的最小公倍致.由于3、5、7、1】的最小公信数是1155,所以2678-1155x2-36R是符合条伴的最小值・法二：对于这种趣日，也可以丸求漏足其中3个余数条件的，比知先求满足徐以3、5. 7的余数分别是2. 3、4的，既可采用中囚剩余灾彦，样到70x2-^21x3^15x4 = 263是满足前3 个余飲条件的，从而其中最小的是263-105x2 = 53；由于53徐以11妁余败为9, 105除以11的余數为&,可如Q 4 Aw 7 M 27阶以1 1的金核为5,所以4 W 4 M弘K是満足条件的员小敦.也可以直按观棊发现这个敬束以2之后徐以3. 5、7的余厥分别是4、6. «• 也就是除以3、5、7的余数都是1.所以滿足前三个条舛的戟最小为（3x5x741）42 = 5儿后面的步凍与上劲的解法相同.【答案】53「例9）育一个数.餘以勺余2,除以4余1,问这个数除以12余儿？【考点】余數找质的揺展应用一新中国剩余皮理【难度】3星【题型】解答【关便词】首师丸附中，分班考试【解析】方法一：除以3余2的数有:2> 5. X 11* 14 17. 20. 23•…；它们除以12的余数是：2. 5, 8> 1L 2, 5, 8. 11,…；徐以 4 余 I 的数有：1, 5. 9, 13, 17, 2h 25, 29.…；它们除以12的余数是：1, 5, 9, 1,5, 9■…；一个数除以12的余数是单■一的.上面两行余敷中，只有5是共同的，因此这个数徐以12的余数是5.方法二：一个披，除以3余2,於以4余1,可以理解为除以3舍3十2,除以4余4會1,听以这个敗赢去5后，既能诫3创仝，又能披4整於，设区个數为° ,则—12则.5,（加为自然數）所以这个做除以12余5【各案】5【巩同】有两个数字，甲：除以5余3,除以6余4,除以7余1：乙：除以5余3,除以6余4,除以7 余I,除以15余？，当”？■収儿的时候乙数是存在的，说明理由。