2019届高考理科数学一轮复习练习：第六篇 第2节 一元二次不等式及其解法 Word版含解析

〈0.所以 0W|x+2|〈3,解得一 5〈* 1.所以原不等式的解集为｛”一 5<X1} ?
7. 21 解析 :
对称轴是 ^=3 的抛物线 ,
象如图 D115.
f
关于 / 的一元二次不等式 #一 6/+日冬 0 的解集中有且仅有 3 个整数，贝 1|才
>0
/
=4 一 12 +日 W0,
B|J
[f
=1 一 6 + 白>0,
解集是 (-1,3)? 故选 B.
2. C 解析：当斤 =0 时，原不等式等价于一 2V0, 显然恒成立 ，: ? k= 0 符合题意 . 当
[K0,
斤工 0 时，由题意，得
2
「
.
k 「_4k ? [ 一 k+ <0.
解得一 1</0.???一 l<&W0.
/WO, 3. A 解析：依题意，得—、 2
9. (2016 年北京朝阳统一考试 ) 已知函数代力 =, 一 2 站一 1+臼，臼 WR.
fx ⑴若日 =2,试求函数尸 ~~:— (x>0) 的最小值；
x
(2)对于任意的 xW[0,2], 不等式 f(0W 白成立，试求白的取值范 .
7
I
10. 设 f{x) = ax + bx+ c 9 若 AD =77^ 问是否存在臼， b, c^R,使得不等式 x + T
(2)因为 f{x) —d= x—2ax— 1, 所以要使得 W 圧［0,2］,不等式 fgJ 成立”只要“ , 一 2 站一 1W 0 在［ 0, 2］±恒成 立” .
不妨设 g(x) =x —2ax—\, 则只要 W0 在［0, 2］上恒成立即可 .

2019届高考数学一轮总复习 6.2一元二次不等式及其解法练习一、选择题1．(2014·大纲全国卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋， ①|x |<1， ②由①得，x <－2或x >0， 由②得，－1<x <1，因此原不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C. 答案 C2．已知集合A ＝{x ∈R ||lg|x ||≤1}，B ＝{x ∈Z |x 2－2x －8<0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2，－110)∪(110，4)B ．(－2,0)∪(0,4)C ．{－1,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析 －1<lg|x |<1，110<|x |<10，∴－10<x <－110或110<x <10.A ＝{x |－10<x <－110，或110<x <10} B ＝{x |－2<x <4，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3} A ∩B ＝{－1,1,2,3}，选C.答案 C3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)，故选A.答案 A4．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]解析 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，a －2－a 2＋4a －解得1<a <19.答案 C5．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中的( )A B C D解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x2＋x ＋2的图象开口向下，由－x 2＋x ＋2＝0，得两根分别为－1和2.答案 B6．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.又f (x )的图象开口向下，∴f (x )在[－1,1]上为增函数．∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， ∴b 2－b －2>0， 解得b <－1或b >2. 答案 C 二、填空题7．如果函数f (x )＝(x ＋1)(1－|x |)的图象恒在x 轴上方，则x 的取值集合为________．解析 由题意可将问题转化为解不等式(x ＋1)(1－|x |)>0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－|x |>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，1－|x |<0，解得－1<x <1或x <－1.答案 {x |x <－1或－1<x <1}8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <2，x 2，x ≥2，则满足不等式f (x 2－4)≤f (3x )的x 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <2，x 2，x ≥2，的图象知，函数f (x )在R 上是增函数，则由f (x 2－4)≤f (3x )可得x 2－4≤3x ，解得－1≤x ≤4.答案 [－1,4]9．已知函数f (x )与g (x )的图象关于直线x ＝2对称，若f (x )＝4x －15，则不等式g xx 2－1≥0的解集是________．解析 若f (x )＝4x －15，则g (x )＝f (4－x )＝4×(4－x )－15＝1－4x ， 故不等式g x x 2－1≥0等价于1－4xx 2－1≥0， 即(x －1)(x ＋1)(4x －1)≤0(x ≠1，且x ≠－1) 解得x <－1或14≤x <1.答案 (－∞，－1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 三、解答题10．(2015·湖北黄州月考)已知函数f (x )＝x 2－2x9－x2的定义域为A ， (1)求A ；(2)若B ＝{x |x 2－2x ＋1－k 2≥0}，且A ∩B ≠∅，求实数k 的取值范围．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，解得－3<x <0或2<x <3，∴A ＝(－3,0)∪(2,3)． (2)x 2－2x ＋1－k 2≥0，∴当k ≥0时，x ≥1＋k 或x ≤1－k ， 当k <0时，x ≥1－k 或x ≤1＋k ， ∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1－k ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋k ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，1＋k ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，1－k ≤3，∴k ∈[－4,4]．11．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0， 即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0， 得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2.得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．培 优 演 练1．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.答案 C2．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，＋∞. 答案 A3．关于x 的不等式ax 2－|x ＋1|＋3a ≥0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意得a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋1|x 2＋3max.令y ＝|x ＋1|x 2＋3，则当x ≥－1时，y ＝x ＋1x 2＋3. 由y ′＝－x ＋x －x 2＋2＝0，得x ＝1，所以当－1≤x <1时，y ′>0，y <12，当x >1时，y ′<0，y <12，因此当x ≥－1时，y max ＝12.同理，当x <－1时，y ＝－x ＋1x 2＋3.由y ′＝x ＋x －x 2＋2＝0，得x ＝－3，所以当－3<x <－1时，y ′<0，y <16，当x <－3时，y ′>0，y <16，因此当x <－1时，y max ＝16.综上，当x ∈R 时，y max ＝f (1)＝12，即a ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞4．已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．解 问题等价于f (x )min ≥g (x )max .因为f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2，由f ′(x )>0，得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是[1,3]，单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x 2＋2bx －4，x ∈[1,2]，当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b <1，－12≥2b －5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组，得b <1，解第二个不等式组，得1≤b ≤142，第三个不等式组无解． 综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142.。

2019年高考数学一轮复习：一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取__________，小于号取__________”求解集．4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0 ⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧f（x）g（x）≤0，g（x）≠0.自查自纠1．(1)同解不等式(2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＞ba⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x＜ba a＝0，b＜03．(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间(4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－b 2a ③∅(2016·宜昌模拟)设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1，2)B ．[1，2]C ．[1，2)D ．(1，2] 解：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．故选D .(2016·梧州模拟)不等式2x ＋1<1的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，1)解：因为2x ＋1<1，所以2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，所以x <－1或x >1.故选A .(2016·青海模拟)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－2，2]C ．(－2，2)D ．(－∞，2)解：当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＜0， 所以－2<a <2.当a＝2时，原式化为－4<0，恒成立．所以－2<a ≤2.故选B .(2015·广东)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)解：由－x 2－3x ＋4＞0得x 2＋3x －4＜0，解得－4＜x ＜1.故填(－4，1)．(北京市2017届普通高中会考)如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于________．解：不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，则1，3是方程x 2－ax －b ＝0的两根，由根与系数的关系，得a ＝1＋3＝4，－b ＝1×3＝3，b ＝－3，所以b a ＝81.故填81.类型一 一元二次不等式的解法(1)解下列不等式： (Ⅰ)x 2－7x ＋12＞0； (Ⅱ)x 2－2x ＋1＜0.解：(Ⅰ)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4. 而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(Ⅱ)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1. 而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(2)解关于 x 的不等式 kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R )． 解：①当 k ＝0 时，不等式的解为 x ＞0. ②当 k ＞0 时，若Δ＝4－4k 2＞0，即 0＜k ＜1 时，不等式的解为1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k；若Δ≤0，即 k ≥1 时，不等式无解． ③当 k ＜0 时，若Δ＝4－4k 2＞0，即－1＜k ＜0时，x ＜1＋1－k 2k或x ＞1－1－k 2k；若Δ＜0，即 k ＜－1 时，不等式的解集为 R ； 若Δ＝0，即 k ＝－1 时，不等式的解为 x ≠－1. 综上所述，当k ≥1 时，不等式的解集为∅；当0＜k ＜1 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ； 当k ＝0 时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ； 当k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当k ＜－1时，不等式的解集为R .【点拨】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2)．(1)解下列不等式：(Ⅰ)－x 2－2x ＋3≥0； (Ⅱ)x 2－2x ＋2＞0.解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1. 而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R .(2)(2015·贵州模拟)关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是________．解：原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1，0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4，5]．故填[－3，－2)∪(4，5]．类型二 二次不等式、二次函数及二次方程的关系(1)(2015·贵州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C.{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1} 解：由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，且a ＜0.由韦达定理得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.所以不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1＜x ＜12.故选B .【点拨】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．(2)若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．[0，1)解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B .【点拨】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，画出相应函数的图象后“看图说话”，主要从以下四个方面分析：①开口方向；②判别式；③区间端点函数值的正负；④对称轴x ＝－b2a 与区间端点的关系．本书2.4节有较详细的讨论，可参看．(1)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(Ⅰ)求a ，b ；(Ⅱ)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(Ⅰ)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (Ⅱ)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0， 即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式的解集为∅.(2)(2015·贵州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为________．解：根据题意有f (－2)f (－1)<0，所以(6a ＋5)(2a ＋3)<0.所以－32<a <－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.检验知合要求． 不等式f (x )>1即为－x 2－x ＋1>1，解得－1<x <0. 故填{x|－1＜x ＜0}．类型三 分式不等式的解法(1)不等式1x<1的解集为________．解：1x <1⇔1x －1<0⇔1－x x <0⇔x －1x >0，解得x <0，或x >1.故填(－∞，0)∪(1，＋∞)．(2)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1} 解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B .【点拨】首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0.(1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________．解：x －12x ＋1≤1 ⇔ x －12x ＋1－1≤0 ⇔ －x －22x ＋1≤0 ⇔x ＋22x ＋1≥0. 解法一：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0.得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－12或x ≤－2. 解法二：x ＋22x ＋1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1＜0.得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－12或x ≤－2.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞－12或x ≤－2.(2)(2016·丽水模拟)已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ＋1e －x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.⎣⎡⎭⎫－12，2 B.⎝⎛⎦⎤－1，－12 C ．(－1，e) D ．(2，e)解：由题意得A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}＝{x |－1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >e 或x ≤－12，故A ∩B ＝⎝⎛⎦⎤－1，－12.故选B .类型四 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝⎛⎦⎤0，12， 所以a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x .因为f (x )＝x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫－x －1x max＝－52.所以a ≥－52.解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0⇒a ≥0.(如图1)②⎩⎨⎧0＜－a 2＜12，f ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎨⎧－a 2≥12，f ⎝⎛⎭⎫12≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．{x |1＜x ＜3}B ．{x |x ＜1或x ＞3}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2} 解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （－1）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0⇒x＜1或x ＞3，故选B .【点拨】(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a ＜f (x ))型恒成立问题，再利用a ＞f (x )max (a ＜f (x )min )，求出参数范围．解法二化归为二次函数，由于是轴动区间定，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围．(2)对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围．(3)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)(2016·南昌模拟)对于任意实数x ，不等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－∞，－4]C ．(－4，0)D ．(－4，0] 解：当m ＝0时，不等式显然成立； 当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m <0 得－4<m <0. 综上所述，所求实数m 的取值范围是(－4，0]．故选D .(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围为________．解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3或x ＜1，x ＞1或x ＜－1. 所以x ＜－1或x ＞3.故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的解集的确定，受二次项系数a 的符号及判别式Δ＝b 2－4ac 的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒大于0的条件是a ＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a ＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组.()注：形如f （x ）g （x ）≥0或f （x ）g （x ）≤0的不等式称为非严格分式不等式3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1．不等式x 2－x －2≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1，2] B ．[－1，2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1，2] 解：原不等式⇔(x ＋1)(x －2)≤0，即x ∈[－1，2]，故选B .2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋1≤0，B ＝{x ||x |≤1}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解：A ＝{x |－1<x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，则A 是B 的真子集．故选C .3．(四川省广元市2017届适应性统考(三诊))已知集合A ＝{x |x 2－4x ＜0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，4]B ．(－∞，4)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞) 解：集合A ＝{x |x 2－4x ＜0}＝(0，4)，B ＝{x |x ＜a }＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 满足a ≥4.故选C .4．(2015·湖北模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解：由题意得⎩⎨⎧－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2.则f (x )＝－x 2－x ＋2，所以f (－x )＝－x 2＋x ＋2.故选C .5．(北京朝阳区2017届高三上学期期中)已知函数f (x )＝ax 2－x ，若对任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解：任意x 1，x 2∈[2，＋∞)，当x 1<x 2，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0有f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )＝ax 2－x 在区间[2，＋∞)上是增函数，所以a >0，且函数f (x )＝ax 2－x 对称轴12a ≤2⇒a ≥14.故选D .6．(2016·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1，19]B ．(1，19)C ．[1，19)D ．(1，19]解：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．当a 2＋4a －5≠0时， 应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）＜0， 解得1<a <19.综上1≤a <19.故选C .7．(2015·浙江模拟)不等式log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3的解集为________．解：log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤3⇔log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋6≤log 28⇔0＜x ＋1x ＋6≤8⇔－6＜x ＋1x ≤2.当x ＞0时，x ＋1x≥2，此时x ＝1；当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，此时x ＋1x ＞－6，解得－3－22＜x ＜－3＋2 2.故填(－3－22，－3＋22)∪{1}．8．(广州市2017届高三第一次模拟)已知a <0，关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0的解集是________． 解：原不等式等价为(x －2)(ax －2)>0，即a (x －2)(x－2a)>0，因为a <0，所以不等式等价为(x －2)⎝⎛⎭⎫x －2a <0，所以2a<x <2，即原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2a ，2.故填⎝⎛⎭⎫2a ，2. 9．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解法一：设f (x )＝x 2－ax －a .则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )min ≤－3，即f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a ＋a 24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.解法二：x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔x 2－ax －a ＋3＝0的判别式Δ≥0，解得a ≤－6或a ≥2.10．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，求实数a 的取值范围．解：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （3）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a ＞0，a ＜0，－2＋a ＜0，12＋a ＞0.解得－12＜a＜0.故实数a 的取值范围为(－12，0)．(2016·湖北模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c .(1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点； (2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围．解：(1)证明：由题意知a ＜0，a ＋b ＋c ＝0，且－b2a>1，所以c ＜a ＜0，所以ac >0，所以对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0，所以函数y ＝f (x )必有两个不同零点．(2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝（b －a ）2＋4aca 2＝（－2a －c ）2＋4ac a 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＋8·ca＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知ca＝t ，所以|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．所以|m －n |>13，所以|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解：x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0得－12<x≤1.故选A .2．已知－12<1x<2，则x 的取值范围是( )A ．(－2，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，2 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D .3．(2016·山东枣庄一模)关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( )A ．a <0或a >4B ．0<a <2C ．0<a <4D ．0<a <8解：因为不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充要条件是Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4，所以不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2.故选B .4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则不等式bx 2＋2x －a <0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >3} B ．{x |x <－3或x >2} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}解：由条件得－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，由韦达定理，a ＝－12, b ＝－2，所以bx 2＋2x －a <0即为－2x 2＋2x ＋12<0，解得x <－2或x >3.故选A . 5．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg2}B ．{x |－1<x <lg2}C ．{x |x >－lg2}D ．{x |x <－lg2}解：可设f (x )＝a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)⎝⎛⎭⎫10x －12<0，从而10x <12，解得x <－lg2，故选D .6．(2016·云南模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4，1]B ．[－4，3]C ．[1，3]D ．[－1，3]解：原不等式等价于(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.故选B .7．(2016·广东惠州模拟)不等式9x －7＜－1的解集为________．解：由9x －7＜－1得x ＋2x －7＜0，可化为(x ＋2)(x －7)＜0，解得－2＜x ＜7.故填(－2，7)．8．(2016·西安模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.解：由题意得a 2－4b ＝0，所以b ＝a 24.所以f (x )<c 可化为x 2＋ax ＋a24－c <0，由题意知m 和m ＋6为关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋6＝－a ，m （m ＋6）＝a 24－c ， 所以c ＝a24－m (m ＋6)＝（2m ＋6）24－m (m ＋6)＝9.故填9.9．(2016·西安模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销量就要减少10件．那么要保证该商品每天的利润在320元以上，求其每件售价的取值范围．解：设售价定为每件x 元，利润为y 元，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意，有(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16， 所以每件售价的取值范围为(12，16)(单位：元)． 10．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1]．当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2a，所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞；当－2＜a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a. (2016·郑州模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)． 因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。

第讲 一元二次不等式及其解法板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 一元二次不等式的解法 ．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式＋＋>(>)或＋＋<(>)． ．计算相应的判别式．．当Δ≥时，求出相应的一元二次方程的根． ．利用二次函数的图象与轴的交点确定一元二次不等式的解集．考点 三个二次之间的关系判别式Δ＝－Δ> Δ＝ Δ< 二次函数＝＋＋(>)的图象一元二次方程＋＋＝ 有两相异实根 ， 有两相等实根 ＝＝－ 没有实数根(>)的根(<)＋＋> (>)的解集{>或<}{≠}＋＋<(>)的解集{<<}∅∅[必会结论]．＋＋>(≠)恒成立的充要条件是：>且－<(∈)．．＋＋<(≠)恒成立的充要条件是：<且－<(∈)．[考点自测]．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()若不等式＋＋<的解集为(，)，则必有>.()()若不等式＋＋>的解集是(－∞，)∪(，＋∞)，则方程＋＋＝的两个根是和.()()若方程＋＋＝(≠)没有实数根，则不等式＋＋>的解集为.()()不等式＋＋≤在上恒成立的条件是<且Δ＝－≤.()答案()√()√()×()×．[课本改编]不等式(－)(－)≥的解集为()．{≤≤} ．{≤或≥}．{<<} ．{<或>}答案解析因为(－)(－)≥，所以(－)(－)≤，所以结合二次函数的性。