2021年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学一模试卷(文科精品)

卜人入州八九几市潮王学校定远县重点2021届高三数学5月模拟试题文全卷总分值是150分，考试用时120分钟。

第I 卷选择题〔一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

)，,假设，那么的取值范围是A.B.C.D.:p 直线1:230l x y -+=与2:230l x y ++=:q ()00,x ∃∈+∞，002x x e +>A.()p q ⌝∧ B.p q ∧ C.()p q ∨⌝ D.()()p q ⌝∧⌝4.某四棱锥的三视图如下列图，其中，且.假设四个侧面的面积中最小的为，那么的值是A. B.C.D.5.光线从点射出，经过线段(含线段端点)反射，恰好与圆相切，那么A. B.C.D.A.0B.4C.92-D.172- 7.为比较甲，乙两地某月时的气温，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据〔单位：℃〕制成如下列图的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；③甲地该月时的气温的中位数小于乙地该月时的气温的中位数；④甲地该月时的气温的中位数大于乙地该月时的气温的中位数．其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为A.①③B.①④C.②③D.②④8.“珠算之父〞程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著算法统综中有一首“竹筒容米〞问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节四升五，上梢四节三升八，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，假设有先生能算法，也教算得到天明.〞(〔注〕四升五：升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量．)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，假设点在抛物线的准线上，那么A.1B.2C.2D.2的图象可能是的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，那么函数在区间上的最小值为A. B. C.1D.，假设关于的方程恰有三个不相等的实数解,那么的取值范围是A. B. C. D.第II卷非选择题〔一共90分〕二、填空题(本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分)13.某校高三科创班一共48人，班主任为理解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进展调查，假设抽到的最大学号为48，那么抽到的最号为______．△ABC中，C120°，sinB2sinA，且△ABC的面积为，那么AB的长为____．15.设变量x，y满足约束条件，那么目的函数的最大值为______．16.是上的偶函数，且当时，，那么不等式的解集为__．三、解答题(本大题一一共6小题,一共70分。

2021年安徽省滁州市定远县育才学校高考数学最后一模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2>4}，B={x|(x+1)(x−3)<0}，则(∁R A)∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|−1<x≤2}C. {x|−2<x≤3}D. {x|−2≤x<−1}2.在复平面内，复数z1，z2对应的点关于实轴对称，z1=1+2i，则z1z2=()A. 5B. −5C. 1−4iD. −1+4i3.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|b⃗ |=2√2|a⃗|，且a⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，则向量a⃗，b⃗ 的夹角θ=()A. 3π4B. 2π3C. π3D. π44.2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是()A. 甲的物理成绩领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理化学、历史D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积是()A. 12B. 4+8√2C. 8+4√2D. 4+4√26.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x−1)=2f(x).当x∈(−1,0]时，f(x)=x(x+1).若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≥−89，则实数m的取值范围是()A. [−94,+∞) B. [−73,+∞) C. [−52,+∞) D. [−83,+∞)7.函数f(x)=e x+e−xx−x的图象大致为()A. B.C. D.8.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线与y轴和双曲线右支分别交于A，B两点，若A点平分F1B，则该双曲线的离心率是()A. √3B. √2C. 2D. √339.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，S3=92，则数列{a n}的通项公式a n=()A. nB. n+12C. 2n−1 D. 3n−1210.设a=log23，b=2log32，c=2−log32，则a，b，c的大小顺序为()A. b<c<aB. c<b<aC. a<b<cD. b<a<c11.将函数y=sin(2x+5π6)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=f(x)的图象，下列说法正确的是()A. f(x)是奇函数B. f(x)的周期是π2C. f(x)的图象关于直线x=−π12对称D. f(x)的图象关于点(−π4,0)对称12.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为6的正方形，点E在线段AD上，且满足AE=2ED，过点E作直四棱柱ABCD−A1B1C1D1外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为12π，则直四棱柱ABCD−A1B1C1D1外接球的表面积为()A. 100πB. 80πC. 64πD. 32π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是______ ．14.已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinA=2csinB，cosB=14，b=3，则△ABC面积为______ ．15.设变量x，y满足约束条件{x−y+1≥0y≥1x+2y−5≤0，则z=x+y的最大值为______．16.已知函数f(x)=e x+2x，过点(1,2)作曲线y=f(x)的切线，则函数的切线方程为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3a−csinB=√3bcosC．(1)求角B的大小；(2)若a=3，c=2，D为BC边上一点，CD=15DB，求sin∠BDA的值．18.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x(10≤x≤20，单位：千克)，其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1千克可获利50元；若供大于求，剩余的降价处理，每处理1千克亏损10元；若供不应求，可从其他商店挑拨，每销售1千克可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14千克，商店的日利润为y元．(1)求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580,760]内的概率．19.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，上、下底面均为菱形，点G，H，M分别为AC，B1C1，BC的中点．(1)求证：GH//平面CDD1C1；(2)若∠ABC=π，求证：B1C1⊥平面A1AM．320. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为√32，M 为C 上一点，△MF 1F 2面积的最大值为3√3． (1)求C 的标准方程；(2)设动直线l 过F 2且与C 交于A 、B 两点，过F 1作直线l 的平行线l′，交C 于R 、N 两点，记△RF 2A 的面积为S 1，△NF 2B 的面积为S 2，试问：S 1+S 2是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．21. 已知函数f(x)=e x +x 2−x ．(1)求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)证明：对任意x ∈R ，都有f(x)≥1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+t ⋅cosαy =1+t ⋅sinα(t 为参数，0≤α<π).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ．(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．23.已知函数f(x)=|ax−1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)>2−|x+1|的解集；(2)若x∈(1,2)时，不等式f(x)+|x−1|>x成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握一元二次不等式的解法，掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．先求一元二次不等式的解集得到集合A，B，再进行集合的运算即可．【解答】解：∵x2>4，∴x>2或x<−2，∴∁R A={x|−2≤x≤2}，∵(x+1)(x−3)<0，∴−1<x<3，∴B={x|−1<x<3}，∴(∁R A)∩B={x|−1<x≤2}．故选：B．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了复数的运算，是基础题．利用复数在复平面内几何意义求出z2，再利用复数的运算求解．【解答】解：∵复数z1，z2对应的点关于实轴对称，z1=1+2i，∴z2=1−2i，∴z1z2=(1+2i)(1−2i)=5，故选：A．3.【答案】D【解析】解：非零向量a⃗，b⃗ 满足|b⃗ |=2√2|a⃗|，且a⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，可得：a⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=0，2a⃗2−a⃗⋅b⃗ =0，∴2a⃗2=|a⃗||b⃗ |cosθ，向量a⃗，b⃗ 的夹角θ，cosθ=2|a⃗ |2|a⃗ ||b⃗|=√22．∵θ∈[0,π]，∴θ=π4．故选：D．利用向量的数量积通过向量垂直的充要条件，转化求解向量的夹角即可．本题考查向量的零数量积的求法与应用，向量的夹角的求解，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查对图表数据的分析，进行判断，属于基础题．根据图表进行选项判断，可知C错误．【解答】解：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物(物理)，C选项错，故选：C．5.【答案】C【解析】解：由题意，几何体为底面边长为2的四棱锥，高为2，所以几何体的表面积为：2×2+2×12×2×2+2×12×2×2√2=8+4√2；故选：C．由已知三视图得到几何体为四棱锥，底面为正方形，根据图中数据计算表面积，本题考查了几何体的三视图；由几何体的三视图求几何体的表面积，关键是正确还原几何体．6.【答案】B【解析】解：因为f(x−1)=2f(x)，∴f(x)=2f(x+1)，∵x∈(−1,0]时，f(x)=x(x+1)∈[−14,0]，∴x∈(−2,−1]时，x+1∈(−1,0]，f(x)=2f(x+1)=2(x+1)(x+2)=2(x+32)2−1 2∈[−12,0]，∴x∈(−3,−2]时，x+1∈(−2,−1]，f(x)=2f(x+1)=4(x+2)(x+3)=4(x+52)2−1∈[−1,0]，故存在x ∈(−3,−2]，由4(x +2)(x +3)=−89，解得x =−73或x =−83， 若对任意x ∈[m,+∞)，都有f(x)≥−89，则m ≥−73． 故选：B ．由f(x −1)=2f(x)，可得f(x)=2f(x +1)，根据已知分段求解析式，结合图象可得． 本题考查了函数与方程的综合运用，考查数形结合数形的应用，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}， f(−x)=e −x +e x −x−(−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，当x =1时，f(1)=e+e −11−1=e +e −1−1>0，排除A ，当x →+∞，f(x)→+∞排除D ， 故选：B ．判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排除法是解决本题的关键．比较基础．8.【答案】A【解析】解：F 1(−c,0)，F 2(c,0)， ∵A 在y 轴上，且A 是F 1B 的中点， ∴B(c,b 2a )， ∵∠F 2F 1B =30°， ∴BF 2=√33F 1F 2=2√3c3， ∴b 2a=2√3c 3，即c 2−a 2a=2√3c3， 整理得：√3c 2−√3a 2−2ac =0， ∴√3e 2−2e −√3=0， 解得e =√3或e =−√33(舍)．故选：A．根据A为中点可得BF2⊥x轴，根据直线AB的倾斜角可得BF2=√33F1F2，从而得出a，c的关系，解出离心率e．本题考查了双曲线的简单性质，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：差数列{a n}中，a1=1，S3=92，所以3×1+3d=92，解得，d=12，则数列{a n}的通项公式a n=1+12(n−1)=12n+12．故选：B．由已知结合等差数列的求和公式可求d，然后结合等差数列的通项公式可求．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：b=2log32=log34，c=2−log32=log392，所以c>b，a=log23=log2√9>log2√8=32，因为c=2−log32=log392<log3√27=32，所以a>c，综上a>c>b．故选：A．利用对数的运算性质与对数函数的单调性即可得出．本题主要考查了对数的运算性质与对数函数的单调性的应用，属于中档题．11.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论． 【解答】解：将函数y =sin(2x +5π6)的图象向右平移π6个单位长度， 得到函数y =f(x)=sin(2x −2π6+5π6)=cos2x 的图象，故f(x)是偶函数，最小正周期为2π2=π，故A 、B 错误；令x =−π12，求得f(x)=√32，不是最值，故C 错误；令x =−π4，求得f(x)=0，故f(x)的图象关于点(−π4,0)对称，故D 正确， 故选：D ．12.【答案】B【解析】解：∵四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，且底面是正方形，∴其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O ，过O 向底面ABCD 作垂线，垂足为G ，则OG =12AA 1，连接BD ，∵底面ABCD 是边长为6的正方形，∴G 为BD 的中点，取AD 的中点F ，连接OF ，OE ，OB ，设AA 1=2a ，则OG =a ，∴外接球的半径R =OB =√OG 2+(12BD)2=√a 2+18．∵点E 在线段AD 上，且满足AE =2ED ，则EF =DF −DE =16AB =1， 又FG =12AB =3，∴OF =√a 2+9．∵直四棱柱中，AB ⊥侧面ADD 1A 1，FG//AB ，∴FG ⊥侧面ADD 1A 1， ∴FG ⊥AD ，又OG ⊥底面ABCD ，∴OG ⊥AD ，又FG ∩OG =G ，∴AD ⊥平面OFG ，则OF ⊥AD ． 则OE =√OF 2+EF 2=√a 2+10．根据球的特征，过点E作直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的外接球的截面，当截面过球心时，截面面积最大，此时截面面积为πR2，当OE垂直于截面时，此时截面圆的半径为√R2−OE2．∴此时截面面积为S1=π(√R2−OE2)2=π(R2−OE2).又截面面积的最大值与最小值之差为12π，∴S−S1=πR2−π(R2−OE2)=π⋅OE2=12π，因此a2+10=12，即a2=2，则R=√a2+18=2√5，∴直四棱柱ABCD−A1B1C1D1外接球的表面积为4π×20=80π．故选：B．由四棱柱ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，且底面是正方形，可得其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O，过O向底面ABCD作垂线，垂足为G，连接BD，取AD的中点F，连接OF，OE，OB，设AA1=2a，根据题意求得外接球的半径R=OB=√a2+18，求出OE=√a2+10，再分别求出截面面积最大值域最小值，列方程求解a2，即可求出半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查求几何体外接球的半径，考查直四棱柱及球的结构特征，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．13.【答案】1121【解析】解：共七本，从中任取2本，共有C72=21种，一本也不含杨辉的著作的共有C52=10种，所以从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是11．21．故答案为：1121先求出一本也不含杨辉的著作的概率，再由对立事件的概率求解即可．本题考查了古典概型问题的求解，涉及了对立事件概率的求解，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．14.【答案】9√1516【解析】解：由bsinA =2csinB 结合正弦定理得，ab =2bc 即a =2c ， 因为cosB =14，b =3， 由余弦定理可得14=a 2+c 2−b 22ac=4c 2+c 2−92×2c 2，解得，c =32，a =3， 又sinB =√1−cos 2B =√154，则△ABC 的面积S =12acsinB =12×3×32×√154=9√1516．故答案为：9√1516．由已知结合正弦定理可得a =2c ，然后结合余弦定理可求c ，a ，再利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角平方关系，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．15.【答案】4【解析】解：作出变量x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0y ≥1x +2y −5≤0， 对应的平面区域如图： 变形z =x +y ，得y =−x +z平移此直线，由图象可知当直线y =−x +z 经过A 时，直线在y 轴的截距最大，得到z 最大， 由{y =1x +2y −5=0，解得A(3,1) 所以z =x +y 的最大值为3+1=4． 故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可求出z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．属于中档题．16.【答案】(e 2+2)x −y −e 2=0【解析】解：把点(1,2)代入f(x)=e x +2x 可知，点(1,2)不在曲线上．设切点为(x 0,y 0)，∵f(x)=e x +2x ，∴f′(x)=e x +2，则所求切线的斜率k =e x 0+2.又k =y 0−2x 0−1，∴e x 0+2=y 0−2x 0−1，y 0=e x 0+2x 0，∴x 0=2，∴y 0=e 2+4，∴所求的切线方程为y −(e 2+4)=(e 2+2)(x −2)，即(e 2+2)x −y −e 2=0． 故答案为：(e 2+2)x −y −e 2=0．求出切点坐标，求解切线的斜率，求出切线方程即可．本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算核心素养，是中档题．17.【答案】解：(1)因为√3a −csinB =√3bcosC ，由正弦定理得√3sinA −sinCsinB =√3sinBcosC ， 故√3sinBcosC +√3sinCcosB −sinCsinB =√3sinBcosC ，所以√3sinCcosB −sinCsinB =0， 因为sinC >0，所以sinB =√3cosB ，即tanB =√3， 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3；(2)因为a =3，CD =15DB ， 所以CD =12，DB =52，△ABD 中，由余弦定理得，AD 2=22+(52)2−2×2×52×12=214，所以AD =√212，由正弦定理得AD sinB =ABsin∠BDA ， 故sin∠BDA =2×√32√212=2√77．【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式，诱导公式进行化简可求tan B ，进而可求B ；(2)由已知结合余弦定理先求AD ，然后结合正弦定理可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)根据题意可得：商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为，y ={50×14+30(x −14),14≤x ≤2050x −10(14−x ),10≤x <14,化简得：y ={30x +280,14≤x ≤2060x −140,10≤x <14；(2)①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[10,12)的频率是2×0.08=0.16； 海鲜需求量在区间[12,14)的频率是2×0.12=0.24； 海鲜需求量在区间[14,16)的频率是2×0.15=0.30； 海鲜需求量在区间[16,18)的频率是2×0.10=0.20； 海鲜需求量在区间[18,20]的频率是2×0.05=0.10； ∴这50天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：(11×60−140)×0.16+(13×60−140)×0.24+ (15×30+280)×0.30+(17×30+280)×0.20+ (19×30+280)×0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元)；②由于x =14时，30×14+280=60×14−140=700， 显然y ={30x +280,14≤x ≤2060x −140,10≤x <14在区间[10,20]上单调递增，y =580=60x −140，得x =12； y =760=30x +280，得x =16；∴求日利润y 在区间[580,760]内的概率等价于求海鲜需求量x 在区间[12,16]的频率， 即：0.24+0.30=0.54．∴日利润y 在区间[580,760]内的概率为0.54．【解析】本题主要考查了分段函数模型及解析式的求解、频率分布直方图、平均数以及概率的求法，熟练掌握频率分布直方图是解题的关键，属于一般题． (1)根据题意列出关于y 与x 的关系，化简即可；(2)①首先根据频率分布直方图得出海鲜需求量在每个区间的频率，然后根据(1)的函数式即可求解平均数；②首先根据(1)求出日利润在区间[580,760]对应的x 值，然后根据频率即可求解．19.【答案】证明：(1)取A 1D 1中点M ，AD 中点N ，连结NM 、GN ，∵在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均为菱形， 点G ，H ，M 分别为AC ，B 1C 1，BC 的中点， ∴HM//C 1D 1，MN//D 1D ，NG//DC ，∵HM ∩MN =M ，MN ∩NG =N ，C 1D 1∩D 1D =D 1，D 1D ∩DC =D ，∴平面GNMH//平面CDD 1C 1，∵HG ⊂平面GNMH ，∴GH//平面CDD 1C 1．(2)∵在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均为菱形，∠ABC =π3， ∴△ABC 是等边三角形，BC//B 1C 1，∵M 是BC 中点，∴AM ⊥BC ，∴B 1C 1⊥AM ，∵在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， ∵B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥B 1C 1， ∵AM ∩AA 1=A ，AM 、AA 1⊂平面A 1AM ， ∴B 1C 1⊥平面A 1AM ．【解析】(1)取A 1D 1中点M ，AD 中点N ，连结NM 、GN ，推导出HM//C 1D 1，MN//D 1D ，NG//DC ，从而平面GNMH//平面CDD 1C 1，由此能证明GH//平面CDD 1C 1．(2)推导出△ABC 是等边三角形，BC//B 1C 1，从而B 1C 1⊥AM ，由AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，得AA 1⊥B 1C 1，由此能证明B 1C 1⊥平面A 1AM ．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．20.【答案】解：(1)设椭圆C 的半焦距为c ，由题意，可知△MF 1F 2面积的最大值为bc ， 所以{bc =3√3c a=√32a 2=b 2+c 2，解得a =2√3，b =√3，c =3，所以椭圆的方程为x 212+y 23=1．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k(x−3)，(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立{y=k(x−3)x212+y23=1，得(1+4k2)x2−24k2x+36k2−12=0，所以△=48(1+k2)>0恒成立，所以x1+x2=24k21+4k2，x1x2=36k2−121+4k2，由l′//l，可知S△RF2A =S△F1F2A，S△NF2B=S△F1F2B，所以S1+S2=S△F1F2A +S△F1F2B=12|F1F2|⋅|y1−y2|=3|k|⋅|x1−x2|=3|k|⋅√48(1+k2)1+4k2=12√3×√1+1k21k2+4，令√1+1k2=t，则t>1，所以S1+S2=12√3×tt2+3≤12√3×2√3t=6，(当且仅当t2=3时取等号)，即1+1k2=3，k=±√22时，S1+S2取得最大值，最大值为6，当直线l的斜率不存在时，不妨设A(3,√32)，B(3,−√32)，R(−3,√32)，N(−3,−√32)，则S1+S2=3√3<6，综上，当k=±√22时，S1+S2取得最大值，最大值为6．【解析】(1)将离心率，△MF1F2面积的最大值用a，b，c表示出来，结合a，b，c之间的关系，联立求解，解得a，b，c的值，从而求出椭圆C的标准方程．(2)分两种情况：直线l的斜率存在和直线l的斜率不存在，求S1+S2，结合基本不等式，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：根据题意可得，f′(x)=e x+2x−1，根据函数导数的几何意义即得，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程即为y−f(0)=f′(0)(x−0)∵f(0)=1，f′(0)=0，∴函数y=f(x)在点(0,1)处的切线方程即为：y−1=0⇔y=1．(2)证明：由(1)得，f′(x)=e x+2x−1，∴f“(x)=e x+2>0，即得f′(x)在R上单调递增，又因为f′(0)=0，所以当x >0时，f′(x)>f′(0)=0，此时函数f(x)单调递增；当x <0时，f′(x)<f′(0)=0，此时函数f(x)单调递减；综上可得，函数f(x)在(−∞,0)上单调递减；在(0,+∞)上单调递增． 即得f(x)min =f(0)=1，所以对任意的x ∈R ，都有f(x)≥1．【解析】(1)根据函数导数的几何意义，即可求得函数在点(0,f(0))处的切线方程；(2)根据题意，只需证明函数f(x)在R 上的最小值为1，即可．本题考查函数导数几何意义的使用，以及导数法求解函数单调性，属于基础题．22.【答案】解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =1+t ⋅cosαy =1+t ⋅sinα(t 为参数，0≤α<π)，转换为普通方程为sinαx −cosαy +cosα−sinα=0． 曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4．(Ⅱ)把直线l 的参数方程为{x =1+t ⋅cosαy =1+t ⋅sinα(t 为参数，0≤α<π)，代入(x −2)2+y 2=4，得到：t 2+2(sinα−cosα)t −2=0， 所以t 1+t 2=2(cosα−sinα)，t 1t 2=−2，故|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√12−8sinαcosα， 点O(0,0)到直线l 的距离d =√cos 2α+sin 2α=|cosα−sinα|，所以S △OAB =12×|AB|⋅d =12×√12−8sinαcosα⋅|cosα−sinα|=√3−sin2α⋅√1−sin2α=√(sin2α−2)2−1≤2√2， 当且仅当sin2α=−1，即α=3π4时，等号成立，故△OAB 面积的最大值为2√2．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用，点到直线的距离公式，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，点到直线的距离公式，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =2时，不等式f(x)>2−|x +1|，即|2x −1|>2−|x +1|， 所以{x ≤−11−2x >2+x +1或{−1<x <121−2x >2−x −1或{x ≥122x −1>2−x −1，解得x ≤−1或−1<x <0或x >23， 所以原不等式的解集为{x|x <0或x >23}； (2)若x ∈(1,2)时，不等式f(x)+|x −1|>x 成立， 所以|ax −1|+x −1>x ，所以|ax −1|>1，所以ax >2或ax <0，即a >2x 或a <0在x ∈(1,2)时恒成立， 由2x ∈(1,2)，可得a ≥2，所以a 的取值范围是(−∞,0)∪[2，+∞)．【解析】(1)由题意可得|2x −1|>2−|x +1|，然后利用零点分段法求出不等式的解集； (2)由题意可得|ax −1|>1，从而得到a >2x 或a <0在x ∈(1,2)时恒成立，再运用参数分离法求出a 的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题．。

2021年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A＝{x|x2+x−6<0}，集合B＝{x|x>1}，则(∁R A)∩B＝（）A.[2, +∞)B.(1, 2]C.(1, 2)D.(2, +∞)2. 已知a∈R，i是虚数单位，复数z=a+2i1+i，若|z|=√2，则a＝（）A.0B.2C.−2D.13. 2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为（）A.2 3B.12C.13D.144. 等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3＝7，S6＝63，则a6＝（）A.32B.16C.4D.645. 根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用A i(i＝1, 2,…,10)表示第i个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是（）A.B＝B+A iB.B＝B+A i2C.B＝(B+A i−A)2D.B＝B2+A i26. 若对圆(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点P(x, y)，|3x−4y+a|+|3x−4y−9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（）A.a ≤−4B.−4≤a ≤6C.a ≤−4或a ≥6D.a ≥67. 函数f(x)=cos (πx)x 2的图象大致是（ ）A. B.C. D.8. 已知平面向量a →、b →，满足|a →|＝|b →|＝1，若(2a →−b →)⋅b →=0，则向量a →、b →的夹角为（ ） A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.120∘9. 椭圆C:x 24+y 23=1的左，右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上，且直线PA 2斜率的取值范围是[−2, −1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A.[38, 34] B.[12, 34]C.[12, 1]D.[34, 1]10. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是侧面ADD 1A 1内的动点，且B 1E // 平面BDC 1，则直线B 1E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( ) A.√33 B.13C.√22D.1211. 定义在R 上的连续函数f(x)满足f(x)+f(−x)＝x 2，且x <0时，f ′(x)<x 恒成立，则不等式f(x)−f(1−x)≥x −12的解集为（ ） A.(−∞,12]B.(−12,12)C.[12,+∞)D.(−∞, 0)12. 已知关于x 的方程sin (π−x)+sin (π2+x)＝m 在区间[0, 2π)上有两个实根x 1，x 2，且|x 1−x 2|≥π，则实数m 的取值范围为（ ） A.(−√5, 1) B.(−√5, 1] C.[1, √5) D.[0, 1)二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）（湖北七市（州）教科研协作体联考）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P （毫克/升）与时间t （小时）的关系为P ＝P 0e −kt ．如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．已知变量x ，y(x, y ∈R)满足约束条件{x −y ≤0x +y ≥5y −3≤0 ，若不等式(x +y)2≥c(x 2+y 2)(c ∈R)恒成立，则实数c 的最大值为________2513 ．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，且AE ＝DF ＝2．将此正方形沿BE ，BF ，EF 切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为________．已知双曲线________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤．）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y ，再求y与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”． （1）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程y =b x +a ，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（2）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，……，(x n , y n )，其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =∑−i=1n xiyi nxy ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2，a =y ¯−b x ¯．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2−5n(n ∈N +)． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{a n 2n+1}的前n 项和T n ．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．（1）求证：MD ⊥EF ；（2）求三棱锥M −EFD 的体积．设函数f(x)＝x +ax ln x(a ∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)的极大值点为x ＝1，证明：f(x)≤e −x +x 2．动点P 在抛物线x 2＝2y 上，过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ，设PM →=12PQ →． (Ⅰ)求点M 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)设点S(−4, 4)，过N(4, 5)的直线l 交轨迹E 于A ，B 两点，设直线SA ，SB 的斜率分别为k 1，k 2，求|k 1−k 2|的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C:{x =√3cos αy =sin α （a 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为√22ρcos (θ+π4)=−1．（1）求椭圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点M(−1, 0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分)已知函数f(x)＝m −|x −1|−|x +1|． （1）当m ＝5时，求不等式f(x)>2的解集；（2）若函数y ＝x 2+2x +3与y ＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2021年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据已知求出A的补集，再求交集．【解答】∵A＝{x|−3<x<2}，∴∁R A＝{x|x≤−3或x≥2}，则(∁R A)∩B＝[2, +∞)．2.【答案】A【考点】复数的模【解析】利用商的模等于模的商列式求解a的值．【解答】∵复数z=a+2i1+i，且|z|=√2，∴|a+2i1+i |=√2，即√a2+4√2=√2，则a＝0．3.【答案】B【考点】相互独立事件的概率乘法公式相互独立事件【解析】基本事件总数n=C42=6，小王被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，由此能求出小王被选中的概率．【解答】小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，基本事件总数n=C42=6，小王被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，则小王被选中的概率为p=mn =36=12．4.【答案】A【考点】等比数列的前n 项和 【解析】先由S 3＝7，S 6＝63求出首项与公比，再求a 6． 【解答】设等比数列{a n }的公比为q ，由题设条件知q ≠1，∵ S 3＝7=a 1(1−q 3)1−q，S 6＝63=a 1(1−q 6)1−q，可解得：a 1＝1，q ＝2∴ a 6＝a 1q 5＝32． 5. 【答案】 B【考点】 茎叶图 程序框图【解析】根据方差的定义式推导B ，A 之间的关系即可． 【解答】s 2=(x i −x ¯)2+(x 2−x ¯)2+⋯+(x n −x ¯)2n=x 12+⋯+x n 2−2(x 1+⋯+x n )x ¯+nx ¯2n=x 12+⋯+x n 2−2nx ¯2+nx ¯2n=x 12+⋯+x n 2n−x ¯2循环结束时，n ＝11，此时x ¯2=(Ai−1)2， 所以B =A 12+A 22+⋯+A 102． 6.【答案】 D【考点】直线与圆的位置关系 【解析】本题考查直线与圆的位置关系． 【解答】解：设点P(x,y)到直线3x −4y +a =0 和3x −4y −9=0的距离分别为d 1，d 2，则|3x −4y +a|+|3x −4y −9|=5(d 1+d 2)， 当圆上的点都在两条直线之间时，d 1+d 2等于两条平行线之间的距离，是定值， 则d 1+1=|3−4+a|5≥r =1且(3−4+a)(3−4−9)<0， 解得a ≥6． 故选D ． 7.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】 由于函数f(x)=cos (πx)x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除C 、D ，利用极限思想（如x →0+，y →+∞）可排除B ，从而得到答案A ． 【解答】定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)， f(x)=cos (πx)x 2，f(−x)=cos (−πx)(−x)2=cos (πx)x 2=f(x)，∴ f(−x)＝f(x)，f(x)为偶函数，． ∴ 其图象关于y 轴对称，可排除C ，D ； 又当x →0时，cos (πx)→1，x 2→0， ∴ f(x)→+∞．故可排除B ； 而A 均满足以上分析． 8. 【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】由向量的数量积运算得：a →⋅b →=12b →2=12，由向量的夹角公式得：cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=12，得解． 【解答】由题意知：(2a →−b →)⋅b →=0，则a →⋅b →=12b →2=12， 设向量a →、b →的夹角为θ，则cos θ=a →⋅b→|a →||b →|=12，又θ∈[0, π]，即向量a →、b →的夹角为60∘， 9.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】由椭圆C:x 24+y23=1可知其左顶点A1(−2, 0)，右顶点A2(2, 0)．设P(x0, y0)(x0≠±2)，代入椭圆方程可得y02x02−4=−34，利用斜率计算公式可得k PA2k PA1，再利用已知给出的直线PA2斜率的取值范围是[−2, 1]，即可解出．【解答】由椭圆C:x 24+y23=1可知其左顶点A1(−2, 0)，右顶点A2(2, 0)．设P(x0, y0)(x0≠±2)，则得y02x02−4=−34．∵k PA2=y0x0−2，k PA1=kPA1=y0x0+2，∴k PA2k PA1=y0x0−2⋅y0x0+2=y02x02−4=−34．∵直线PA2斜率的取值范围是[−2, −1]，∴直线PA1斜率的取值范围是[38, 3 4 ]10.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】解：如图所示，连接AD1，AB1，B1D1，因为AB1//DC1，AD1//BC1，B1D1//BD，所以平面ADB1//平面BDC1，则点E在AD1上运动，直线B1E与直线AB所成角为∠A1B1E，又B1A1⊥平面ADD1A1，所以B1A1⊥A1E，△A1B1E是直角三角形，所以sin∠A1B1E=A1EEB1，【解答】解：如图所示，连接AD 1，AB 1，B 1D 1，因为AB 1//DC 1，AD 1//BC 1，B 1D 1//BD ， 所以平面AD 1B 1//平面BDC 1， 则点E 在AD 1上运动，直线B 1E 与直线A 1B 1所成角为∠A 1B 1E ， 又B 1A 1⊥平面ADD 1A 1，所以B 1A 1⊥A 1E ，△A 1B 1E 是直角三角形，所以sin ∠A 1B 1E =A 1EEB 1，当且仅当B 1E ⊥AD 1时取得最小值，设正方体的边长为1，则A 1E =√22，B 1E =√62， 则sin ∠A 1B 1E =√33. 故选A . 11. 【答案】 A【考点】函数与方程的综合运用利用导数研究函数的单调性 【解析】令g(x)=f(x)−12x 2，推出g(x)为奇函数，通过x <0时g ′(x)<0⇒g(x)在(−∞, +∞)上递减，g(x)≥g(1−x)，综合求解即可．【解答】令g(x)=f(x)−12x 2，则g(x)+g(−x)＝0⇒g(x)为奇函数，又x <0时g ′(x)<0⇒g(x)在(−∞, +∞)上递减，由f(x)−f(1−x)≥x −12知f(x)−12x 2≥f(1−x)−12(1−x)2 即：g(x)≥g(1−x)，从而x ≤1−x ⇒x ≤12， 12.【答案】 D【考点】正弦函数的图象【解析】将方程化简：sin(π−x)+sin( π2+x)＝sin x+cos x=√2sin(x+π4)＝m，根据在区间[0, 2π)上有两个实根x1，x2，且|x1−x2|≥π，对两个实根x1，x2的位置讨论，结合正弦函数可得答案．【解答】由sin(π−x)+sin( π2+x)＝m，方程化简sin(π−x)+sin( π2+x)＝sin x+cos x=√2sin(x+π4)＝m，转化为函数y=√2sin(x+π4)与函数y＝m有两个交点，区间[0, 2π)上有两个实根x1，x2，由x∈[0, 2π)则x+π4∈[π4, 9π4)，设x1>x2，由x1−x2≥π，可得5π4≥x2≥π4，当3π4≥x2≥π4时，结合正弦函数可知，不存在m的值；当3π4≤x2≤5π4时，对应的2π≤x1<9π4，结合正弦函数可知，函数y=√2sin(x+π4)与函数y＝m有两个交点，此时可得：m∈[0, 1)．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）【答案】10【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】此题暂无解析【解答】由题意可得0.9P0=P0e−5k，则k=−15ln0.9，则P=P0e t5ln0.9．当P=0.81P0时，0.81P0=P0e t5ln0.9，t=5ln0.81ln0.9=10．本题考查指数函数在实际问题中的应用．正确将实际问题转化为数学问题是本题求解的关键．【答案】2513．【考点】 简单线性规划 【解析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可． 【解答】由题意知：可行域如图，又∵ (x +y)2≥c(x 2+y 2)（在可行域内恒成立）． 且c ≤(x+y)2x 2+y 2=1+2xy x 2+y 2=1+2yx 1+(y x)2=1+21y x+y x ，故只求z ＝1+21y x+y x 的最大值即可．设k =yx ，则有图象知A(2, 3)， 则OA 的斜率k =32，BC 的斜率k ＝1，由图象可知即1≤k ≤32， ∵ z ＝k +1k在[1, 32]上为增函数，∴ 当k =32时，z 取得最大值z =32+23=136，此时1+2z =1+2136=1+1213=2513，故c ≤2513， 故c 的最大值为2513， 【答案】 4π81【考点】球的表面积和体积 【解析】推导出该三棱锥为四面体S−MNP，其中SM⊥平面MNP，PM⊥MN，SM＝3，PM＝2，MN＝1，设该三棱锥的内切球的半径为R，则V S−PMN＝V O−PMN+V O−SMN+V O−PMS+V O−SPN，从而求出R=13，由此能求出该三棱锥的内切球的体积．【解答】由题意用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，构成如图所示的四面体S−MNP，其中SM⊥平面MNP，PM⊥MN，SM＝3，PM＝2，MN＝1，∴SN=√1+9=√10，SP=√4+9=√13，PN=√1+4=√5，∴cos∠SNP=2√10⋅√5=√210，∴sin∠SNP=√1−2100=7√210，∴S△SNP=12×√10×√5×7√210=72，设该三棱锥的内切球的半径为R，则V S−PMN＝V O−PMN+V O−SMN+V O−PMS+V O−SPN，即13×12×2×1×3=16×2×1×R+16×1×3×R+16×2×3×R+13×72R，解得R=13，∴该三棱锥的内切球的体积V=43πR3=43π×127=4π81．【答案】x2−y2m=1的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，则△AF1F2的面积为4−2√2【考点】双曲线的离心率【解析】由题意可知|AF2|＝m，|AF1|＝2+|AF2|＝2+m，由等腰三角形的性质即可求得4=√2(2+m)，|AF2|＝m＝2(√2−1)，|AF1|＝2√2，由三角的面积公式，即可求得△AF1F2的面积．【解答】双曲线x2−y2m=1焦点在x轴上，a＝1，2a＝2，设|AF2|＝m，由|AF1|−|AF2|＝2a＝2，∴|AF1|＝2+|AF2|＝2+m，又|AF1|＝|AB|＝|AF2|+|BF2|＝m+|BF2|，∴|BF2|＝2，又|BF1|−|BF2|＝2，|BF1|＝4，根据题意|BF1|=√2|AF1|，即4=√2(2+m)，m＝2(√2−1)，|AF1|＝2√2，△AF1F2的面积S=12⋅|AF2|⋅|AF1|=12×2(√2−1)×2√2=4−2√2，△AF1F2的面积4−2√2，三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤．） 【答案】由后面四组数据求得x ¯=12+13+14+154=13.5，y ¯=26+29+28+314=28.5，∑=i=14 xiyi 1546，∑ 4i=1x i 2=734，∴ b =∑−i=14 xiyi 4x ¯y¯∑ 4i=1x i 2−4x¯2=1546−4×272×572734−4×(272)2=1.4，a =y ¯−b x ¯=28.5−1.4×13.5=9.6． ∴ y =1.4x +9.6．当x ＝10时，y =1.4×10+9.6=23.6，而23.6−23＝0.6<1； 当x ＝11时，y =1.4×11+9.6=25，而25−25＝0<1． ∴ 求出的线性回归方程是“恰当回归方程”； 由1.4x +9.6≤35，得x ≤1817． 故间隔时间最多可设置为18分钟． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由后四组数据求得b 及a 的值，可得线性回归方程，分别取x ＝10，11求得y 值，与原表格中对应的y 值作差判断；（2）直接由1.4x +9.6≤35，求得x 值得答案． 【解答】由后面四组数据求得x ¯=12+13+14+154=13.5，y ¯=26+29+28+314=28.5，∑=i=14 xiyi 1546，∑ 4i=1x i 2=734，∴ b =∑−i=14 xiyi 4x ¯y¯∑ 4i=1x i 2−4x¯2=1546−4×272×572734−4×(272)2=1.4，a =y ¯−b x ¯=28.5−1.4×13.5=9.6． ∴ y =1.4x +9.6．当x ＝10时，y =1.4×10+9.6=23.6，而23.6−23＝0.6<1； 当x ＝11时，y =1.4×11+9.6=25，而25−25＝0<1． ∴ 求出的线性回归方程是“恰当回归方程”； 由1.4x +9.6≤35，得x ≤1817． 故间隔时间最多可设置为18分钟． 【答案】（1）由a n={S1,n=1S n−S n−1,n≥2，所以a n={−4,n=1n2−5n−(n−1)2+5(n−1)=2n−6,n≥2，综上可得a n＝2n−6，n∈N∗；（2）因为a n2n+1=n−32n，所以前n项和T n=−22+−14+⋯+n−42n−1+n−32n，1 2T n=−24+−18+⋯+n−42n+n−32n+1，两式相减可得12T n＝−1+14+18+⋯+12n−n−32n+1＝−1+14(1−12n−1)1−12−n−32n+1，所以T n＝−1−n−12n．【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式：a n={S1,n=1S n−S n−1,n≥2，计算可得所求通项公式；(Ⅱ)求得a n2n+1=n−32n，运用数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】（1）由a n={S1,n=1S n−S n−1,n≥2，所以a n={−4,n=1n2−5n−(n−1)2+5(n−1)=2n−6,n≥2，综上可得a n＝2n−6，n∈N∗；（2）因为a n2n+1=n−32n，所以前n项和T n=−22+−14+⋯+n−42n−1+n−32n，1 2T n=−24+−18+⋯+n−42n+n−32n+1，两式相减可得12T n＝−1+14+18+⋯+12n−n−32n+1＝−1+14(1−12n−1)1−12−n−32n+1，所以T n＝−1−n−12n．【答案】证明：∵在正方形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥BC，∴在三棱锥M−DEF中，有MD⊥MF，MD⊥ME，且ME∩MF＝M，∴MD⊥面MEF，则MD⊥EF；∵ E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点，∴ BE ＝BF ＝1， ∴ S △MEF =S △BEF =12×1×1=12，由（1）知，V M−DEF =13S △MEF ⋅MD =13×12×2=13．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】（1）在正方形ABCD 中，有AB ⊥AD ，CD ⊥BC ，在在三棱锥M −DEF 中，可得MD ⊥MF ，MD ⊥ME ，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD ⊥EF ；（2）由E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点，可得BE ＝BF ＝1，求出三角形MEFD 的面积，结合（1）及棱锥体积公式求解． 【解答】证明：∵ 在正方形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥BC ，∴ 在三棱锥M −DEF 中，有MD ⊥MF ，MD ⊥ME ，且ME ∩MF ＝M ， ∴ MD ⊥面MEF ，则MD ⊥EF ；∵ E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点，∴ BE ＝BF ＝1， ∴ S △MEF =S △BEF =12×1×1=12，由（1）知，V M−DEF =13S △MEF ⋅MD =13×12×2=13．【答案】（1）根据题意，f(x)＝x +ax ln x ，必有x >0，则f(x)的定义域为(0, +∞)，其导数f ′(x)＝1+a ln x +a ， 当a ＝0时，f(x)＝x ，则函数f(x)在区间(0, +∞)单调递增； 当a >0时，由f ′(x)>0得x >e −a+1a，由f ′(x)<0得0<x <e −a+1a．所以，f(x)在区间(0,e −a+1a)上单调递减，在区间(e −a+1a,+∞)上单调递增；当a <0时，由f ′(x)>0得0<x <e −a+1a，由f ′(x)<0得x >e−a+1a，所以，函数f(x)在区间(0,e−a+1a)上单调递增，在区间(e −a+1a,+∞)单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数f(x)在区间(0, +∞)单调递增；当a >0时，函数f(x)在区间(0,e−a+1a)上单调递减，在区间(e−a+1a,+∞)上单调递增； 当a <0时，函数f(x)在区间(0,e −a+1a)上单调递增，在区间(e −a+1a,+∞)上单调递减．（2）证明：由(Ⅰ)知a <0且e−a+1a=1时，解得a ＝−1．f(x)＝x −x ln x ，要证f(x)≤e −x +x 2，即证x −x ln x ≤e −x +x 2，即证：1−ln x ≤e −x x+x ． 令F(x)=ln x +e −x x+x −1(x >0)，则F ′(x)=1x+−e −x x−e −xx 2+1=(x+1)(x−e −x )x 2．令g(x)＝x −e −x (x >0)，易见函数g(x)在区间(0, +∞)上单调递增．而g(1)=1−1e>0，g(0)＝−1<0，所以在区间(0, +∞)上存在唯一的实数x 0，使得g(x 0)=x 0−e −x 0=0，即x 0=e −x 0，且x ∈(0, x 0)时g(x)<0，x ∈(x 0, +∞)时g(x)>0．故F(x)在(0, x 0)上递减，在(x 0, +∞)上递增． ∴ F(x)min ＝F(x 0)＝ln x 0+e −x 0x 0+x 0−1．又e −x 0=x 0，∴ F(x)min =ln x 0+e −x 0x 0+x 0−1=−x 0+1+x 0−1＝0．∴ F(x)≥F(x 0)＝0成立，即f(x)≤e −x +x 2成立． 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】(Ⅰ)根据题意，由函数的解析式分析其定义域，进而求出其导数，按a 的值分三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，综合三种情况即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由函数的极值与导数的关系分析可得a 的值，可以将原问题转化为证明x −x ln x ≤e −x +x 2，令F(x)=ln x +e −x x+x −1(x >0)，求出其导数，分析函数的单调性，可得其最小值，就可得证明． 【解答】（1）根据题意，f(x)＝x +ax ln x ，必有x >0，则f(x)的定义域为(0, +∞)，其导数f ′(x)＝1+a ln x +a ， 当a ＝0时，f(x)＝x ，则函数f(x)在区间(0, +∞)单调递增； 当a >0时，由f ′(x)>0得x >e −a+1a，由f ′(x)<0得0<x <e−a+1a．所以，f(x)在区间(0,e −a+1a)上单调递减，在区间(e −a+1a,+∞)上单调递增；当a <0时，由f ′(x)>0得0<x <e −a+1a，由f ′(x)<0得x >e−a+1a，所以，函数f(x)在区间(0,e−a+1a)上单调递增，在区间(e −a+1a,+∞)单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数f(x)在区间(0, +∞)单调递增； 当a >0时，函数f(x)在区间(0,e −a+1a)上单调递减，在区间(e −a+1a,+∞)上单调递增； 当a <0时，函数f(x)在区间(0,e −a+1a )上单调递增，在区间(e−a+1a,+∞)上单调递减．（2）证明：由(Ⅰ)知a <0且e−a+1a=1时，解得a ＝−1．f(x)＝x −x ln x ，要证f(x)≤e−x+x 2，即证x −x ln x ≤e−x+x 2，即证：1−ln x ≤e −x x+x ． 令F(x)=ln x +e −x x+x −1(x >0)，则F ′(x)=1x +−e −x x−e −xx 2+1=(x+1)(x−e −x )x 2．令g(x)＝x −e −x (x >0)，易见函数g(x)在区间(0, +∞)上单调递增．而g(1)=1−1e>0，g(0)＝−1<0，所以在区间(0, +∞)上存在唯一的实数x 0，使得g(x 0)=x 0−e −x 0=0，即x 0=e −x 0，且x ∈(0, x 0)时g(x)<0，x ∈(x 0, +∞)时g(x)>0．故F(x)在(0, x 0)上递减，在(x 0, +∞)上递增． ∴ F(x)min ＝F(x 0)＝ln x 0+e −x 0x 0+x 0−1．又e −x 0=x 0，∴ F(x)min =ln x 0+e −x 0x 0+x 0−1=−x 0+1+x 0−1＝0．∴ F(x)≥F(x 0)＝0成立，即f(x)≤e −x +x 2成立． 【答案】（I ）设点M(x, y)，P(x 0, y 0)，则由PM →=12PQ →，得{x 0=x y 0=2y ，因为点P 在抛物线x 2＝2y 上，所以，x 2＝4y ．(II)由已知，直线l 的斜率一定存在， 设点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则联立{y =k(x −4)+5x 2=4y ，得，x 2−4kx +16k −20＝0， 由韦达定理，得{x 1+x 2=4kx 1x 2=16k −20．当直线l 经过点S 即x 1＝−4或x 2＝−4时，当x 1＝−4时，直线SA 的斜率看作抛物线在点A 处的切线斜率， 则 k 1＝−2，k 2=18，此时|k 1−k 2|=178；同理，当点B 与点S 重合时，|k 1−k 2|=178（学生如果没有讨论，不扣分）直线l 不经过点S 即x 1≠−4且x 2≠−4时∵ k 1=y 1−4x 1+4,k 2=y 2−4x 2+4，∴ k 1k 2=(kx 1−4k+1)(kx 2−4k+1)(x 1+4)(x 2+4)， =k 2x 1x 2+(k−4k 2)(x 1+x 2)+16k 2−8k+1x 1x 2+4(x 1+x 2)+16，=1−8k 32k−4=−14，故|k 1−k 2|≥2√|k 1k 2|=2⋅√14=1，所以|k 1−k 2|的最小值为1． 【考点】 抛物线的性质 【解析】（I ）设M 的坐标，根据中点坐标公式，将P 点坐标代入整理可求得M 的轨迹方程； (II)直线l 过点N ，设l 的方程为：y ＝k(x −4)+5，与E 联立，整理得：x 2−4kx +16k −20＝0，根据韦达定理，分类讨论l 是否经过点S ，并分别求得直线的斜率，即可求|k 1−k 2|的最小值． 【解答】（I ）设点M(x, y)，P(x 0, y 0)，则由PM →=12PQ →，得{x 0=x y 0=2y ，因为点P 在抛物线x 2＝2y 上，所以，x 2＝4y ． (II)由已知，直线l 的斜率一定存在， 设点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则联立{y =k(x −4)+5x 2=4y ，得，x 2−4kx +16k −20＝0， 由韦达定理，得{x 1+x 2=4kx 1x 2=16k −20．当直线l 经过点S 即x 1＝−4或x 2＝−4时，当x 1＝−4时，直线SA 的斜率看作抛物线在点A 处的切线斜率， 则 k 1＝−2，k 2=18，此时|k 1−k 2|=178；同理，当点B 与点S 重合时，|k 1−k 2|=178（学生如果没有讨论，不扣分）直线l 不经过点S 即x 1≠−4且x 2≠−4时∵ k 1=y 1−4x 1+4,k 2=y 2−4x 2+4，∴ k 1k 2=(kx 1−4k+1)(kx 2−4k+1)(x 1+4)(x 2+4)， =k 2x 1x 2+(k−4k 2)(x 1+x 2)+16k 2−8k+1x 1x 2+4(x 1+x 2)+16，=1−8k 32k−4=−14，故|k 1−k 2|≥2√|k 1k 2|=2⋅√14=1，所以|k 1−k 2|的最小值为1．请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线C:{x =√3cos αy =sin α（a 为参数），化为普通方程为：x 23+y 2=1，由√22ρcos (θ+π4)=−1，得ρcos θ−ρsin θ＝−2，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +2＝0．直线l 1的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t. （t 为参数），代入x 23+y 2=1，化简得：2t 2−√2t −2=0，得t 1t 2＝−1，∴ |MA|⋅|MB|＝|t 1t 2|＝1． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，即可求点M 到A ，B 两点的距离之积． 【解答】曲线C:{x =√3cos αy =sin α（a 为参数），化为普通方程为：x 23+y 2=1，由√22ρcos (θ+π4)=−1，得ρcos θ−ρsin θ＝−2，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +2＝0．直线l 1的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t. （t 为参数），代入x 23+y 2=1，化简得：2t 2−√2t −2=0，得t 1t 2＝−1，∴ |MA|⋅|MB|＝|t 1t 2|＝1． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分) 【答案】当m ＝5时，f(x)={5+2x(x <−1)3(−1≤x ≤1)5−2x(x >1) ，由f(x)>2的不等式的解集为{x|−32<x <32}． 由二次函数y ＝x 2+2x +3＝(x +1)2+2， 该函数在x ＝−1处取得最小值2，因为f(x)={m +2x(x <−1)m −2(−1≤x ≤1)m −2x(x >1) ，在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点， 只需m −2≥2，即m ≥4． 【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）代入m 的值，求出f(x)的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；（2）分别求出二次函数的最小值和函数f(x)的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【解答】当m ＝5时，f(x)={5+2x(x <−1)3(−1≤x ≤1)5−2x(x >1) ，由f(x)>2的不等式的解集为{x|−32<x <32}．由二次函数y ＝x 2+2x +3＝(x +1)2+2， 该函数在x ＝−1处取得最小值2，因为f(x)={m +2x(x <−1)m −2(−1≤x ≤1)m −2x(x >1) ，在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点， 只需m −2≥2，即m ≥4．。

2021届安徽省滁州市定远县育才学校高三上学期月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}{}2|560,|1 2 U x Z x x A x Z x =∈--<=∈-<≤， {}2,3,5B =，则()UA B =（ ）A ．{}2,3,5B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}3,4,5【答案】B【解析】先化简整理集合,U A 再根据集合的基本运算进行运算即可. 【详解】解: {}{}2|5600,1,2,3,4,5U x Z x x =∈--<={}{}|1 2 0,1,2A x Z x =∈-<≤= , (){}{}{}3,4,52,3,53,5U A B ∴==.故选:B 【点睛】本题考查集合交并补的运算,属于基础题.2．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当1x ， ()20,x ∈+∞时，都有()y f x =，设1lna π=， ()2ln b π=， c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >>【答案】C【解析】先根据1x ， ()20,x ∈+∞时，都有()y f x =得出函数的单调性,然后根据单调性得出函数值的大小. 【详解】解: 当1x ， ()20,x ∈+∞时，都有()y f x =, 故()y f x =在()0,+∞上单调递减, 因为ln ln 1e π>=,所以21ln 2ln ln ln 2ππππ=>>=又()()()1lnln ln f a f f f πππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭, ()()()(2ln ,f b f f c f π==.所以()()()f c f a f b >>. 故选:C 【点睛】本题考查根据函数单调性比较函数值的大小,是中档题.3．已知函数()122x x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()1f x f x ->，则x 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由奇偶性和单调性定义确定函数的奇偶性与单调性，然后再解函数不等式． 【详解】由题意()1()222()2xx x xf x x x f x -⎛⎫-=--=-= ⎪⎝⎭，()f x 是偶函数， 设120x x >≥，则12221x x >≥，∴121122x x <，12121122022x x x x ->-≥， ∴121212112222xx x x x x ⎛⎫⎛⎫->- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， 由(1)()f x f x ->得(1)()f x f x ->，∴1x x ->，22(1)x x ->，解得12x <． 故选：A ． 【点睛】本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的奇偶性与单调性，利用奇偶性和单调性解函数不等式是常用方法．4．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项. 【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.5．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)f x +是偶函数，且当[0,1]x ∈时，()(32),f x x x =-则31()2f =（） A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】C【解析】()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，()()()111f x f x f x ∴-+=+=--，()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，则()f x 的周期是4，()3111114431122222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=-=-=-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C. 6．已知函数()sin f x x x =，[]1,1x ∈-，则不等式()()1f x f x +>的解集为（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎤-⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】判断出函数()sin f x x x =的奇偶性以及在()0,1上的单调性，根据定义域和单调性列出不等式组解出即可. 【详解】因为函数()f x 的定义域为[]1,1x ∈-，关于原点对称，而且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，故函数()f x 为偶函数，当01x <<时，()sin cos 0f x x x x '=+>，即函数()f x 在()0,1上单调递增，故()()1f x f x +>等价于()()1f x f x +>等价于111111x x x x ⎧+>⎪-≤+≤⎨⎪-≤≤⎩，解得x 的取值范围为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查了利用导数判断函数单调性，利用单调性和奇偶性脱“f ”是本题的关键，易错点在于忽略函数的定义域，属于中档题.7．定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),4f x f x f x f x -=-=+,且()1,0x ∈-时,()125xf x =+,则()2log 20f = A ．1 B ．45C ．1-D ．45-【答案】C【解析】【详解】∵()()f x f x -=-，则()0,1∈x 时，()1,0x -∈- ∴()()()11220155xx f x f x x --⎛⎫=--=-+=--<< ⎪⎝⎭∵452202<<∴24log 205<<，即20log 2041<-< ∵()()4f x f x =+∴()()()2log 20422111log 20log 20421615205f f --=-=--=-⨯-=- 故选C8．函数f （x ）=913x x +的图象A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y =x 对称【答案】C【解析】将91()3x xf x +=化简变形后利用函数单调性的定义判断即可. 【详解】∵函数91()=333x x x xf x -+=+的定义域为R ，且满足()=33()x xf x f x --+=，故该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，故选C ． 【点睛】函数中常见的几种对称关系：（1）函数()f x 关于x 轴对称，则有()=-()f x f x ； （2）函数()f x 关于y 轴对称，则有()=()f x f x ； （3）函数()f x 关于原点对称，则有()=()f x f x -；（4）函数关于直线y x =对称，则()f x 与其反函数是同一个函数. 9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[]0,2x ∈时2()log (1)f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：(3)1f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数； 丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若(0,1)m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-其中正确的是（ ）． A ．甲，乙，丁 B ．乙，丙 C ．甲，乙，丙 D ．甲，丁【答案】D 【解析】【详解】取x ＝1，得f （1﹣4）＝﹣f （1）()112log +=-=-1，所以f （3）＝﹣f （﹣3）＝1，故甲的结论正确；定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ﹣4）＝﹣f （x ），则f （x ﹣4）＝f （﹣x ），∴f （x ﹣2）＝f （﹣x ﹣2），∴函数f （x ）关于直线x ＝﹣2对称，故丙不正确；奇函数f （x ），x ∈[0，2]时，f （x ）＝log 2（x +1），∴x ∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f （x ）关于直线x ＝﹣2对称，∴函数f （x ）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故乙不正确；若m ∈（0，1），则关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2＝﹣12，另两根的和为2×2＝4，所以所有根之和为﹣8．故丁正确 故选：D ．点睛:本题考查函数的性质应用以及函数的零点问题,属于中档题目.根据已知函数为奇函数以及函数的周期,可得()f x 关于直线2x =-对称，结合[]0,2x ∈时()()21f x log x =+，10．已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()3f x a -=在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a <≤ B ．1a <C ．01a <<D ．1a ≥【答案】A【解析】根据函数()f x 的定义域和单调函数，可得必存在唯一的正实数m 满足13()log f x x m +=，()4f m ∴=，结合13()log f m m m +=，可得3m =，所以函数13()3log f x x =-，由方程()3f x a -=在区间(0,3]上有两解，则13log x a =在区间(0,3]上有两解，设()13log g x x =，作出函数()g x 在(0,3]上的图象， 结合图象，可得实数a 的取值范围. 【详解】解:因为函数()f x 是定义域为(0,)+∞的单调函数，对于任意的(0,)x ∈+∞， 都有13[()log ]4f f x x +=，所以必存在唯一的正实数m 满足13()log f x x m +=，()4f m ∴=，所以13()log f m m m +=，可得134log m m +=，即13log 4m m =-，所以3m =，所以13()log 3f x x +=，所以函数13()3log f x x =-，由方程()3f x a -=在区间(0,3]上有两解，则13log x a =在区间(0,3]上有两解，设()13log g x x =，作出函数()g x 在(0,3]上的图象，如图所示，结合图象，可得方程()3f x a -=在区间(0,3]上有两解， 实数a 满足01a <≤. 故选:A【点睛】本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用，综合性强，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理进行等价转化，本题的解答中根据13[()log ]4f f x x +=，等价转换求得函数()f x 的解析式是解答的关键.11．某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.10.041,lg20.301==）A ．2022年B ．2023年C ．2024年D ．2025年【答案】C【解析】设从2016年后，第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元， 由题意可得：()100110%200n⨯+≥，即1.12n ≥， 两边取对数可得：lg20.3017.3lg1.10.041n >=≈，则8n ≥， 即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C .12．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()12xf x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．()8,+∞C ．()1,8D ．()1,4【答案】B【解析】根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，推出函数()f x 的最小正周期是4，然后根据当[]2,0x ∈-时， ()12xf x ⎛=-⎝⎭，画出函数在区间()2,6-上的图象，将问题转化为函数()(),log 2==+a y f x y x 的图象有4个不同的交点求解. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以()()f x f x =-，又()()22f x f x +=-， 所以()()()4f x f x f x -==-， 所以()()4f x f x +=，所以函数()f x 的最小正周期是4，又当[]2,0x ∈-时， ()12xf x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，画出函数在区间()2,6-上的图象，因为关于x 的方程()()log 20a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有4个不同的根，()()log 2=+a f x x （0a >且1a ≠）有且只有4个不同的根，即函数()(),log 2==+a y f x y x 有4个不同的交点， 又()log 621+=a ，解得8a =， 所以8a > 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，9]，则区间[a ，b ]长度的最小值为________. 【答案】2【解析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a ，]b 的长度的最小值． 【详解】∵函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1，9]，又20231339===，，∴0∈[a ，b ].2和－2至少有一个属于区间[a ，b ]，故区间[a ，b ]的长度最小时为[－2，0]或[0，2]，即区间[a ，b ]长度的最小值为2. 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查绝对值不等式的解法，属于中档题. 14．已知函数()332f x x x =+，()2,2x ∈-，如果()()1120f a f a -+-<成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】3(0,)2【解析】【详解】因为23+6x 0f x '=（）＞恒成立，所以f x （）在R 上递增， 又f x f x =（﹣）﹣（），所以f x （）为奇函数，则1120f a f a +（﹣）（﹣）＜，可化为121f a f a （﹣）＜（﹣）， 由f x （）递增，得1212122212a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩＜＜＜＜＜，解得：0＜a ＜32，故答案为302⎛⎫⎪⎝⎭，．15．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m的取值范闱为 __________．【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据对数函数的定义可得2450x x -++>，解得15x -<<，因为二次函数245y x x =-++图象的对称轴为()4221x =-=⨯-，由复合函数单调性可得函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，要使函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，只需32225322m m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解关于m 的不等式组得423m ≤<，即m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．已知函数2()|3|,f x x x x R =+∈，若方程()0f x a -=恰有4个互异的实数根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++=________．【答案】-6【解析】在同一个直角坐标系内分别作出y=f(x)=|x 2+3x|与y=a 的图象，如图所示不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4，由图象y=f(x)的对称性可知：x 1+x 4=-3，x 2+x 3=-3， 所以x 1+x 2+x 3+x 4=-6.三、解答题17．设()()()log 1+log 3(0,1)a a f x x x a a =+->≠，且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）2a =，()1,3-；（2）[]2log 3,2.【解析】（1）由()12f =代入可得a 的值，列出不等式组1030x x +>⎧⎨->⎩可得定义域；（2）根据复合函数的单调性判断()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性即可得结果.【详解】（1）∵(1)2f =，∴log 42(0,1)a a a =>≠，∴2a =.由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-，∴函数()f x 的定义域为(1,3)- （2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦， ∴当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数， 函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2(1)log 42f ==，函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是2(0)log 3f =，∴()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2log 3,2.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，复合函数的单调性以及函数的值域等，属于基础题.18．设()f x 的定义域是()(),00,-∞⋃+∞，且()f x 对任意不为零的实数x 都满足()f x -=()f x -.已知当x >0时()12xx f x =- （1）求当x <0时，()f x 的解析式； （2）解不等式()3x f x <-. 【答案】（1）()221xx x f x ⋅=-；（2）{|2x x <-或02}x <<.【解析】（1）利用已知条件求解（实质就是利用奇函数的定义求解析式）； （2）分类解不等式()3xf x <-，分0x >和0x <两类求解． 【详解】(1) 当x <0时，x ->0， ()12xx f x ---=-=221xx x -⋅- 又()f x -=()f x - 所以，当x <0时， ()221xxx f x ⋅=- (2) x >0时， ()12x x f x =- 3x <-，112x ∴- 13<- 化简得()420312xx-∴<-，解得02x << 当x <0时，同理不等式可化为21213x x >--，解得x <2-，解集为{|2x x <-或02}x <<． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解指数不等式，解题时注意按x 的正负分类讨论． 19．已知函数()()21log 411x f x x=+-. （1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）设()21g x x=-，解不等式()()f x g x >. 【答案】（1）奇函数；（2）()()4,0log 3,-∞⋃+∞.【解析】应用函数的奇偶性的定义，证明()()f x f x -=- 即可.将式子直接代入，得()212log 41x x x+>,再就是对自变量分情况讨论，即可得出不等式的解. 【详解】解:(1).函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()2211141log 11log 144x x x f x x x +⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭()221log 41log 41x xx⎡⎤=-+--⎣⎦ ()21log 4121x x x⎡⎤=-+--⎣⎦ ()21log 411x x=-++()f x =-∴()f x 是奇函数； （2）原不等式可化为()212log 41x x x+>， 当0x >时， ()2log 412x+>， ∴414x +>， ∴4log 3x >，当0x <时， ()2log 412x+<， ∴0414x <+<， ∴4log 3x <， ∴0x <， 故所求不等式的解集为()()4,0log 3,-∞⋃+∞. 【点睛】本题考查奇偶性的判断和利用对数函数的单调性解不等式,考查分类讨论思想, 是基础题.20．已知函数2(1)()()x x a f x x++=为偶函数. （1）求实数a 的值；（2）记集合{}{}(),1,1,2E y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg54λ=+⋅+-，判断λ与E 的关系； （3）当x ∈11[,]m n()0,0m n >>时，若函数()f x 的值域为[23,23]m n --，求,m n 的值.【答案】（1）1a =-；（2）E λ∈；（3）3322m n +==【解析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质建立方程()()f x f x =-，解可得a 的值； （2）由（1）可得函数的解析式，由此可得集合E ，由对数的运算性质计算可得λ的值，分析可得答案；（3）由（1）可得函数的解析式，进而可以断函数的单调性，结合函数的值域建立方程关系进行求解即可. 【详解】（1）∵()f x 为偶函数，∴ ()()f x f x =-， 即22(1)()(1)()x x a x x a x x ++-+-+=即：2(1)0,a x +=x ∈R 且0x ≠，∴1a =-.（2）由（1）可知：221()x f x x-= 当1x =±时，()0f x =；当2x =时，3()4f x = ∴304E ,⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，而21lg 2lg 2lg5lg54λ=+⋅+-=21lg 2lg 2(1lg 2)1lg 24+-+--=34， ∴E λ∈.（3）∵2221111()1,[,]x f x x x x m n-==-∈，∴()f x 在11[,]m n上单调递增. ∴1()231()23f m m f n n⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴22123123m m n n ⎧-=-⎨-=-⎩，即22310310m m n n ⎧-+=⎨-+=⎩， ∴m ，n 是方程2310x x -+=的两个根， 又由题意可知11m n<，且0,0m n >>，∴m n >∴m n ==【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的性质，涉及对数的运算，关键要先求出a 的值，确定函数的解析式，属于中档题.21．已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈. （1）若4t =，且14x ∈[,2]时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2，求实数a 的值； （2）若01a <<，且14x ∈[,2]时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）15；（2）[2,)+∞. 【解析】（1）由4t =，结合对数运算律，可求出实数a 的值；（2）当01a <<时，由()()f x g x ≥，可得出log 2log (22)a a x x t ≥+-，利用参变量分离法得出max (22)t x ≥-，求出函数211722)48y x =-=-+在区间1[,2]4上的最大值，即可得出实数t 的取值范围. 【详解】 （1）∵4t =，∴24(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x+=-=+-=1log 4(2)a x x=++， 易证1()4(2)h x x x =++在1[,1]4上单调递减，在[1,2]上单调递增，且1()(2)4h h >，∴min ()(1)16h x h ==，max 1()()254h x h ==，∴当1a >时，min ()log 16a F x =，由log 162a =-，解得14a =（舍去）当01a <<时，min ()log 25a F x =，由log 252a =-，解得15a =.综上知实数a 的值是15.（2）∵()()f x g x ≥恒成立，即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立，∴1log log (22)2a a x x t ≥+-.又∵01a <<，14x ∈[,2]22x t ≤+-，22t x ≥-+∴恒成立，∴max (22)t x ≥-.令2117122)([,2])484y x x =-=-+∈，∴max 2y =.故实数t 的取值范围为[2,)+∞. 【点睛】本题考查对数的运算，利用对数型复合函数的最值求参数以及对数不等式恒成立，在求解对数型复数复合函数的最值时，要结合复合函数法分析函数的单调性，结合单调性得出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22．中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下：（1）写出“套餐”中方案1的月话费y （元）与月通话量t （分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；（2）学生甲选用方案1，学生乙选用方案2，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；（3）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由. 【答案】(1)30,?048,0.6 1.2?,? 48.t y t t ≤≤⎧=⎨->⎩ （2）98元. （3）见解析【解析】试题分析：（1）根据题意分048t ≤≤和48t >两种情况求得关系式，写成分段函数的形式；（2）设该月甲乙两人的电话资费均为a 元,通话量均为b 分钟，分048b ≤≤，48170b <≤和170b >三种情形分别求解判断；（3）分别求出三种方案中的月话费，通过比较大小可得结论． 试题解析：(1)由题意得，当048t ≤≤时，y 30=;当48t >时，()300.6480.6 1.2y t t =+⨯-=-．故所求解析式为30,048,0.6 1.2,48.t y t t ≤≤⎧=⎨->⎩（2）设该月甲乙两人的电话资费均为a 元,通话量均为b 分钟. ①当048b ≤≤时, 甲乙两人的电话资费分别为30元, 98元,不相等； ②当170b >时, 甲乙两人的电话资费分别为()1300.648y b =+-（元）,()2980.6170y b =+-元, 21 5.20y y -=-<,21y y <；③当48170b <≤时, 甲乙两人的电话资费分别为()300.648a b =+-（元）,98a =（元）, 解得484.3b =所以该月学生甲的电话资费98元.（3）月通话量平均为320分钟，方案1的月话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）；方案2的月话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）； 方案3的月话费为168元. 其它方案的月话费至少为268元. 经比较, 选择方案3更合算.。

文科数学第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.设集合A={x|2<1−x<4}，B={x|x2−4x−12≥0}，则A∪(∁R B)=()A. (−2,−1)B. (−3,6)C. (−3,6]D. (−6,2)2.“m=3”是“直线l1：2(m+1)x+(m−3)y+7−5m=0与直线l2：(m−3)x+2y−5=0垂直”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知a⃗，b⃗ 均为单位向量，若|a⃗−2b⃗ |=√3，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64.设F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使|OP|=|OF1|(O为原点)，且|PF1|=√3|PF2|，则双曲线的离心率为()A. √3−12B. √3−1 C. √3+12D. √3+15.已知数列{a n}满足a n+2−2a n+1+a n=1，且a1=1，a2=2，则a10=()A. 29B. 29−1C. 56D. 466.我国古代科学家祖冲之之子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为A. 12−πB. 8−πC. 12−π2D. 12−2π7.某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入．若该公司2020年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长6%，则该公司全年投入的研发资金开始超过140万元的年份是(参考数据：lg1.4≈0.146，lg1.06≈0.025)()A. 2025年B. 2026年C. 2027年D. 2028年8.已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9.已知复数z满足(1−2i)z=3+4i(i为虚数单位)，则|z|=()A. √2B. 5C. √5D. √5210.已知函数f(x)=e x−x22−1，若f(x)≥kx在x∈[0,+∞)时总成立，则实数k的取值范围是()A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e2]11.已知a=log72，b=log0.70.2，c=0.70.2，则a，b，c的大小关系为()A. b<c<aB. a<b<cC. c<a<bD. a<c<b12.设α,β,γ为三个不同的平面，m,n为两条不同的直线，则下列命题中错误的是()A. 当α⊥β时，若β//γ，则α⊥γB. 当m⊥α,n⊥β时，若α//β，则m//nC. 当m⊂α,n⊂β时，若α//β则m,n是异面直线D. 当m//n,n⊥β时，若m⊂α则α⊥β第II卷非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知f(x)=log a(ax2−x)(a>0，且a≠1)在(14,12)上单调递增，则实数a的取值范围是．14.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是_____．15.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，则PQ=．16.既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展.现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道AC(C与A，B不重合)，A，B相距400米，在紧邻休闲小道AC的两侧及圆弧CB⌢上进行绿化，共3条绿化带。

2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴 正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。

安徽省滁州市示范中学2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A=，B=，则（）A. B. C. D.参考答案：C2. 已知集合M={},集合N={ x|lg(3-x)>0},则=( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) .{ x|1<x<2} (D)参考答案：B因为，，所以，故选.3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ( )A． B． C． D．参考答案：A4. 已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )A． B．C． D．参考答案：D5. 点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】曲线与方程．【专题】综合题；推理和证明．【分析】由曲线的方程可得，曲线关于两个坐标轴及原点都是对称的，故画出图象，结合图象求得围成的曲线的面积．【解答】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．由图可得面积S==+=+2．故选：A．【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．6. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是( ) A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”参考答案：C考点：独立性检验．专题：概率与统计．分析：根据成绩优秀的概率求出成绩优秀的学生数，从而求得c和b的值；再根据公式计算相关指数K2的值，比较与临界值的大小，判断“成绩与班级有关系”的可靠性程度．解答：解：∵成绩优秀的概率为，∴成绩优秀的学生数是105×=30，成绩非优秀的学生数是75，∴c=20，b=45，选项A、B错误．又根据列联表中的数据，得到K2=≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，故选：C ．点评：本题考查了独立性检验思想方法，熟练掌握列联表个数据之间的关系及相关指数K 2的计算公式是解题的关键．7. （5分）圆心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ：B等于（）A． 11：8 B． 3：8 C． 8：3 D． 13：8参考答案：A考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．解答：解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，∴r=，扇形的面积B=×1×=，圆锥的表面积A=B+πr2=+=，∴A：B=11：8故选：A．点评：本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题．8. 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π）且x≠时，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为（）A .2B .4 C.5D. 8参考答案：B9. 设函数是定义在R上的奇函数，且（x）=0，当x>0时，有恒成立，则不等式的解集是A．（-2，0）（2，+∞）B．（-2，O）（0，2）C．（-∞，-2）（2，+∞）D．（-∞，-2）（0，2）参考答案：D10. 若实数x,y满足条件,则z=x+3y的最大值为A9 B. 11 C. 12 D．16参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数{an}的首项a1=2，且对任意的n∈N,都有an+1=，则a1?a2…a9=．参考答案：2略12. 已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为．参考答案：3π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接球即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求．解答：解：由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1．正方体的体对角线是．故外接球的直径是，半径是．故其表面积是4×π×（）2=3π．故答案为：3π．点评：本题考查球内接多面体，解题的关键是找到球的直径与其内接多面体的量之间的关系，由此关系求出球的半径进而得到其表面积．13. 函数y=2sinxcosx-1,x的值域是参考答案：答案：解析：y＝2xinxcosx－1＝sin2x－1 〔－2，0〕14. 不等式的解集为.参考答案：15. 已知等差数列的公差，若，则_____.参考答案：略16. 在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD ，则的最大值为 ．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立适当的平面直角坐标系，设角度为参数，利用坐标表示与参数方程建立?的解析式，利用三角函数求出它的最值．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设∠BOC=x，则∠BOD=x+；∴C（2cosx ，2sinx ），D （2cos （x+），2sin （x+）），且A （﹣2，0），B （2，0）； ∴=（2cosx+2，2sinx ）， =（2cos （x+）﹣2，2sin （x+））； ∴?=（2cosx+2）×（2cos （x+）﹣2）+2sinx×2sin（x+）=4cosxcos （x+）﹣4cosx+4cos （x+）﹣4+4sinxsin （x+）=4cos﹣4cosx+4cos （x+）﹣4=﹣4cos （x ﹣）﹣2； 当cos （x ﹣）=﹣1时，?取得最大值2．故答案为：2．17. 若的展开式中含的系数为，则．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

安徽省滁州市定远县第二中学2020-2021学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “x＝3”是“x2＝9”的()．A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件参考答案：A2. 已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，，若，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．B．C．D．参考答案：A利用条件构造函数，∴，∵是定义在实数集R上的奇函数，∴是定义在实数集R上的偶函数，当时，，∴此时函数单调递增．∵，，，又，∴．故选A．3. 若函数有极值点，且<，则关于的方程的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5D．6参考答案：A 4. 已知集合，，且都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合（）A． B． C． D．参考答案：B5. 下列四组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝|x|，g(x)＝B．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg xC．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝参考答案：A6. 设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设x＞0，y∈R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”?“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．7. 若a，b都是实数，则“a－b＞0”是“a2－b2＞0”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件参考答案：D略8. 已知是坐标原点，点，若为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A BC D参考答案：A9. 在△ABC中，∠ABC= 60o，AB =2，BC=6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D略10. 已知，(0，π)，则=( )A． 1 B．C．D．1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，若，则的值等于参考答案：3略12. 观察下列各式：13=1，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，由此推得：13+23+33…+n3= ．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，进而可得答案．【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =[]2=，故答案为：．13. 已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条件,则实数的取值范围为_________________.参考答案：略14. 已知f （x ）=x 2+2xf′（1），则f′（0）= ．参考答案：﹣4【考点】导数的运算． 【专题】导数的概念及应用．【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．【解答】解：由f （x ）=x 2+2xf′（1）， 得：f′（x ）=2x+2f′（1）， 取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1）， 所以，f′（1）=﹣2． 故f′（0）=2f′（1）=﹣4， 故答案为：﹣4．【点评】本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．15. 已知，则不等式x+（x+2）f （x+2）≤5的解集是 ．参考答案：（﹣∞，]【考点】7E ：其他不等式的解法．【分析】当x+2≥0时，f （x+2）=1；x+2＜0时，f （x+2）=﹣1，对x 进行分类讨论后代入原不等式即可求出不等式的解集．【解答】解：∵不等式x+（x+2）f （x+2）≤5， ∴x+2+（x+2）f （x+2）≤7，当x+2≥0时，f （x+2）=1，代入原不等式得：x+2+x+2≤7?﹣2≤x≤；当x+2＜0时，f （x+2）=﹣1，代入原不等式得：x+2﹣x ﹣2≤7?0≤7，即x ＜﹣2； 综上，原不等式的解集为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16. 已知数列的前项和为，，，则.参考答案：17. 已知{a n }是首项为1的等比数列,若S n 是{a n }的前n 项和,且28S 3=S 6,则数列的前4项和为______.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

安徽省定远育才学校2019届高三（文化班）下学期第一次模拟考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}A x 1x 1=-<<，{}2B x log x 1=<，则A B ⋂=（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2-D ．()0,22．若复数21i z i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（i为虚数单位），则z =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．23．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为15，则输出N 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．34．某几何体的三视图如图所示，若图中的小正方形的边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π5．如图所示的风车图案中，黑色部分和白色部分分别由全等的等腰直角三角形构成，在图案内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．13C ．23D ．346．设x ，y 满足约束条件4120y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．已知向量(3,2)a =-，(,1)b x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是 A ．24B ．8C ．83D ．538．函数3xey x=的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点(2,8)在幂函数()n f x x =的图象上，设,(ln ),32a f b f c f π⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C 2D 11．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到()g x 的图象，若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为（ ） A ．5512πB ．5312πC ．256πD ．174π12．对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=，(){|0}x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4 B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3二、填空题13．设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π-=-，当0x π-<≤时，()0f x =，则20183f π⎛⎫=⎪⎝⎭___________. 14．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________． 15．设抛物线21:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，3AF =，则AOFBOFS S ∆∆=__________． 16．设函数()[](),0{1,0x x x f x f x x -≥=+<，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.22-=-，[]1.21=，[]11=，若直线10x ky -+=（0k >）与函数()y f x =的图象恰好有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．三、解答题17．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin sin sin a A c C b B c A +-=，6cos cos 1A C =.（Ⅰ）求角B 的大小及sin sin A C 的值； （Ⅱ）若b =ABC ∆的面积.18．已知数列{}n a 为等差数列，其中23528,3a a a a +==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和为n S ．求最小的正整数n ，使得20172018n S >． 19．一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：经计算得：61()()557iii x x y y =--=∑，621()84ii x x =-=∑，621()3930i i y y =-=∑线性回归模型的残差平方和621()236.64iii y y =-=∑，8.06053167e ≈，其中,i i x y 分别为观测数据中的温度和产卵数，1,2,3,4,5,6i =（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为0.2303ˆ0.06x ye =，且相关指数20.9522R =.①试与1中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好.②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该用哪种药用昆虫的产卵数（结果取整数） 附：一组数据1122(,),(,)(,)n n x y x y x y 其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计为121()()ˆ()ni i i nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-；相关指数22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AB BC ==，4AD PD ==，60BAD ∠=，120ADP ∠=，点E 为PA 的中点．（1）求证：//BE 平面PCD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线BE 与平面PAC 所成角的正弦值． 21．已知函数()ln x mf x ex +=-．（Ⅰ）设1x =是函数()f x 的极值点，求证： ln x e e x e -≥；（Ⅱ）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为13x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θβ=（0ρ>）. （1）求C 和l 的极坐标方程；（2）设点A 是m 与C 的一个交点（异于原点），点B 是m 与l 的交点，求OA OB的最大值.23．已知函数()|21||1|f x x x =-++． (1)解不等式()3f x ；(2)记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t++．参考答案1．B 【解析】分析：利用对数函数的性质化简集合B ，然后利用交集的定义求解即可. 详解：集合{}11A x x =-<<，{}21B x log x =< ()=0,2， 故()0,1A B ⋂=，故选B .点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2．C 【分析】根据复数的除法运算得到21i z i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭122i i -==，再由模长公式得到结果即可.【详解】复数21i z i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭122i i -==，根据模长的公式得到z =12=. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了复数的除法运算以及模长公式的计算，题目简单基础. 3．C 【解析】 【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量N 的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得N 15= 满足条件N 能被3整除，N 5=不满足条件N 3≤，执行循环体，不满足条件N 能被3整除，N 4= 不满足条件N 3≤，执行循环体，不满足条件N 能被3整除，N 3=满足条件N 3≤，退出循环，输出N 的值为3． 故选D ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于基础题． 4．B 【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是正方体中的四棱锥，由此求出几何体的外接球的表面积．详解：根据三视图，可得该几何体的直观图如下：利用补形法，外接球半径R ==，进而几何体外接球的表面积为12π. 点睛：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．5．B 【分析】设黑色等腰直角三角形的腰长为a ，由题意分别表示出黑色部分和白色部分的面积，由几何概型概率的求解方法即可得解. 【详解】设黑色等腰直角三角形的腰长为a ，则黑色部分的面积为221422a a ⨯=，白色部分的面积为)221442a ⋅⨯=，故所求概率为22221423a p a a ==+.故选：B. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求解，属于基础题. 6．C 【解析】分析：根据题设中的约束条件画出可行域，再将目标函数转化为直线方程，通过平移直线，即可求得z x y =+的最大值.详解：根据题中的约束条件，画出可行域如图所示：联立420y x y =⎧⎨-=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，即(2,4)A .将z x y =+转化为y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知，直线y x z =-+经过(2,4)A 时，直线y x z =-+截距最大，此时max 246z =+=.故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 7．B 【解析】试题分析：由a ∥b 得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+=++≥+=，当且仅当49x y y x=时取等号，所以选B. 考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 8．C 【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xe y x=为奇函数，图象关于原点对称，排除B ，当x=1时，y=＜1，排除A ，当x=4时，4112e y =>，排除D ，故选C ．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 9．D 【分析】求出幂函数的解析式，先比较32、ln π三个数的大小，再根据幂函数的单调性，比较,,a b c 的大小. 【详解】由已知得：82n =，解得：3n =，所以3()f x x =，1<1<，ln ln 1e π>=，又03266--==<，所以ln 32π<<由3()f x x =在R 上递增，可得：(ln )2f f f π⎛<< ⎝⎭⎝⎭， 所以a c b <<. 【点睛】2、ln π三个数的大小时，引入中间变量1，这是比较大小的常用方法.10．D 【解析】试题分析：设1212,F F c AF m ==，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴1AB AF m ==，1BF =．由椭圆的定义可知1F AB ∆的周长为4a ，∴42a m =+，2(2m a =-．∴222)AF a m a =-=．∵2222112AF AF F F +=，∴222224(21)4a a c +=，∴29e =-e =考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，得出1AB AF m ==，1BF =，再由椭圆的定义，得到1F AB ∆的周长为4a ，列出,a c 的关系式，即可求解离心率. 11．A 【解析】函数()226f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位，可得223y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向下平移1个单位，得到()2213g x sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则()()123g x g x ==-，则22,32x k k Z πππ+=-+∈，即5,12x k k Z ππ=-+∈，[]12,2,2x x ππ∈-，得12175719,,,,12121212x x ππππ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，当121917,1212x x ππ==-时，122x x -取最大值5512π，故选A. 12．D 【分析】先得出函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1．再设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，根据函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可． 【详解】函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1． 设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，若函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”， 根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1， ∴0≤β≤2，如图由于g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3必过点A （﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则()()00200022g g a ⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩或()()020g g ⋅≤，解得2≤a ≤3， 故选D 【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用 13【解析】分析：根据题设条件以及诱导公式的利用，可求得函数()f x 的周期，再根据当0x π-<≤时，()0f x =，即可求得20183f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 详解：∵()()sin f x f x x π-=-∴()()sin f x f x x π=-+，则()()sin()()sin f x f x x f x x ππ+=++=-. ∴()()sin sin ()f x f x x x f x πππ+=-+-=-，即(2)()f x f x π+=. ∴函数()f x 的周期为2π ∴2018222()(672)()()sin 33333f f f f ππππππ=+==-+ ∵0x π-<≤时，()0f x =∴20182()0sin 33f ππ=+=故答案为2. 点睛：一般含有递推关系的函数问题，可以考虑函数的周期性的问题，常见的()()f x T f x +=-，1()()f x T f x +=，1()()f x T f x +=-，都可以指出函数的周期为2T ，在解题时注意使用上述结论.14．17【解析】如图所示，连接AC 与BD 交于点O '，显然球心O 在正四棱锥P ABCD -的高PO '上， 因为球O 的半径为94，所以94OD OP ==，又因为底面ABCD 的边长为2，所以BD ==12O D BD ='=,在OO D ∆'中，由勾股定理得，所以74OO =='=, 所以97444O P OP OO ='+'=+=，在PO B ∆'中，由勾股定理得PB PC ==== 设点A 到平面PBC 的距离为h ，则由A PBC P ABC V V --= ，得111122243232h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得h =.点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及四棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）找到球心，利用球的性质，借助勾股定理求解球的相关基本量，作出计算. 15．2. 【解析】抛物线焦点为()0,1,由于直线和抛物线有两个交点,故直线斜率存在.根据抛物线的定义可知13A AF y =+=,故A 的纵坐标为2,横坐标为±.不妨设()2A -,故直线l 的方程为14y x =-+,联立直线方程和抛物线方程,化简得240x +-=,解得A B x x =-故21142B y =⨯=.所以2A AOF BOF B x S S x ∆∆===. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的几何性质和定义.考查三角形面积公式.在解题过程中,先根据题目所给抛物线的方程求得焦点的坐标,然后利用抛物线的定义:到定点的距离等于到定直线的距离,由此求得A 点的坐标,进而求得直线l 的方程,联立直线方程和抛物线方程求得B 点的坐标.最后求得面积比. 16．23k <≤ 【分析】画出函数f （x ）和函数g （x ）=1x k + 的图象，利用斜率和题意可得：k PA ≤1k＜k PC ，解出k 的取值范围即可． 【详解】 画出函数()[](),0{1,0x x x f x f x x -≥=+<和10(0)x ky k -+=>的图象，如图所示，直线10(0)x ky k -+=>与函数()y f x =的图象恰有两个不同的交点，结合图象可得1PA PC k k k≤<， 又因为()()1111,213112PA PC k k ====----，即11132k ≤<，解得23k <≤．【点睛】本题考查了函数的图象的交点问题，对于方程解的个数(图象的交点个数或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．要用函数的思想指导解题，即方程的问题函数解(方程的根即相应函数图象与x 轴交点的横坐标，或是方程变形后，等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标)，不等式的问题函数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应x 的范围)．17．(1)见解析;(2)ABC S ∆=【解析】试题分析：（1）由sin sin sin sin a A c C b B c A +-=及正弦定理，得222a c b ac +-=，结合余弦定理可得3B π=，由6cos cos 1A C =得1cos cos 6A C =，又()1cos ?cos cos sin sin 2A C A C A C +=-=-，从而得到sin sin A C 的值；（2）由正弦定理及2sin sin 3A C =，可得ac ，从而求出ABC ∆的面积.试题解析：（Ⅰ）由sin sin sin sin a A c C b B c A +-=及正弦定理，得222a c b ac +-=由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===又0B π<<， 则3B π=由6cos cos 1A C =得1cos cos 6A C =由()()1cos cos cos 2A C B B π+=-=-=-，得1cos cos sin sin 2A C A C -=- 则12sin sin cos cos 23A C A C =+=.（Ⅱ）由正弦定理得 sin sin sin a c b A C B ==， 又b =3B π= 则4sin sin a c A C== 从而16sin sin sin sin a c ac A C A C ⋅==，又2sin sin 3A C = 所以23216sin sin 1633ac A C ==⨯=故1132sin 223ABC S ac B ∆==⨯=. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.18．(1)21n a n =-;(2)1009. 【解析】分析：第一问利用题中所给的条件，建立首项1a 和公差d 所满足的等量关系式，求得首项1a 和公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式求得结果，第二问利用裂项相消法求和，建立对应的不等关系式，借助于n 的范围求得结果. 详解：（1)设等差数列的公差为， 依题意有解得，从而的通项公式为；(2) 因为，所以．令 ， 解得，故取．点睛：该题考查的是有关等差数列的有关问题，一是涉及等差数列的通项公式，二是有关裂项相消法求和，在求通项公式的时候注意向首项和公差看齐，求得通项公式，二是利用其和建立相应的不等式，结合n 的范围求得结果.19．（1）ˆ 6.6138.6yx =- （2）①用非线性回归模型拟合效果更好；②190个 【分析】（1）求出x 、y 后代入公式直接计算得ˆb、ˆa ，即可得解； （2）求出线性回归模型的相关指数，与0.9522比较即可得解；（3）直接把35x =代入0.2303ˆ0.06x ye =，计算即可得解. 【详解】（1）由题意6n =，则611266i i x x ===∑，611336i i y x ===∑，61621()()557ˆ 6.684()iii ii x x y y bx x ==--==≈-∑∑，ˆ33 6.626138.6a =-⨯=-， y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.6138.6yx =-. （2）①对于线性回归模型，621()3930ii y y =-=∑，621()236.64i i i y y =-=∑，相关指数为621621()1()iii ii y y y y ==---∑∑236.6413930=-10.06020.9398≈-=因为0.93980.9522<，所以用非线性回归模型拟合效果更好.②当35x =，时0.230335ˆ0.06ye ⨯=8.06050.06e =⨯0.063167190.02190=⨯=≈（个）所以温度为35C ︒时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解、相关指数的应用以及非线性回归方程的应用，考查了计算能力，属于中档题. 20．（1）见解析；（2）35【解析】分析：（1）取PD 中点F ，连结,CF EF ．先证明//BE CF ，再证明BE//平面PCD ．（2）利用向量的方法求直线BE 与平面PAC 所成角的正弦值． 详解：（1）取PD 中点F ，连结CF,EF ．因为点E 为PA 的中点，所以EF//AD 且1EF=AD 2， 又因为BC//AD 且1BC=AD 2，所以EF//BC 且EF=BC ， 所以四边形BCFE 为平行四边形，所以BE//CF ，又BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以BE//平面PCD ．（2）在平面ABCD 中，过D 作DG AD ⊥，在平面PAD 中，过D 作DH AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，所以DG ⊥平面PAD ，所以DG DH ⊥，所以DA,DG,DH 两两互相垂直.以D 为原点，向量,,DA DG DH 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz - （如图），则()4,0,0A，()B，()C，(P -，()1,0,3E ， 7分所以()AC =-，(AP =-，(2,EB =， 设(),,n x y z =是平面ACP 的一个法向量，则0,0,n AC n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即330,60,x y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1x =，得(n =． 设直线BE 与平面PAC 所成角为θ．则cos ,10sin n EB θ=== 所以直线BE 与平面PAC ．点睛：本题主要考查空间几何位置关系的证明和线面角的求法，意在考查学生位置关系的证明和线面角的计算等基础知识的掌握能力和基本运算能力. 位置关系的证明和空间角的求法都有两种方法，一是几何方法，一是向量的方法，注意理解掌握和灵活运用. 21．(1)见解析;(2)[ln ,)a a --+∞. 【解析】试题分析：（1）由1x =是函数()f x 的极值点可得1m =-，只要证明()1f x ≥即可；（2））()1(0)x m f x e x x +=->'，设()1(0)x m g x e x x +=->，则()210x m g x e x+=+>' 所以()g x 即()f x '在()0,+∞上单调递增，由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()f x '在()0,+∞上的唯一零点，所以001x mex +=，即00ln x m x +=-，()0f x ≥恒成立，即()f x 的最小值恒大于等于零即可.试题解析：（Ⅰ）证明：()1(0)x mf x ex x+=->' 因为1x =是函数()f x 的极值点，所以()1110mf e +-'==，解得1m =-经检验，1m =-符合题意则()11(0)x f x ex x-=->'，()1ln (0)x f x e x x -=-> 当01x <<时，1001x e e -<<=，11x -<-，所以()0f x '<；当1x >时，101x e e ->=，110x-<-<，所以()0f x '>所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 所以()()min11f x f ==，从而()1f x ≥，即ln 1xe x e-≥，所以ln x e e x e -≥（Ⅱ）()1(0)x mf x ex x +=->'，设()1(0)x m g x e x x +=->，则()210x m g x e x+=+>' 所以()g x 即()f x '在()0,+∞上单调递增由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()f x '在()0,+∞上的唯一零点 所以001x mex +=，则001ln ln x mex +=，即00ln x m x +=- 当00x x <<时，()()00f x f x ''<=；当0x x >时，()()00f x f x ''>= 所以函数()f x 在()0,x x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 从而函数()f x 在0x x =处取得最小值所以()()()000000011ln x mf x f x ex x m x m x x +≥=-=++=++ 因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥ 所以00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥，也即00ln 1ln x x a a ≤= 令()ln (0)h x x x x =>，则有()()01h x h a ≤=因为函数()ln h x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 且当()0,1x ∈时，()0h x <；当()1,x ∈+∞时，()0h x >， 所以0x a ≤ 从而0x a -≥-，0ln ln x a -≥-，于是00ln ln x x a a --≥-- 所以ln m a a ≥--，故m 的取值范围为[)ln ,a a --+∞ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 22．（1）2cos ρθ=， cos sin 40ρθρθ+-=.（2）14. 【解析】（1）曲线C 的一般方程为()221+1x y -=，由,,cos x sin y ρθρθ=⎧⎨=⎩得()222cos 1+sin 1ρθρθ-=，化简得C 的极坐标方程为2cos ρθ=，因为l 的一般方程为40x y +-=， 极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. （2）设()()12,,,A B ρβρβ，则12OA OBρρ== sin cos 2cos 4βββ+⋅ ()21sin cos cos 2βββ=+π1sin 2444β⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，由射线m 与C 相交，则不妨设ππ,44β⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 则ππ3π2,444β⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以当ππ2,42β+=即π8β=时，OA OB 取最大值，此时14OA OB=. 23．(1) {|11}x x -≤≤ (2)见解析 【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得()g x 最小值，即得值域为M ，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得结果. 【详解】（1）依题意，得()3,1,12,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得()1,3{33,x f x x ≤-≤⇔-≤或11,{223,x x -<<-≤或1,{233,x x ≥≤解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号， ∴[)3,M =+∞.原不等式等价于()()23223133331t t t t t t t t t t -+-+--+-==. ∵t M ∈，∴30t -≥， 210t +>. ∴()()2310t t t-+≥.∴2313t t t+≥+. 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

2021年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学一模试卷〔文科〕一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕1．〔5分〕复数满足，那么A．B．5C．D．102．〔5分〕假设实数，满足条件，那么的最大值为A．10B．6C．4D．3．〔5分〕双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上，那么该双曲线的离心率为A．B．C．D．4．〔5分〕执行如下图的程序框图，那么输出的结果为A．7B．9C．10D．115．〔5分〕?九章算术?中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵〞，某“堑堵〞的三视图如下图，那么该“堑堵〞的外表积为A．4B．C．D．26．〔5分〕某中学有高中生3000人，初中生2021人，男、女生所占的比例如下图．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，从高中生中抽取女生21人，那么从初中生中抽取的男生人数是A．12B．15C．2021．217．〔5分〕是椭圆的左焦点，为上一点，，那么的最小值为A．B．C．4D．8．〔5分〕如图为函数的图象，那么该函数可能为A．B．C．D．9．〔5分〕下面几个命题中，假命题是A．“假设，那么〞的否命题B．“，函数在定义域内单调递增〞的否认C．“是函数的一个周期〞或“是函数的一个周期〞10．〔5分〕假设，，，那么的值为A．2B．C．D．11．〔5分〕中，，，，点是内〔包括边界〕的一动点，且，那么的最大值是A．B．C．D．12．〔5分〕在四面体中，，，，那么它的外接球的面积A．B．C．D．二、填空题〔共4小题，每题5分，共202113．〔5分〕函数，假设在区间内没有极值点，那么的取值范围是．14．〔5分〕是上的偶函数，且在，单调递增，假设〔4〕，那么的取值范围为．15．〔5分〕为锐角，且，那么．16．〔5分〕抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，射线，分别交抛物线于异于点的点，，假设，，三点共线，那么的值为．三、解答题〔共5小题，共70分〕17．〔12分〕在中，角，，的对边分别为，，，，且．〔1〕求角的大小；〔2〕设函数，求函数的最大值．18．〔12分〕数列的前项和是，且．〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕令，求数列前项的和．19．〔12分〕某城市的华为专卖店对该市市民使用华为的情况进行调查．在使用华为的用户中，随机抽取100名，按年龄〔单位：岁〕进行统计的频率分布直方图如图：〔1〕根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数〔同一组数据用该区间的中点值作代表〕和中位数的估计值〔均精确到个位〕；〔2〕在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取2021加华为宣传活动，再从这2021年龄在，和，的人群里，随机选取2人各赠送一部华为，求这2名市民年龄都在，内的概率．202112分〕如图，在四面体中，，．〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕假设与平面所成的角为，点是的中点，求二面角的大小．21．〔12分〕函数，〔Ⅱ〕假设，求证：，，．[选修4-5：不等式选讲]22．〔10分〕函数．〔1〕假设，解不等式；〔2〕假设存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．2021年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学一模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕【解答】解：，，．应选：．【解答】解：先根据实数，满足条件画出可行域如图，做出基准线，由图知，当直线过点时，最大值为：6．应选：．【解答】解：根据双曲线的性质可得，中在双曲线上，那么一定不在双曲线上，那么在双曲线上，，，解得，，，，应选：．【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出，应选：．【解答】解：由中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：，故棱柱的外表积，应选：．【解答】解：由扇形图得：中学有高中生3000人，其中男生，女生，初中生2021人，其中男生，女生，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，从高中生中抽取女生21人，那么，解得，从初中生中抽取的男生人数是：．应选：．【解答】解：椭圆，可得，．设为椭圆的右焦点，那么，，．，三点，，共线时取等号．应选：．【解答】解：根据题意，由的图象分析可得为奇函数，进而依次分析选项：对于，，有，函数为偶函数，不符合题意；对于，，有，函数为奇函数，且时，，时，，符合题意，对于，，有，函数为奇函数，且时，，时，，不符合题意，对于，，当时，，反之当时，，不符合题意；应选：．【解答】解：．“假设，那么〞的否命题是“假设，那么〞，是真命题；．“，函数在定义域内单调递增〞的否认为“，函数在定义域内不单调递增〞，正确，例如时，函数在上单调递减；．“是函数的一个周期〞不正确，“是函数的一个周期〞正确，可知：“是函数的一个周期〞或“是函数的一个周期〞正确．．“〞“〞，反之不成立，因此“〞是“〞的充分不必要条件，因此不正确．综上可知：只有是错误．【解答】解：，．又，，，那么，应选：．【解答】解：中，，，，，，，；以为原点，以所在的直线为轴，建立如下图的坐标系，如下图，，，，，，，，设点为，，，，，，，，，，，①直线的方程为，②，联立①②，得，此时最大，．应选：．【解答】解：如下列图所示，，，由勾股定理可得，，所以，，设的中点为点，那么，那么点为四面体的外接球球心，且该球的半径为，因此，四面体的外表积为．应选：．二、填空题〔共4小题，每题5分，共2021【解答】解：函数在区间内没有极值点，，或，；解得，或，；令，可得，或，；又，的取值范围是，，．故答案为：，，．【解答】解：是上的偶函数，且在，单调递增，不等式〔4〕等价为〔4〕，即，即，得，即实数的取值范围是，故答案为：【解答】解：，，，为锐角，，，，故答案为：．【解答】解：抛物线的焦点为，点，，那么射线的方程为，的方程为，由，解得点，；由，解得，；，，又，，三点共线，，解得，的值为2．故答案为：2．三、解答题〔共5小题，共70分〕【解答】解：〔1〕在中，，，．，由正弦定理可得且，，，故．〔2〕，且，由〔1〕得，的最大值为2．【解答】解：〔Ⅰ〕由．时，，相减可得：，时，，解得．数列是等比数列，公比为2，首项为1．．〔Ⅱ〕．于是数列是首项为0，公差为1的等差数列．数列前项的和．【解答】解：〔1〕根据频率分布直方图，计算平均值为：；由频率分布直方图知，，，所以中位数位于区间，年龄段中，设中位数为，所以，解得；记为、、、，2人位于，年龄段内，记为、；现从这6人中随机抽取2人，设根本领件空间为，那么中的根本领件为、、、、、、、、、、、、、、共15种不同取法；设2名市民年龄都在，为事件，那么中包含的根本领件为、、、、、共6种；所以所求的概率为〔A〕．【解答】证明：〔Ⅰ〕由得，，又，，平面，，又，，平面，．解：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，与平面所成的角为，即，设，那么，在中，，由〔Ⅰ〕中，平面，得平面平面，在平面内，过点作，那么平面，以为原点，建立空间直角坐标系，那么，0，，，0，，，2，，，1，，由，，解得，0，，，1，，，0，，设平面的法向量为，，，那么，取，解得，，，又，0，是平面的一个法向量．设二面角的大小为，由图知为锐角，那么，，即二面角的大小为．【解答】解：，定义域为，，由题意知，即，解得：，所以，，又、、在上单调递增，所以当时，；当时，，得在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为；假设，得，，由在上单调递增，可知在上的单调性有如下三种情形：①当在上单调递增时，可知，即，即，解得：，，令，那么，所以单调递增，〔1〕，所以；②当在上单调递减时，可知，即，即，解得：，得，所以；③当在，上先减后增时，得在，上先负后正，所以，，即，取对数得，可知，所以；综上①②③得：，，．[选修4-5：不等式选讲]【解答】解：〔1〕时：，可得或或，解得：；故不等式的解集是，；〔2〕不等式成立，即，由绝对值不等式的性质可得：，即有的最小值为，解得：．。