19-20 第2章 §2 2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程

椭圆的定义、性质及标准方程

1. 椭圆的定义：

⑴第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆。

定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12FF。②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。

2.

椭圆的标准方程、图形及几何性质：

标准方程 )0(12222babyax

中心在原点，焦点在x轴上 )0(12222babxay

中心在原点，焦点在y轴上

图形

范围 xayb， xbya，

顶点 12120000AaAaBbBb，、，，、， 12120000AaAaBbBb，、，，、，

对称轴 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上 x轴、y轴；

长轴长2a，短轴长2b；

焦点在长轴上

焦点 1200FcFc，、， 1200FcFc，、，

焦距 )0(221ccFF )0(221ccFF

离心率 )10(eace )10(eace

准线 2axc 2ayc

参数方程与普通方程 22221xyab的参数方程为

cossinxayb为参数 22221yxab的参数方程为

cossinyaxb为参数

3. 焦半径公式：

椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，00Pxy，是椭圆上任一点，则10PFaex，20PFaex。 推导过程：由第二定义得11PFed（1d为点P到左准线的距离），

1 高中数学目录

必修一

第一章

1.1集合与集合的表示方法

1.1.1集合的概念

1.1.2集合的表示方法

第二章

2.1函数

2.1.1函数

2.1.2函数的表示方法

2.1.3函数的单调性

2.1.4函数的奇偶性

2.1.5用计算机作函数图像（选学）

2.2一次函数和二次函数

2.2.1一次函数的性质与图像

2.2.2二次函数的性质与图像

2.3函数的应用（1）

2.4函数与方程

2.4.1函数的零点

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法----二分法

第三章基本初等函数（1）

2 3.1指数与指数函数

3.1.1实数指数幂及其运算

3.1.2指数函数

3.2对数与对数函数

3.2.1对数及其运算

3.2.2对数函数

3.2.3指数函数与对数函数的关系

3.3幂函数

3.4函数的应用（2）

必修二

第一章立体几何初步

1.1空间几何体

1.1.1构成空间几何体的基本元素

1.1.2棱柱 棱锥 棱台的结构特征

1.1.3圆柱 圆锥 圆台 和 球

1.1.4投影与直观图

1.1.5三视图

1.1.6棱柱 棱锥 棱台和球的表面积

1.1.7柱 锥 台和球的体积

1.2点 线 面之间的位置关系

1.2.1平面的基本性质与推论

3 1.2.2空间中的平行关系

1.2.3空间中的垂直关系

第二章 平面解析几何初步

2.1平面直角坐标系中的基本公式

2.1.1数轴上的基本公式

2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

2.2直线的方程

2.2.1直线方程的概念与直线的斜率

2.2.2直线方程的集中形式

2.2.3两条直线的位置关系

2.2.4点到直线的距离

2.3圆的方程

2.3.1圆的标准方程

2.3.2圆的一般方程

2.3.3直线与圆的位置关系

2.3.4圆与圆的位置关系

2.4空间直角坐标系

2.4.1空间直角坐标系

2.4.2空间两点距离公式

必修三

第一章 算法初步

4 1.1算法与程序框图

二 圆锥曲线的参数方程

1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)

2．了解双曲线、抛物线的参数方程．

3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1 椭圆的参数方程

阅读教材P27～P29“思考”及以上部分，完成下列问题．

普通方程 参数方程

x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) 

x＝acos φy＝bsin φ(φ为参数)

y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)  x＝bcos φy＝asin φ(φ为参数)

椭圆 x＝4cos φy＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )

A.45 B.35

C.34 D.15

【解析】 由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝35.

【答案】 B

教材整理2 双曲线的参数方程

阅读教材P29～P32，完成下列问题.

普通方程 参数方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)  x＝asec φy＝btan φ(φ为参数)

下列双曲线中，与双曲线 x＝3sec θ，y＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )

A.y23－x29＝1 B.y23－x29＝－1

C.y23－x2＝1 D.y23－x2＝－1

【解析】 由x＝3sec θ得，

x2＝3cos2θ＝3sin2θ＋cos2θcos2θ＝3tan2θ＋3，

又∵y＝tan θ，

∴x2＝3y2＋3，即x23－y2＝1.

经验证可知，选项B合适．

【答案】 B

教材整理3 抛物线的参数方程

阅读教材P33～P34“习题”以上部分，完成下列问题．

1．抛物线y2＝2px的参数方程是 x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．

2．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 x＝4t2y＝4t(t为参数)上，则|PF|＝________.

word 1 / 10 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程

[核心必知]

1．双曲线的参数方程

(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是x＝asecφ，y＝btan φ，规定参数φ的取值X围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．

(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2a2－x2b2＝1的参数方程是x＝btan φ，y＝asecφ．

2．抛物线的参数方程

(1)抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt，t∈R．

(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．

[问题思考]

1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？

提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角．

2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？

提示：如果x对应的参数形式是asecφ，那么焦点在x轴上；

如果y对应的参数形式是asecφ，那么焦点在y轴上． word

2 / 10 3．假设抛物线的参数方程表示为x＝2ptan2α，y＝2ptan α.那么参数α的几何意义是什么？

提示：参数α表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角．

在双曲线x2－y2＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为2.

[精讲详析] 此题考查双曲线的参数方程的应用，解答此题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解．

设P的坐标为(secφ，tan φ)，由P到直线x－y＝0的距离为2得|secφ－tan φ|2＝2

得|1cos φ－sin φcos φ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|

平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，

即5sin 2φ－2sin φ－3＝0.

解得sin φ＝1或sin φ＝－35.

sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)．