高中数学 第二章 参数方程 2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程学案 北师大版选修44

1 2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程

[对应学生用书P24]

[自主学习]

1．有向线段的数量

如果P，M是l上的两点，P到M的方向与直线的正方向一致，那么PM取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段PM的数量．

2．直线参数方程的两种形式

(1)经过点P(x0，y0)、倾斜角是α的直线的参数方程为： x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．

其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段PM的数量来表示．

(2)经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为 x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．

其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M分有向线段QP的数量比QMMP.

①当λ>0时，M为内分点；

②当λ<0且λ≠－1时，M为外分点；

③当λ＝0时，点M与Q重合．

[合作探究]

1．如何引入参数求过定点P(x0，y0)且与平面向量a＝(a，b)或斜率为ba平行的直线的参数方程？

提示：在直线l上任取一点M(x，y)，因为PM∥a，由两向量共线的充要条件以及PM＝(x－x0，y－y0)，可得x－x0a＝y－y0b，设这个比值为t，即：x－x0a＝y－y0b＝t，则有：2  x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t∈R)．

2．问题1中得到的参数方程中参数何时与 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t∈R)中参数t具有相同的几何意义？

提示：当a2＋b2＝1时．

[对应学生用书P24]

直线参数方程的确定

[例1] 已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.

(1)写出直线l的参数方程；

(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．

[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α得到直线的参数方程，然后与x－y＋1＝0联立可求得交点．

[精解详析] (1)直线l的参数方程为

 x＝3＋tcos 120°，y＝4＋tsin 120°(t为参数)，

即 x＝3－12t，y＝4＋32t(t为参数)．

(2)把 x＝3－12t，y＝4＋32t代入x－y＋1＝0，

得3－12t－4－32t＋1＝0，得t＝0. 3 把t＝0代入 x＝3－12t，y＝4＋32t，得两直线的交点为(3,4)．

1．已知直线经过的定点与其倾斜角，求参数方程利用 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．

2．已知直线过两点，求参数方程利用 x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λλ为参数且λ≠－

3．已知直线经过的定点与其方向向量a＝(a，b)(或斜率ba)，则其参数方程可为： x＝x0＋ta，y＝y0＋tb(t为参数)．

1．已知两点A(1,3)，B(3,1)和直线l：y＝x，求过点A，B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点M分AB的比．

解：设直线AB与l的交点M(x，y)，且AMMB＝λ，则直线AB的参数方程为 x＝1＋3λ1＋λ，y＝3＋λ1＋λ(λ为参数且λ≠－1)．①

把①代入y＝x得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，

所以点M分AB的比为1∶1.

利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题

[例2] 写出经过点M0(－2,3)，倾斜角为3π4的直线l的参数方程，并且求出直线l上与点M0相距为2的点的坐标． 4 [思路点拨] 本题考查直线参数方程 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)的应用，特别是参数几何意义的应用．解答此题需先求出直线上与点M0相距为2的点对应的参数t，然后代入参数方程求此点的坐标．

[精解详析] 直线l的参数方程为

 x＝－2＋tcos3π4，y＝3＋tsin3π4(t为参数)．①

设直线l上与已知点M0相距为2的点为M点，M点对应的参数为t，则|M0M|＝|t|＝2，

∴t＝±2.将t的值代入①式：

当t＝2时，M点在M0点上方，其坐标为(－2－2，3＋2)；

当t＝－2时，M点在M0点下方，其坐标为(－2＋2，3－2)．

1．过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)，|t|的几何意义是有向线段PM的长度，即P与M间的距离．

2．过定点M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是 x＝x0＋at，y＝y0＋bt(a，b为常数，t为参数)．当a2＋b2＝1时，|t|的几何意义是有向线段0MM的长度，当a2＋b2≠1时，|t|的几何意义是0MM的长度的1a2＋b2.

2．过点A(1，－5)的直线l1的参数方程为 x＝1＋t，y＝－5＋3t(t为参数)，它与方程为x－y－23＝0的直线l2相交于一点P，求点A与点P之间的距离．

解：将直线l1的参数方程化为 5  x＝1＋12t，y＝－5＋32t(t为参数)．

122＋322＝1且32＞0，令t′＝2t，则将t′代入上述方程得直线l1 的参数方程的标准式为

 x＝1＋12t′，y＝－5＋32t′(t′为参数)．代入x－y－23＝0得

1＋12t′－－5＋32t′－23＝0，解得t′＝43，

∴|AP|＝|t′|＝43.

直线与圆锥曲线的位置关系

[例3] 已知直线l过点P(1,0)，倾斜角为π3，直线l与椭圆x23＋y2＝1相交于A，B两点，设线段AB的中点为M.

(1)求P，M两点间的距离；

(2)求线段AB的长|AB|.

[思路点拨] 本题考查直线的参数方程在解决直线与圆锥曲线相交中的中点、弦长等问题中的应用，解答此题需要求出直线的形如 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)的方程，然后利用参数的几何意义求解．

[精解详析] (1)∵直线l过点P(1,0)，倾斜角为π3，cos α＝12，sin α＝32.

∴直线l的参数方程为 x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)．①

∵直线l和椭圆相交，将直线的参数方程代入椭圆方程

并整理得5t2＋2t－4＝0，Δ＝4＋4×5×4>0. 6 设这个二次方程的两个实根为t1，t2.

由根与系数的关系得：t1＋t2＝－25，t1t2＝－45，

由M为AB的中点，根据t的几何意义，

得|PM|＝|t1＋t22|＝15.

(2)|AB|＝|t2－t1|＝t1＋t22－4t1t2＝8425＝2215.

1．在解决直线与圆锥曲线相交关系的问题中，若涉及到线段中点、弦长、交点坐标等问题，利用直线参数方程中参数t的几何意义求解，比利用直线l的普通方程来解决更为方便．

2．在求直线l与曲线C：f(x，y)＝0的交点间的距离时，把直线l的参数方程 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α代入f(x，y)＝0，可以得到一个关于t的方程f(x0＋tcos α，y0＋tsin α)＝0.假设该方程的解为t1，t2，对应的直线l与曲线C的交点为A，B，那么由参数t的几何意义可得|AB|＝|t1－t2|.

(1)弦AB的长|AB|＝|t1－t2|.

(2)线段AB的中点M对应的参数t＝t1＋t22(解题时可以作为基本结论使用)．

3．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 x＝1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

解：将直线l的参数方程 x＝1－22t，y＝2＋22t(t为参数)代入抛物线方程y2＝4x， 7 得2＋22t2＝41－22t，解得t1＝0，t2＝－82.

所以AB＝|t1－t2|＝82.

本课时常考查直线参数方程的确定与应用，同时考查运算、转化及求解能力，高考、模拟常与极坐标方程及圆锥曲线的参数方程交汇命题．

[考题印证]

(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： x＝2s＋1，y＝s(s为参数)和直线l2： x＝at，y＝2t－1(t为参数)平行，则常数a的值为________．

[命题立意] 本题主要考查对参数方程的理解、两直线的位置关系，以及平面直角坐标系下由两直线的位置关系确定参数值的方法．

[自主尝试] 先把两直线的参数方程化成普通方程．直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：2x－ay－a＝0.因为两直线平行，所以1×(－a)＝－2×2，故a＝4，经检验，符合题意．

[答案]

4

[对应学生用书P26]

一、选择题

1．已知直线l过点A(1,5)，倾斜角为π3，P是l上一动点，若以PA＝t为参数，则直线l的参数方程是(

)

A. x＝1＋12t，y＝5－32t B. x＝1－12t，y＝5＋32t

C. x＝1＋12t，y＝5＋32t D. x＝1－12t，y＝5－32t

解析：选D ∵PA＝t，∴AP＝－t. 8 则参数方程为 x＝1＋－tπ3，y＝5＋－tπ3，

即 x＝1－12t，y＝5－32t.故选D.

2．直线 x＝3＋tsin 20°，y＝－tcos 20°(t为参数)的倾斜角是( )

A．20° B．70°

C．110° D．160°

解析：选C 法一：将原方程改写成

 x－3＝tsin 20°，－y＝tcos 20°，消去t，得y＝tan 110°(x－3)，

所以直线的倾斜角为110°.

法二：将原参数方程化为 x＝3＋－t，y＝－t，

令－t＝t′，则 x＝3＋t′cos 110°，y＝t′sin 110°，

所以直线的倾斜角为110°.

3．直线 x＝－2－2t，y＝3＋2t(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )

A．(－4,5) B．(－3,4)

C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)

解析：选C 设直线上的点Q(－2－2t,3＋2t)与点P(－2,3)的距离等于2，

即d＝－2－2t＋2＋＋2t－2＝2.

解得t＝±22.