第2章2.1~2.2 直线与圆的参数方程

§2 直线和圆锥曲线的参数方程

2.1 直线的参数方程

2.2 圆的参数方程

1.直线的参数方程

(1)经过点P(x0，y0)、倾斜角是α的直线的参数方程为

x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)①

其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段PM→的数量来表示.

(2)经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为

x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1).

其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M分有向线段QP→的数量比QMMP.

当λ＞0时，M为内分点；

当λ＜0且λ≠－1时，M为外分点；

当λ＝0时，点M与Q重合.

2.圆的参数方程

(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程x＝rcos α，y＝rsin α(α为参数).

参数α的几何意义是OP与x轴正方向的夹角.

(2)去掉圆与x轴负半轴交点，圆心在原点、半径为r的圆的参数方程.x＝（1－k2）r1＋k2，y＝2kr1＋k2(k为参数)参数k的几何意义是直线AP的斜率.

【思维导图】

【知能要点】

1.直线的参数方程.

2.直线的参数方程的应用.

3.圆的参数方程及应用.

题型一 直线的参数方程

直线的参数方程x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α (α为参数)中，α，x0，y0都是常数，对于同一直线，选取的参数不同，会得到不同的参数方程.对于直线普通方程y＝2x＋1，如果令x＝t，可得到参数方程x＝t，y＝2t＋1 (t为参数)；如果令x＝t2，可得到参数方程x＝t2，y＝t＋1 (t为参数).这样的参数方程中的t不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，点M从A点(1，1)开始运动，求点M的轨迹的参数方程.点M的轨迹的参数方程可以直接写为x＝1＋9t，y＝1＋12t (t为参数).

【例1】 设直线的参数方程为x＝－4＋22t，y＝22t (t为参数)，

点P在直线上，且与点M0(－4，0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成x＝－4＋t，y＝t (t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为________.

解析 由|PM0|＝2知t＝±2，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(－3，1)或(－5，－1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t＝1或t＝－1.

答案 ±1

【反思感悟】 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.

1.已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5，4)和点N(－2，6)的距离.

解 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为x＝1＋45t，y＝1＋35t(t为参数).

因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上.

由1＋45t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.

因为点N不在直线l上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN|＝（1＋2）2＋（1－6）2＝34.

【例2】 已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6，

(1)写出直线l的参数方程；

(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积.

解 (1)直线的参数方程是x＝1＋32t，y＝1＋12t(t是参数).

(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A1＋32t1，1＋12t1，

B1＋32t2，1＋12t2.

以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，

整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0.①

因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.

所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.

【反思感悟】 本题P到A、B两点的距离就是参数方程中t的两个值，可以充分利用参数的几何意义.

2.已知直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数).

(1)分别求t＝0，2，－2时对应的点M(x，y)；

(2)求直线l的倾斜角；

(3)求直线l上的点M(－33，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.

解 (1)由直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)知当t＝0，2，－2时，

分别对应直线l上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1).

(2)法一 化直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)为普通方程为y－2＝33(x＋3)，其中k＝tan α＝33，0≤α

∴直线l的倾斜角α＝π6. 法二 由于直线l：x＝－3＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6(t为参数)，这是过点M0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求.

(3)由上述可知直线l的单位方向向量

e＝cosπ6，sinπ6＝32，12.

∵M0(－3，2)，M(－33，0)，

∴M0M→＝(－23，－2)＝－432，12＝－4e，

∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M→|＝4，

且M0M→与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方).

题型二 直线参数方程的应用

利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.

【例3】 过点P102，0作倾斜角为α的直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值.

解 设直线为x＝102＋tcos α，y＝tsin α (t为参数)，

代入曲线并整理得(1＋11sin2α)t2＋(10cos α)t＋32＝0.

则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝321＋11sin2 α.

所以当sin2

α＝1时，

即α＝π2，|PM|·|PN|的最小值为18，此时α＝π2.

【反思感悟】 利用直线的参数方程中参数的几何意义，将最值问题转化为三角函数的值域，利用三角函数的有界性解决.

3.已知曲线的参数方程x＝3cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)，求曲线上一点P到直线x＝2－3t，y＝2＋2t(t为参数)的最短距离.

解 P(3cos θ，2sin θ)直线：2x＋3y－10＝0

d＝|6cos θ＋6sin θ－10|13＝|62sinθ＋π4－10|13

62sinθ＋π4－10∈[－62－10，62－10]

∴|62sinθ＋π4－10|13∈10－6213，10＋6213

∴dmin＝10－6213.

【例4】 如图所示，过不在椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任一点P作两条直线l1，l2分别交椭圆于A，B和C，D四点，若l1，l2的倾斜角为α，β且满足α＋β＝π.求证：A，B，C，D四点共圆.

证明 设P(x0，y0)，

直线l1：x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α (t为参数)，直线l2：x＝x0＋pcos β，y＝y0＋psin β

(p为参数)，分别代入椭圆方程得

(b2cos2 α＋a2sin2 α)t2＋2(b2x0cos α＋a2y0sin α)t＋b2x20＋a2y20－a2b2＝0；

(b2cos2 β＋a2sin2 β)p2＋2(b2x0cos β＋a2y0sin β)p＋b2x20＋a2y20－a2b2＝0.

∵α＋β＝π，∴cos2 α＝cos2 β，sin2 α＝sin2 β，

∴t1t2＝p1p2，即|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.由平面几何知识知，A，B，C，D四点共圆.

【反思感悟】 本题利用平面几何知识，要证四点A，B，C，D共圆，只需证|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，又转化为距离问题，利用参数的几何意义计算即可.

4.直线l通过P0(－4，0)，倾斜角α＝π6，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.

(1)求弦长|AB|；

(2)过P0作圆的切线，求切线长；

(3)求|P0A|和|P0B|的长；

(4)求交点A，B的坐标.

解 ∵直线l通过P0(－4，0)，倾斜角α＝π6，

所以可设直线l的参数方程为x＝－4＋32t，y＝t2，

代入圆方程，得－4＋32t2＋12t2＝7，

整理得t2－43t＋9＝0.

(1)设A，B对应的参数分别为t1和t2，

由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1t2＝9，

∴|AB|＝|t2－t1|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝23.

(2)设过P0的切线为P0T，切点为T，

则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，

∴切线长|P0T|＝3.

(3)解方程t2－43t＋9＝0，得t1＝33，t2＝3，

∴|P0A|＝33，|P0B|＝3.

(4)将t1＝33，t2＝3代入直线参数方程

x＝－4＋32t，y＝t2，得A点坐标为12，332，B点坐标为－52，32.

题型三 圆的参数方程及其应用

如果取半径绕原点O逆时针旋转的转过的角度θ为参数，圆x2＋y2＝r2对应的参数方程为x＝rcos θ，y＝rsin θ. 同理，圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2对应的参数方程为x＝x0＋rcos θ，y＝y0＋rsin θ(θ为参数).

圆的参数方程对于需要将圆上点的两个坐标分别表示，代入计算的问题比较方便.

【例5】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值.

分析 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立平面直角坐标系.将P点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值.

解 以AB所在直线为x轴，以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系.

因为|AB|＝10，所以圆的参数方程为x＝5cos θ，y＝5sin θ(θ为参数).

因为|AC|＝|BD|＝4，所以C，D两点的坐标为C(－1，0)，D(1，0).

因为点P在圆上，所以可设点P的坐标为(5cos θ，5sin θ).

所以|PC|＋|PD|

＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2

＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2

＝26＋10cos θ＋26－10cos θ

＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2

＝ 52＋2262－100cos2 θ.

当cos θ＝0时，(|PC|＋|PD|)max＝52＋52＝226.

∴|PC|＋|PD|的最大值为226.