高二数学北师大版选修4-4课件：2.2.2 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程

一、选择题

1．在直角坐标系xOy中，曲线C：22xtyt（t为参数）上的点到直线l：230xy的距离的最小值为（ ）

A．23 B．223 C．233 D．2

2．已知(,)Pxy是椭圆3cossinxy上任意一点，则点P到340xy的距离的最大值为（ ）

A．426 B．23 C．426 D．23

3．椭圆3cos(4sinxy为参数)的离心率是( )

A．74 B．73 C．72 D．75

4．椭圆221164xy上的点到直线220xy的最大距离是（ ）

A．3 B．11 C．22 D．10

5．已知M为曲线3sin:cosxCy（为参数）上的动点，设O为原点，则OM的最大值是

A．1 B．2

C．3 D．4

6．点M的直角坐标是3,1，则点M的极坐标为（ ）

A．52,6 B．72,6 C．112,6 D．2,6

7．在平面直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为12xtty （t为参数）和22xcosysin（为参数），则曲线1C与2C的交点个数为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

8．直线22{xtyt（t为参数）被曲线4cosp所截的弦长为( ) A．4 B．855 C．1655 D．8

9．参数方程22sin{ 12xycos (为参数)化成普通方程是( )

A．240xy B．240xy

C．240,2,3xyx D．240,2,3xyx

10．直线320{ 20xtsinytcos （t为参数）的倾斜角是( )

A．20 B．70 C．110 D．160

2．2.2 圆的参数方程

[对应学生用书P28]

[读教材·填要点]

如图，质点以匀角速度ω做圆周运动，圆心在原点，半径为R，记t为时间，运动开始时t＝0，质点位于点A处，在时刻t，质点位于点M(x，y)处，θ＝ωt，θ为Ox轴正向到向径OM所成的角，则圆的参数方程为 x＝Rcos ωt，y＝Rsin ωt(t≥0)，也可写成 x＝Rcos θ，y＝Rsin θ(0≤θ≤2π)．

若圆心在点M0(x0，y0)处，半径为R，则圆的参数方程为 x＝x0＋Rcos θ，y＝y0＋Rsin θ(0≤θ≤2π)．

[小问题·大思维]

1．方程 x＝Rcos θ，y＝Rsin θ(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？

提示：以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝R2，即xR2＋yR2＝1.

令 xR＝cos θ，yR＝sin θ，则 x＝Rcos θ，y＝Rsin θ.

2．参数方程 x＝2cos θ，y＝1＋2sin θ(0≤θ≤π)表示什么曲线？

提示：表示圆心为(0,1)，半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点)．

[对应学生用书P29]

求圆的参数方程

[例1] 点M在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ.以φ为参数，求圆的参数方程．

[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法．解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．

[精解详析] 如图，设圆心为O′，连接O′M.

①当M在x轴上方时，

∠MO′x＝2φ.

∴ x＝r＋rcos 2φ，y＝rsin 2φ.

②当M在x轴下方时，

∠MO′x＝2φ，

∴ x＝r＋rcos－2φ，y＝－rsin－2φ.

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高中数学 2.2 圆的参数方程

2.3 椭圆的参数方程

2.4

双曲线的参数方程

1．能依据圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数，写出它们的参数方程．

2．能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际问题．

1．圆的参数方程

(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程是______________，参数α的几何意义是________________(O为坐标原点，P为圆上任意一点)．

(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程是__________________．参数α的几何意义是OP与x轴正方向的夹角(P为圆上任意一点，O为圆心)．

(3)圆的圆心在原点，半径为r，它与x轴负半轴的交点为A(－r,0)，点P(x，y)是圆周上任意不同于A的一点，此时，圆的参数方程是 x＝1－k2r1＋k2，y＝2kr1＋k2(k为参数)．

参数k的几何意义是直线AP的斜率．

选取不同的参数，可以得到不同形式的圆的参数方程．其中(1)(2)两种形式可结合推导过程记忆，(3)了解就行．

【做一做1－1】已知圆的方程为x2＋y2＝4x，则它的参数方程是__________．

【做一做1－2】直线3x－4y－9＝0与圆 x＝2cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )．

A．相切

B．相离

C．直线过圆心

D．相交但直线不过圆心

2．椭圆的参数方程

(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是________________．参数φ的几何意义是以原点为圆心，a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角．

(2)中心在点C(x0，y0)，长轴平行于x轴的椭圆的参数方程是__________________．参数φ的几何意义是以C为圆心，以a为半径所作圆上一点P和椭圆中心C的连线CP与x轴正半轴的夹角．

【做一做2－1】椭圆x24＋y29＝1的参数方程为__________．

1 2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程

[对应学生用书P24]

[自主学习]

1．有向线段的数量

如果P，M是l上的两点，P到M的方向与直线的正方向一致，那么PM取正值，否则取负值．我们称这个数值为有向线段PM的数量．

2．直线参数方程的两种形式

(1)经过点P(x0，y0)、倾斜角是α的直线的参数方程为： x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．

其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段PM的数量来表示．

(2)经过两个定点Q(x1，y1)，P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为 x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λ(λ为参数，λ≠－1)．

其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是：动点M分有向线段QP的数量比QMMP.

①当λ>0时，M为内分点；

②当λ<0且λ≠－1时，M为外分点；

③当λ＝0时，点M与Q重合．

[合作探究]

1．如何引入参数求过定点P(x0，y0)且与平面向量a＝(a，b)或斜率为ba平行的直线的参数方程？

提示：在直线l上任取一点M(x，y)，因为PM∥a，由两向量共线的充要条件以及PM＝(x－x0，y－y0)，可得x－x0a＝y－y0b，设这个比值为t，即：x－x0a＝y－y0b＝t，则有：2  x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t∈R)．

2．问题1中得到的参数方程中参数何时与 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t∈R)中参数t具有相同的几何意义？

提示：当a2＋b2＝1时．

[对应学生用书P24]

直线参数方程的确定

[例1] 已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.

(1)写出直线l的参数方程；

(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．

[思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力，解答此题需要将条件代入 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α得到直线的参数方程，然后与x－y＋1＝0联立可求得交点．