最新人教版高中数学必修2第三章《两条平行直线间的距离》备课资料

3.3 两条平行直线间的距离-人教A版必修二教案一、教学目标1.了解平行线的概念及性质，掌握两条平行线间的距离计算方法；2.能够运用两条平行线间的距离计算方法解决实际问题；3.培养学生逻辑思维能力，提高思维清晰度和解决问题的能力。

二、教学重难点1.平行线的性质及两条平行线间的距离计算方法；2.实际问题的转化和解决。

三、教学过程1. 导入新知识•老师将两条平行线在黑板上画出，引出平行线的概念，并让学生复习重点。

2. 概念讲解•老师引导学生用自己的语言解释什么是平行线，然后讲解其性质，如平行线的任意两条同位角相等、内角和等于180度等。

3. 两条平行线间的距离计算•老师可以借助平行线的性质，让学生通过观察图形，自行推导出两条平行线间的距离计算公式。

•老师还可以通过教学视频等形式，向学生展示两条平行线间的距离计算方法，并让学生熟悉其使用方式。

4. 练习与实际问题解决•老师提供一些练习题让学生自己尝试解答，并及时纠正错误，让学生更好地掌握两条平行线间的距离计算方法。

•老师还可以提供一些实际问题，如建筑设计中的尺寸测量问题等，让学生将所学知识运用到实际中。

5. 总结和扩展•老师针对学生的表现进行总结和点评，梳理所学知识，让学生更好地理解和记忆所学内容。

•老师还可以提供一些拓展内容，如欧几里得几何等，让学生扩宽知识面，进一步提高数学水平。

四、教学方法1.课堂讲解法；2.图像展示法；3.练习与实际问题解决；4.思维导向教学法。

五、教学工具和教材1.教学视频、PPT等多媒体教学工具；2.人教A版必修二教材及配套教辅。

六、教学评价1.学生的参与度、掌握程度和应用能力；2.学生的测试成绩和作业完成情况；3.学生在实际问题解决中的表现。

七、教学反思1.平行线的性质讲解要简明扼要，不能太枯燥；2.需要加强课堂练习环节，让学生更好地理解和掌握知识点；3.能够更好地与实际问题结合，使学生更好地理解知识点。

3．3.4 两条平行直线间的距离1．掌握两条平行直线间距离的定义．2．会求两条平行直线间的距离．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．【做一做】 两条平行直线x ＋y ＋2＝0与x ＋y －3＝0的距离等于( ) A.52 2 B.22 C ．5 2 D. 2答案：(1)公垂线段 (2)点到直线【做一做】 A两条平行直线间的距离公式剖析：对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.当直线l 1∥l 2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l 1：A x ＋B y ＋D 1＝0，直线l 2：A x ＋B y ＋D 2＝0. 在直线l 1上任取一点P(x 0，y 0)，则有l 1：A x 0＋B y 0＋D 1＝0，即A x 0＋B y 0＝－D 1.所以点P 到直线l 2的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋D 2|A 2＋B 2＝|－D 1＋D 2|A 2＋B 2＝|D 1－D 2|A 2＋B 2， 即直线l 1，l 2的距离d ＝|D 1－D 2|A 2＋B 2.(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：①把直线方程化为直线的一般式方程；②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两条直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．①两条直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则两条平行直线间的距离d ＝|x 2－x 1|；②两条直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则两条平行直线间的距离d ＝|y 2－y 1|.题型一：求两条平行线间的距离【例1】 求两条平行线l 1：3x ＋4y －5＝0和l 2：6x ＋8y －9＝0间的距离．反思：求两条平行直线间距离有两种思路：①利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算，如本题解法一．②利用两条平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，如本题解法二． 题型二：两条平行直线间距离公式的应用【例2】 平行于直线x －3y ＝0，且与其距离为3的直线l 的方程是__________． 反思：求平行于直线A x ＋B y ＋C ＝0的直线方程时，常设为A x ＋B y ＋m ＝0(m ≠C)，利用待定系数法来解决．有关平行直线间距离问题，常利用两条平行直线间的距离公式列出方程来解决．题型三：易错辨析易错点 利用两条平行直线间的距离公式求距离时，常忽略方程的系数【例3】 求两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：12x ＋16y －8＝0之间的距离．错解：d ＝|2－(－8)|32＋42＝105＝2. 错因分析：错解中，没有把l 2的方程化为3x ＋4y ＋m ＝0的形式，导致出错．反思：使用两条平行线间的距离公式求距离时，应把直线方程化为一般式，同时要使两个直线方程中x ，y 的系数对应相等．答案：【例1】 解：解法一：在直线l 1：3x ＋4y －5＝0上任取一点，不妨取点P (0，54)， 则点P 到直线l 2：6x ＋8y －9＝0的距离即为两条平行直线间的距离．因此d ＝|0×6＋8×54－9|62＋82＝110. 解法二：把l 2：6x ＋8y －9＝0化为3x ＋4y －92＝0， 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|－5－(－92)|32＋42＝110. 【例2】 x －3y ＋6＝0或x －3y －6＝0【例3】 正解：l 2：12x ＋16y －8＝0可化为3x ＋4y －2＝0，根据两条平行线间的距离公式，可得d ＝|2－(－2)|32＋42＝45.1．直线46x y -＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( )A.13B.13C.2D．242．平行直线x－y＝0与x－y＋m＝0，则实数m＝__________.3．直线l与两条平行直线l1：x－3y＋1＝0，直线l2：x－3y＋5＝0的距离相等，则直线l的方程是__________．4．两条平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋a y＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝__________.5．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．答案：1．B 2.±2 3.x－3y＋3＝0 4.105．解：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，由两条直线的距离为2＝2.则m＝32或m＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.。

教学设计§３、3、4 两条平行直线间的距离教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握点到直线的距离公式，并能熟练准确的应用这一公式求两条平行直线间的距离，达到理解掌握知识的目的。

（2）能力和方法：会用点到直线的距离求两条平行直线间的距离，并能用距离公式求解出两平行线的距离。

（3）情感和价值：认识事物在一定条件下的转化，用联系的观点看问题。

教学重点：理解和掌握点到直线的距离公式，熟练的应用公式求两平行直线的距离。

教学难点：两平行直线间距离公式的应用。

教学方法：学导式教学过程：一、知识回顾：1、两点间的距离公式：平面上两点P 1 (x 1，y 1)，P 2 (x 2，y 2)间的距离公式2．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:CByAx l 的距离为：22BACBy Ax d二、创设问题情境导入新课实例：1、铁轨之间的距离22122121||()()PP x x y y2、山坡上两颗树之间的距离三、引入课题：师：同学们，通过刚才的读题和理解已经知道，这实际上是求两条平行直线的距离的问题，也即我们这节课所要研究讨论的问题。

1．解决问题情境：师：下面，请同学们应用已学过的知识，自己想一个办法来解决此问题，甚至不一定要求结果，只要得出一个思路即可。

让同学思考、讨论，然后让学生自己回答，老师点评。

2、两平行线间的距离就是夹在两平行直线间公垂线段的长度提出问题一：如何利用点到直线的距离公式求两平行直线间的距离?例1、求平行线2x–7y＋8＝0 和2x–7y–6＝0 距离解：在直线2x–7y–6＝0 上任取一点，如P(3，0) ，则两条平行线的距离就是点P (3，0) 到直线2x –7y ＋8＝0的距离．因此探究：两条平行线间的距离公式（特殊到一般）问题二：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度，如果我们知道两条平行线直线和的一般式方程为：，：如何把两平行直线间距离转化为点到直线的距离？设计意图：暗示公式的存在，激发同学们探究的兴趣，增强同学们探究成功的信心。

《点到直线的距离、两条平行直线间的距离》教案教学目标：1．理解点到直线公式的推导过程，掌握点到直线与两条平行直线间距离公式及应用.2. 通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般的方法，并在推导过程中培养学生思维能力和创新能力.3. 引导学生勇于探索，善于探究的精神，从而养成学生良好的数学学习品质.教学重点难点：1．重点：点到直线距离公式与两条平行直线间距离公式及应用.2．难点：点到直线距离公式的推导.教法与学法：1．教法选择：设置情景——探究新知——变式演练——思维拓展——归纳小结.2．学法指导：观察、思考，操作、尝试、合作，表达、交流.教学过程：一、设置情境，激发学生探索的兴趣二、变式演练，提高能力三、思维拓展，课堂交流四、归纳小结，课堂延展教学设计说明1．教材地位分析：《点到直线的距离》和《两条平行线间的距离》是直线与方程最后两节的内容.它是解决点线、线线距离的基础，也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线作准备.2．学生现实状况分析：在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系.距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对点与直线、直线与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识.3. 教材编写意图是让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法，逐步学会利用数形结合、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题；能让学生充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣.4．本节课的难点和重点是公式的推导，而推导方法是丰富多彩的，其蕴涵的思想也是深刻的，如何能在一节课中既能让学生了解多种推导方法，又能领悟其中的思想？课前准备环节，让学生利用网络资源和查找资料课前自主学习，给学生提供一个课前探究问题的平台.。

最新人教版高中数学必修2第三章《两条平行直线间的距离》教材梳理疱丁巧解牛知识·巧学一、两条平行直线间的距离1.公式：一般地，已知两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),则这两条平行直线间的距离为d=2221||B A C C +-.2.公式的得出：已知两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),求两平行线间的距离.发现两条平行线的方程经过变形都可化为l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0的形式.在l 1上任取一点P(0，B C 1-)，点P 到l 2的距离经化简为d=2221||BA C C +-，发现这个距离只与x 、y 的系数和两个常数项有关，且关系明显，我们把它作为求两条平行线间的距离公式.即：一般地，已知两条平行线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2).设P(x 0，y 0)是直线l 2上的任意一点，则Ax 0+By 0+C 2=0，即Ax 0+By 0=-C 2.于是，点P(x 0，y 0)到直线l 1：Ax+By+C 1=0的距离d=222122100||||B A C C B A C By Ax +-=+++就是两平行直线l 1与l 2之间的距离.3.另外，两平行线的方程用点斜式方程表示为：l 1：y=kx+b 1，l 2：y=kx+b 2，那么两平行线间的距离d=2211||k b b +-.误区警示两平行线间的距离的求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两平行线间距离公式d=2221||B A C C +-，在应用平行线间距离公式时要注意前提：除了要将直线方程化为一般形式之外，还要使x 、y 的系数分别相等.否则不能直接套用公式.这是在应用中经常出现的一个错误，同学们要特别注意.问题·探究问题1 对于一个三角形ABC ，如果已知点A(0,21)、B(32,0)，点C 在已知直线l ：3x+4y+3=0上滑动，那么三角形ABC 的面积是否随着点C 的变化而变化呢？探究:由A 、B 两点的坐标可以得出三角形ABC 中边AB 所在直线的方程为3x+4y-2=0，显然与直线3x+4y+3=0平行.而三角形ABC 的面积等于AB 线段长与AB 边上的高的乘积的一半.而|AB|=6 5，AB 边上的高即为C 点到直线AB 的距离，而C 在直线3x+4y+3=0上滑动，所以高即为两平行直线3x+4y+3=0与3x+4y-2=0的距离，无论C 点如何变化，高恒为定值h=15|23|=+，所以S △ABC =21|AB|·d=12516521=??.所以三角形ABC 的面积不随点C 的变化而变化.问题2什么是两条平行线之间的距离?它有什么特点?这个距离的公式是什么？有什么要求与特点，是否适合于任意的两条平行直线？探究:两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，平行线间的距离处处相等.对于两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),距离为d=2221||B A C C +-.要求在应用公式前必须将两直线方程表示为一般式，且x 、y 的对应系数一致，在此前提下，这个公式适合于任意两平行直线，包括斜率不存在的直线也成立.典题·热题例1 与两平行直线l 1:3x-4y-5=0和l 2:3x-4y+7=0距离之比为1∶2的直线方程为( )A.3x-4y-1=0或3x-4y+19=0B.3x-4y+3=0或3x-4y-1=0C.3x-4y-1=0或3x-4y-17=0D.3x-4y+3=0或3x-4y+19=0思路解析：方法一(排除法)由题意知，所求直线一条在l 1、l 2的内侧，另一条在l 1、l 2所夹带形区域的外侧，且靠近l 1的部分，3x-4y+19=0在靠近l 2的外侧部分，不合题意，故舍去A 、D.又B 中两条均在l 1、l 2的内侧，不成立，故选C.方法二：(应用平行线间距离公式)由题意，设所求方程为3x-4y+c=0，由22222143||2143||+-=+-c c c c ，即2|c+5|=|c-7|，解得c=-17或c=-1.故选C.答案：C深化升华从本题解法来看，如果作为选择题，用数形结合进行排除的方法比较简捷.而作为填空或解答题出现，则可应用两平行线间距离公式解方程.如果问题改成求到两平行直线Ax+By+C 1=0和Ax+By+C 2=0等距离的直线，则直线有且仅有一条，其方程为Ax+By+0221=+C C . 例2 直线l 1过点A(0，1)，l 2过点B(5，0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程.思路解析：本题要求直线的方程，其关键是求l 1、l 2的斜率，根据条件l 1、l 2的距离为5，可通过待定系数法求出斜率.设直线的斜率时要考虑斜率是否一定存在，否则要对斜率不存在的情况进行验证.解：设直线的斜率为k.由斜截式得l 1的方程y=kx+1，即kx-y+1=0.由点斜式得l 2的方程y=k(x-5)，即kx-y-5k=0.在直线l 1上取点A(0，1)，点A 到直线l 2的距离d=51|51|2=++k k ，∴25k 2+10k+1=25k 2+25.∴k=512. ∴l 1的方程为12x-5y+5=0，l 2的方程为12x-5y-60=0.若l 1、l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x=0，l 2的方程为x=5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：=--=+-060512:,05512:21y x l y x l 和==.5:,0:21x l x l误区警示在本类问题的解决中，要注意两个易错点:第一是两条平行线间距离公式的应用必须注意前提，就是把两条直线的方程化为一般式，且x 、y 对应的系数分别相等，才能代入公式求解运算.第二个注意点是在待定系数法求直线方程时，如果设直线斜率，则必须考虑直线的斜率是否一定存在，如果可以不存在，要对该特殊情况进行验证，以防漏根.例3 两条互相平行的直线分别过A(6,2)、B(-3，-1)，并且各自绕着A 、B 旋转，如果两平行线间的距离为d ，(1)求d 的取值范围；(2)求当d 取最大值时两直线的方程.思路解析：根据题意，由两条平行线间的距离公式写出ｄ与k 之间的函数关系式，不难求出ｄ的范围.可由范围发现ｄ取最大值时的对应直线方程.解：(1)设两平行线的斜率为k ，则两直线方程分别为y-2=k(x-6)，y+1=k(x+3)，即kx-y-6k+2=0,kx-y+3k-1=0.所以d=21|39|k k +-.由此得(81-d 2)k 2-54k+9-d 2=0.∵k ∈R ，∴Δ=542-4(81-d 2)(9-d 2)≥0.∴d 4-90d 2≤0,得0<d≤103.< bdsfid="166" p=""></d≤103.<>(2)当两直线斜率不存在时，两直线分别为x=6，x=-3，则d=9，因为d max =103,此时k=3)81(2542-=-d . 两直线方程为3x+y-16=0,3x+y+10=0.深化升华本题若从问题的几何背景考虑，易知分别过A 、B 的一切平行线的距离均不超过A 、B 两点的距离｜AB ｜，当且仅当两平行线与直线AB 垂直时，两平行线间距离等于｜AB ｜，所以d max =103)12()36(22=+++，此时，13612-=++?k ,即k=-3.可见借助几何直观背景发挥形象思维优势，常可得到简捷解法.。