[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷143.doc

考研数学三（微积分）模拟试卷202(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=∫0sinx2(1－cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价的无穷小正确答案：A解析：得m=6且g(x)～x6，故x→0时，f(x)是g(x)的低阶无穷小，选A．知识模块：函数、极限、连续2．f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )．A．f(x)，g(x)在x0处都可导B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导正确答案：D解析：令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选D．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)满足关系f’’(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0得f’’(0)=0，f’’(x)=1－2f’(x)f’’(x)，f’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f’’’(x)＞0，再由f’’(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C．知识模块：一元函数微分学填空题4．设f’(x)连续，x(0)=0，f’(0)=1，则=______．正确答案：0解析：∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncos(x－t)d(x－t)=一∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：函数、极限、连续5．设y=y(x)由yexy+xcosx－1=0确定，求dy｜x=0=______．正确答案：－2dx解析：当x=0时，y=1，将yexy+xcosx－1=0两边对x求导得将x=0，y=1代入上式得故dy｜x=0=－2dx．知识模块：一元函数微分学6．______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学7．设则a=______．正确答案：ln2解析：故a=ln2．知识模块：一元函数积分学8．微分方程的通解为______．正确答案：lnx+C解析：知识模块：常微分方程与差分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（微积分）模拟试卷148(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f（x）在点x0的某邻域内有定义，且f（x）在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是（）A．f（x）sinxB．f（x）+sinxC．f2（x）D．|f（x）|正确答案：B解析：若f（x）+sinx在x=x0处连续，则f（x）=[f（x）+sinx]—sinx在x=x0处连续，与已知矛盾。

因此f（x）+sinx在点x0必间断。

故选B。

知识模块：微积分2．设f（x）在点x=a处可导，则函数|f（x）|在点x=a处不可导的充分必要条件是（）A．f（a）=0，且f’（a）=0B．f（a）=0，且f’（a）≠0C．f（a）＞0，且f’（a）＞0D．f（a）＜0，且f’（a）＜0正确答案：B解析：若f（a）≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D。

（当f（x）在x=a可导，且f（a）≠0时，|f（x）|在x=a点可导。

）当f（a）=0时，上两式分别是|f（x）|在x=a点的左、右导数，因此，当f（a）=0时，|f（x）|在x=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即f’（a）≠0时，故选B。

知识模块：微积分3．设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f”（x）＞0，令un=f （n）（n=1，2，…），则下列结论正确的是（）A．若u1＞u2，则{un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散正确答案：D解析：本题依据函数f（x）的性质选取特殊的函数数列，判断数列{un= f（n）}的敛散性。

取f（x）=—lnx，f”（x）=＞0，u1=—lnl=0＞—ln2=u2，而f（n）=—lnn发散，则可排除A；取f（x）=＞0，u1=1＞=u2，而f（n）=收敛，则可排除B；取f（x）=x2，f”（x）=2＞0，u1=1＜4=u2，而f（n）=n2发散，则可排除C；故选D。

[考研类试卷]考研数学三（微积分）模拟试卷34一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设当x→0时，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，则( )．（A）a=，b=1，c=0（B）a=-，b=1，c=0（C）a=，b=一1，c=0（D）a=0，b=2，c=02 设f(x)=∫0sinx sint3dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的( )．（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设f(x)=∫0x dt∫0t tin(1+u2)du，g(x)=(1一cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小4 设{a n}与{b n}为两个数列，下列说法正确的是( )．（A）若{a n}与{b n}都发散，则{a n b n}一定发散（B）若{a n}与{b n}都无界，则{a n b n}一定无界（C）若{a n}无界且（D）若a n为无穷大，且=0，则b n一定是无穷小5 设f(x)=，则( )．（A）a＞0，b＞0（B）a＜0，b＜0（C）a≥0，b＜0（D）a≤0，b＞0二、填空题6 =________7 =________8 =________9 =________10 当x→0时，x—sinxcos2x～cx k，则c=________，k=________．11 设，则a=________．12 =________13 =________14 设=8，则a=________．15 =________16 =________三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17 确定常数a，b，c，使得=c．18 求19 求20 求21 设f"(0)=6，且22 设23 求24 求25 求26 求极限27 设f'(x)连续，f(0)=0，f'(0)≠0，F(x)=∫0x tf(t一x)dt，且当x→0时，F(x)～x，求n 及f'(0)．28 设f(x)在[1，+∞)内可导，f'(x)＜0且29 设a＞0，x1＞0，且定义x n+1=存在并求其值．30 设a1=1，当n≥1时，a n+1=，证明：数列{a n}收敛并求其极限．31 设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1—2c；(2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．32 设=A，证明：数列{a n}有界．33 设f(x)在[0，1]上有定义，且e x f(x)与e-f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．34 设f(x)在[a，+∞)上连续，f(a)＜0，而存在且大于零．证明：f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．35 设f(x)=，求f(x)的间断点并判断其类型．36 求f(x)=的间断点并判断其类型．。

考研数学三（常微分方程与差分方程与行列式）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设y(x)是微分方程y”＋(x－1)y’＋x2y－ex满足初始条件y(0)＝0，y’(0)＝1的解，则( )．A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：A解析：微分方程y”＋(x－1)y’＋x2y＝ex中，令x＝0，则y”(0)＝2，于是y”(0)＝1，选A．知识模块：常微分方程与差分方程2．设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B ｜B．若｜AB｜＝0，则A＝0或B＝0C．｜A－B｜＝｜A｜－｜B｜D．｜AB｜＝｜A｜｜B｜正确答案：D解析：A，C显然不对，设A＝()，B＝()，显然A，B都是非零矩阵，但AB ＝O，所以｜AB｜＝0，B不对，选D．知识模块：行列式填空题3．设y＝y(x)满足△y＝△x＋o(△x)，且有y(1)＝1，则y(x)dx＝_____________．正确答案：解析：由△y＝△x＋o(△x)得函数y＝y(x)可微且y’＝，积分得y(x)＝dx＝＋C，因为y(1)＝1，所以C＝0，于是y(x)＝，故y(x)dx＝d(x－1)＝dx＝2dx＝．知识模块：常微分方程与差分方程4．微分方程y’－xe－y＋＝0的通解为＝_____________．正确答案：ey＝(x3＋C)(C为任意常数)解析：由y’－xe-y＋＝0，得eyy’－x＋ey＝0，即ey＝x，令z＝ey，则z ＝x，解得z＝(dx＋C)＝(x3＋C)(C为任意常数)，所以原方程的通解为ey＝(x3＋C)(C为任意常数)．知识模块：常微分方程与差分方程5．微分方程xy’＝＋y(x＞0)的通解为＝_____________．正确答案：lnx＋C解析：xy’＝＋y，令＝u＝u＋x，所以xarcsinu＝lnx＋Carcsin＝lnx＋C(C为任意常数)．知识模块：常微分方程与差分方程6．以y＝C1ex＋ex(C2cosx＋C3sinx)为通解的三阶常系数齐次线性微分方程为＝_____________．正确答案：y’”－3y”＋4y’－2y＝0解析：特征值为λ1＝1，λ2，3＝1±i，特征方程为(λ－1)(λ－1＋i)(λ－1－i)＝0，即λ3－3λ2＋4λ－2＝0，所求方程为y’”－3y”＋4y’－2y＝0．知识模块：常微分方程与差分方程7．设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E－A｜＝｜E－2A｜＝｜E －3A｜＝0，则｜B－1＋2E｜＝_____________．正确答案：60解析：因为｜E－A｜＝｜E－2A｜＝｜E－3A｜＝0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B－1的特征值为1，2，3，则B －1＋2E的特征值为3，4，5，故｜B－1＋2E｜＝60．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(02年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则【】A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)＝0．B．对任何ξ∈(a，b)，有[f(χ)－f(ξ)]＝0．C．当f(a)＝f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f′(ξ)＝0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)．正确答案：B解析：由于f(χ)在(a，b)内可导．ξ∈(a，b)，则f(χ)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故[f(χ)－f(ξ)]＝0 知识模块：微积分2．(03年)设f(χ)为不恒等于零的奇函数，且f′(0)存在，则函数g(χ)＝【】A．在χ＝0处左极限不存在．B．有跳跃间断点χ＝0．C．在χ＝0处右极限不存在．D．有可去间断点χ＝0．正确答案：D解析：由于f(χ)为奇函数，则f(0)＝0，从而又g(χ)＝在χ＝0处无定义，则χ＝0为g(χ)的可去间断点．知识模块：微积分3．(04年)设f(χ)＝｜χ(1－χ)｜，则【】A．χ＝0是f(χ)的极值点，但(0，0)不是曲线y＝f(χ)的拐点．B．χ＝0不是f(χ)的极值点，但(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．C．χ＝0是f(χ)的极值点，且(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝0不是f(χ)的极值点，(0，0)也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：C解析：由f(χ)＝｜χ(1－χ)｜知，f(0)＝0，而当χ＜0，或0＜χ＜1时，f(χ)＞0，由极值的定义知f(χ)在χ＝0处取极小值．又则当χ＜0时，f〞(χ)＝2＞0；当0＜χ＜1时，f〞(χ)＝－2＜0，则(0，0)是曲线y＝f(χ)的拐点，故应选C．知识模块：微积分4．(04年)设f′(χ)在[a，b]上连续，且f′(a)＞0，f′(b)＜0，则下列结论中错误的是【】A．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(a)．B．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＞f(b)．C．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f′(χ0)＝0．D．至少存在一点χ0∈(a，b)，使得f(χ0)＝0．正确答案：D解析：由以上分析知，由f′(a)＞0知，存在χ0∈(a，b)使f(χ0)＞f(a)；由f′(b)＜0知，存在χ0∈(a，b)，使f(χ0)＞f(b)，则选项A、B均不能选．又f′(a)＞0，f′(b)＜0，且f′(χ)在[a，b]上连续，由零点定理知，存在χ0∈(a，b)，使f′(χ0)＝0，则C也不能选，故应选D．知识模块：微积分5．(05年)当a取下列哪个值时，函数f(χ)＝2χ3－9χ2＋12χ－a恰有两个不同的零点．【】A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：f′(χ)＝6χ2－18χ＋12＝6(χ2－3χ＋2)＝6(χ－1)(χ－2) 令f′(χ)＝0，得χ1＝1，χ2＝2 f(1)＝5－a，f(2)＝4－a 当a＝4时，f(1)＝1＞0，f(2)＝0．即χ＝2为f(χ)的一个零点，由f′(χ)＝6(χ－1)(χ－2)知当－∞＜χ＜1时，f′(χ)＞0，f(χ)严格单调增，而f(1)＝1＞0，f(χ)＝－∞，则f(χ)在(－∞，0)内有唯一零点．当1＜χ＜2时，f′(χ)＜0，f(χ)单调减，又f(2)＝0，则当1＜χ＜2时，f(χ)＞0，此区间内无零点．当χ＞2时，f′(χ)＞0，f(2)＝0．则χ＞2时f(χ)＞0，即在此区间内f(χ)无零点．故应选B．知识模块：微积分6．(05年)设f(χ)＝χsinχ＋cosχ，下列命题中正确的是【】A．f(0)是极大值，f()是极小值．B．f(0)是极小值，f()是极大值．C．f(0)是极大值，f()也是极大值．D．f(0)是极小值，f()也是极小值．正确答案：B解析：f′(χ)＝sinχ＋χcosχ－sinχ＝χcosχ，f〞(χ)＝cosχ－χsinχf′(0)＝0，f〞(0)＝1＞0，则f(0)是极小值．，则是极大值．故应选B．知识模块：微积分7．(05年)以下四个命题中，正确的是【】A．若f′(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．B．若f(χ)在(0，1)内连续，则f(χ)在(0，1)内有界．C．若f′(χ)在(0，1)内有界，则f(χ)在(0，1)内有界．D．若f(χ)在(0，1)内有界，则f′(χ)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：由于f′(χ)在(0，1)内有界，则存在M＞0，使对任意χ∈(0，1)，｜f′(χ)｜≤M，对任意的χ∈(0，1)，由拉格朗日中值定理知f(χ)－f()＝f′(ξ)(χ－)，ξ∈(0，1) 从而右f(χ)＝则f(χ)在(0，1)内有界．知识模块：微积分8．(06年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0，f〞(χ))＞0，△χ)为自变量χ)在点χ0处的增量，△y与dy分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△χ＞0，则【】A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：由于dy＝f′(χ0)△χ△y＝f(χ0＋△χ)－f(χ0)＝f′(ξ)△χ(χ0＜ξ＜χ0＋△χ) 由f〞(χ)＞0，则f′(χ)单调增，又△χ＞0，且f′(χ)＞0，则0＜dy＜△y 故应选A．知识模块：微积分9．(06年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，且＝1，则【】A．f(0)＝0且f′－(0)存在．B．f(0)＝1且f′－(0)存在．C．f(0)＝0且f′＋(0)存在．D．f(0)＝1且f′＋(0)存在．正确答案：C解析：由＝1，知f(h2)＝0，又f(χ)在χ＝0连续，则f(h2)＝f(0)＝0 则故应选C．知识模块：微积分10．(07年)设函数f(χ)在χ＝0处连续，下列命题错误的是【】A．若存在，则f(0)＝0．B．存在，则f(0)＝0．C．若存在，则f′(0)存在．D．若存在，则f′(0)存在．正确答案：D解析：由存在及f(χ)在χ＝0处的连续性知，f(0)＝0，从而有＝f′(0)，所以，命题A和C是正确的；由存在，＝0知，(f(χ)＋f(－χ))＝2f(0)＝0，则f(0)＝0，所以，命题B也是正确的．事实上，命题D是错误的．例如，令f(χ)＝｜χ｜，显然＝0，但f(χ)＝｜χ｜在χ＝0处不可导，即f′(0)不存在．故应选D．知识模块：微积分11．(07年)曲线y＝＋ln(1＋eχ)渐近线的条数为【】A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：D解析：由于＝∞，则χ＝0为原曲线的一条垂直渐近线．而＝ln1＝0，则y＝0为原曲线的一条水平渐近线．则y＝χ为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以，本题应选D．知识模块：微积分12．(07年)设某商品的需求函数为Q＝160－2p．其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是【】A．10B．20．C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由＝1知p＝40．故应选D．知识模块：微积分13．(10年)设函数f(χ)，g(χ)具有二阶导数，且g〞(χ)＜0．若g(χ0)＝a是g(χ)的极值，则f(g(χ))在χ0取极大值的一个充分条件是【】A．f′(a)＜0．B．f′(a)＞0．C．f〞(a)＜0．D．f〞(a)＞0．正确答案：B解析：令φ(χ)＝f[g(χ)]，则φ′(χ)＝f′[g(χ)]g′(χ) φ′(χ0)＝f′[g(χ0)]g′(χ0)＝0 φ〞(χ)＝f〞[g(χ)]g′2(χ)＋f′[g(χ)]g〞(χ) φ〞(χ0)＝f′[g(χ0)]g〞(χ0)＝f′(a)g〞(χ0) 若f′(a)＞0，则φ〞(χ0)＜0，故φ(χ)在χ0处取极大值．知识模块：微积分填空题14．(03年)设f(χ)＝其导函数在χ＝0处连续，则λ的取值范围是_______．正确答案：λ＞2解析：当χ≠0时f′(χ)＝当χ＝0时f′(0)＝由上式可知，当λ＞1时，f′(0)存在，且f′(0)＝0 又由上式可知，当λ＞2时，f′(χ)＝0＝f′(0) 即导函数在χ＝0处连续．知识模块：微积分15．(03年)已知曲线y＝χ3－3a2χ＋b与χ轴相切，则b2可以通过a表示为b2＝_______．正确答案：4a6解析：设曲线y＝χ3－3aχ2＋b在χ＝χ0处与χ轴相切，则3χ02－3a2＝0且χ03－3a2χ0＋b＝0 即χ02＝a2且χ0(χ02－3a2)＝－b 从而可得b2＝4a6 知识模块：微积分16．(06年)设函数f(χ)在χ＝2的某邻域内可导，且f′(χ)＝ef(χ)，f(2)＝1，则f″′(2)＝_______．正确答案：2e3解析：由f′(χ)＝ef(χ)及f(2)＝1知，f′(2)＝e f〞(χ)＝ef(χ)f′(χ)＝[f′(χ)]2，从而有f〞(2)＝e2 f″′(χ)＝2f′(χ)f〞(χ)，则f″′(2)＝2e3 知识模块：微积分17．(07年)设函数y＝，则y(n)(0)＝_______．正确答案：解析：y＝＝(2χ＋3)-1；y′＝(－1)(2χ＋3)-2.2；y〞＝(－1).(－2)(2χ＋3)-3.22 则y(n)＝(－1)nn!(2χ＋3)-(n+1).2n；y(n)(0)＝(－1)nn!3-(n+1).2n＝知识模块：微积分18．(09年)设某产品的需求函数为Q＝Q(p)，其对价格P的弹性εp＝0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加_______．正确答案：8000解析：由于收益R＝pQ(p) ＝pQ′(p)＋Q(p) 而0．2＝ξp＝则pQ′(p)＝(－0．2)×Q(p) 故＝(－(－0．2)×Q(p)＋Q(p) ＝0．8Q(p)＝0．8×10000＝8000 知识模块：微积分19．(10年)设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1＋P3，其中P为价格，且R(1)＝1，则R(p)＝_______．正确答案：解析：由题设知＝1＋p3 lnR＝lnp＋p3＋C 由R(1)＝1知，C＝－lnR＝lnp＋R＝．知识模块：微积分20．(10年)若曲线y＝χ3＋aχ2＋1有拐点(－1，0)，则b＝_______．正确答案：3解析：曲线y＝χ3＋aχ2＋bχ＋1过点(－1，0)，则0＝1＋a－b＋1，a＝－b y＝χ3－bχ2＋bχ＋1 y′＝3χ2－2bχ＋b y〞＝6χ－2b y〞(－1)＝－6－2b＝0，则b＝3 知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(93年)设函数则f(χ)在χ＝0处【】A．极限不存在．B．极限存在但不连续．C．连续但不可导．D．可导．正确答案：C解析：由于当χ→0时，sin为有界变量，为无穷小量，则＝0，且f(0)＝0，则f(χ)在χ＝0处连续．但不存在，则f(χ)在χ＝0处不可导．知识模块：微积分2．(94年)曲线y＝的渐近线有【】A．1条．B．2条．C．3条．D．4条．正确答案：B解析：由于则y＝为其一条水平渐近线，又＝∞则χ＝0为原曲线一条垂直渐近线．知识模块：微积分3．(95年)设f(χ)为可导函数，且满足条件＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(1，f(1))处的切线斜率为【】A．2B．－1C．D．－2正确答案：D解析：由＝－1 得f′(1)＝－2．所以，应选D．知识模块：微积分4．(97年)若f(－χ)＝f(χ)(－∞＜χ＜＋∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内有【】A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(－χ)＝f(χ) (－∞＜χ＜＋∞)知，f(χ)的图形关于y轴对称．由在(－∞，0)内f′(χ)＞0且f〞(χ)＜0知，f(χ)的图形在(－∞，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0，＋∞)内．f(χ)的图形单调下降，且是凸的，则C为正确选项．知识模块：微积分5．(98年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为【】A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：由题设f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，且f(χ)＝f(χ＋4)，两边对z求导，则f′(χ)＝f′(χ＋4)，故f′(5)＝f′(1)．由于则f′(1)＝－2，故y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为f′(5)＝－2 知识模块：微积分6．(00年)设函数f(χ)在点χ＝a处可导，则函数｜f(χ)｜在点χ＝a处不可导的充分条件是【】A．f(a)＝0且f′(a)＝0B．f(a)＝0且f′(a)≠0C．f(a)＞0且f′(a)＞0D．f(a)＜0且f′(a)＜0正确答案：B解析：排除法．如f(χ)＝(χ－a)2，f(a)＝0，且f′(a)＝0，而｜f(χ)｜＝(χ－a)2在χ＝a处可导，所以A不正确．又如f(χ)＝χ，a＝1，则f(a)＝1＞0，f′(a)＝1＞0 而｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝1处可导，故C不正确；若f(χ)＝－χ，a＝1，显然f(χ)满足D选项中条件，但｜f(χ)｜＝｜χ｜在χ＝1处可导，所以D不正确，从而应选B．知识模块：微积分7．(01年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则【】A．χ＝a是f(χ)的极小值点．B．χ＝a是f(χ)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：B解析：由于f′(χ)＝.(χ－a)(χ≠a)及f′(χ)在χ－a连续．则又由＝－1＜0及极限的局部保号性知，存在δ＞0，当0＜｜χ－a｜＜δ时＜0．从而当χ∈(a－δ，a)时，f′(χ)＞0；当χ∈(a，a＋δ)时，f′(χ)＜0．又f′(a)＝0，则χ＝a是f(χ)的极大值点．知识模块：微积分填空题8．(93年)已知y＝，f′(χ)＝arctanχ2，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分9．(94年)已知f′(χ0)＝－1，则＝_______．正确答案：1解析：原式＝＝1 知识模块：微积分10．(94年)设方程eχy＋y2＝cosχ确定y为χ的函数，则＝_______．正确答案：解析：方程eχy＋y2＝cosχ两边对χ求导，得eχy(y＋χy′)＋2χyy′＝－sinχ解得y′＝知识模块：微积分11．(95年)设f(χ)＝，则f(n)(χ)＝_______．正确答案：解析：由于f(χ)＝－1＝2(1＋χ)-1－1 f′(χ)＝2.(－1)(1＋χ)-2，f〞(χ)＝2.(－1).(－2)(1＋χ)－3，…f(n)(χ)＝2(－1)(n)!(1＋χ)-(n+1)＝(－1)n 知识模块：微积分12．(96年)设方程χ＝yy确定y是χ的函数，则dy＝_______．正确答案：解析：方程χ＝yy两边取对数得：lnχ＝ylny 上式两边求微分得dχ＝(lny＋1)dy 则dy＝知识模块：微积分13．(96年)设(χ0，y0)是抛物线y＝aχ2＋bχ＋c上的一点．若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_______．正确答案：≥0(或aχ02＝c)，b任意．解析：y′＝2aχ＋b，y′(χ0)＝2aχ0＋b 过(χ0，y0)的切线方程为y －y0＝(2aχ0＋b)(χ－χ0) 即y＝(aχ02＋bχ0＋c)＝(2aχ0＋b)(χ－χ0) 由于此切线过原点，把χ＝y＝0代入上式，得－aχ02－bχ0－c＝－2aχ02－bχ0，即aχ02＝c 所以，系数应满足的关系为≥0(或aχ02＝c)，b任意．知识模块：微积分14．(97年)设y＝f(lnχ)ef(χ)，其中f可微，则dy＝_______．正确答案：解析：由y＝f(lnχ)ef(χ)可知知识模块：微积分15．(98年)设曲线f(χ)＝χn在点(1，1)处的切线与χ轴的交点为(ξn，0)，则f(ξn)＝_______．正确答案：解析：设f(χ)在点(1，1)处的切线为y＝aχ＋b．则当y＝0时，ξn＝因此，知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（微积分）模拟试卷99(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在x=x0的某邻域内有定义，在x=x0的某去心邻域内可导，则下列说法正确的是A．若则f’(x0)存在且等于A．B．若f’(x0)存在且等于A，则C．若，则f’(x0)不存在．D．若f’(x0)不存在，则正确答案：C解析：解答本题的关键是将f’(x0)的定义式与联系来考虑．对于A：取但f(x)在x=x0处不连续，从而f’(x0)不存在．故A不对，同时也说明D不对．对于B：取显然f’(0)存在，但不存在，故B也不对．由排除法可知，应选C．或直接证明C正确．反证法：假设f’(x0)存在，则f(x)在x=x0处连续，那么在条件下，由洛必达法则有矛盾，所以f’(x0)不存在．知识模块：微积分2．在命题①若f(x)在x=a处连续，且｜f(x)｜在x=a处可导，则f(x)在x=a处必可导，②若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x—a)φ(x)在x=a处必可导，③若φ(x)在x=a处连续，则f(x)=(x一a)｜φ(x)｜在x=a处必不可导，④若f(x)在x=a 处连续，且存在，则f(x)在x=a处必可导中正确的是A．①②．B．①③．C．①②③．D．②④．正确答案：A解析：①是正确的．设f(a)≠0，不妨设f(a)＞0，由于f(x)在x=a处连续，故存在δ＞0，当x∈(a一δ，a+δ)时f(x)＞0，于是在此区间上f(x)≡｜f(x)｜，故f’(a)=[｜f(x)｜]’x=a存在．若f(a)＜0可类似证明．若f(a)=0，则所以由夹逼定理得②是正确的．因为③是错误的．由②正确即知③是错误的．无妨取反例：φ(x)=x2，则，即f(x)在x=a处可导．④也不正确．可取反例：f(x)=｜x｜，显然f(x)在x=0处不可导，但综上分析，应选A．知识模块：微积分3．设f(x)在任意点x0∈(一2，+∞)有定义，且f(一1)=1，a为常数，若对任意x，x0∈(一2，+∞)满足则函数f(x)在(一2，+∞)内A．连续，但不一定可微．B．可微，且C．可微，且D．可微，且正确答案：D解析：由题设增量等式应得到f(x)在x=x0处可导，而x0又是(一2，+∞)内任意一点，于是f(x)在(一2，+∞)内处处可导，且再由f(一1)=1，即得lnC=1，解得C=e．所以在(一2，+∞)内有表达式故应选D．知识模块：微积分4．若极限则函数f(x)在x=a处A．不一定可导．B．不一定可导，但f+’(a)=A．C．不一定可导，但f-’(a)=A．D．可导，且f’(a)=A．正确答案：A解析：只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选A．请读者试举一例．知识模块：微积分5．设有多项式P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设x=x0是它的最大实根，则P’(x0)满足A．P’(x0)＞0．B．P’(x0)＜0．C．P’(x0)≤0．D．P’(x0)≥0．正确答案：D解析：反证法．设x0是P(x)=0的最大实根，且使0＜x一x0＜δ时P(x)＜0，又由此可见P(x)在区间必由取负值变为取正值，于是，使P(x1)=0，与x=x0是P(x)=0的最大实根矛盾．故应选D．另外，该题也可以通过P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0的图形来进行判定．4次函数与x轴的交点有如下四种情况，由此可知P’(x0)≥0．知识模块：微积分填空题6．设则f’(1)=____________．正确答案：涉及知识点：微积分7．设f(x)=esinπx，则=___________．正确答案：一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esinπx｜X=1=π．解析：根据导数定义所以，所求极限为一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esin πx｜X=1=π．或把函数代入用洛必达法则求极限．知识模块：微积分8．若函数f(x)在x=1处的导数存在，则极限=___________．正确答案：9f’(1)解析：按导数定义，将原式改写成知识模块：微积分9．设函数的导函数在x=0处连续，则参数λ的取值范围为_____________．正确答案：(3，+∞)解析：由导数定义可求得上述根限只在λ＞1时存在，且此时f’(0)=0，于是f(x)的导函数为欲使f’(x)在x=0处连续，必须有而这一极限为零应满足λ＞3．因此，参数λ的取值范围为(3，+∞)．(当1＜λ≤3时不存在．) 知识模块：微积分10．设则f’(t)=___________．正确答案：f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．解析：先求出f(t)，再求f’(t)．由于所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．知识模块：微积分11．设y=y(x)由方程y=1+xexy确定，则dy｜x=0=_________，y’’｜x=0=____________．正确答案：1；2解析：根据隐函数微分法有dy=exydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)．由y(0)=1，在上述等式中令x=0，得到dy=dx．另外，由隐函数求导法则得到y’=exy+xexy(y+xy’)．①两边再次关于x求导一次，得到y’’=exy(x2y’’+2xy’+xy’+y)+exy(x2y’+xy+1)(xy’+y)，②再次令x=0，y(0)=1，由①式得到y’(0)=1，由②式得到y’’(0)=2．知识模块：微积分12．设y=sinx2，则=__________．正确答案：解析：设u=x3，则于是由复合函数求导法则即得知识模块：微积分13．设=__________．正确答案：解析：复合函数求导数，关键在于正确了解复合结构，设利用复合函数求导法则即得知识模块：微积分14．设=__________．正确答案：解析：知识模块：微积分15．设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=__________．正确答案：(2n一1)!!f2n+1(x)解析：用归纳法．由f’(x)=f3(x)=1.f3(x)求导得f’’(x)=1.3f2(x)f’(x)=1.3f5(x)，再求导又得f’’’(x)=1.3.5f4(x)f’(x)=1.3.5f7(x)，由此可猜想f(n)(x)=1.3…(2n一1)f(2n+1)(x)=(2n—1)!!f(2n+1)(x)(n=1，2，3，…)．设n=k上述公式成立，则有f(k+1)(x)=[f(k)(x)]’=[(2k一1)!!f2k+1(x)]’=(2k一1)!!(2k+1)f2k(x)f’(x)=(2k+1)!!f2k+3(x)，由上述讨论可知当n=1，2，3，…时f(n)(x)=(2n一1)!!f2n+1(x)成立．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（微积分）模拟试卷141(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设x→0时，（1+sinx）x—1是比xtanx n低阶的无穷小，而xtanx n是比（ 2.00）A.1B.2C.3D.43. 2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导4.已知函数y=y（x）在任意点x 2.00）A.2πB.π5.设函数f（x）在（一∞，+∞）上有定义，则下述命题中正确的是（）（分数：2.00）A.若f（x）在（一∞，+∞）上可导且单调增加，则对一切x∈（一∞，+∞），都有f'（x）＞0B.若f（x）在点x 0处取得极值，则f'（x 0）=0C.若f"（x 0）=0，则（x 0，f（x 0））是曲线y=f（x）的拐点坐标D.若f'（x 0）=0，f"（x 0）=0，f"（x 0）≠0，则x 0一定不是f（x）的极值点6.设某商品的需求函数为Q= 160 — 2P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）（分数：2.00）A.10B.20C.30D.407.设f（x）在[a，b]连续，则f（x）在[a，b]非负且在[a，b]的任意子区间上不恒为零是F（x）=∫a x f （t）dt在[a，b]单调增加的（）（分数：2.00）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件8.考虑二元函数f（x，y）的四条性质：①f（x，y）在点（x 0，y 0）处连续，②f（x，y）在点（x 0，y 0）处的两个偏导数连续，③f（x，），）在点（x 0，y 0）处可微，④f（x，y）在点（x 0，y 0）处的两个偏导数存在。

考研数学三（微积分）模拟试卷80(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设y(x)是微分方程y”+(x一1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则( )．A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：A解析：微分方程有y”+(x一1)y’+x2y=ex中，令x=0，则y”(0)=2，于是=1，选(A)．知识模块：微积分2．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一2y’一3y一(2x+1)e一x的特解形式为( )．A．(ax+6)e一xB．x2e一xC．x2(ax+b)e一xD．x(ax+b)e一x正确答案：D解析：方程y”一2y’一3y=(2x+1)e一x的特征方程为λ2一2λ一3=0，特征值为λ1=一1，λ2一3，故方程y”一2y’一3y=(2x+1)e一x的特解形式为x(ax+b)e一x，选(D)．知识模块：微积分填空题3．设y=y(x)满足△y=+o(△x)，且有y(1)=1，则∫02y(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：微积分4．微分方程y’一xe一y+=0的通解为________．正确答案：解析：知识模块：微积分5．微分方程yy”一2(y’)2=0的通解为________．正确答案：C1x+C2．解析：知识模块：微积分6．微分方程xy’=+y(x＞0)的通解为________．正确答案：lnx+C．解析：知识模块：微积分7．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．正确答案：0解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ一1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y”‘一3y”+4y’—2y=0．知识模块：微积分8．设y(x)为微分方程y”一4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=________．正确答案：(e2一1)．解析：y”一4y’+4y=0的通解为y=(C1+C1x)e2x，由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x，于是知识模块：微积分9．差分方程yt+1一2yt=3×2t的通解为y(t)=________．正确答案：C×2t+×2t．解析：yt+1一2yt=0的通解为y(t)=C×2t，f(t)=3×2t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2t，代入原方程得a=，故原方程的通解为y(t)=C×2t+×2t．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微积分学2．设可微函数f(x，y)在点(xo，yo)取得极小值，则下列结论正确的是A．f(xo，y)在y=yo处的导数等于零．B．f(xo，y)存y=yo处的导数大于零．C．f(xo，y)在y=yo处的导数小于零．D．f(xo，y)在y=yo处的导数不存在．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微积分学3．已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)单调减少；且f(1)=f’(1)=1，则A．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)<x．B．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)>x．C．在(1-δ，1)内f(x)<x；在(1，1+δ)内f(x)>x．D．在(1-δ，1)内f(x)>x；在(1，1+δ)内f(x)<x．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微积分学4．当a取下列哪个值时，函数，(x)=2x3-9x2+12x-a恰有两个不同的零点．A．2B．4C．6D．8正确答案：B 涉及知识点：多元函数微积分学5．以下四个命题中，正确的是A．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界.B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．正确答案：C 涉及知识点：多元函数微积分学6．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为A．y* =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y* =ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：多元函数微积分学7．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微积分学8．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：多元函数微积分学9．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：多元函数微积分学10．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微积分学填空题11．设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz丨(1，0)=___________.正确答案：2edx+(e+2)dy 涉及知识点：多元函数微积分学12．设z=(x+ey)x，则θz/θx丨(1，0)=___________.正确答案：2ln2+1 涉及知识点：多元函数微积分学13．设函数z=(1+x/y)x/y,则dz丨(1，1)=___________.正确答案：-(2ln2+1) 涉及知识点：多元函数微积分学14．设z=f(xy,x/y)+g(y/x)，其中f,g均可微，则θz/θx=________.正确答案：yf1’+(1/y)f2’-(y/x2)g’涉及知识点：多元函数微积分学15．设函数f(u)可微，且f(0)=1/2，则z=f(4x2-y2)在点(1，2)处的全微分dz 丨(1，2)=_________.正确答案：4dx-2dy 涉及知识点：多元函数微积分学16．y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________.正确答案：lnn2/n! 涉及知识点：多元函数微积分学17．设生产函数为Q=ALαKβ，其巾Q是产出量，L是劳动投入量，K 是资本投入量，而A、α、β均为大于零的参数，则Q=1时K关于L的弹性为________.正确答案：-α/β涉及知识点：多元函数微积分学18．设某商品的需求函数为Q=160-2p，其中Q，P分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是________.正确答案：40 涉及知识点：多元函数微积分学19．设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对价格P的弹性εP=2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加______元．正确答案：4000 涉及知识点：多元函数微积分学20．设某商品的收益函数为R(P)，收益弹性为1+P3，其中P为价格，且R(1)=1，则R(P)=_________.正确答案：Pe1/3(P3-1) 涉及知识点：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。