2020版新设计一轮复习数学(理)通用版 第七章 不等式、推理和证明 课时跟踪检测(四十二) 数学归纳法

题组层级快练(四十二)1．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc －ad>0，则c a －db >0；②若ab>0，c a －db >0，则bc －ad>0；③若bc －ad>0，c a －db >0，则ab>0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 对于①，∵ab>0，bc －ad>0，c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴②正确；对于③，∵bc －ad>0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴ab>0，∴③正确．2．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2 B.ba<1 C ．lg(a －b)>0 D ．(13)a <(13)b答案 D解析 方法一：利用性质判断．方法二(特值法)：令a ＝－1，b ＝－2，则a 2<b 2，b a >1，lg(a －b)＝0，可排除A ，B ，C 三项．故选D.3．设a ∈R ，则a>1是1a <1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a>1，则1a <1成立；反之，若1a <1，则a>1或a<0.即a>1⇒1a <1，而1a <1a>1，故选A.4．(2019·广东东莞一模)设a ，b ∈R ，若a ＋|b|<0，则下列不等式成立的是( )A ．a －b>0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b<0答案 D5．设a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 一方面，若0<ab<1，则当a<0时，0>b>1a ，∴b<1a 不成立；另一方面，若b<1a ，则当a<0时，ab>1，∴0<ab<1不成立，故选D.6．(2016·天津)设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当b<0时，显然有a>b ⇔a|a|>b|b|； 当b ＝0时，显然有a>b ⇔a|a|>b|b|；当b>0时，由a>b 有|a|>|b|，所以a>b ⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b ⇔a|a|>b|b|，故选C.7．(2019·山东师大附中模拟)已知0<a<b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( ) A ．log 2a>0 B ．2a －b >1C ．2ab >2D ．log 2(ab)<－2答案 D解析 方法一(特殊值法)：取a ＝14，b ＝34验证即可．方法二：(直接法)由已知，0<a<1，0<b<1，a －b<0，0<ab<14，log 2(ab)<－2，故选D.8．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab<b 2<1 B ．log 12b<log 12a<0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab<1答案 C解析 方法一(特殊值法)：取b ＝14，a ＝12.方法二(单调性法)： 0<b<a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12b>log 12a ，B 不对；a>b>0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A ．甲先到教室 B ．乙先到教室 C ．两人同时到教室 D ．谁先到教室不确定答案 B解析 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为sv 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2， 而s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s （v 1＋v 2）2－4sv 1v 2v 1v 2（v 1＋v 2）＝s （v 1－v 2）2v 1v 2（v 1＋v 2）>0， 故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 10．(2019·浙江台州一模)下列四个数中最大的是( ) A ．lg2 B ．lg 2 C ．(lg2)2 D ．lg(lg2) 答案 A解析 因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0；lg 2－(lg2)2＝lg2(12－lg2)>lg2(12－lg 10)＝0，即lg 2>(lg2)2；lg2－lg 2＝12lg2>0，即lg2>lg 2.所以最大的是lg2.11．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>bD ．a>b>c答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.12．已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝0，且xyz>0，设M ＝1x ＋1y ＋1z ，则( )A ．M>0B ．M<0C ．M ＝0D ．M 不确定答案 B解析 ∵(x ＋y ＋z)2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx)＝0，∴xy ＋yz ＋zx<0，∴M ＝1x ＋1y ＋1z ＝yz ＋zx ＋xyxyz<0.13．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．答案 (－3π2，π2)解析 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－3π2<2α－β<π2.(2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 答案 (－3，3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3. (3)若－1<a ＋b<3，2<a －b<4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 答案 (－92，132)解析 设2a ＋3b ＝x(a ＋b)＋y(a －b)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b)<152，－2<－12(a －b)<－1，所以－92<52(a ＋b)－12(a －b)<132.即－92<2a ＋3b<132.14．设α∈(0，12)，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.15．(1)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab ＋1________a ＋b. 答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b)＝1－a －b ＋ab ＝(1－a)(1－b)，∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab ＋1<a ＋b. (2)若a>0，b>0，则不等式－b<1x <a 的解集为________．答案 (－∞，－1b )∪(1a，＋∞)解析 由已知，得－b<0，a>0，∴1x ∈(－b ，a)＝(－b ，0)∪{0}∪(0，a)．∴x ∈(－∞，－1b )∪(1a，＋∞)．16．设a>b>c>0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 答案 z>y>x解析 方法一(特值法)：取a ＝3，b ＝2，c ＝1验证即可．方法二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a)2－a 2－(b ＋c)2＝2c(a －b)>0，∴y 2>x 2，即y>x.z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b)2－b 2－(c ＋a)2＝2a(b －c)>0， 故z 2>y 2，即z>y ，故z>y>x.17．已知a ＋b>0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．答案a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b)⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b>0，(a －b)2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 18．已知a>0且a ≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小． 答案 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1) 解析 当a>1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1. 又y ＝log a x 为增函数，所以log a(a3＋1)>log a(a2＋1)；当0<a<1时，a3<a2，a3＋1<a2＋1.又y＝log a x为减函数，所以log a(a3＋1)>log a(a2＋1)．综上，对a>0且a≠1，总有log a(a3＋1)>log a(a2＋1)．。

题组层级快练(四十三)1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析 在C 项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R . 2．若0＜m ＜1，则不等式(x －m)(x －1m )＜0的解集为( )A ．{x|1m ＜x ＜m}B ．{x|x>1m 或x ＜m}C ．{x|x>m 或x ＜1m }D ．{x|m ＜x ＜1m }答案 D解析 当0<m<1时，m<1m .3．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1] 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x<1.4．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析 依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B. 5．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( ) A ．x>1或x<12B ．x>1或－1<x<12C ．－1<x<12D ．x<－1或x>12答案 B解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，1－|x|<0或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，1－|x|>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x>12，x>1或x<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x<12，－1<x<1.∴x>1或－1<x<12，故选B.6．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x|x<－2或x>3B.{}x|x<－2或1<x<3C.{}x|－2<x<1或x>3D.{}x|－2<x<1或1<x<3答案 C 解析x 2－x －6x －1>0⇒（x －3）（x ＋2）x －1>0⇒(x ＋2)·(x －1)(x －3)>0，由数轴标根法，得－2<x<1或x>3.7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x 2＋bx ＋a<0的解集为( ) A ．{x|－1<x<12}B ．{x|x<－1或x>12}C ．{x|－2<x<1}D ．{x|x<－2或x>1}答案 A解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理，得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a<0，即2x 2＋x －1<0. 可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.8．(2019·辽宁抚顺一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13}，则f(e x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－ln3}B ．{x|－1<x<－ln3}C ．{x|x>－ln3}D ．{x|x<－ln3}答案 D解析 设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－(－1＋13)＝23，b ＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13}，∴f(x)＝－(x 2＋23x －13)＝－x 2－23x ＋13，∴f(x)>0的解集为x ∈(－1，13)．不等式f(e x )>0可化为－1<e x <13.解得x<ln 13，∴x<－ln3，即f(e x )>0的解集为{x|x<－ln3}．9．(2019·保定模拟)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( ) A ．(－235，＋∞)B ．[－235，1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－235]答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)>0，即a>－235.10．(2019·郑州质检)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图像为()答案 C解析 由题意得⎩⎨⎧a<0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.11．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值范围是( ) A ．(0，1a 1)B ．(0，2a 1)C ．(0，1a 3)D ．(0，2a 3)答案 B12．(2019·福州一模)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，4) B ．(－2，－1)∪(3，4) C ．(3，4] D ．[－2，－1)∪(3，4] 答案 D解析 由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时，解得1<x<a ，此时解集中的整数为2，3，则3<a ≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a ∈[－2，－1)∪(3，4]．13．不等式2x 2－3|x|－35>0的解集为________． 答案 {x|x<－5或x>5}解析 2x 2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5.14．已知－12<1x <2，则实数x 的取值范围是________．答案 x<－2或x>12解析 当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2.所以x 的取值范围是x<－2或x>12.15．若不等式a·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 a>14解析 不等式可变形为a>2x －14x ＝(12)x －(14)x ，令(12)x ＝t ，则t>0.∴y ＝(12)x －(14)x ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a>14.16．(2019·安徽毛坦厂中学月考)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k<0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x|x ∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．答案 (1)k ＝－25 (2)k ＝－66 (3)k<－66 (4)k ≥66解析 (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}， 所以k<0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根， 所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为{x|x ∈R ，x ≠1k}，所以⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2<0，解得k<－66.(4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k>0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.17．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，求实数a的取值范围． 答案 (－∞，9]解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0的解集为(2，3)，令g(x)＝2x 2－9x ＋a ，其对称轴为x ＝94，∴只需g(3)＝－9＋a ≤0，∴a ≤9.。

题组层级快练(四十七)1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”“索”的“因”应是( ) A ．a －b>0 B ．a －c>0 C ．(a －b)(a －c)>0 D ．(a －b)(a －c)<0答案 C 解析b 2－ac<3a ⇔b 2－ac<3a 2⇔(a ＋c)2－ac<3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c)(2a ＋c)>0⇔(a －c)(a －b)>0. 2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D3．下列不等式不成立的是( ) A.12<ln2 B.3＋1>2 2 C ．233<322 D ．sin1>cos1答案 B4．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值确定 答案 C解析 要比较P ，Q 的大小关系，只要比较P 2，Q 2的大小关系，只要比较2a ＋7＋2a （a ＋7）与2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）的大小，只要比较a （a ＋7）与（a ＋3）（a ＋4）的大小，即比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小， 只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( ) A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 答案 B解析 注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B. 6．若a>0，b>0，a ＋b ＝1，则下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．ab ≤14C.1a ＋1b ≥4 D.a ＋b ≤1答案 D解析 a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ≥1－2·(a ＋b 2)2＝12，∴A 成立；ab ≤(a ＋b 2)2＝14，∴B 成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1（a ＋b 2）2＝4，∴C 成立； (a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab>1，∴a ＋b>1，故D 不成立．7．(2019·东北四校联考)设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析 假设a ，b ，c 三个数都小于2. 则6>a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥2x·1x＋2y·1y＋2z·1z＝6，即6>6，矛盾． 所以a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于2.8．设a>0，b>0，求证：lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案 略证明 要证lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需证1＋ab ≤（1＋a ）（1＋b ），即证(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)， 即证2ab ≤a ＋b ， 而2ab ≤a ＋b 成立，∴lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．9．(2019·江苏盐城一模)已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 答案 略解析 ∵x 22x 1＋x 1＋x 32x 2＋x 2＋x 12x 3＋x 3≥2x 22＋2x 32＋2x 12＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 10．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值． 答案 (1)略 (2)成立，证明略解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得 x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3.故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x>0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．11．(2019·湖北武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n ≥2，n ∈N *)．答案 (1)a n ＝2n －1 (2)略解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故所求的通项公式为a n ＝2n －1. (2)证明：由(1)可知S n ＝n 2，要证原不等式成立，只需证1（n －1）2＋1（n ＋1）2>2n 2， 只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2. 只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2. 只需证3n 2>1.而3n 2>1在n ≥1时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n ≥2，n ∈N *)恒成立．12．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝∑n k ＝1b k ，证明：S n <1.答案 (1)a n ＝1－1n(2)略解析 (1)由题设11－a n ＋1－11－a n ＝1，得{11－a n }是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n ＝n.所以a n ＝1－1n .(2)由(1)得 b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝∑nk ＝1b k ＝∑nk ＝1(1k －1k ＋1)＝1－1n ＋1<1. 13．(2015·湖南，理)设a>0，b>0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立． 答案 (1)略 (2)略解析 (1)由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a>0，b>0，得ab ＝1.由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a<2与b 2＋b<2同时成立，则由a 2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．14．已知函数f(x)＝lnx －ax ＋b x ，对任意的x ∈(0，＋∞)，满足f(x)＋f(1x )＝0，其中a ，b 为常数．(1)若f(x)的图像在x ＝1处的切线经过点(0，－5)，求a 的值； (2)已知0<a<1，求证：f(a 22)>0.答案 (1)－2 (2)略解析 (1)在f(x)＋f(1x )＝0中，取x ＝1，得f(1)＝0，又f(1)＝ln1－a ＋b ＝－a ＋b ，所以b ＝a. 从而f(x)＝lnx －ax ＋ax ，f ′(x)＝1x －a(1＋1x2)，f ′(1)＝1－2a.又f′(1)＝－5－f （1）0－1＝5，所以1－2a ＝5，a ＝－2.(2)证明：f(a 22)＝ln a 22－a 32＋2a ＝2lna ＋2a －a 32－ln2.令g(x)＝2lnx ＋2x －x 32－ln2，则g′(x)＝2x －2x 2－3x 22＝－3x 4＋4（x －1）2x 2.所以，x ∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减， 故x ∈(0，1)时，g(x)>g(1)＝2－12－ln2>1－lne ＝0.所以，0<a<1时，f(a 22)>0.。

不等关系与不等式的性质1．了解不等式的概念，理解不等式的性质． 2．会比较两个代数式的大小． 3．会利用不等式的性质解决有关问题．知识梳理 1．不等式的定义用不等号“>、≥、<、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较(1)作差法．设a ，b ∈R ，则a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . (2)作商法．设a >0，b >0，则a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b<1⇔a <b . 3．不等式的基本性质 ①对称性：a >b ⇔b <a ； ②传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ； ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；④不等式加法：a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；⑤可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ ac <bc ； ⑥不等式乘法：a >b >0，c >dac >bd ；⑦不等式乘方：a >b >0⇒ a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； ⑧不等式开方：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n >1)．1．倒数性质 (1)a >b ，ab 1a <1b；(2)a <0<b1a <1b.2．分数性质 若a >b >0，m >0，则(1)真分数性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)； (2)假分数性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．热身练习1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W 表示，则上述关系可以表示为(B)A ．W >300B ．W ≥300C ．W <300D ．W ≤3002．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是(A) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 的值的变化而变化因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以f (x )>g (x )．3．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的(A) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件a >b 且c >d ⇒a ＋c >b ＋d .当取a ＝1，b ＝2，c ＝5，d ＝3时，满足a ＋c >b ＋d ，但不能推出a >b 且c >d ，故选A. 4．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D) A.a c >b d B.a c <b dC.a d >b cD.a d <b c由c <d <0，cd1d <1c<0，所以1－d >1－c >0，又a >b >0，所以－a d >－b c ，所以a d <b c.5．(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 －1，－2，－3(答案不唯一) .只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．比较大小设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．因为(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0，所以－2xy (x －y )>0.所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．比较大小的方法有作差法和作商法．①作差法：作差→变形→判断符号→结论．其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．②作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论．1．(2017·全国卷Ⅰ·理)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则(D) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z令t ＝2x＝3y＝5z，因为x ，y ，z 为正数，所以t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.所以2x －3y ＝2lg tlg 2－3lg t lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＞0，所以2x ＞3y .又因为2x －5z ＝2lg tlg 2－5lg t lg 5＝lg t －lg 2×lg 5 ＝lg t－lg 2×lg 5＜0，所以2x ＜5z ，所以3y ＜2x ＜5z .判断或证明大小关系下列命题： ①若a >b ，则a 2>b 2；②若a >b >0，c >d >0，则a d >b c； ③已知a ，b ，m 都是正数，并且a <b ，则a ＋m b ＋m >ab； ④若a >b ，则a 3>b 3.其中，真命题的序号是__________．对于①，令a ＝1，b ＝－2有a >b ，但a 2>b 2不成立．故①为假命题． 对于②，因为c >d >0，1cd >0，所以1d >1c，又a >b >0，所以a d >b c>0，所以a d>bc.故②为真命题． 对于③，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m b －ab ＋m b>0.所以a ＋mb ＋m >ab，即③为真命题． 对于④，因为y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以当a >b 时，a 3>b 3.所以④为真命题．②③④(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判断一个不等式成立，一般需要证明．(2)判断大小关系，常用的方法有： ①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)； ③利用函数的单调性或借助函数的图象．2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中正确结论的序号是 ①②③ .①(方法一：利用不等式性质) 由a >b >1，1ab >0，得1b >1a，又c <0，所以c a >c b，故①正确．(方法二：利用作差比较法) 因为c a －c b ＝c b －a ab >0，所以c a >cb.故①正确．②(方法一：利用作商比较法) 因为a >b >1，所以ab>1，c <0，所以a c b c ＝(a b)c <1，所以a c <b c.所以②正确．(方法二：利用函数的性质)由幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上是减函数可知，当a >b >1时，a c<b c，故②正确． ③因为a >b >1，又c <0，所以a －c >b －c ，由对数函数的性质得：log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，故③正确．不等式性质的应用若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解．因为2x ＋y ，x－y 的范围已经给出，若能将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，则可利用2x ＋y 与x －y 的范围求出x ＋2y 的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果．因为x ＋2y ＝(2x ＋y )＋y －x ， 而3≤2x ＋y ≤9，－9≤y －x ≤－6， 所以－6≤x ＋2y ≤3，当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y －x ＝－9，即x ＝4，y ＝－5时取到左边等号，所以z 的最小值为－6.－6(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算．但如果涉及等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意．本题中，2x ＋y 与x －y 中的x ，y 不是独立的，而是相互制约的，因此，可把2x ＋y 与x －y 看作一个整体，把x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，再求出x ＋2y 的取值范围．即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．(2)将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设x ＋2y ＝m (2x ＋y )＋n (x －y )，再比较得到m ＝1，n ＝－1.3．(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为(C)A ．0B ．3C ．4D ．52x ＋y ＝13(2x －y )＋43(x ＋y )≤13×0＋43×3＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时取等号，满足x ≥0，所以(2x ＋y )max ＝4.1．比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差→变形→判断(与0比较)→结论；(2)作商法，具体步骤：作商→变形→判断(与1比较)→结论，必须注意分母的符号．2．运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件．有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果．3．求范围问题：(1)差的范围转化为和的范围．⎩⎪⎨⎪⎧a <x <bc <y <d⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b －d <－y <－c⇒a －d <x －y <b －c .这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． (2)商的范围转化为积的范围．(3)由M 1<f 1(x ，y )<N 1，M 2<f 2(x ，y )<N 2，求g (x ，y )的范围．常令g (x ，y )＝mf 1(x ，y )＋nf 2(x ，y )，用恒等关系求出m ，n ，再利用同向不等式相加求得范围．一元二次不等式1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 2．掌握一元二次不等式的解法． 3．会求解简单的分式不等式．知识梳理1．一元二次不等式的定义只含 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解集设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则一元二次不等式的解集如下表所示：3.分式不等式与一元二次不等式的关系 (1)x －ax －b>0⇔ (x －a )(x －b )>0 ； (2)x －ax －b<0⇔ (x －a )(x －b )<0 ； (3)x －ax －b≥0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x －a x －b ，x －b ≠0 ；(4)x －a x －b≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x －a x －b ，x －b ≠0 .热身练习1．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是 [－3,1] .要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1， 故所求函数的定义域为[－3,1]．2．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <3}，则A ∩B ＝(B)A ．[－2,3)B ．[－2，－1]C ．[－1,1]D ．[1,3)由x 2－2x －3≥0得(x －3)(x ＋1)≥0，所以x ≥3或x ≤－1，所以A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， 所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．3．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1)>0的解是(B) A ．0<x <a B ．a <x <1 C ．x <a 或x >1 D ．x <1或x >a 4．不等式x －3x ＋2<0的解集为(A) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |x <－2} C ．{x |x <－2，或x >3} D ．{x |x >3}由x －3x ＋2<0得(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3. 5．不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立的条件是(D)A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，所以0<m <2.一元二次不等式的解法已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ， 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－x 2－4x (x <0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x <0.①当x >0时，由f (x )>x ，得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x ，无解；③当x <0时，由f (x )>x ，得－x 2－4x >x ， 解得－5<x <0.综上，f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．(－5,0)∪(5，＋∞)(1)解一元二次不等式的一般步骤：①将二次项系数化为正；②解相应的方程；③画出相应的函数图象；④写出解集．(2)当f (x )是分段函数时，求f (x )>g (x )的解集时，要分段求解，然后取并集．1．(2018·河南洛阳模拟)不等式lg(x 2－3x )<1的解集为(D) A ．(－2,5) B ．(－5,2) C ．(3,5) D ．(－2,0)∪(3,5)不等式lg(x 2－3x )<1等价于：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x >0，x 2－3x <10，解得－2<x <0或3<x <5.所以不等式lg(x 2－3x )<1的解集为(－2,0)∪(3,5)．简单的分式不等式的解法不等式x －2x 2＋3x ＋2>0的解集是__________．不等式x －2x 2＋3x ＋2>0等价于下面的不等式组：(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x 2＋3x ＋2>0，或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，x 2＋3x ＋2<0，解(Ⅰ)得x >2，解(Ⅱ)得－2<x <－1.所以原不等式的解集为(－2，－1)∪(2，＋∞)．(－2，－1)∪(2，＋∞)(1)解分式不等式时，一般要先通过移项、通分、整理成一边是商式，另一边是0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解．(2)求解分式不等式常有如下两种等价变形方式：f xg x >0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f x ，g x ，或⎩⎪⎨⎪⎧fx <0，g x⇔ f (x )·g (x )>0.前者转化为不等式组，后者转化为整式不等式．2．(2019·上海市虹口区一模)关于x 的不等式xx －1≥2的解集为 (1,2] .原不等式等价于x x －1≥2⇔x －x －x －1≥0x －2x －1≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x －x －x －1≠0⇔ 1<x ≤2.所以原不等式的解集为(1,2]．含参数的一元二次不等式的解法解关于x 的不等式x 2－x －a (a －1)>0.原不等式可化为(x ＋a －1)(x －a )>0， 当a >－(a －1)，即a >12时，则x >a 或x <1－a ；当a ＝－(a －1)，即a ＝12时，则(x －12)2>0，得x ≠12，x ∈R ；当a <－(a －1)，即a <12时，则x <a 或x >1－a .综上：当a >12时，不等式的解集为{x |x <1－a 或x >a }；当a ＝12时，不等式的解集为{x |x ≠12，x ∈R }；当a <12时，不等式的解集为{x |x <a 或x >1－a }．(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论．(2)一般地，含参数的二次型不等式，常常要从二次项的系数、判别式的符号、方程根的大小等方面进行分类讨论．分类时，要注意不重不漏；写解集时，要注意结合图象；最后还要注意将结论进行综合，分类写了答案．3．(2018·天津大港区模拟)解关于x 的不等式kx 2＋2x ＋k <0(k ≤0)．(1)当k ＝0时，不等式的解集为{x |x <0}． (2)当k <0时，①当Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时，不等式的解集为 {x |x <－1＋1－k 2k 或x >－1－1－k 2k}；②当Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ；③当Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解集为{x ∈R |x ≠－1}． 综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x <0}；当－1<k <0时，不等式的解集为{x |x <－1＋1－k 2k 或x >－1－1－k 2k}；当k ＝－1时，不等式的解集为{x ∈R |x ≠－1}； 当k <－1时，不等式的解集为R .1．一元一次不等式(组)、一元二次不等式的求解要准确、熟练、迅速，这是解其他不等式的基础．利用数轴及二次函数图象是解一元一次不等式(组)、一元二次不等式的常用方法之一．对于二次不等式的求解问题还要注意“三个二次”的相互联系，注意数形结合思想方法的运用．2．解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，然后转化为整式不等式来解；转化时，要注意以下同解原理：(1)不等式f xg x＞0(或＜0)与不等式f (x )g (x )＞0(或＜0)同解； (2)不等式f xg x≥0(或≤0)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧fx g x ，gx(或⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，g x)同解．3．注意含参数的不等式分类讨论时，分类要不重不漏．如解含参数t 的不等式x 2f (t )＋xg (t )＋r (t )＞0(或＜0)，一般需要从三个方面进行讨论求解：一是讨论x 2的系数f (t )的取值情况(为正、为负还是为零)；二是讨论Δ的取值情况(为正、为负还是为零)；三是讨论两根的大小(x 1＜x 2，x 1＞x 2，还是x 1＝x 2)．简单的线性规划问题1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0 某一侧所有点 组成的平面区域．(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的 交集 ，即各个不等式所表示的平面区域的 公共部分 .(3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用 直线 定界， 特殊点 定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出的二元一次不等式组；(2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式；(3)线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．(4)可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．3．利用线性规划求最值的一般步骤：(1)根据线性约束条件画出可行域；(2)设z＝0，画出直线l0；(3)观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；(4)求出目标函数的最大值或最小值．热身练习1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是(C)A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－1)将上述各点代入不等式检验，若满足不等式，则点在所表示的平面区域内，否则，不在．因为(0,0)，(－1,1)，(2，－1)都满足不等式，所以这些点都在所表示的平面区域内，而(－1,3)不满足不等式，故选C.2．如图所示，不等式2x－y＜0表示的平面区域是(B)直线定界，因为2x －y ＝0不经过(2,1)点排除D,2x －y <0不包括边界，排除A ，再取特殊点(1,0)代入得2－0>0，故(1,0)不在2x －y <0表示的区域内，故排除C ，选B.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于(C)A.32B.23 C.43 D.34不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，作出不等式组表示的平面区域如右图：所以S 阴＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－43×1＝43.4．目标函数z ＝x ＋2y ，将其看成直线方程时，z 的意义是(C) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线纵截距的2倍 D ．该直线纵截距的12将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z2，可知z ＝2b ，表示该直线的纵截距的2倍．5．(2015·北京卷)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为 7 .把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋13z ，通过平移直线y ＝－23x 知，当过点A (2,1)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值且z max ＝2×2＋3×1＝7.求线性目标函数的最值(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为______．作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x ，平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.6(1)对线性目标函数z ＝Ax ＋By 中的B 的符号一定要注意．当B ＞0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当B ＜0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察结果就可能有误．1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是(B)A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．求非线性目标函数的最值若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为____________．画出可行域如图阴影所示，因为y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， 所以在点A 处时，y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.所以A (1,3)．所以y x的最大值为3.3求非线性目标函数的最值问题，关键是从目标函数联想到相对应的几何意义，常见的是两点连线的斜率和两点间的距离，在此基础上再利用数形结合的思想方法进行求解．2．(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是(C)A ．4B ．9C ．10D ．12作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.线性规划在实际问题中的应用某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元设出甲、乙两种产品的数量，列出关系式，转化为线性规划问题，画出可行域求解．设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.D建立线性规划问题的数学模型的一般步骤：①设出所求未知数；②列出约束条件(即不等式组)；③建立目标函数；④作出可行域；⑤运用图象法求出最优解．3．(2016·全国卷Ⅰ·理)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 216 000 元．设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.画出可行域，如图：目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．1．画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，是它们平面区域的公共部分．2．对线性目标函数z ＝Ax ＋By 中的B 的符号一定要注意．当B ＞0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当B ＜0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．3．常见目标函数有截距型(ax ＋by ＝z )，距离型(z ＝x －x 02＋y －y 02)，斜率型(z ＝y －y 0x －x 0)几种． 4．最优解一般在可行域的顶点处或边界取得，要注意边界的虚实．此外解选择、填空题常常可先求可行域的顶点，再代入目标函数验算．5．建立线性规划问题的数学模型的一般步骤：(1)明确问题中的有待确定的未知量，并用数学符号表示；(2)明确问题中所有的限制(约束)条件，并用线性方程或线性不等式表示；(3)明确问题的目标，并用线性函数(目标函数)表示，按问题的不同，求其最大值或最小值．其中分析题目的已知条件准确找出约束条件和目标函数是关键，可以把题目涉及的量分类列出，理清思路，然后列出不等式(或方程组)确定约束条件和目标函数．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处取得最优解．基本不等式1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．知识梳理 1．基本不等式a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号． 2．几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )； (2)a b ＋b a≥ 2 (a ，b 同号)； (3)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥ (a ＋b2)2.3．基本不等式求最值(1)两个 正数 的和为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其积最大． (2)两个 正数 的积为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．热身练习1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2A 、C 中，a ＝b 时不成立，B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D.2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A ．ab ≤a 2＋b 22 B ．ab ≤(a ＋b2)2C.a 2＋b 22≥a ＋b2 D.2aba ＋b≥ab易知A ，B 成立，对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，所以a 2＋b 22≥(a ＋b2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b2，故C 成立．对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D.3．周长为60的矩形面积的最大值为(A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900设矩形的长为x ，宽为y ，则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30， 所以S ＝xy ≤(x ＋y2)2＝225，即S max ＝225.当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A. 4．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )(A)A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数f (x )＝－[(－2x )＋(－1x)]－1≤－22－1，当且仅当x ＝－22时，等号成立， 所以函数f (x )有最大值，所以选A.5．(2017·山东卷)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为 8 .因为直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，所以1a ＋2b＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋ba≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.利用基本不等式判断大小关系下列不等式一定成立的是A ．x 2＋1>2x (x ∈R ) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1＋1x 2＋1>2(x >0) D ．x ≥1x(x >0)对于A ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，A 不正确．对于B ，需要满足sin x >0，不等式成立，所以B 也不正确； 对于C ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号，但x >0，所以不等式不能取到等号，故C 正确．对于D ，当0<x <1时，x <1x，故D 不正确．C运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是(C) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x 的最小值为4C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x 的最小值不为4(因为sin x ＝2不成立)；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.利用基本不等式求最值(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值．(2)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．(1)y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故当x ＝1时，y max ＝1.(2)(方法一)因为x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，且1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(方法二)由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)，可知x >1，y >9，从而x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －y －＋10＝16，所以当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．2．(1)若x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 32.(2)(2018·江苏杭州一模)若对任意的x >1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是(B)A ．4B ．6C ．8D ．10(1)因为x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6.所以xy ＝16(2x )·(3y )≤16(2x ＋3y 2)2＝32，当且仅当2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32.(2)a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min .因为x 2＋3x －1＝x －2＋x －＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2，因为x >1， 所以(x －1)＋4x －1＋2≥2x －4x －1＋2＝6， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取“＝”，所以a ≤6. 故a 的最小值为6.基本不等式的实际应用(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为(3600x＋4x )万元．因为3600x＋4x ≥23600x ·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．30应用基本不等式解决实际问题的步骤：①先理解题意，设变量时一般把要求的最大(小)值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大(小)值问题；③利用基本不等式求函数的最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；④回到实际问题中，写出正确答案．3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 80 件．设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，分析其结构特点，有利于在运用过程中根据问题的结构特征灵活地对公式进行合理选择．2．基本不等式的应用主要是：(1)证明某些不等式；(2)求某些函数的最值． 3．利用基本不等式求最值，有“和定积最大，积定和最小”的结论，利用它可以解决某些非二次的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题，在具体解题时，要特别注意：“一正、二定、三相等”的条件．创造利用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目标在于满足“一正、二定、三相等”的条件．合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．知识梳理 1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的 部分 对象具有某些特征，推出该类事物的 全部 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出 一般结论 的推理．归纳推理是由部分到整体、由 个别 到 一般 的推理．(2)类比推理：由两类对象具有 某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 ， 分析 ， 比较 ， 联想 ，再进行 归纳 ， 类比 ，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)从 一般性 的原理出发，推出某个 特殊情况 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理．(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提—— 已知的一般原理 ； ②小前提—— 所研究的特殊情况 ；③结论—— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 .热身练习1．(2015·陕西卷)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式为 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .等式左边是一个和式，先观察其通项：等式的左边的通项为12n －1－12n， 前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1， 共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 所以第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.2．用类比的方法填写下表中的空白：类比得：b 1·b 2·b 3·b 4·b 5＝b 53.3．如图(1)有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，则由图(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝ PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.平面上的面积可类比到空间上的体积．V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝13·S △PA ′B ′·h ′13·S △PAB ·h ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC. 4．(2018·襄城区校级模拟)“所有9的倍数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理是(B)A ．不是三段论推理，且结论不正确B ．不是三段论推理，但结论正确C ．是三段论推理，但小前提错误D ．是三段论推理，但大前提错误5．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．。

基本不等式1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件．2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式a ＋b 2≥ab(1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号．2．几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )；(2)a b ＋b a ≥ 2 (a ，b 同号)；(3)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22 ≥ (a ＋b 2)2. 3．基本不等式求最值(1)两个 正数 的和为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其积最大．(2)两个 正数 的积为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．热身练习1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D)A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2A 、C 中，a ＝b 时不成立，B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D.2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D)A ．ab ≤a 2＋b 22B ．ab ≤(a ＋b 2)2C.a 2＋b 22≥a ＋b 2D.2aba ＋b ≥ab易知A ，B 成立，对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b2，故C 成立．对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．由以上分析可知，应选D.3．周长为60的矩形面积的最大值为(A)A ．225B ．450C ．500D ．900设矩形的长为x ，宽为y ，则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30，所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2＝225，即S max ＝225.当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A.4．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )(A)A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数f (x )＝－[(－2x )＋(－1x )]－1≤－22－1， 当且仅当x ＝－22时，等号成立，所以函数f (x )有最大值，所以选A.5．(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为8 .因为直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， 所以1a ＋2b ＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24ab ·b a ＝8， 当且仅当ba ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.利用基本不等式判断大小关系下列不等式一定成立的是A ．x 2＋1>2x (x ∈R )B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1＋1x 2＋1>2(x >0) D ．x ≥1x(x >0)对于A ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，A 不正确．对于B ，需要满足sin x >0，不等式成立，所以B 也不正确；对于C ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号，但x >0，所以不等式不能取到等号，故C 正确．对于D ，当0<x <1时，x <1x，故D 不正确．C运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是(C)A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x≥2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x的最小值不为4(因为sin x ＝2不成立)； 对于C ，当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.利用基本不等式求最值(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值． (2)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．(1)y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3 ≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，取等号． 故当x ＝1时，y max ＝1.(2)(方法一)因为x >0，y >0，1x ＋9y＝1， 所以x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x＋9x y ＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，且1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(方法二)由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)， 可知x >1，y >9，从而x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －y －＋10＝16，所以当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．2．(1)若x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 32. (2)(2018·江苏杭州一模)若对任意的x >1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是(B)A ．4B ．6C ．8D ．10(1)因为x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6.所以xy ＝16(2x )·(3y )≤16(2x ＋3y 2)2＝32， 当且仅当2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32. (2)a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min . 因为x 2＋3x －1＝x －2＋x －＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2， 因为x >1，所以(x －1)＋4x －1＋2≥2x －4x －1＋2＝6， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取“＝”，所以a ≤6. 故a 的最小值为6.基本不等式的实际应用(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为(3600x＋4x )万元． 因为3600x ＋4x ≥23600x ·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．30应用基本不等式解决实际问题的步骤：①先理解题意，设变量时一般把要求的最大(小)值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大(小)值问题；③利用基本不等式求函数的最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；④回到实际问题中，写出正确答案．3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 80 件．设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，分析其结构特点，有利于在运用过程中根据问题的结构特征灵活地对公式进行合理选择．2．基本不等式的应用主要是：(1)证明某些不等式；(2)求某些函数的最值．3．利用基本不等式求最值，有“和定积最大，积定和最小”的结论，利用它可以解决某些非二次的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题，在具体解题时，要特别注意：“一正、二定、三相等”的条件．创造利用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目标在于满足“一正、二定、三相等”的条件．。

高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.1 等式性质与不等式性质 考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b . (a ，b ∈R )2．等式的性质性质1 对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c. 3．不等式的性质性质1 对称性：a >b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b . 2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋ma ＋m ； 若b >a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(√ )(2)若ba >1，则b >a .( × )(3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b ，则b <a .( × )教材改编题1．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式不正确的是( )A ．12a <12b B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>ab D ．ac 3<bc 3答案 D解析 因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以12a <12b ，A 正确；因为y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b ，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2b －ab ＋2b >0，所以a ＋2b ＋2>ab ，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3<b <5，则a ＋2b 的取值范围是______．答案 (－7,12)解析 ∵－3<b <5，∴－6<2b <10，又－1<a <2，∴－7<a ＋2b <12.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( ) A ．p <q B ．p ≤q C ．p >q D ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝b 2－a 2b －a ab ＝b －a 2b ＋aab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 答案 B解析 令函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .教师备选已知M ＝e 2 021＋1e 2 022＋1，N ＝e 2 022＋1e 2 023＋1，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋1e 2 023＋1－e 2 022＋12e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021e －12e 2 022＋1e 2 023＋1>0. ∴M >N .方法二 令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e e x ＋1＋1＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1， 显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0. ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝21－ab1＋a 1＋b >0，∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－eππ－e ＝⎝⎛⎭⎫eππ－e ，又0<eπ<1,0<π－e<1，∴⎝⎛⎭⎫eππ－e <1，即e π·πee e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二 不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是() A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2C ．若c >a >b >0，则a c －a <bc －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c 答案 D 解析 对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题； 对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但不满足a 2<ab <b 2，故B 选项为假命题；对于C 选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b ＝12，故C 选项为假命题； 对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c＝a b ＋c －b a ＋c b b ＋c ＝ac －bc b b ＋c＝a －b c b b ＋c>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题． (2)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是________．(填序号) ①1a ＋b <1ab ； ②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b； ④ln a 2>ln b 2.答案 ①③解析 由1a <1b <0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b<0， 则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域 (0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c | D.a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B 错误；对于C ，若c ＝0，a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华 判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析 因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是________．(填序号)①1ac>1bc；②ba c>ab c；③(1－c)a<(1－c)b；④log b(a＋c)>log a(b＋c)．答案③④解析由题意知，a>b>1>c>0，所以对于①，ac>bc>0，故1ac<1bc，所以①错误；对于②，取a＝3，b＝2，c＝1 2，则ba c＝23，ab c＝32，所以ba c<ab c，故②错误；对于③，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故③正确；对于④，a＋c>b＋c>1，所以log b(a＋c)>log b(b＋c)>log a(b＋c)，故④正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，2解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14， 又3<a <8，∴19×3<a b <14×8， 即13<a b<2. 延伸探究 若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0， 又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2， 又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12 答案 A解析 因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3， 将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a <－1. (2)已知1<a <b <3，则a －b 的取值范围是________，a b的取值范围是________． 答案 (－2,0) ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵1<b <3，∴－3<－b <－1，又1<a <3，∴－2<a －b <2，又a <b ，∴a －b <0，∴－2<a －b <0，又13<1b <1a ，∴a3<ab <1，又a3>13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立；若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,3<b <4，则a 2b 的取值范围为( )A ．(1,3) B.⎝⎛⎭⎫43，94C.⎝⎛⎭⎫23，34D.⎝⎛⎭⎫12，1答案 A解析 因为－3<a <－2，所以a 2∈(4,9)，而3<b <4，故a 2b 的取值范围为(1,3)．4．若a >1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析 由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．已知a ，b ∈R ，则“|a |>|b |”是“a b >1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 不妨令a ＝1，b ＝0，故|a |>|b |不能推出a b >1，若a b >1，故a ，b 同号，若a ，b 都大于0，则a >b >0，从而|a |>|b |；若a ，b 都小于0，则a <b <0，从而|a |>|b |，故a b >1能推出|a |>|b |，从而“|a |>|b |”是“a b >1”成立的必要不充分条件．6．(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式恒成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 B解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．设a ，b ，c ，d 为实数，且a >b >0>c >d ，则下列不等式正确的是( )A ．c 2>cdB ．a －c <b －dC ．ac <bdD.c a －d b >0 答案 D解析 因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 错误；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b， 故c a －d b>0，故选项D 正确． 8．若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c －a b －a >c b C ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案 D解析 对于A ，∵b >c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 错误；对于B ，若c －a b －a >c b， 则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b>2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析 因为1a <1b<0， 所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b 解析 方法一 令a ＝13，b ＝23， 则2ab ＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59， 故a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 方法二 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12， 即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12， 即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.13．(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式恒成立的是( )A ．c <bB ．b ≤1C ．b ≤aD ．a <c 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2， 两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .那么a ，b ，c ，d 的大小关系是________．答案 b >d >c >a解析 由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析 因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。