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从梯子的倾斜程度谈起(二)教学目标(一)知识与技能1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.(二)过程与方法1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯.教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索——交流法.教具准备多媒体演示.教学过程Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 211122BA C A BA C A 和有什么什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答.∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，∴A 1C 1//A 2C 2.∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.211122BA C A BA C A 和 2112BA BC BA BC 和 (相似三角形对应边成比例). 由于A 2是梯子A 1B 上的任意—点，所以，如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么函数关系.[师]上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即 cosA=斜边的邻边A ∠锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA 、cosA 、tanA 都是之A 的三角函数”呢?2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA 有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA 、cosA 有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?如图所示，AB ＝A 1B 1，在Rt △ABC 中，sinA=ABBC ，在 Rt △A 1B 1C 中，sinA 1=111B A C B . ∵ AB BC ＜111B A C B , 即sinA<sinA 1，而梯子A 1B 1比梯子AB 陡，所以梯子的倾斜程度与sinA 有关系.sinA 的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.同样道理cosA=AB AC cosA 1＝111B A C A , ∵AB=A 1B 1 AB AC ＞111B A C A 即cosA>cosA 1， 所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡.[师从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.3.例题讲解多媒体演示.[例1]如图，在Rt △ABC中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC的长.分析：sinA 不是“sin ”与“A ”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC ＝0.6. 解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，即=ACBC 0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120. [例2]做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝cosA ，cos(90°-A)=sinA.解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=10，cosA ＝1312，cosA ＝ABAC , ∴AB=665121310131210cos =⨯==A Ac ,sinB ＝1312cos ==A AB Ac 根据勾股定理，得BC 2＝AB 2-AC 2＝(665)2-102=2222625366065=- ∴BC ＝625. ∴cosB ＝1356525665625===AB BC ,sinA ＝135=AB BC 可以得出同例1一样的结论.∵∠A+∠B=90°，∴sinA ：cosB=cos(90-A)，即sinA ＝cos(90°-A)；cosA ＝sinB ＝sin(90°-A)，即cosA ＝sin(90°-A).Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积. Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数；三个比值是因变量.当∠A 确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.Ⅴ.课后作业习题1.2第1、2、题板书设计§1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)1.正弦、余弦的定义在Kt △ABC 中，如果锐角A 确定.sinA ＝斜边的对边A ∠ cosA ＝斜边的对边A ∠2.梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 有关吗?sinA 的值越大，梯子越陡cosA 的值越小，梯子越陡3.例题讲解4.随堂练习教学反思：。
§1.1.2从梯子的倾斜水准谈起(二)教学目标（一）知识与技能经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义。
能够使用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。
（三）情感态度与价值观1.能根据直角三角形中的边角关系，实行简单的计算。
2.理解锐角三角函数的意义。
教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明。
2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。
3.能根据直角三角形的边角关系，实行简单的计算。
教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
教学过程一．创设情境，提出问题，引入新课1．当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗？2．梯子的倾斜水准与这些比相关吗?如果有，是怎样的关系？二．讲授新课1．正弦、余弦及三角函数的定义2．想一想：如图(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2)211122BA C A BA C A 和有什么关系?2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?∵A 1C 1⊥BC 1，A 2C 2⊥BC 2，∴A 1C 1//A 2C 2.∴Rt △BA 1C 1∽Rt △BA 2C 2.211122BA C A BA C A 和 2112BA BC BA BC 和(相似三角形对应边成比例). 因为A 2是梯子A 1B 上的任意—点，所以，如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置，上述结论仍成立。
由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这个比值只与倾斜角相关，而与直角三角形大小无关。
3．例题讲解[例1]如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长。
分析：sinA 不是“sin ”与“A ”的乘积，sinA 表示∠A 所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA ＝0.6，ACBC ＝0.6.解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200. sinA ＝0.6，即=AC BC 0.6，BC ＝AC ×0.6＝200×0.6=120. 4．随堂练习在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6， 求sinB ，cosB ，tanB.分析：要求sinB ，cosB ，tanB ，先要构造∠B 所在的直角三角形.根据等腰三角形“三线合一”的性质， 可过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足.解：过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足。
从梯子的倾斜程度谈起（二）练习目标导航掌握正弦、余弦的定义，能正确应用sinα、cosα表示直角三角形中两边的比．了解锐角三角函数的概念．应注意强调：1）对于sinα=α∠的对边斜边、cosα=α∠的邻边斜边这两个公式只适用于直角三角形；2）正确理解sinα、cosα是一个完整的符号．其表示一个数值．掌握同一个角的三角函数关系sin（90°－α）=cosα；cos（90°－α）=sinα；sin2α＋cos2α=1．基础过关1．在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角∠A的的比叫做∠A的正弦，记作；锐角∠A的的比叫做∠A的余弦，记作．2．在正方形网格中，ABC△的位置如图所示，则cos B的值为．3．在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，则sin B的值为．4．已知在△ABC，∠C=90°，且2BC=AB，那么sin A =_______．5．已知在△ABC中，90=∠C，3cos B=2，则sin A= ．6．已知三角形三边的比是25∶24∶7，则最小角的余弦值为，最小角的正切值为______．7．已知α为一锐角，sinα＝45，则cosα= ，tanα= ．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b分别为∠A和∠B的对边，且3a，则sin A__________．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系中正确的是（）A．c=a sin A B．c= asinA C．c=a cos A D．c= acosA能力提升10．若α是锐角，那么sinα＋cosα的值（）A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定11．在Rt△ABC中，∠ACB=90º，如果sin A∶sin B=2∶3，那么tan A的值为（）A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶412．在△ABC中∠C=90°，a、b分别为∠A和∠B的对边a=8，b=15，sin A＋sin B＋sin C等于（）A．3717B．3817C．3917D．401713．在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．则sin B=（）A．C DAB B．ACBCC．BCABD．ACAB14．若A＋B=90°，则22sin sinA B+的值等于（）A．1 B．2(sin cos)A B+C．22sin A D．815．如图，菱形ABC D的周长为40cm，DE AB⊥，垂足为E，3sin5A=，则下列结论正确的有（）DCBEA①6cm D E =；②2cm BE =；③菱形面积为260cm ；④BD = Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个16．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．16517．在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，CD =4，BC =5，求∠A 的四个三角函数值．18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A 是方程52x －14x ＋8=0的一个根，求sin A ，tan A ．19．已知225sin 10x x θ-+=的一个根，求sin θ．聚沙成塔Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BC 、AC 、AB 三边的长分别为a 、b 、c ，则sin A =a c， cos A =b c，tan A =a b．我们不难发现：sin 260°＋cos 260°=1，… 试探求sin A 、cos A 、tan A 之间存在的一般关系，并说明理由．。
