小升初数学衔接班第5讲

北师大版小学六年级数学——暑期小升初衔接班精品教案【即将升入七年级的你又将开始新学期的学习，这里是梦想起航的地方，这里是求知的热土，这里是你成才的摇篮。

孩子！请静下心来，和老师一起探讨，认真思考，积极回应，勇于开拓，成功必将属于优秀的你！加油！】1.2：有理数1.有理数的概念⑴____ __、___ ___、___ ___统称为整数（0和正整数统称为自然数）。

⑵____ __和___ ___统称为分数。

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类总结：①正整数、0统称为___ _ __（也叫自然数）。

②负整数、0统称为_ _____。

③正有理数、0统称为___ ___。

④负有理数、0统称为____ __。

数轴3.数轴的概念规定了____ __，__ ____，____ __的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的___ ___；⑵____ __、_____ _、___ ___是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要____ __；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

4.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是_ _____关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）5.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数_____ _；⑵正数都______0，负数都______0，正数______负数；⑶两个负数比较，距离原点______的数比距离原点______的数小。

2021年暑假小升初数学衔接之知识讲练专题05《有理数的加法》教学目标1.了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性.2.能运用该法则准确进行有理数的加法运算.(重点）3.经历探索有理数加法法则的过程，理解并掌握有理数加法的法则.（难点）新课导入新课引入动物王国举办奥运会，蚂蚁当火炬手，它第一次从数轴上的原点上向正方向跑一个单位，接着向负方向跑一个单位．蚂蚁经过两次运动后在哪里？如何列算式？新知教授：有理数的加法法则做一做：利用上面的例子来算算8＋(－8)，(－3.5)＋(＋3.5)这两个算式的结果是多少.8＋(－8) (－3.5)＋(＋3.5)(+1) +(-1)＝08＋(－8)＝0(－3.5)＋(＋3.5)＝0思考：观察上面算式中各个加数的特征及结果，你有什么发现？典例分析【例题1】仿照前面例子，尝试解释下面算式的结果.(1)2 ＋(－5)＝(2)8 ＋(－6)＝(3)(-8) ＋5＝(4)5 ＋3＝(5)(-2) ＋(-3)＝两个有理数相加，和的符号怎样确定？和的绝对值如何确定？(1)同号两数相加，结果取相同符号，并把绝对值相加．(2)异号两数相加，结果取绝对值较大的加数的符号，并将较大的绝对值减较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．(3)一个数同0相加，仍得这个数新知教授：有理数加法的应用【典例分析1】足球循环赛中，红队胜黄队4:1，黄队胜蓝队1:0，蓝队胜红队1:0，计算各队的净胜球数.【典例分析2】计算：(1)(-0.6)+(-2.7)； (2)3.7+(-8.4)；(3)(-0.6)+3； (4)3.22+1.78；(5)7+(-3.3)； (6)(-1.9)+(-0.11)；(7)(-9.18)+6.18； (8)4.2+(-6.7).【典例分析3】股民默克上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：(1)星期三收盘时，每股多少元？(2)本周内每股最高价为多少元？最低价为多少元？思维拓展思考题：用“＞”或“＜”号填空：(1)如果a＞0，b＞0，那么a+b 0；(2)如果a＜0，b＜0，那么a+b 0；(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b 0；(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a+b 0．有理数的加法法则：基础达标1．（2020•仙居县模拟）24(-+=)A．2 B．2-C．12D．12-课堂巩固2．（2019秋•浦北县期末）计算11||||22-++的结果是( )A ．0B ．1C ．1-D ．143．（2020•新抚区二模）比2-大1的数是( ) A ．3-B ．1-C ．3D ．14．（2019秋•兖州区期末）下列各式运算正确的是( ) A ．(7)(7)0-+-= B ．111()()326-+-=-C ．0(101)101+-=D ．11()()01010-++= 5．（2019秋•长垣县期末）我县2019年1月的一天早晨的气温是11C ︒-，中午的气温比早晨上升了8C ︒，中午的气温是 C ︒．6．（2019秋•方城县期末）武汉市去年1月份某天早晨气温为3C ︒-，中午上升了8C ︒，则中午的气温为C ︒．7．（2020•蔡甸区模拟）计算：9(6)+-的结果为 ．8．（2019秋•通州区期末）已知||6a =，||2b =，且0a <，0b >，那么a b +的值为 ．9．（2019秋•滦州市期末）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当1y =-时，n = ．10．（2019秋•茂名期中）计算（1）(4)9-+ （2）13(12)17(18)+-++-11．（2015秋•迎泽区校级月考）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．（1）计算：5231(1)(5)21(3)6342-+-++-解：原式5231[(1)()][(5)()](21)[(3)()]6342=-+-+-+-+++-+-5231[(1)(5)21(3)][()()()]6342=-+-++-+-+-++-512()4=+-3104=上面的计算方法叫做拆项法．（2）请用拆项法计算：5213(2015)(2016)(1)40316324-+-+-+12．（2008秋•海口期中）13()44-+= ．19．（2019秋•武侯区校级月考）计算：（1）15(1)(2)37-+- （2）1(3)7(54)2-++-．一．选择题1．（2019秋•思明区校级期中）若有理数a ，b ，满足||a a =-，||b b =，0a b +<，则a ，b 的取值符合题意的是( ) A ．2a =，1b =-B ．1a =-，2b =C ．2a =-，1b =D ．1a =-，2b =-2．（2019秋•广陵区校级期中）已知||1x =，24y =，且x y >，则x y +值为( ) A ．3±B ．5±C ．1+或3+D ．1-或3-3．若15195199519995S =++++⋯．2010919995+⋯个，则S 的末四位数字的和为( )A ．10B ．14C ．18D ．20二．填空题4．（2019秋•渝北区期末）已知||8x =，||3y =，||x y x y +=+，则x y += 5．（2016秋•钦州月考）计算： （1）(25)(35)-+-= ； （2）(12)(3)-++= ； （3）(8)(7)++-= ； （4）0(7)+-= ．6．如图，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x 的值 ．三．解答题7．（2019秋•武侯区校级月考）计算：（1）(23)(58)(17)-+++-； （2）( 2.8)( 3.6) 3.6-+-+； （3）1255()()()6767+-+-++．8．（2018秋•普兰店区期末）若||3a =，||5b =，求a b +的值．9．（2018秋•长春期中）某邮局检修队沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天自A 点出发到收工时所走路程为（单位：千米）10+，3-，4+，8-，13+，2-，7+，5+，5-，2-． （1）求收工时，检修队距A 点多远？（2）若每千米耗油0.3千克，问从A 点出发到收工，共耗油多少千克？10．（2017秋•太谷县校级月考）如果||2a =，||1b =，且a b <，求a b +的值．24．（2017秋•灌南县校级月考）阅读下面文字：对于5231(5)(9)17(3)6342-+-++-可以如下计算：原式5231[(5)()][(9)()](17)[(3)()]6342=-+-+-+-+++-+-5231[(5)(9)17(3)][()()()]6342=-+-++-+-+-++-110(1)144=+-=-上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，请你计算：1532(1)(2000)4000(1999)2643-+-++-11．（2017秋•长春期中）已知||4x =，1||2y =，且0x y +<，求x y +的值．12．（2017秋•红旗区校级期中）已知||7x =，||12y =，求代数式x y +的值．13．（2017秋•中山区月考）计算：（1）(2)313(3)2(4)-++++-++-；（2）13323(2)5(8) 4545+-++-．。

小升初数学衔接班讲座 五第五讲 行程篇（二）一、小升初考试热点及命题方向多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度，这类题型往往需要学生结合六年级所学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件，考查内容较为全面。

二、基本公式【基本公式】：路程＝速度×时间【基本类型】相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；追及问题：速度差×追及时间＝路程差；流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响；顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2 （也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个） 其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；【复杂的行程】 1、多次相遇问题； 2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；三、典型例题解析1 直线型的多次相遇问题如果甲乙从A ，B 两点出发，甲乙第n 次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。

【例1】湖中有A ，B 两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。

两人分别从A ，B 两岛同时出发，他们第一次相遇时距A 岛700米，第二次相遇时距B 岛400米。

问：两岛相距多远？【例2】甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，乙的速度是甲的32,二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回。

已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米。

2 环形跑道的多次相遇问题【例3】在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。

甲、乙环行一周各需要多少分？。

【例4】右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行。

第5讲四则运算的巧算第一关交换、结合、分配等运算律【知识点】乘法交换律、结合律、分配律对整数、小数、分数都通用，在不同的题目情境中使用这些运算律，能帮助我们简便计算。

【例1】计算：4978.4978÷49.78×497.8【答案】49784.978【例2】计算：111111÷1111×3333【答案】333333【例3】计算：24×（++ ）【答案】15【例4】计算：5÷（7÷11）÷（11÷16）÷（16÷35）【答案】25【例5】计算：（3456780﹣345678）÷（345678×3）【答案】3【例6】计算：3.51+3.51×49+50×3.51【答案】351【例7】计算：454+999×999+545【答案】999000【例8】计算：59×7+59×4﹣59【答案】590【例9】计算：91×125×12﹣91×125×4【答案】91000【例10】计算：125×25﹣22×125+125×5【答案】1000【例11】计算：6.25×0.16+2.64×0.0625+5.2×6.25【答案】50【例12】计算：81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5【答案】6760【例13】计算：8×633+289×5+8×617﹣49×5【答案】11200【例14】计算：（888+777）÷（666+555+444）【答案】1【例15】计算：（1234567+2345671+3456712+4567123+5671234+6712345+7123456）÷7 【答案】4444444【例16】计算：123×（876﹣234）+876×（234﹣123）﹣234×（876﹣123）【答案】0【例17】计算：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9【答案】240【例18】计算：2017×2017+2016×2016﹣2017×2016﹣2015×2016【答案】4033第二关拆数【知识点】1.积不变性质：若一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，则积不变；2.商不变的性质：两个数相除，被除数和除数同时扩大（或缩小相同的倍数）商不变。

2022年人教版暑假小升初数学衔接知识讲练精编讲义专题05《绝对值》教学目标1.理解绝对值的概念及性质.（难点、重点）2.会求一个有理数的绝对值.新课导入课堂引入新课讲授知识点01：绝对值的意义及求法甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作+10 km，乙车向西行驶10km到达B处，记做 -10 km.以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多少？它们的实际意义是什么？我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示. 例：知识点02：绝对值的性质及应用观察与思考|5|=5 |-10|=10|3.5|= 3.5 |100|=100|-3|=3 |50|=50|-4.5|=4.5 |-5000|=5000|0|=0 …..思考：一个正数的绝对值是什么？一个负数的绝对值是什么？0的绝对值是什么？结论1：一个正数的绝对值是正数.一个负数的绝对值是正数.0的绝对值是0.|a|≥0.任何一个有理数的绝对值都是非结论2：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.思考:若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗?典例分析【典例分析01】（2022•南充）下列计算结果为5的是（）A．﹣（+5）B．+（﹣5）C．﹣（﹣5）D．﹣|﹣5| 【思路引导】根据相反数判断A，B，C选项；根据绝对值判断D选项．【完整解答】解：A选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；C选项，原式＝5，故该选项符合题意；D选项，原式＝﹣5，故该选项不符合题意；故选：C．【考察注意点】本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．【典例分析02】（2020秋•相城区校级月考）已知|x|＝6，|y|＝2．①若x，y异号，直接写出x与y的差为±8 ；②若x＜y，直接写出x与y的和为﹣8或﹣4 ．【思路引导】（1）根据绝对值的定义解决此题．（2）根据绝对值的定义解决此题．【完整解答】解：（1）∵|x|＝6，|y|＝2，∴x＝±6，y＝±2．∵x，y异号，∴当x＝6时，则y＝﹣2，此时x﹣y＝8；当x＝﹣6时，则y＝2，此时x+y＝﹣8．综上：x﹣y＝±8．故答案为：±8．（2）由（1）知：x＝±6，y＝±2．∵x＜y，﹣6＜﹣2＜2＜6，∴x＝﹣6，则y＝﹣2或2．∴x+y＝﹣8或﹣4．故答案为：﹣8或﹣4．【考察注意点】本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义以及分类讨论的思想方法是解决本题的关键．【变式训练01】（2021秋•鲤城区校级期末）若|m﹣1|＝1﹣m，则m一定（）A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1【思路引导】根据绝对值的性质即可求出答案．【完整解答】解：由题意可知：1﹣m≥0，∴m≤1，故选：D．【考察注意点】本题考查绝对值，解题的关键是正确运用绝对值的性质，本题属于基础题型．【变式训练02】（2021秋•龙泉市期末）若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝﹣1或5 ．【思路引导】根据绝对值的定义求出a、b的值，再代入计算即可．【完整解答】解：∵|a|＝2，∴a＝±2，当a＝2时，|4﹣b|＝1﹣2＝﹣1，此时b不存在；当a＝﹣2时，|4﹣b|＝3，所以4﹣b＝3或4﹣b＝﹣3，即b＝1或b＝7，当a＝﹣2，b＝1时，a+b＝﹣1；当a＝﹣2，b＝7时，a+b＝5，故答案为：﹣1或5．【考察注意点】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．【变式训练03】（2021秋•封丘县期末）若a＝|﹣2|，|b+1|＝3，则a+5b的值为﹣18或12 ．【思路引导】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【完整解答】解：∵a＝|﹣2|，|b+1|＝3，∴a＝2，b+1＝±3，解得：b＝﹣4或2，当a＝2，b＝2时，则a+5b＝2+5×2＝12；当a＝2，b＝﹣4时，则a+5b＝2+5×（﹣4）＝﹣18，综上所述：a+5b的值为：﹣18或12．故答案为：﹣18或12．【考察注意点】此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．课堂巩固基础达标一．选择题1．（2022•红河州二模）已知|a|＝1，b是的相反数，则a+b的值为（）A．或B．C．D．或【完整解答】解：∵|a|＝1，∴a＝±1，∵b是的相反数，∴b＝，∴当a＝1，b＝时，a+b＝1+＝，当a＝﹣1，b＝时，a+b＝﹣1+＝﹣，综上所述：a+b＝或﹣．故选：A．2．（2021秋•包头期末）如果|a+1|＝0，那么a2022的值是（）A．﹣2022 B．2022 C．﹣1 D．1 【完整解答】解：∵|a+1|＝0，∴a＝﹣1，∴a2022＝（﹣1）2022＝1．故选：D．3．（2021秋•武侯区期末）﹣6的绝对值是（）A．B．C．D．【完整解答】解：负数的绝对值等于其相反数，故|﹣6|＝6．故选：B．4．（2022•娄底模拟）2021的绝对值是（）A．2021 B．﹣2021 C．D．﹣【完整解答】解：2021的绝对值即为：|2021|＝2021．故选：A．5．（2022•陵城区模拟）下列四个数中，最小的是（）A．﹣2 B．|﹣4| C．﹣（﹣1）D．0【完整解答】解：|﹣4|＝4，﹣（﹣1）＝1，∵﹣2＜0＜1＜4，∴﹣2＜0＜﹣（﹣1）＜|﹣4|，∴四个数中，最小的数是﹣2．故选：A．二．填空题6．（2021秋•义乌市期末）若|m|＝2022，则m＝±2022 ．【完整解答】解：|m|的几何意义表示数轴上到原点距离为2022的点，这样的点在正半轴与负半轴各有一个，表示的数分别为2022与﹣2022．所以m＝±2022．故答案为：±2022．7．（2021秋•平罗县期末）若|﹣x|＝7，则x＝±7 ．【完整解答】解：∵|±7|＝7，∴﹣x＝±7，∴x＝±7，故答案为：±7．8．（2021秋•博白县期末）|﹣|＝．【完整解答】解：因为|﹣|＝，故答案为：．9．（2021秋•越城区期末）2的相反数是﹣2 ，﹣3的绝对值是 3 ．【完整解答】解：2的相反数是﹣2；﹣3的绝对值是3．故答案为：﹣2；3．10．（2021秋•阳新县期末）已知a与﹣1互为相反数，则式子|﹣（a﹣2）|＝ 1 ．【完整解答】解：∵a与﹣1互为相反数，∴a＝1，∴|﹣（a﹣2）|＝|﹣（1﹣2）|＝1，故答案为：1．11．（2021秋•沙坪坝区校级期末）有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣2|b+c|＝﹣3b﹣3c．【完整解答】解：根据数轴可知，a＜b＜0＜c，且b+c＞0，故a+b＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，|a+b|＝﹣a﹣b，|a﹣c|＝c﹣a，|b+c|＝b+c，∴原式＝﹣（a+b）﹣（c﹣a）﹣2（b+c）＝﹣a﹣b﹣c+a﹣2b﹣2c＝﹣3b﹣3c．故答案为：﹣3b﹣3c．三．解答题12．（2021秋•富县期中）已知|x|＝2，|y﹣1|＝5，且x＞y，求2（x﹣y）的值．【完整解答】解：∵|x|＝2，∴x＝±2，∵|y﹣1|＝5，∴y＝﹣4或6，∵x＞y，∴y＝﹣4，当x＝2，y＝﹣4时，2（x﹣y）＝2×6＝12，当x＝﹣2，y＝﹣4时，2（x﹣y）＝2×2＝4．13．（2019秋•惠安县期末）已知a是2的相反数，计算|a﹣2|的值．【完整解答】解：∵a是2的相反数，∴a＝﹣2，∴|a﹣2|＝4．14．（2019秋•解放区校级月考）已知|a|＝3，|b|＝，且a＜0＜b，试求a，b的值．【完整解答】解：∵|a|＝3，|b|＝，∴a＝±3，b＝±，∵a＜0＜b，∴a＝﹣3，b＝．15．（2020秋•江阴市校级月考）阅读下面的例题：我们知道|x|＝2，则x＝±2请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题．（1）|x+3|＝2，则x＝﹣5或﹣1 ；（2）5﹣|x﹣4|＝2，则x＝1或7 ．【完整解答】解：（1）因为）|x+3|＝2，则x＝﹣5或﹣1；（2）因为5﹣|x﹣4|＝2，可得：|x﹣4|＝3，解得：x＝1或7；故答案为：（1）﹣5或﹣1（2）1或716．（2020秋•兴化市月考）列式计算：的相反数比的绝对值大多少？【完整解答】解：∵的相反数为：2，的绝对值为：，∴的相反数比的绝对值大：2﹣＝．17．（2019秋•袁州区校级月考）列式并计算：求﹣0.8的绝对值的相反数与的相反数的差．【完整解答】解：﹣|﹣0.8|﹣（﹣）＝﹣0.8+6＝﹣＝提优巩固一．选择题1．（2021秋•济南期中）下列各组数中，互为相反数的是（）A．2与B．﹣（﹣2）与﹣2 C．|﹣3|与3 D．﹣|﹣3|与﹣3 【完整解答】解：A、这两个数互为倒数，故此选项不符合题意；B、﹣（﹣2）＝2，﹣2 只有符号不同的数互为相反数，故此选项符合题意；C、这两个数的结果是同一个数3，故此选项不符合题意；D、这两个数的结果是同一个数﹣3，故此选项不符合题意；故选：B．2．（2021秋•安阳县月考）若|a|＞﹣a，则a的值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【完整解答】解：当a＝﹣4时，|a|＝4，﹣a＝4，有|a|＝﹣a，因此选项A不符合题意；当a＝﹣2时，|a|＝2，﹣a＝2，有|a|＝﹣a，因此选项B不符合题意；当a＝0时，|a|＝0，﹣a＝0，有|a|＝﹣a，因此选项C不符合题意；当a＝4时，|a|＝4，﹣a＝﹣4，有|a|＞﹣a，因此选项D符合题意；故选：D．3．（2021秋•嘉祥县期中）已知|﹣3|＝|﹣a|，则a﹣4＝（）A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．﹣7或﹣1【完整解答】解：∵|﹣3|＝|﹣a|，∴|﹣a|＝3．∴a＝±3．∴a﹣4＝﹣1或﹣7．故选：D．4．（2021秋•高州市月考）下列各对数中，互为相反数的是（）A．﹣|﹣7|和+（﹣7）B．+（﹣7）和﹣（+7）C．﹣（﹣7）和﹣（+7）D．+（﹣7）和﹣7【完整解答】解：A、﹣|﹣7|＝﹣7，+（﹣7）＝﹣7，两数相等，故此选项不符合题意；B、+（﹣7）＝﹣7，﹣（+7）＝﹣7，两数相等，故此选项不符合题意；C、﹣（﹣7）＝7，﹣（+7）＝﹣7，两数互为相反数，故此选项符合题意；D、+（﹣7）＝﹣7，两数相等，故此选项不符合题意，故选：C．5．（2020秋•城厢区期末）若|a|＝|b|，则a，b的关系是（）A．a＝b B．a＝﹣bC．a＝0且b＝0 D．a+b＝0或a﹣b＝0【完整解答】解：根据绝对值性质可知，若|a|＝|b|，则a与b相等或相反，即a+b＝0或a﹣b＝0．故选：D．二．填空题6．（2020秋•赤峰期末）已知|a|＝3，则a的值是±3．．【完整解答】解：∵|a|＝3表示：在数轴上，一个数a表示的点到原点的距离是3，∴这个数a＝±3，故答案为：±3．7．（2021秋•平谷区校级期中）计算：|﹣23|＝23 ；﹣（﹣3）＝ 3 ；﹣[﹣（﹣4）]＝﹣4 ；+（﹣5）＝﹣5 ．【完整解答】解：|﹣23|＝23，﹣（﹣3）＝3；﹣[﹣（﹣4）]＝﹣4；+（﹣5）＝﹣5．故答案为：23，3，﹣4，﹣5．8．（2021秋•天门期中）当x＝﹣8 时，代数式|x+8|+|﹣7|取最小值，最小值等于7 ．【完整解答】解：∵|x+8|≥0，|﹣7|＝7，∴|x+8|+|﹣7|≥7．∴当|x+8|＝0，即x＝﹣8时，代数式|x+8|+|﹣7|取最小值7．故答案为：﹣8，7．9．（2021秋•蒙阴县期中）如果|m|＝|﹣6|，那么m＝±6 ．【完整解答】解：∵|m|＝|﹣6|＝6，|6|＝|﹣6|＝6，∴m＝±6．故答案为：±6．10．（2021秋•庐江县期末）﹣的绝对值是．【完整解答】解：﹣的绝对值是．故答案为：．11．（2021秋•庄浪县期中）若|a+3|＝5，则a＝2或﹣8 ．【完整解答】解：∵|a+3|＝5，∴a+3＝±5，∴a＝2或﹣8，故答案为2或﹣812．（2021•商河县校级模拟）有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|＝0 ．【完整解答】解：由图知，a＞0，b＜0，c＞a，且a+b＝0，∴|a﹣c|﹣|b+c|＝c﹣a﹣c﹣b＝﹣（a+b）＝0．三．解答题13．（2018秋•将乐县期中）用文字表述（不含字母）：“当a＜0时，|a|＝﹣a”的含义：负数的绝对值等于它的相反数．【完整解答】解：根据绝对值的定义，“当a＜0时，|a|＝﹣a”的含义是负数的绝对值等于它的相反数．故答案为：负数的绝对值等于它的相反数．14．（2018秋•南木林县校级期中）a＝﹣5，b＝3，求|a|﹣|b|的值．【完整解答】解：∵a＝﹣5，b＝3，∴|a|＝|﹣5|＝5，|b|＝|3|＝3，∴|a|﹣|b|＝5﹣3＝2，即|a|﹣|b|的值是2．15．（2018秋•江城区期中）已知|x|＝2，求x与﹣3的和．【完整解答】解：∵|x|＝2，∴x＝2或x＝﹣2，∴x+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1或x+（﹣3）＝﹣2﹣3＝﹣5．16．（2018秋•大连期中）将下列各数填在相应的集合里．﹣，9，0，+4.3，|﹣0.5|，﹣（+7），18%，（﹣3）4，﹣（﹣2）5，﹣62正有理数集合：{…}；正分数集合：{…}；负整数集合：{…}；自然数集合：{…}．【完整解答】解：正有理数集合：{9，+4.3，|﹣0.5|，18%，（﹣3）4，﹣（﹣2）5…}正分数集合：{+4.3，|﹣0.5|，18%…}负整数集合：{﹣（+7），﹣62…}自然数集合：{9，0，（﹣3）4，﹣（﹣2）5…}故答案为：{9，+4.3，|﹣0.5|，18%，（﹣3）4，﹣（﹣2）5…}；{+4.3，|﹣0.5|，18%…}；{﹣（+7），﹣62…}；{9，0，（﹣3）4，﹣（﹣2）5…}．17．（2017秋•宜宾县校级月考）如图，化简|a|﹣|b|﹣|c|．【完整解答】解：由数轴可得：a＞0，b＜0，c＜0，故原式＝a﹣（﹣b）﹣（﹣c）＝a+b+c．18．（2017秋•利辛县月考）（1）写出绝对值不大于4的所有整数；（2）求满足（1）中条件的所有整数的和．【完整解答】解：（1）绝对值不大于4的所有整数有0，±1，±2，±3，±4；（2）（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4＝0。

第5讲有理数的乘除法【知识衔接】————小学初中课程解读————————小学知识回顾————一、乘法（1）求几个相同加数的和的简便运算叫乘法。

（2）相乘的两个数叫因数。

（3）因数相乘所得的数叫积。

（4）两个因数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，这叫乘法交换律。

（5）三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变，这叫乘法结合律。

（6）小数乘法的计算法则计算小数乘法，先按照乘法的法则算出积，再看因数中一共几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

（7）一位数乘多位数乘法法则1、从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数；2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。

（8）一个因数是两位数的乘法法则1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐；2、再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐；3、然后把两次乘得的数加起来。

（9）分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。

（10）分数乘整数：分子与整数相乘的积做分子，分母不变，或者整数和分母约分的积。

（11）分数乘分数：分子相乘做分子，分母相乘做分母。

特别注意，当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。

二、除法（1已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫除法。

（2）在除法中，已知的积叫被除数。

（3）在除法中，已知的一个因数叫除数。

（4）在除法中，求出的未知因数叫商。

（5）除数是整数除法的法则除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。

（6）除数是小数的除法运算法则除数是小数的除法，先移动除数小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移几位，被除数小数点也向右移几位（位数不够在被除数末尾用0补足）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

（7）除数是一位数的除法法则1、从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数；2、除数除到哪一位，就把商写在那一位上面；3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。

第5讲等式与方程一、知识梳理1.用字母表示数⑴含有字母的式子不仅可以表示数量关系，有可以表示数量；⑵含有字母的式子可以简明地表达数学概念、运算定律和数学计算公式；⑶如果知道给出式子中每个字母表示的数是多少，就可以算出这个式子表示的数值是多少。

2.简易方程⑴等式：表示相等关系的式子；⑵方程：含有未知数的等式；⑶方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；⑷解方程：求方程的解的过程叫做解方程；⑸简易方程的解法：运用加、减、乘、除法互逆的关系求出方程的解；⑹检验的方法：求出未知数的值分别代入原方程的两边计算，如果原方程等号左右两边相等，则所求得的未知数的值是原方程的解。

二、典例剖析题型一：利用代数式的意义解题例1：每支铅笔a元，钢笔的单价是铅笔的11倍，小明买了5支铅笔和1支钢笔。

⑴小明买铅笔、钢笔共用去多少元？⑵买钢笔比铅笔多用去多少元？例2：判断下面说法的正误，并在括号里打上“√”或“×”。

⑴5χ＋6是方程。

（）⑵等式就是方程。

（）⑶3χ=0是方程。

（）⑷2χ－（2χ－3）=3是方程。

（）题型二：用等量代换和设数法解题例：已知3a＋b＋6=24,求6a＋2b－6的值。

题型三：利用方程的计算方法解题例：规定χ△γ=3χ－2γ，已知χ△（4△1）=7，求χ的值。

题型四：利用假设推理的方法解题例1：已知a=33+X ，b=512-X ，当X 为何值时，a 的值比b 的值大1？例2：甲、乙、丙三个同学做纸花，已知甲比乙多做5朵，丙做的是甲的2倍，比乙多做22朵，他们一共做了多少朵花？题型五：利用方程解应用题例：第一个正方形的边长比第二个正方形的边长的2倍多1厘米，而它们的周长相差24厘米，求这两个正方形的面积。

题型六：运用化简解方程例：1-(χ31-25)-(1-χ31+25)×31-24-[(1-χ31+25)×31-24]×31＋33=19三、探究创新（培优、竞赛）1.在下面两个□里填上相同的数，使等式成立。

小升初数学思训第5讲——应用性问题（1）1．为了减员增效，某机关对三个部门进行了机构改革.A 部门有公务员84人，B 部门有公务员56人，C 部分有分务员60人.如果每个部门按相同比例裁减人员，使这个机关仅留公务员150人，那么C 部门留下的公务员人数是 .2．甲、乙两农户各有两块地，如图1所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a +b ）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地应该是 米.3．据了解，个体服装销售只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价的50%~100%标价.假如你准备买一件标价为100元的服装，应在 范围内还价.4．一辆装满货物的卡车，2.5米高，1.6米宽，想要开进某工厂，工厂厂门如图2所示（上部分为半圆，下部分为长方形），则这辆卡车 通过.（填“能”或“不能”）5．小蓓家客厅的东西相距4米的两面墙上装有两面玻璃镜.一天，她站在距东墙1米的地方，则她在两面镜子里所成的像相距 米，若她向西走了1米，她的两个像相距 米.6．某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠，绿化家乡是全县人民的共同愿望.到1999年底，全县沙漠的绿化率已达30%，以后，政府计划在几年内，每年将当年年初未被绿化的沙漠面积的m %种上树进行绿化，到2001年底，全县沙漠绿化率已达43.3%，则m 的值为 .7．小明妈妈从原单位下岗后，已成功开设了一家小型超市.当她回忆起自己第一次进货经历时不胜感慨：“那次我从外地的批发市场花2500元钱进了一批手套，用自行车往家运，不料途中竟丢失了手套的17.此后，勉强把余下的手套以平均每副高于批发价6角的价格出售，结算时发现仍有不足1元的亏损呢！”那么，小明妈妈第一次进了 副手套，每副手套的批发价是 元（精确到0.01元）.8．某企业人事招聘工作中，共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过得0分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分，其中最低的得3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有 人.乙农户土地甲农户土地2.3图29．人均住房面积与住房总面积、人口总数有关.某城市人口总数为50万，人均住房面积为30m 2，现人口每年以2%增加，人均住房面积以5%增加，则每年住房总面积增长（ ）.（A ）2%（B ）5%（C ）10% （D ）7.1%10．小华与同学去登山，上午9点出发，尽可能去最远的山，已知各山A 、B 、C 、D 距出发点M 的距离如图，他们想在到达山顶后休息2小时，下午4点前必须回到出发点，去时平均速度为3.2千米/时，返回时平均速度为4.5千米/时，则他们最远能登上是 山11．冬至时，太阳偏离北半球最远.只要此时能采到阳光，一年四季均能受到阳光的直射.某房地产公司计划建m 米高的南北排列的数幢“阳光型”住宅楼，此时竖立一根a 米长的竹杆，其影长为b 米，若要后楼的采光一年四季不受影响，两楼应相距 米12．春节期间，小明要去拜访三个朋友.已知小明家和三个朋友恰好形成一个长4公里，宽3公里的长方形ABCD ，且长方形的四边及两对角线均有道路贯通，如图5.小明家居住在顶点A 处，那么当他拜访完居住在B 、C 、D 三个顶点处的朋友家时，路程最少为 公里13．有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价.一个月后，乙也购进了几只同样的手机，售价与甲相同，但进价比甲降低了10%，因而利润比甲提高了12个百分点.那么甲经销这种手机的利润率是 %14．2003年新年将至，王萌同学买了若干张新年贺卡后还需要买一张，若买一张2元的贺卡，则他所买的贺卡平均每张的价格是1.95元；若买一张1.5元的贺卡，则他所买的贺卡平均每张的价格是1.9元.在这之前，王萌买贺卡 张15．一病人为O 型血，现有18人献血，与A 型血发生凝聚者为9人，与B 型血发生凝聚者7人，与A 、B 型血发生凝聚和都不发生凝聚者8人，则献血候选人的人数是 人16．聪明的晶晶爱动脑筋，常产生一些新的想法.一次妈妈给他10元钱去买东西，他把这10元钱分成10份，分别包在10个小纸包里，他想，从1分到10元，不管这次花多少钱，我都可以从这10包中挑出几包来付钱，不再麻烦售货员叔叔、阿姨找钱了，有这种可能吗？17．某电脑学校进行打字速度测试：给出一定的字数，时间不限，每四人一组，进行小组比赛.其中一组情况是这样的：若单独完成这项打字任务，则甲需24小时，乙需20小时，丙需16小时，丁需12小时，①若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁、…的次序轮流打字，每一轮中每人各打1小时，则需要多少时间完成？②假若你是这四个人的指导教师，能否把①中所说的甲、乙、丙、丁的次序作适当调整，使完成这项打字任务的时间至少提前半小时？A B C DA （7千米）（9千米）。