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第一册上第一章集合与简易逻辑一集合1．1集合1．2 子集、全集、补集1．3交集、并集1．4含绝对值的不等式解法1．5一元一次不等式解法阅读材料集合中元素的个数二简易逻辑1．6逻辑联结词1．7四种命题1．8充分条件与必要条件小结与复习复习参考题一第二章函数一函数2．1函数2．2函数的表示法2．3函数的单调性2．4反函数二指数与指数函数2．5指数2．6指数函数三对数与对数函数2．7对数阅读材料对数的发明2．8对数函数2．9函数的应用举例阅读材料自由落体运动的数学模型实习作业建立实际问题的函数模型小结与复习复习参考题二第三章数列3．1数列3．2等差数列3．3等差数列的前n项和阅读材料有关储蓄的计算3．4等比数列3．5等比数列的前n项和研究性学习课题：数列在分期付款中的应用小结与复习复习参考题三第一册下第四章三角函数一任意角的三角函数4．1角的概念的推广4．2弧度制4．3任意角的三角函数阅读材料三角函数与欧拉4．4同角三角函数的基本关系式4．5正弦、余弦的诱导公式二两角和与差的三角函数4．6两角和与差的正弦、余弦、正切4．7二倍角的正弦、余弦、正切三三角函数的图象和性质4．8正弦函数、余弦函数的图象和性质4．9函数y=Asin（ωx+φ）的图象4．10正切函数的图象和性质4．11已知三角函数值求角阅读材料潮汐与港口水深小结与复习复习参考题四第五章平面向量一向量及其运算5．1向量5．2向量的加法与减法5．3实数与向量的积5．4平面向量的坐标运算5．5线段的定比分点5．6平面向量的数量积及运算律5．7平面向量数量积的坐标表示5．8平移阅读材料向量的三种类型二解斜三角形5．9正弦定理、余弦定理5．10解斜三角形应用举例实习作业解三角形在测量中的应用阅读材料人们早期怎样测量地球的半径？研究性学习课题：向量在物理中的应用小结与复习复习参考题五第二册上第六章不等式6．1不等式的性质6．2算术平均数与几何平均数6．3不等式的证明6．4不等式的解法举例6．5含有绝对值的不等式阅读材料n个正数的算术平均数与几何平均数小结与复习复习参考题六第七章直线和圆的方程7．1直线的倾斜角和斜率7．2直线的方程7．3两条直线的位置关系阅读材料向量与直线7．4简单的线性规划研究性学习课题与实习作业：线性规划的实际应用7．5曲线和方程阅读材料笛卡儿和费马7．6圆的方程小结与复习复习参考题七第八章圆锥曲线方程8．1椭圆及其标准方程8．2椭圆的简单几何性质8．3双曲线及其标准方程8．4双曲线的简单几何性质8．5抛物线及其标准方程8．6抛物线的简单几何性质阅读材料圆锥曲线的光学性质及其应用小结与复习复习参考题八第二册下A第九章直线、平面、简单几何体9．1平面9．2空间直线9．3直线与平面平行的判定和性质9．4直线与平面垂直的判定和性质9．5两个平面平行的判定和性质9．6两个平面垂直的判定和性质9．7棱柱9．8棱锥阅读材料柱体和锥体的体积研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料欧拉公式和正多面体的种类9．9球小结与复习复习参考题九第十章排列、组合和二项式定理10．1分类计数原理与分步计数原理10．2排列10．3组合阅读材料从集合的角度看排列与组合10．4二项式定理小结与复习复习参考题十第十一章概率11．1随机事件的概率11．2互斥事件有一个发生的概率11．3相互独立事件同时发生的概率阅读材料抽签有先有后，对个人公平吗？小结与复习复习参考题十一第二册下B第九章直线、平面、简单几何体9．1平面的基本性质9．2空间的平行直线与异面直线9．3直线和平面平行与平面和平面平行9．4直线和平面垂直9．5空间向量及其运算9．6空间向量的坐标运算9．7直线和平面所成的角与二面角9．8距离阅读材料向量概念的推广与应用9．9棱柱与棱锥研究性学习课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料欧拉公式和正多面体的种类9．10球小结与复习复习参考题九第十章排列、组合和二项式定理10．1分类计数原理与分布计数原理10．2排列10．3组合阅读材料从集合的角度看排列与组合10．4二项式定理小结与复习复习参考题十第十一章概率11．1随机事件的概率11．2互斥事件有一个发生的概率11．3相互独立事件同时发生的概率阅读材料抽签有先有后，对各人公平吗？小结与复习复习参考题十一第三册（理科）第一章概率与统计1．1离散型随机变量的分布列1．2离散型随机变量的期望与方差1．3抽样方法1．4总体分布的估计阅读材料累积频率分布1．5正态分布1．6线性回归阅读材料回归直线方程的推导实习作业通过抽样调查，研究实际问题小结与复习复习参考题一第二章极限2．1数学归纳法及其应用举例阅读材料不完全归纳法与完全归纳法研究性学习课题：杨辉三角2．2数列的极限2．3函数的极限2．4极限的四则运算阅读材料无穷等比数列的和2．5函数的连续性小结与复习复习参考题二第三章导数3．1导数的概念3．2几中常见函数的导数阅读材料变化率举例3．3函数的和、差、积、商的导数3．4复合函数的导数3．5对数函数与指数函数的导数阅读材料近似计算3．6函数的单调性3．7函数的极值3．8函数的最大值与最小值3．9微积分建立的时代背景和历史意义小结与复习复习参考题三第四章数系的扩充──复数4．1复数的概念4．2复数的运算4．3数系的扩充研究性学习课题：复数与平面向量、三角函数的联系小结与复习复习参考题四附录一部分中英文词汇对照表附录二导数公式表第三册（文科）第一章统计1．1抽样方法1．2总体分布的估计1．3总体期望值和方差的估计实习作业通过抽样调查研究实际问题小结与复习复习参考题一附录随机数表第二章导数2．1导数的背景2．2导数的概念2．3多项式函数的导数2．4函数的单调性与极值2．5函数的最大值与最小值2．6微积分建立的时代背景和历史意义研究性学习课题：杨辉三角小结与复习复习参考题二附录部分中英文词汇对照表。
高中数学数列极限的概念及相关题目解析数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限更是数学学科中的基础知识。
在高中数学的学习中，理解和掌握数列极限的概念及相关题目的解析方法是非常重要的。
本文将从数列极限的定义、性质以及常见的数列极限题目出发，详细解析数列极限的相关知识。
一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项无限接近某个确定的值时，这个确定的值就是数列的极限。
数列极限的定义可以用数学符号表示为：对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个常数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N 时，有|an-a|<ε成立，则称数列{an}的极限为a。
数列极限具有以下性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么它是唯一的。
2. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么它是有界的，即存在正数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立。
3. 夹逼准则：如果对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a，那么lim(bn)=a。
二、数列极限的题目解析1. 求数列极限的方法：题目：已知数列{an}的通项公式为an=1/n，求lim(an)。
解析：对于这道题目，我们可以通过直接代入数值的方法来求解。
当n取不同的值时，计算出对应的an的值，然后观察an的变化规律。
当n趋于无穷大时，我们可以发现an的值趋近于0。
因此，根据数列极限的定义，lim(an)=0。
2. 判断数列极限是否存在：题目：已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n/n，判断lim(an)是否存在。
解析：对于这道题目，我们可以通过分析数列的变化规律来判断其极限是否存在。
当n取不同的奇数时，an的值为正数，而当n取不同的偶数时，an的值为负数。
因此，数列{an}的值在正数和负数之间不断变化，没有趋于一个确定的值，所以lim(an)不存在。
3. 利用夹逼准则求数列极限：题目：已知数列{an}的通项公式为an=√(n^2+1)-n，求lim(an)。
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高中数学中的数列极限数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限也是数学教学中的重要内容。
数列极限是数列中的一个重要属性，它描述了数列随着项数无限增加时所趋近的值。
本文将介绍数列的概念，解释数列极限的定义并探讨数列极限的性质和计算方法。
一、数列的概念数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
数列可以用公式或递归关系式表示，其中公式表示数列的通项公式，递归关系式表示每一项与前一项之间的关系。
二、数列极限的定义数列极限是指当数列的项数趋近无穷大时，数列中的数值趋近的一个值。
设数列{an}表示一个数列，当对于任意给定的正数ε（epsilon），存在一个正整数N，当n>N时，对应的数列项an满足|an - A|< ε，其中A为数列的极限。
三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果数列{an}是有界的，那么它一定存在极限。
3. 数列极限的保号性：如果数列{an}的极限为A，且A>0（或A<0），那么从某一项开始，数列的项都大于0（或小于0）。
4. 数列极限的四则运算法则：设{an}和{bn}分别是两个数列，且它们的极限分别为A和B，那么以下四个极限成立：- {an + bn}的极限为A + B；- {an - bn}的极限为A - B；- {an * bn}的极限为A * B；- {an / bn}的极限为A / B（当B≠0时）。
四、数列极限的计算方法1. 常见数列的极限：- 等差数列的极限为首项与末项的平均值；- 等比数列（公比小于1）的极限为0；- 等比数列（公比大于1）的极限为正无穷大或负无穷大。
2. 利用数列极限的性质进行计算：- 利用极限的保号性可以确定极限的正负性；- 利用数列极限的四则运算法则进行极限的计算。
3. 利用数列的局部性质进行计算：- 极限运算与局部性质：如果数列的部分项与极限的差异可以忽略不计，那么这两个数值可以互相替代。
数学教学多媒体课件
◆一类数列的变化特征◆数列极限的定义
◆几个基本数列的极限◆问题讨论
◆数列极限概念的小结
通过图像观察数列的特性 数列的图像（点击按钮调用图像）
通过图表定量观察(1)数列: 0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,........... 项号项|a n-1|
10.9|0.9-1|=0.1
20.99|0.99-1|=0.01
30.999|0.999-1|=0.001
40.9999|0.9999-1|=0.0001
50.99999|0.99999-1|=0.00001
60.999999|0.999999-1|=0.000001 70.9999999|0.9999999-1|=0.0000001 ....................
对ε=0.001与ε =0.000001,则n>3与n>6后满足|a
-A|< ε
n
项号
项|a n -1|1
1/2|(1/2)-1|=0.52
1/4|(1/4)-1|=0.253
1/8|(1/8)-1|=0.1254
1/16|(1/16)-1|=0.06255
1/32|(1/32)-1|=0.031256
1/64|(1/64)-1|=0.0156257
1/128|(1/128)-1|=0.0078125....................
通过图表定量观察(2)
数列: 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,........... 对ε=0.1与ε =0.01,则n>3与n>6后满足|a n -A|< ε
数列极限定义◆1.描述性定义:
◆如果对数列{a n},存在常
数A,当数列序号n无限增
大时,数列的项a
n 无限接
近常数A,称常数A是数列{a n}的极限.
◆2.ε-N定义
◆任意给定正数ε>0,如果总
存在自然数N,当n>N时,
不等式 |a
n -A|< ε恒成立,
则数列{a
n }的极限是A.记
作:
|a n-A|< ε
ε>0 A
a n
n
=
∞
→
lim
对数列极限定义的说明◆若数列{a n}的极限是A,则a n可能小于A无限的趋近于A;也可能大于A无限的趋近于A;还可能时而大于A,时而小于A而无限的趋近于A.
◆在极限的全过程中,ε必须具有绝对的任意性,但
在该过程的某一瞬间, ε又是相对固定的.
◆N的不唯一性.虽然N与ε有关,但N不是ε的单值函数,若自然数N满足极限定义的条件,则N+1,N+2,...也必满足该条件.
例1:(1)举出两个以0为极限的数列;
(2)举出两个以1为极限的数列;
(3)举出两个以A为极限的数列.
◆解:
◆(1)a n=1/n2 b n=(1/2)n ,...........
◆(2)a n=(n+1)/n b n=1+(1/3)n,.......
◆(3)a n=A+1/n b n=(-1)n(1/n)+A,.......
问 题 1 ◆根据极限定义,猜想下列数列的极限
◆(1) ____ ◆(2) ____ ◆(3) ____ ◆(4) ____ ,.....1,......,61,51,41,31,21,1n ,.....1,......,61,51,41,31,21,1n -------,.....)1(,......,61,51,41,31,21,1n n ----,.....
)1(1,......,61,51,41,......,0,31,0,21,1,0n n -+0 0 0 0
问题 2
判断下列命题的正确性:
①数列{a
}的极限是A,则A一定是该数列中的一项;
n
②任何一个无穷数列必存在极限;
③无穷数列的极限是A,指的是:对任意的ε>0,总能
在{a
}中找到一项a N,使a N以后有无限项满足|a n-A|< ε.
n
④数列{(-1)n}的极限存在,且偶数项的极限为1,奇数项的极限为-1.
几个基本数列的极限 1. 01lim =∞→n
n 2. 0lim ,1=<∞
→n n q q 时3. c
c c n =∞→lim ,为常数
证明：任给ε>0,由 01lim =∞→n
n 的证明: εn
n <=-101所以 εn 1
>故取N= ]ε1[(注: ]ε1[表示1/ε的整数部分） 所以，当n 〉N 时，不等式 ε
01
<-n 恒成立，故数列{1/n}的极限：
01lim =∞→n
n
证明： 0lim ,1=<∞
→n n q q 时的证明 任给ε>0,则由|q|<1
ε|||0|<==-n n n q q q lg|q|n <lgε
nlg|q|<lgε ||lg lg q εn >当|q|≠0, ①
① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=q N lg εlg 若取则当n>N 时,不等式|q n -0|<ε恒成立;
当|q|=0,显然|0-0|=0< ε恒成立;
0l i m ,1=<∴∞→n
n q q 时
证明:
c c c n =∞
→lim ,为常数的证明 任给ε>0,由|c-c|=0< ε,
取N=任意自然数,那么当n>N 时,,
|c-c|=0< ε恒成立
所以,数列{c}的极限是c.
◆选择题:
◆1.已知非常数的数列{a n }当n －>∞时极限为M,则在区间(M-ε,M+ε)外,这个数列的项数为: (A)无限项 (B)有限项
(C)零项 (D)有限项与无项项都有可能 ◆2.记a 1+a 2+......+a n =S n ,则数列{a n }有极限是数列{S n }有极限的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)不充分也不必要条件
B B
◆填空题 ◆1.数列{a n }中,已知a n =(n+2)/2n,则 |a n -1/2|=_______,要使n>N 时,有 |a n -1/2|<0.001,则N 的最小值是________ ◆2.数列
的极限是:__ 3.数列a,a,a,......,a,......的极限是:________
1/n 1000 0 a ,.....,)1(1,.......,21,1,1d n a d a d a a -+++
◆推测下列数列的极限,并用极限定义证明你的结论.
◆1.数列 ◆2.|q|<1,a 1 ,q≠0,数列 ◆3.数列
⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n 的极限是_______; ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--q q a n 1)1(1的极限是____; ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232的极限是_______; 1 -1 q a -11
◆证明: ◆任给ε>0,由 证明 的极限为1 ε1
11111<+=+-=-+n n n n ,1ε
1->n 取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN 则n>N 时,不等式 ε11
<-+n n 恒成立,所以 11
lim =+∞→n n n ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+1n n
证明: 证明 的极限为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-q 1a (1-q )1n -q
1a 1任给ε>0,由
εq q q q q a q q a n n n <-=--=----1111)1(11|q|n <ε|1-q| lg|q|n <lg ε|1-q|
nlg|q|<lg ε|1-q|
||lg |1|lg q q εn ->(∵|q|<1,lg|q|<0) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=||lg |1|εlg q q N 取故当n>N 时,不等式 ε11)1(11<----q a q q a n 恒成立,所以 q
a q q a n n -=--∞→11)1(lim 11
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232 证明 证明 的极限为 -1
εn n n n n n n n n n n n n n n n n <+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⨯=+++-=--+-1323223222323232)1(3232任给ε>0,由 εεn -<⎪⎭
⎫ ⎝⎛232)2lg(32lg εεn -<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛->32lg ε2εlg n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32lg ε2εlg N 取
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232证明 的极限为 -1 ε)1(3
232<--+-n n n n 恒成立, 所以数列 ⎭⎬
⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232的极限是-1.
则当n>N 时,不等式
对《数列极限》我们要把握“序号无限增大，数列的项无限接近一个常数”的含义，正确理解它的定义；掌握应用数列极限定义证明数列极限的方法，记住三个基本数列的极限，能应用它们求比较简单的数列的极限。
使用说明
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