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习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。
§2.3等差数列的前n项和基础梳理1．(1)对于任意数列{a n}，S n＝__________________，叫做数列{a n}的前n项的和．(2)S n－S n－1＝____________．2．(1)等差数列{a n}的前n项和公式为___________________________________．(2)等差数列：2，4，6，…，2n，…的前n项和S n＝_______________________．(3)等差数列首项为a1＝3，公差d＝－2，则它的前6项和为___________．3．(1)等差数列依次k项之和仍然是等差数列．即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成公差为______________的等差数列．(2)已知等差数列{a n}，a n＝n，则S3，S6－S3，S9－S6分别为：____________．它们成______数列．4．(1)由S n的定义可知，当n＝1时，S1＝________；当n≥2时，a n＝__________，即a n＝__________________．(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2，则a n＝________________＝____________．5．(1)等差数列的前n项和公式：S n＝na1＋(1)2n n d可化成关于n的二次式子为________________________，当d≠0时，是一个常数项为零的二次式．(2)已知等差数列的前n项和为S n＝n2－8n，则前n项和的最小值为______，此时n＝______．自测自评1．等差数列{a n}的前n项和S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝()A．8 B．10 C．12 D．142．已知数列{a n}中，a3＋a8＋2a3a8＝9，且a n<0，则S10为()A．－9 B．－11 C．－13 D．－15基础达标1．已知a1，a2，a3，a4成等差数列，若S4＝32，a2∶a3＝1∶3，则公差d为()A．8B．16C．4D．02．设a1，a2，…和b1，b2，…都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{a n＋b n}前100项之和为()A ．0B ．100C ．10 000D ．50 5003．等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＜0，S n 为其前n 项和，则点(n ，S n )可能在下列哪条曲线上( )4．已知等差数列共有2n ＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an ＋1的值为( )A ．30B ．29C ．28D ．275．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________． 巩固提高6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且71427n n S n T n +=+，则1111a b 的值为( )A.74B.32C.43D.7871 7．已知lg x ＋lg x 3＋lg x 5＋…＋lg x 21＝11，则x ＝___________.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 2＋2(n ∈N*)，则a n ＝______________________．9．在小于100的正整数中共有多个数被3除余2？这些数的和是多少？10．已知等差数列{a n }中，a 1＝－3，11a 5＝5a 8－13.(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值．参考答案基础梳理1．(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n(2)a n (n ≥2)，a 1＝S 1(n ＝1)2．(1)S n ＝1()2n n a a +或S n ＝na 1＋(1)2n n d - (2)(n ＋1)n(3)－123．(1)k 2d(2)6，15，24 等差4．(1)a 1 S n －S n －1 11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩ (2)1,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩ 2n －1，n ∈N * 5．(1)S n ＝2d n 2＋1()2d a -n (2)－16 4自测自评1． C【解析】设公差为d ，依题意得3×2＋12×3×2d ＝12，∴d ＝2，所以a 6＝2＋(6－1)×2＝12，故选C.2． D基础达标1． A2． C3．C4． B5． 56n 2－76n 巩固提高6． C7．11108． 6,184,2n n n =⎧⎨-≥⎩9．解：被3除余2的正整数可以写成3n ＋2(n ∈N*)的形式．由3n ＋2＜100，得n ＜3223，即n ＝0，1，2，3，…，32.∴在小于100的正整数中共有33个数被3除余2.把这些数从小到大排列起来为：2，5，8，…，98，组成一个等差数列{a n }，其中a 1＝2，a 33＝98，n ＝33，因此它们的和为S 33＝33×（2＋98）2＝1 650. 10． 解：(1)由11a 5＝5a 8－13，得11(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )－13.∵a 1＝－3，∴d ＝59. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋(n －1)×59， 令a n ≤0，得n ≤325. ∴a 1＜a 2＜…＜a 6＜0＜a 7＜….∴S n 的最小值为S 6＝6a 1＋652d ⨯＝6×(－3)＋15×59＝－293.。
2.3.2 等比数列的前n 项和1．理解等比数列的前n 项和公式的推导过程．2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能用它解决有关等比数列问题．(1)在求等比数列{a n }的前n 项和公式时，应分q ＝1和q ≠1两种情况，若题目中没有指明，切不可忘记对q ＝1这一情形的讨论．(2)等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量，即a 1，a n ，q ，n ，S n ，通常已知其中三个量可求另外两个量，这一方法简称为“知三求二”．【做一做1－1】在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )． A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2【做一做1－2】在等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )． A ．81 B ．120 C ．168 D ．1922．等比数列前n 项和的常用性质性质(1)：在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则依次每k 项的和构成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k ，…成等比数列，其公比为________．性质(2)：在等比数列{an }中，若项数为2n 项，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝____. 性质(3)：数列{a n }是公比为q 的等比数列，则S m ＋n ＝S n ＋__________.【做一做2】已知等比数列{a n }，S n 是其前n 项和，且S 3＝7，S 6＝63，则S 9＝________.一、错位相减法的实质及应用剖析：(1)用错位相减法求等比数列前n 项和的实质是把等式两边同乘等比数列的公比q ，得一新的等式，错位相减求出S n －qS n ，这样可以消去大量的“中间项”，从而能求出S n .当q ＝1时，S n ＝na 1，当q ≠1时，S n ＝a 1－a 1q n1－q.这是分段函数的形式，分段的界限是q ＝1.(2)对于形如{x n ·y n }的数列的和，其中{x n }为等差数列，{y n }为等比数列，也可以用错位相减法求和．错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题．(3)利用这种方法时，要注意对公比的分类讨论．二、等比数列的前n 项和公式的推导(首项为a 1，公比q ≠1)剖析：除了书上用到的错位相减法之外，还有以下方法可以求等比数列的前n 项和． (1)等比性质法 ∵a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a na n －1＝q ， ∴a 2＋a 3＋a 4＋…＋a na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q ，解得S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1－q n 1－q. (2)裂项相消法S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝(a 11－q －a 1q 1－q )＋(a 1q 1－q －a 1q 21－q)＋(a 1q 21－q －a 1q 31－q )＋…＋(a 1q n －11－q －a 1q n 1－q )＝a 11－q －a 1q n 1－q ＝a 1－q n1－q. (3)拆项法S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2＋a 1q n －1－a 1q n －1)，∴S n ＝a 1＋q (S n －a 1q n －1) ＝a 1＋q (S n －a n )．解得S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1－q n1－q.三、教材中的“？”例2中，有别的解法吗？将这个数列的前8项倒过来排，试一试．剖析：∵S 8＝27＋26＋25＋…＋2＋1， ∴S 8＝1＋2＋22＋…＋26＋27＝－281－2＝28－1＝255.此题说明了在一个等比数列{a n }中，若为有限项，如a 1，a 2，…，a n ，则a n ，a n －1，…，a 2，a 1也是等比数列，其公比为原数列公比的倒数．题型一 等比数列的前n 项和公式的应用 【例1】在等比数列{a n }中，(1)已知a 1＝3，q ＝2，求a 6，S 6；(2)已知a 1＝－1，a 4＝64，求q 和S 4； (3)已知a 3＝32，S 3＝92，求a 1，q .分析：在等比数列的前n 项和公式中有五个基本量a 1，a n ，q ，n ，S n ，只要已知任意三个，就可以求出其他两个．反思：在等比数列{a n }中，首项a 1与公比q 是两个最基本的元素；有关等比数列的问题，均可化成关于a 1，q 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)利用等比数列的有关性质；(3)注意在使用等比数列前n 项和公式时，要考虑q 是否等于1.题型二 等比数列的前n 项和的性质的应用【例2】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 10＝10，S 20＝30，求S 30.分析：可以利用解方程组解决，也可以利用等比数列的前n 项和的性质来解决．反思：由于等比数列中，无论是通项公式还是前n 项和公式，均与q 的若干次幂有关，所以在解决等比数列问题时，经常出现高次方程，为达到降幂的目的，在解方程组时经常利用两式相除，达到整体消元的目的．题型三 某些特殊数列的求和【例3】(1)已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n＋n ，求该数列的前n 项和S n ；(2)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ·2n，求该数列的前n 项和S n .分析：(1)所给数列虽然不是等差数列或等比数列，但在求该数列的前n 项和时可以把a n 看成一个等比数列和一个等差数列的和的形式，分别求和，再相加．(2)写出数列的前n 项和，注意其与等比数列形式类似，考虑用推导等比数列求和公式的方法来求其前n 项和．反思：(1)分组求和法适用于某些特殊数列的求和，这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式；(2)错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n 项和．题型四 等比数列前n 项和的实际应用【例4】为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景观协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层……依此类推，到第十层恰好将大理石用完，问共需大理石多少块？每层各用大理石多少块？分析：设出共用大理石的块数，即可求出各层大理石的使用块数，通过观察，此即为一等比数列，通过等比数列求和，求出总块数，再求出每层用的块数．反思：对于实际问题，可以采用设出未知量的方法使之具体化．通过对前几项的探求，寻找其为等比数列的本质，再通过等比数列求和公式来求解．题型五 易错辨析【例5】已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n 为奇数，n ，n 为偶数，试求其前n 项和．错解：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n )＝－4n21－4＋n2×2＋n 2n2－2×2＝13·2n ＋1＋n 24＋n 2－23. 错因分析：这里数列的通项a n 是关于n 的分段函数，当n 为奇数或为偶数时对应不同的法则，因此求和必须对项数n 进行分类讨论．1在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )．A ．2－128B ．2－129C ．2－1210 D ．2－1211 2等比数列的前n 项和S n ＝k ·3n＋1，则k 的值为( )．A ．全体实数B ．－1C ．1D ．33某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( )．A ．a (1＋p )7B ．a (1＋p )8C ．ap [(1＋p )7－(1＋p )] D ．a p[(1＋p )8－(1＋p )]4已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 1a 5＝16，则S 5＝________. 5在等比数列{a n }中，S n ＝65，n ＝4，q ＝23，则a 1＝________.6在等比数列{a n }中，S 3＝4，S 6＝36，求a n . 答案：基础知识·梳理1．na 1 a 1(1－q n )1－q na 1 a 1－a n q1－q【做一做1－1】A 由题意，知q ≠1，故有S 5＝44＝a 1(1－q 5)1－q，将q ＝－2代入解得a 1＝4.【做一做1－2】B 由a 5＝a 2·q 3，得q 3＝2439＝27，∴q ＝3，从而a 1＝3.∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3×(1－34)1－3＝120.2．q k (q ≠－1) q q n·S m 【做一做2】511 典型例题·领悟【例1】解：(1)a 6＝a 1q 5＝3×25＝96.S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝3(1－26)1－2＝189.(2)∵a 4＝a 1q 3，∴64＝－q 3.∴q ＝－4，∴S 4＝a 1－a 4q 1－q ＝－1－64×(－4)1－(－4)＝51.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，①②②÷①，得1＋q ＋q2q2＝3， ∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，a 1＝32；当q ＝－12时，a 1＝6.【例2】解：解法一：设{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由已知条件可列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧10＝a 1(1－q 10)1－q，30＝a 1(1－q20)1－q，两式作商，得1＋q 10＝3，∴q 10＝2.∴S 30＝a 1(1－q 30)1－q＝a 1(1－q 10)1－q(1＋q 10＋q 20)＝10×(1＋2＋4)＝70.解法二：由性质S m ＋n ＝S n ＋q n·S m ，得S 20＝S 10＋q 10S 10，即30＝10＋10q 10，∴q 10＝2.∴S 30＝S 20＋q 20S 10＝30＋40＝70.解法三：运用性质S m 1－q m ＝S n1－qn (q ≠±1)．由已知条件S 10＝10，S 20＝30，易得q ≠±1，∴S 101－q 10＝S 201－q 20，即101－q 10＝301－q20.∴q 10＝2. 又S 101－q 10＝S 301－q30，解得S 30＝70. 解法四：运用性质S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k ，…成等比数列．∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，而S 10＝10，S 20＝30，∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(30－10)2＝10×(S 30－30)．∴S 30＝70. 【例3】解：(1)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n＋n )＝(2＋22＋23＋ (2))＋(1＋2＋3＋…n )＝2(1－2n)1－2＋(1＋n )n2 ＝2n ＋1－2＋(n ＋1)n 2.(2)∵S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴S n ＝n .2n ＋1－(2＋22＋23＋ (2))＝n ·2n ＋1－2(1－2n)1－2＝n ·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1＋2.【例4】解：设共用大理石x 块，则各层用大理石块数分别为第一层：x 2＋1＝x ＋22；第二层：x －x ＋222＋1＝x ＋24；第三层：x －x ＋22－x ＋242＋1＝x ＋28；……第十层：x －x ＋22－x ＋24－…－x ＋2292＋1＝x ＋2210.所以从第一层到第十层所用大理石的块数构成首项为x ＋22，公比为12，项数为10的等比数列，故x ＝x ＋22＋x ＋24＋…＋x ＋2210，解得x ＝2 046.答：共用去大理石2 046块，各层分别为1 024,512,256,128,64,32,16,8,4,2块． 【例5】正解：(1)当n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n )＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n －1)＝2(1－4n ＋12)1－4＋n －12×2＋n －12(n －12－1)2×2＝13·2n ＋2＋n 24－1112. (2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n )＝2(1－4n 2)1－4＋n 2×2＋n 2(n2－1)2×2＝13·2n ＋1＋n 24＋n 2－23. 随堂练习·巩固1．B 设其公比为q ，∵a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝18.∴q ＝12.∴S 10＝1×(1－1210)1－12＝2－129.2．B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3k ＋1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝k ·3n －k ·3n －1＝2k ·3n－1.令3k ＋1＝2k 得k ＝－1.3．D 2005年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )7,2006年存入的a 元到2012年所得的本息和为a (1＋p )6，依此类推，则2011年存入的a 元到2012年的本息和为a (1＋p )，每年所得的本息和构成一个以a (1＋p )为首项，1＋p 为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a (1＋p )＋a (1＋p )2＋…＋a (1＋p )7＝a (1＋p )[1－(1＋p )7]1－(1＋p )＝a p[(1＋p )8－(1＋p )]．4．315．27 S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝a 1[1－(23)4]1－23＝65，解得a 1＝27.6．解：∵S 33≠S 66，∴q ≠1.∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝4，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝36.两式相除，得1＋q 3＝9，∴q ＝2.将q ＝2代入S 3＝4，得a 1＝47.∴a n ＝47·2n －1＝2n ＋17.。
新人教A 版高中数学选择性必修第二册第四章数列:课时分层作业(六) 等差数列前n 项和的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1B [等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.]2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝60，则S 40＝( ) A ．110 B ．150 C ．210D ．280D [∵等差数列{a n }前n 项和为S n ，∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列， 故(S 30－S 20)＋S 10＝2(S 20－S 10)，∴S 30＝150.又∵(S 20－S 10)＋(S 40－S 30)＝2(S 30－S 20)，∴S 40＝280.故选D.]3．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017A[由题意知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.所以S 2 018＝－2 018.]4．两个等差数列{a n }和{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15＝( )A ．49B ．378C ．7914D ．14924D [因为等差数列{a n }和{b n }，所以a 2＋a 20b 7＋b 15＝2a 112b 11＝a 11b 11，又S 21＝21a 11，T 21＝21b 11，故令n ＝21有S 21T 21＝7×21＋221＋3＝14924，即21a 1121b 11＝14924，所以a 11b 11＝14924，故选D.]5.11×3＋12×4＋13×5＋14×6＋…＋1n (n ＋2)等于( ) A ．1n (n ＋2)B ．12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2C ．12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2D ．12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 C [通项a n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴原式＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2.] 二、填空题6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.5 [∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.]7．在数列{a n }中，a 1＝12 019，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)，则a 2 019的值为________．1 [因为a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)，所以a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 2－a 1＝1－12， a 3－a 2＝12－13， …a 2 019－a 2 018＝12 018－12 019，各式相加，可得a 2 019－a 1＝1－12 019，a 2 019－12 019＝1－12 019， 所以a 2 019＝1，故答案为1.]8．数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________.820 [因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3， a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面n －1个式子左右两边分别相加得a n －a 1＝(n ＋4)(n －1)2，即a n ＝(n ＋1)(n ＋2)2， 所以a 39＝40×412＝820.] 三、解答题9．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n ＞1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值．[解] 法一：a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57.法二：∵数列{a n }，{b n }均为等差数列， ∴设S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n . 又S n T n ＝2n ＋13n －2，∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R . ∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1) ＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1) ＝t (4n －1)(n ≥2)， b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5) ＝t (6n －5)(n ≥2)．∴a n b n ＝t (4n －1)t (6n －5)＝4n －16n －5(n ≥2)， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 因为S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝113－3n10－3n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n1010－3n.11．(多选题)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若S n ＝S 13－n (n ∈N *且n ＜13)，有以下结论，则正确的结论为( )A ．S 13＝0B ．a 7＝0C ．{a n }为递增数列D ．a 13＝0AB [对B ，由题意，S n ＝S 13－n ，令n ＝7有S 7＝S 6⇒S 7－S 6＝0⇒a 7＝0，故B 正确．对A ，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝0.故A 正确．对C ，当a n ＝0时满足S n ＝S 13－n ＝0，故{a n }为递增数列不一定正确．故C 错误．对D ，由A ，B 项，可设当a n ＝7－n 时满足S n ＝S 13－n ，但a 13＝－6.故D 错误． 故AB 正确．]12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18B [S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30， 由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.]13．(一题两空)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是________，项数是________．11 7 [设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数为2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．]14．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d 为________．5 [设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27， 解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.]15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＝15，S 5＝65.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝S n －10，求数列{|b n |}的前n 项和R n .[解](1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 2＝a 1＋d ＝15，S 5＝5a 1＋5×42d ＝65，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17，d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝17－2(n －1)＝－2n ＋19.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝－n 2＋18n ，∴T n ＝－n 2＋18n －10. 当n ＝1时，b 1＝T 1＝7；当n ≥2且n ∈N *时，b n ＝T n －T n －1＝－2n ＋19. 经验证b 1≠17，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，－2n ＋19，n ≥2.当1≤n ≤9时，b n ＞0；当n ≥10时，b n ＜0.∴当1≤n ≤9时，R n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－n 2＋18n －10； 当n ≥10时，R n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝b 1＋b 2＋…＋b 9－(b 10＋b 11＋…＋b n )＝2(b 1＋b 2＋…＋b 9)－(b 1＋b 2＋…＋b 9＋b 10＋b 11＋…＋b n )＝－T n ＋2T 9＝n 2－18n ＋152，综上所述：R n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋18n －10，1≤n ≤9，n 2－18n ＋152，n ≥10.。
2017－２018学年高中数学第二章数列课时作业10 等差数列前n项和的性质与应用新人教B版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(201７-２０18学年高中数学第二章数列课时作业10 等差数列前n项和的性质与应用新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时作业(十）等差数列前ｎ项和的性质与应用∴2（S２ｍ－Ｓm）=Sｍ＋S3m－Ｓ2m．∴２(Ｓ2ｍ－40)=40＋3４５-S2m。
∴S2ｍ=１55.B 组（限时：30分钟)1.设等差数列{a n｝的前n项和为Ｓn，a2＋a４＝６,则Ｓ5等于（）A．10 B．12Ｃ．1５ D.3０解析:S５=5a1+ａ５2=错误!=错误!=１５。
∴选C。
答案：C２.如果等差数列｛ａn｝中，ａ3＋a4＋ａ5=1２,那么ａ1＋a2＋…+ａ７等于( ）A．14 B．21C.２8 D．35解析：a3+a5=３a4＝１2，∴a４＝4.∴a1+a2＋…+ａ7=7a1＋ａ72＝７a4=28.答案:C3．等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=－6，S18－Ｓ15=１8，则Ｓ18等于( )A．36 B．18C.７２Ｄ.9解析：由Ｓ3,Ｓ6-S3,…,S18-Ｓ１5成等差数列,可知：S１8=S3＋(S6－S3）＋(S９－S6)＋…＋(S18－S１5)＝错误!＝36.答案：A4.设等差数列{a n}的前n项和为Ｓn,若S３＝9，S6＝36,则ａ7＋ａ8＋a9等于( )Ａ.６３ B.45C.36D.2７解析:∵a7+a8+a９=S9-S6，而由等差数列的性质可知,S3,Ｓ６－S3，S9－S6构成等差数列,所以S３＋（Ｓ9-S6)＝2(S６－S3），即S９-S6＝2S6－３S3=２×36－３×9=45。
4．2.2 第一课时 等差数列的前n项和公式[A级 基础巩固]1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝a8＋6，则S7等于( )A．49 B．42C．35 D．28解析：选B 2a6－a8＝a4＝6，S7＝72(a1＋a7)＝7a4＝42.2．已知数列{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( )A．4 D．1 4C．－4 D．－1 4解析：选A 由S5＝5(a1＋a5)2＝5×2a32＝55，解得a3＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)，∴k＝15－114－3＝4.故选A.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A．765 B．665 C．763 D．663解析：选B ∵a1＝2，d＝7，则2＋(n－1)×7＜100，∴n＜15，∴n＝14，S14＝14×2＋12×14×13×7＝665.4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( )A．1 B．－1C．2 D．1 2解析：选A S9S5＝92(a1＋a9)52(a1＋a5)＝92·2a552·2a3＝9a55a3＝95·a5a3＝1.5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A．9 B．10C．19 D．29解析：选B 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．6．已知{a n}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝1 2 .答案：1 27．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________．解析：由a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，可知数列{a n}是首项为1，公差为12的等差数列，故S9＝9a1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27.答案：27n＝11．已知命题：“在等差数列{a n}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )A．15 B．24C．18 D．28解析：选C 设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，即6a1＋(n＋12)d＝24.又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以n＋126＝5，解得n＝18.12．(多选)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝a4，则( ) A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0 C．S3＝S4 D．S4＝S5解析：选BC 由S7＝7(a1＋a7)2＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.13．在等差数列{a n}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且a m－a1＝14，则m＝________，a100＝________.解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{a n}的公差为d，则S奇－S偶＝2a1＋(m－1)d2＝72－63＝9.又∵a m＝a1＋d(m－1)，∴a1＋a m2＝9，∵a m－a1＝14，∴a1＝2，a m＝16.∵m(a1＋a m)2＝135，∴m＝15，∴d＝14m－1＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.答案：15 10114．设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*，所有项a n＞0，且S n＝14a2n＋12a n－34.(1)证明：{a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝14(a2n＋2a n－3)－14(a2n－1＋2a n－1－3)．所以4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，因为a n＋a n－1＞0，所以a n－a n－1＝2(n≥2)．所以数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.[C级 拓展探究]15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．解：由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得Error!(t∈N*且23≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且23≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且23≤t≤67)，各项之和为67×9＋67×662×12＝27 135.。
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和公式的应用课时作业新人教B版必修5基础巩固一、选择题1．四个数成等差数列，S4＝32,a2︰a3＝1︰3，则公差d等于错误!（ A ）A．8 B．16C．4 D．0[解析］∵a2︰a3＝1︰3，∴错误!＝错误!，∴d＝－2a1，又S4＝4a1＋错误!d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，∴d＝8.2．（2015·新课标Ⅱ文，5）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝导学号 27542381（ A )A．5 B．7C．9 D．11［解析］解法一：利用等差数列的性质进行求解．∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝错误!＝5a3＝5.故选A．解法二：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行整体运算．∵a1＋a3＋a5＝a1＋（a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋错误!d＝5(a1＋2d)＝5，故选A．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m－1＋a m＋1－a错误!＝0，S2m－1＝38,则m＝错误!( C ) A．38 B．20C．10 D．9[解析］由等差数列的性质，得a m－1＋a m＋1＝2a m，∴2a m＝a错误!，由题意,得a m≠0,∴a m＝2。
课时作业(十四) 等比数列前n 项和的性质与数列求和 A 组(限时：10分钟)1．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1·q ＋10a 1， ∴1－q 31－q＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19. 答案：C2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：∵a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.答案：A3．数列{a n }的通项公式a n ＝11＋2＋3＋…＋n ，则其前n 项和S n ＝( ) A.2n n ＋1 B.n ＋12n C.n ＋1n2 D.n 2＋n ＋2n ＋1解析：∵a n ＝11＋2＋3＋…＋n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：A4．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所得偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q (a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×－221－－22＝255，解得a 1＝3.答案：C 5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝13－2n 1－2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1， 从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1 ＝n1－2n .B 组(限时：30分钟)1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73C.83 D ．3 解析：∵S 6S 3＝S 31＋q 3S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2， ∴S 9S 6＝S 31＋q 3＋q 6S 31＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 答案：B2．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋1(n ∈N )，则f (n )等于( ) A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析：f (n )＝2[1－23n ＋1]1－23＝27(8n ＋1－1)． 答案：B3．已知等比数列{a n }中，公比q ＝12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．100B ．90C ．120D ．30解析：∵S 奇＝60，q ＝12，∴S 偶＝S 奇·q ＝30， ∴S 100＝S 奇＋S 偶＝90.答案：B4．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，那么a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n －1 D.13(4n －1) 解析：由S n ＝2n －1，可得a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n －1)． 答案：D5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋2n (n ∈N *)，则a n 为( )A.n n －12＋2n －1－1 B.n n －12＋2n －1 C.n n ＋12＋2n ＋1－1 D.n n －12＋2n ＋1－1解析：解法一：当n ＝1时，a 1＝1，可以排除A 、C 、D ，∴选B.解法二：∵a n ＋1－a n ＝n ＋2n ，∴a n ＝(a n －a n ＋1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(n －1)＋2n －1＋(n －2)＋2n －2＋…＋1＋21＋1＝(1＋2＋…＋n )＋(2＋22＋…＋2n －1)＝n n －12＋2n－1.答案：B6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n解析：∵a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln1＋2＝2＋ln n .答案：A7．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 5＋a 6＝________. 解析：∵a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝8.答案：88．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________.(用数字作答)解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知a n ＝2n －1，故a 5＝24＝16，S 8＝1－281－2＝255. 答案：16 2559．已知数列{a n }的前n 项和满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________. 解析：由S n ＋1＝2n ＋1得S n ＝2n ＋1－1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＝12nn ≥2)答案：⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝12n n ≥2) 10．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝1且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和． 解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d . 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由(1)知2a n ＝2n， ∴S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝21－2n 1－2＝2n ＋1－2.11．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列．(1)求公比q 的值；(2)设A n ＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ，求A n .解：(1)由已知2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1·q 4＝4a 1－2a 1·q 2，∵a 1≠0，整理得，q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，即q ＝1或q ＝－1，又∵q ≠1，∴q ＝－1.(2)S n ＝4[1－－1n ]1－－1＝2－2(－1)n ，∴A n ＝S 1＋S 2＋…＋S n＝2n －2·－1[1－－1n ]1－－1＝2n ＋1－(－1)n .12．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n. 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数．a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ S 2b 2＝6＋d q ＝64，S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－65q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.。
4.2.2 等差数列的前n 项和1．(2020·宜宾市叙州区第一中学校)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，9445,31n S a -==，若198n S =，则n =( ) A ．10 B ．11C ．12D ．132．(2020·东北育才学校)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74328a a =+，则25S =( ) A ．50 B ．100C ．150D ．2003．(2020·四川省泸县第二中学开学考试(文))等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =( ) A ．1 B ．2C ．3D ．44．(2020·云南高一期末)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为( ) A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺5．(2020·陕西省洛南中学)在等差数列{}n a 中，已知12232,10a a a a +=+=，求通项公式n a 及前n 项和n S .1．(2020·湖北黄州·黄冈中学其他(理))已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则题组一 等差数列的基本量题组二 前n 项和S n 与等差中项7S =( )A ．42B ．21C ．7D ．32．(2019·贵州六盘水·高二期末(理))在等差数列{}n a 中，358a a +=，则7S =( ) A ．12 B ．28C ．24D ．353．(2020·湖北荆州·高二期末)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57942a a a ++=，则13S =( ) A ．36 B ．72C ．91D ．1824．(2019·黄梅国际育才高级中学月考)若两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足4255n n A n B n +=-，则513513a a b b ++的值为( )A ．78B ．79C ．87D ．19205．(2020·赣州市赣县第三中学期中)设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若20121n n S n T n -=-．则33a b =( ) A ．595B ．11C ．12D ．136．(2020·广西田阳高中高二月考(理))已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =( ) A ．67B ．1211C ．1825D ．16217．(2020·商丘市第一高级中学高一期末)等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且7453n n S n T n +=-，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．61．(2020·榆林市第二中学高二月考)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则13141516a a a a +++= ( )A ．12B ．8C ．20D ．162．(2020·重庆)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于( ) A ．66 B ．90C ．117D ．1273．(2020·江苏徐州)已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，且315S =，648S =，则9S 的值为( ). A ．63 B ．81C ．99D ．1084．(2020·昆明市官渡区第一中学)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1020S =，2015S =，则30S =( ) A ．10 B ．20C ．30-D ．15-5．(2020·朔州市朔城区第一中)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=( ) A ．63 B ．45C ．36D ．276．(2020·新疆二模(文))在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2020S =( ) A ．-4040 B ．-2020C ．2020D ．40408．(2020·河北路南·唐山一中)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12017a =-，20142008620142008S S -=，题组三 前n 项和S n 的性质则2017S =__________．9．(2020·湖南怀化)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，20202018220202018S S -=，则20192019S=________.1．(2020·安徽铜陵·)设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=( ) A ．6 B ．7C ．10D ．92．(2020·河北运河·沧州市一中月考)等差数列{}n a 中，10a >，201520160a a +>，201520160a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( ) A ．2015 B ．2016C ．4030D ．40313．(2020·河北路南·唐山一中期末)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且856a a -=-，9475S S -=，则n S 取得最大值时n =( ) A ．14 B ．15C ．16D ．174．(2020·广西南宁三中开学考试)已知等差数列{}n a 的通项公式为29n a n =-，则使得前n 项和n S 最小的n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．(2020·四川青羊·石室中学)在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是( )题组四 前n 项和S n 的最值A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a6．(2020·福建宁德·期末)公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有( ) A ．0d < B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <7．(2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780a a +>，790a a +<则n S 取最大值时n 的值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．(2020·浙江其他)已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且34S =，714S =，则23n n S a +-最小时，n 的值为( ). A ．2 B ．1或2C ．2或3D ．3或41．(2020·山西大同·高三其他(理))若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知129,a a Z =∈，且()5*n S S n N ≤∈，则12n a a a +++=________.2．(2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模(理))已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为15，(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)若公差0d >，求数列{}n a 的前n 项和n T .题组五 含有绝对值的求和3．(2020·全国高三(文))在等差数列{}n a 中，28a =，64a =-. (1)求n a 的通项公式； (2)求12||||||n n T a a a =+++的表达式.4．(2020·石嘴山市第三中学高三其他(理))已知数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈. (1)求1a 及通项n a ；(2)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列1S ，2S ，3S ，…n S …中哪一项最小？并求出这个最小值. (3)求数列{}n a 的前10项和.5．(2020·湖北武汉)已知数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，172a a +=-，315S =. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和T n .6．(2020·任丘市第一中学)在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥． (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．。
一、选择题1．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 2．朱载堉（1536-1611)，明太祖九世孙，音乐家，数学家，天文历算家，在他多达百万字著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子，他对文乙的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包善钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻担”.“十二平均律＂是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第三个音频率为3f ，第九个音频率9f ，则93f f 等于（ ）ABCD3．数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（ ）． A ．29B ．28C ．27D ．264．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，前n 项的积是n T . ①若{}n a 是等差数列，则{}1n n a a ++是等差数列； ②若{}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++是等比数列； ③若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则{}n a 是等差数列； ④若{}n a 是等比数列，则()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列.其中正确命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+a 3+…+a n =3n ﹣1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于（ ） A ．n 2(31)-B ．()n1912- C ．n 91- D ．()n1314- 6．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，则3948tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A．B ．1-C．-D7．已知函数()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n *=∈N 得数列{}n a ，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,3B ．()2,3C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则129SS =（ ） A ．43B ．53C ．2D ．39．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4n S S ≤，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前项和n T 为（ ） A ．310(103)nn -B ．10(103)nn -C ．103nn-D ．10(133)nn -10．等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1B ．6:1C ．7:1D ．9:111．已知等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S12．数列{}n a 中，2n ka n n=+，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[]12,24B ．(]12,24C ．[]3,12D ．[]3,12二、填空题13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为______．14．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若()112nn n n S a =-+，则129S S S +++=________.15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S =____． 16．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________.17．定义：称12nnp p p +++为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n项的“均倒数”为121n -，则数列{a n }的通项公式为a n =_________.18．数列{}n a 满足， 123231111212222n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式__________.19．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n-+++=为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}-n a kn 的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围为________. 20．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和*41,()3n n n S S n N -=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n b =n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .22．已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在表的同一列.请从①1，②1，③1的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在.并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，若不等式4nn S a λ+≥对任意的*n ∈N 都成立，求实数λ的最小值.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*112n n a S n N =+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若2log n n b a =，21n n n c b b +=且{}n c 的前n 项和为n T ，求使得132424n k k T +<<对*n N ∈都成立的所有正整数k 的值．24．已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足的()312nn n n nb a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围. 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=-，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n n b a a n +=-+，记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .求证：43n T <，*n N ∈. 26．已知数列{}{},n n a b 满足1231112,1,2,,n n n n na a ab b b a n N a ++++===-=∈ （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求证：1211111,6n n N b b b ++++<∈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.2．A解析：A 【分析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ，推导出1122q =，由此能求出93f f 的值． 【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{}n a ，设公比为q ， 则12131=a a q ，且1312=a a ，1122∴=q ，86912316191232⎛⎫=∴==== ⎪⎝⎭q q f q a a f a a 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的通项公式及性质，解题的关键是分析题意将13个音的频率构成等比数列，再利用等比数列的性质求解，考查学生的分析解题能力与转化思想及运算能力，属于基础题.3．A解析：A 【分析】由已知得11n n n a a -=--，运用叠加法可得选项. 【详解】 解：由题意知：1n n a a n +=+，11n n a a n -∴-=-，即：211a a -=，322a a -=，，11n n n a a -=--，把上述所有式子左右叠加一起得：(1)12n n n a -=+， 88(81)1292a ⨯-∴=+=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a ，是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n −1项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n −1项商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且k ≠1，k ≠0）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()11b b k m m k =-=-，， 可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于112(),n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，m ≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；（7）1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.4．D解析：D 【分析】结合等比数列、等差数列的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()121n n n n a a a a ++++-+=()()1212n n n n a a a a d +++-+-=为定值，故{}1n n a a ++是等差数列，即①正确；对于②，设等比数列{}n a 的公比为q ，则12111n n n n n n n n a a a q a qq a a a a +++++++==++为定值，故{}1n n a a ++是等比数列，即②正确；对于③，等差数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为111S a =，设公差为d ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为nS n=()11a n d +-，所以()11n S na n n d =+-， 则2n ≥时，1n n n a S S -=-()()()()111112na n n d n a n n d =+---+--⎡⎤⎣⎦()121a n d =+-，由1a 符合()121n a a n d =+-，可知{}n a 的通项公式为()121n a a n d =+-，则()()11121222n n a a a n d a n d d -⎡⎤-=+--+-=⎣⎦为定值，即{}n a 是等差数列，故③正确；对于④，设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()()211231111n n n T a a a a a a q a qa q -===()12311n n aq++++-()121n n n a q-=，所以()()12122211n n nnn n n T a q a q --⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则()()2112221211n n n n n n a q q a q T T ----==为定值，即()2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故④正确. 所以正确命题的个数有4个. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的判定，考查学生的推理能力，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，可求得a n ，从而可知2n a ，利用等比数列的求和公式即可求得答案． 【详解】∵a 1+a 2+a 3+…+a n ＝3n ﹣1，①，∴a 1+a 2+a 3+…+a n +1＝3n +1﹣1，② ②﹣①得：a n +1＝3n +1﹣3n ＝2×3n ，∴a n ＝2×3n ﹣1()2n ≥. 当n ＝1时，a 1＝31﹣1＝2，符合上式，∴a n ＝2×3n ﹣1．∴221211249,4,9n n nna a a a -+=⨯∴==，∴{}2n a 是以4为首项，9为公比的等比数列， ∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=()()419191921n n⨯-=--． 故选B ． 【点睛】本题考查数列通项公式的确定及等比数列的判断与求和公式的综合应用，属于中档题．6．A解析：A 【分析】由等比数列和等差数的性质先求出39b b +和48a a ⋅的值，从而可求出3948tan 1b b a a +-⋅的值【详解】解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=，所以36a =-，637b π=，所以6a =673b π=， 所以3961423b b b π+==，24863a a a ⋅==，所以39481473tan tan tan()tan(2)tan 113333b b a a πππππ+==-=-+=-=-⋅-，故选：A 【点睛】此题考查等差数列和等比数列的性质的应用，考查三角函数求值，属于中档题7．B解析：B 【分析】 由()()633,7,,7.x a x x f x ax -⎧--≤=⎨>⎩，()()n a f n n N *=∈得数列{}n a ，根据数列{}n a 为递增数列，联立方程组，即可求得答案. 【详解】()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩ 令()()n a f n n N *=∈得数列{}n a∴()633,7,7n n a n n a a n -⎧--≤=⎨>⎩()n N *∈且数列{}na 为递增数列，得()230,1,733,a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--<⎩解得23a <<. 即：()2,3a ∈ 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出a 1＝2d ，由此能求出129S S 的值 【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，63S S =3， ∴1165623232a d a d⨯+=⨯+3，整理，得a 1＝2d ， ∴112191112111212665298936392a dS a d S a d a d ⨯++===⨯++． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的前n 项和公式的合理运用．9．B解析：B 【分析】根据已知条件求得{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得n T . 【详解】依题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1210,a a =为整数，且4nS S ≤，所以4151030040a a d a a d ≥+≥⎧⎧⇒⎨⎨<+<⎩⎩，即10301040d d +≥⎧⎨+<⎩，解得10532d -≤<-，由于2a 为整数，1a 为整数，所以d 为整数，所以3d =-.所以()11313n a a n d n =+-=-+. 所以()13113310n a n n +=-++=-+，()()1111113133103310313n n n b a a n n n n +⎛⎫===⨯- ⎪-+-+-+-+⎝⎭， 所以1111111371047310313n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()10310111133101031010310103n nn n n --+⎡⎤=-=⨯=⎢⎥-+--⎣⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查裂项求和法，属于中档题.10．C解析：C 【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，成等比数列求解.【详解】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 设3S m =，则63S m =，则632S S m -=，故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937S S =. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可.11．B解析：B 【分析】根据50a >和470a a +<判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出n S 的最大值. 【详解】因为470a a +<，所以560a a +<，又因为50a >，所以60a <， 因为{}n a 为等差数列，所以650d a a =-<，所以{}n a 为单调递减数列， 所以n S 的最大值为5S ， 故选：B. 【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前n 项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n 项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明n S 有最大值还是最小值并且求解出对应结果.12．A解析：A 【分析】根据题意，可知当0k ≤时，数列{}n a 单调递增，不符合题意；当0k >时，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，得出2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即可求出实数k 的取值范围，再通过数列的单调性进行验证，符合题意，即可得出答案. 【详解】解：由题可知，2n ka n n=+，对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，当0k ≤时，可知数列{}n a 单调递增，不符合题意； 当0k >时，若对任意n ∈+N ，都有3n a a ≥成立，则2343a a a a ≥⎧⎨≥⎩，即46238643k k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥+⎪⎩，解得：1224k k ≥⎧⎨≤⎩，1224k ∴≤≤，此时，数列在()1,2上递减，()3,+∞上递增，或在()1,3上递减，()4,+∞上递增， 故符合题意，所以实数k 的取值范围为[]12,24. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的恒成立问题，根据数列的单调性求参数范围，考查分析解题和运算能力.二、填空题13．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了 解析：101031-【分析】 先通过归纳得()()2111233323,3330k kk k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和得解. 【详解】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k kk k kkkf f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--．故答案为：101031- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等比数列求和就迎刃而解了.14．【分析】令计算得出然后推导出当为偶数时当为奇数时利用等比数列的求和公式可求得的值【详解】当时解得；当时当为偶数时可得则；当为奇数时可得则因此故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查已知与的关系求和常用的 解析：3411024【分析】令1n =计算得出114a =，然后推导出当n 为偶数时，0n S =，当n 为奇数时，112n n S +=，利用等比数列的求和公式可求得129S S S +++的值.【详解】 当1n =时，11112a S a ==-+，解得114a =；当2n ≥时，()()()1111122nnn n n n n n S a S S -=-+=-⋅-+. 当n 为偶数时，可得112n n n n S S S -=-+，则112n nS -=； 当()3n n ≥为奇数时，可得112n n n n S S S -=-++，则1112120222n nn n nS S -+=-=-=. 因此，2512924681011111111341240000122222102414S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=++++++++==-. 故答案为：3411024. 【点睛】方法点睛：本题考查已知n S 与n a 的关系求和，常用的数列求和方法如下： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.15．8【分析】由与的关系化简结合等差数列的定义得出数列是等差数列进而求出【详解】当时当时由题意可知整理得所以数列是以为首项为公差的等差数列则故答案为：【点睛】解决本题的关键是由与的关系对化简结合等差数列解析：8 【分析】由n S 与n a 的关系化简212n n n a a S +=，结合等差数列的定义得出数列{}2n S 是等差数列，进而求出2n S n =，【详解】当1n =时，111S a ==当2n ≥时，由题意可知()()21112n n n n n S S S S S ---+=-，整理得2211n n S S --=所以数列{}2n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则2n S n =64264S ∴=，0n a >，648S ∴=故答案为：8 【点睛】解决本题的关键是由n S 与n a 的关系对212n n n a a S +=化简，结合等差数列的定义进行求解.16．【分析】当为奇数时可得数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时可得偶数项的特征将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可【详解】∵∴当为奇数时即数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时∴∴故答案为： 解析：2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可. 【详解】∵121,(1)2nn n a a a +=+-=，∴当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列， 当n 为偶数时，22n n a a ++=， ∴135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，∴1002500502550S =+=， 故答案为：2550. 【点睛】 关键点点睛：（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列；（2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=.17．4n －3【解析】分析：由题意结合新定义得到数列的前n 项和公式然后求解数列的通项公式即可详解：设数列的前n 项和为由题中的新定义可知：则：当时当时且时则数列的通项公式为：点睛：新定义主要是指即时定义新概解析：4n －3. 【解析】分析：由题意结合新定义得到数列的前n 项和公式， 然后求解数列的通项公式即可.详解：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题中的新定义可知：121n n S n =-， 则：()2212n S n n n n =-=-，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()()221221143n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，且1n =时，1431n a -==，则数列{}n a 的通项公式为：43n a n =-.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.18．【分析】当时有作差可求出再验证是否成立即可得出答案【详解】当时由所以—可得所以当时所以不满足上式所以故答案为：【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法做题的关键是掌握属于中档题解析：16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【分析】当2n ≥时，有()12312311111211212222n n a a a a n n --+++=-+=+-，作差可求出12n n a +=，再验证1a 是否成立，即可得出答案.【详解】当2n ≥时，由123231111212222n na a a a n ++++=+, 所以()12312311111211212222n n a a a a n n --+++=-+=+-， —可得()1212122n n a n n =+--=，所以1222n n n a +⋅==， 当1n =时，112132a =+=，所以16a =，不满足上式，所以16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩. 故答案为： 16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，做题的关键是掌握1n n n a S S -=-，属于中档题.19．【分析】计算再结合已知条件得到根据题意计算得到答案【详解】由题意当时由可得两式相减可得整理得由于则数列的通项公式为则由于对任意的恒成立则且解得故答案为：【点睛】本题考查了数列的新定义求数列的通项公式解析：167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】计算14a =，再结合已知条件得到22n a n =+，()22n a kn k n -=-+，根据题意660a k -≥，770a k -≤，计算得到答案.【详解】由题意，当1n =时，21124a A ===，由11222n n n nA a a a -=+++，可得()()121212221n n n a a n A a n ---++⋅⋅⋅+-=≥， 两式相减可得()1112n n n n nA n A a ----=，整理得()()1111121222n nn n n n n nA n A n n a +-----⋅--⋅==()42122n n n =--=+， 由于12124a =⨯+=，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =+， 则()22n a kn k n -=-+，由于6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则2k >且660a k -≥，770a k -≤， 解得16773k ≤≤. 故答案为：167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了数列的新定义，求数列的通项公式，求和公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20．14【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档题解题时解析：14 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．三、解答题21．（1）14n n a -=；（2）11643994n n -+-⨯. 【分析】（1）2n 时，1n n n a S S -=-，1n =时，111a S ==.即可得出n a . （2）22log 2nn b log n ===，14n n n b n a -=.利用错位相减法即可得出. 【详解】解：（1）2n 时，1114141433n n n n n n a S S -----=-=-=，1n =时，111a S ==.综上可得：14n n a -=.（2）22log 2n n b log n ===，∴14n n n b na -=. ∴数列n nb a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和21231444n n nT -=+++⋯⋯+. 21112144444n n n n nT --=++⋯⋯++，相减可得：2111311141144444414n n n n n n n T --=+++⋯⋯+-=--. 11643994n n n T -+∴=-⨯.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.根据和求通项时，一定要注意1n =时的检验，利用错位相减求和法时，运算容易出错，一定要仔细准确运算，注意检查，必要时用10110,b T T a ==检验一下.22．（1）32n a n =-；（2）918【分析】（1）由等差数列的定义可得选②，再由等差数列的通项公式可得所求； （2）由错位相减法求得n S ，再参数分离可得()()323+42nn n λ-≥对任意的*n ∈N 都成立，令()()323+42n nn n b -=，判断{}nb 的单调性求得最大项即可求出.【详解】（1）已知{}n a 为等差数列，由题选择②可成立， 即11a =，24a =，37a =，所以公差3d =，()1+1332n a n n ∴=-⨯=-；（2）3222n n na n -=， 12314732++++2222n nn S -∴=， 234+1114732++++22222n n n S -=， 两式相减得：23+111111323++++1222222n n n n S -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭+11113122311212n n n ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⨯---， 整理得3+442n nn S =-， 若不等式4n nS a λ+≥对任意的*n ∈N 都成立，则3+44+4232n n n λ-≥-，即()()323+42n n n λ-≥对任意的*n ∈N 都成立， 令()()323+42n nn n b -=，则()()()()2+1+1+13+13+7323+49+12+23222n nn nn n n n n n n b b ---=-=， 当1,2n =时，+10n n b b ->，可得321b b b >>， 当3n ≥时，+10n n b b -<，可得345>>>b b b ，则{}n b 中的最大项为3918b =， 918λ∴≥，即λ的最小值为918. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 23．（1）2nn a =；（2）{5,6,7}k ∈．【分析】（1）根据,n n a S 的关系，结合递推式可得12(2)n n a a n -=≥且12a =，写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）中{}n a 的通项公式，结合已知有1(2)n c n n =+，应用裂项求和法可知31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，进而有1334n T ≤<，即可知条件成立的k 值． 【详解】（1）由题意知：112n n a S =+①，111()122n n a S n --=+≥②， ①-②得：12(2)n n a a n -=≥，又易得12a =，∴{}n a 是首项和公比都为2的等比数列，所以2nn a =；（2）由（1）知：n b n =，即1(2)n c n n =+11122n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴由裂项相消，得111112212n T n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭， ∵134n T T ≤<，即1334n T ≤<，所以132424n k k T +<<对n ∈N *都成立， 可得1243133244k k ⎧<⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，得5k ≤<8，又k 正整数，∴{5,6,7}k ∈. 【点睛】 关键点点睛：（1）应用1n n n a S S -=-得到1,n n a a -的关系，即可写出{}n a 的通项公式； （2）结合（1）结论及已知，得到1(2)n c n n =+，应用列项求和求n T ，即可知n T 的范围，结合不等式成立条件求k 值． 24．（1）231n n a =-；（2）23λ-<<. 【分析】 （1）将()*13n n n a a n N a +=∈+，变形为1131n na a +=+，再利用等比数列的定义求解. （2）由（1）得12n n nb -=，然后利用错位相减法求得1242n n n T -+=-，将不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，转化为()12142n n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，分n 为偶数和奇数讨论求解. 【详解】（1）由()*13nn n a a n N a +=∈+， 得13131n n n na a a a ++==+， ∴11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列，所以1113322n n a -+=⨯，即231n na =-.（2）12n n n b -= ()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯, ()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得:012111111222222222n n n n T n n -+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-， ∴1242n n n T -+=-， 因为不等式()112n n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立， 所以()12142n n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立， 因为1242n t -=-单调递增， 若n 为偶数，则1242n λ-<-，对一切*n N ∈恒成立，∴3λ<； 若n 为奇数，则1242n λ--<-，对一切*n N ∈恒成立，∴2λ-<，∴2λ>- 综上：23λ-<<.【点睛】 方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．25．（1）(1)2n n a n =+，*N n ∈；（2）证明见解析.【分析】（1）由122n n n S a +=-，推得11122n n n n a a ---=，得出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列，进而求得数列的通项公式；（2）由题意，求得122n n n b =-，根据111122222n n n n --⎛⎫->- ⎪⎝⎭，得到1111(2)2n n n b b -<⋅≥，进而证得1243n T b <=，再由1n =时，得到143T <，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，当1n =时，可得1124S a =-，解得14a =，又由122n n n S a +=-，当2n ≥时，1122n n n S a --=-，两式相减，得1222n n n n a a a -=--，即122n n n a a --=，可得11122n n n n a a ---=， 又由1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列， 所以2(1)12n n a n n =+-=+，所以*(1)2,n n a n n N =+∈. （2）由11n n n n b a a n +=-+122n n =-，12111n n T b b b =++⋅⋅⋅+. 因为111111122222222n n n n n n --+-⎛⎫⎛⎫-=->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12n n b b ->， 所以1111(2)2n n n b b -<⋅≥. 当2n ≥时，12112-11111111111122n n n n T T b b b b b b b b ⎛⎫=++⋯+<+++⋅⋅⋅+<+ ⎪⎝⎭， 可得1243n T b <=. 当1n =时，1112433T b ==<. 综上可得，43n T <. 【点睛】 数列与函数、不等式综合问题的求解策略：已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一定要利用数列的通项公式，前n 项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.26．（1）21n n b =-；（2）证明见解析.【分析】（1）由题可知数列{}n a 为等比数列，公比2q ，进一步求出n a 的通项公式，所以112n n n b b ---=，利用累加法求出数列{}n b 的通项公式；（2）利用111212n n -<-对数列进行放缩 ，化简求出答案. 【详解】（1）12n na a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比2112,12q a q a q =+=，所以12a =，2n n a ∴=所以11211211222,22222n n n n n n b b b b b b ----=⋯-==-=+++=-21n n b ∴=- （2）证明： 222112111111114111112121322322n n n n b b b --⎛⎫⎛⎫+++=+++<++++=+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 111111626n -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭【点睛】 放缩法的注意事项：（1）放缩的方向要一致。
