二次函数的概念 第一课时

二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

第1课二次函数的相关概念姓名班级学号一、复习回顾一次函数：一般地，形如的函数叫做一次函数。

其中x是，y是，称是的函数。

一次函数的图象为。

当时，解析式变为，原函数变为函数。

其图象为一条。

二、探究新知问题1．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为问题2．有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。

比赛的场次数m与球队数n的关系式为问题3．某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。

如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系式为思考:以上三个函数有什么共同特点？①②③④二次函数的概念：一般地，形如(a，b，c是常数，且a≠0)的函数，叫做二次函数. 其中a叫；b叫；c叫．三、例题讲解例1.下列是二次函数的是练习1.下列是二次函数的是(1)y＝2x2－3x (2)y＝x3＋2 (1)y＝－x2 (2)y＝ax2＋bx＋c(4)y＝x(x＋1)－x2(3)y＝√x2＋x－1 (4)y＝0x2－3x (3)y＝x2－1x(5)y＝(x－3)2－x2 (5)y＝(2x－1)－x2.例2.(1)已知y＝x m－x－1是二次函数，则实数m＝________；(2)已知y＝(m－3)x2－x－1是二次函数，则实数m的取值范围是________．练习2.(1)已知y＝(m－2)x|m|－x－1是二次函数，则实数m＝________；(2)已知y＝(m－3)x2－x－1是一次函数，则m＝________.例3.一个直角三角形的两直角边的和为16 cm，其中一直角边为x cm，三角形面积为y cm2.(1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当x＝2时，求y的值．(3)当y＝24时，求x的值．练习3.用一根长16 cm的铁丝围成一个矩形，矩形面积为y cm2，矩形一边长为x cm.(1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当x＝2时，求y的值．(3)当y＝15时，求x的值．四、课堂练习1.下列是二次函数的是 ( )C．y＝2x2 D．y＝2x＋1A．y＝(x－1)2－x2 B．y＝1x22．当k________时，y＝(k＋1)x2 是关于x的二次函数．3．当x＝－1时，二次函数y＝x2＋1的值为________．4.某种产品现在的年产量是20吨，若接下来平均每年的增长率都是x，写出两年后这种产品的产量y与x之间的关系式____________________.5.如右图，一块草地是长80 m，宽60 m的矩形，中间是两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m2，y与x的函数关系式为．6.已知函数y＝(m－1)x2＋3x－2.(1)当m________时，它是二次函数；(2)当m________时，它是一次函数．7.已知正方形的对角线长为x，面积为y，则y与x间的函数关系式为．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝5 cm，点M以1 cm/s的速度从点B向点C运动，同时点N以2 cm/s的速度从点C向点D运动，点M不能与点C重合．设运动开始第t秒钟时，五边形ABMND的面积为S，求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.9.用20米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为11米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AB边长为x米.(1)写出菜园的面积y(单位：m2)与x(单位：m)的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)若矩形菜园ABCD的面积为55平方米，则AB＝____米.第1课二次函数的相关概念（课后作业）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）B．y＝3x+1 C．y＝3x2+x﹣2 D．y2＝x2+3x A．y＝1x2；②y＝1﹣3x2；③y＝﹣20x2；④y＝x2﹣6x+5；⑤y＝x(x+5)+2，2．已知函数：①y＝x+1x⑥y＝3x3+2x2其中是二次函数的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．已知函数y＝（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．（1）当m 时，该函数为二次函数；（2）当m 时，该函数为一次函数．4．若函数y＝（m﹣1）x m2+1+2mx+3是关于x的二次函数，则m的取值为．5．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求：（1）圆柱体积y与底面半径x之间的函数解析式；（2）若圆柱的底面半径x为3，求此时的y值．（3）当y＝27π时，求x的值．6．已知y与x2成正比例，并且当x＝﹣1时，y＝﹣3．求：时，x的值．（1）y与x的函数关系式；（2）当x＝4时，y的值；（3）当y=−137.富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形．（1）如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？（2）请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？8．如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．（1）求y与x的函数表达式；（2）求当边长增加多少时，面积增加8cm2．9．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？中考真题体验下列函数中，是二次函数的是（）﹣3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2A．y＝﹣1x2C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c。

二次函数教案 (第一课时)二次函数的教学设计一、教学内容二次函数（新人教版九年级下册第26.1.1节）二、教学目标1.知识技能通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。

2.教学思考学生能对具体情境中的数学息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。

3.解决问题体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。

4.情感态度通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。

三、教学重点与难点1.教学重点认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。

2.教学困难根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。

第四，教学过程的安排教学活动流程活动1：温故知新，揭示课题活动内容和目的由回顾所学过的函数入手，引入函数大家庭中还会认识哪函数呢？然后从打篮球的例子引入二次函数。

学生能独立运用函数知识解决变量之间的关系。

2.活动：合作探究，获取新知识，制作探究环节，与学生互动，自主探索新知识，从而通过观察和归纳。

得到二次函数的解析式，获取新知。

本组题目是新知识的直接应用，目的是让学生能够区分。

活动3：小试身手，循序渐进认二次函数，循序渐进这一环节主要帮助学生处理解决问题，加深对二次函数的理解。

总结内容、应用、数学思维方法、获取知识的途径等。

活动四：回顾课堂，总结巩固方面，既总结知识，又提炼方法，让研究研究知识和运用知识都有很大的提升，方法就是学生讲收获。

活动5：课堂检测，测评反馈以测试的形式检测本节课的内容，检查学生的掌握程度，同时加深学生对知识的理解。

第五，教学过程的设计问题与情景【活动１】１.知识回顾：以问答式引起学生对知识的回忆。

２.揭示课题：以篮球为例。

二次函数课时11．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2+2．下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径R之间的关系3．指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y＝2x+1；（2）y＝2x2+1；（3）y＝x（2﹣x）（4）y＝（x﹣1）2﹣；（5）y＝；（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．4．已知函数y＝（m﹣1）+2x﹣m是二次函数，求m的值，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．5．已知y＝（m2﹣m）x+（m﹣3）x+m2是关于x的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．6．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？7．当m为何值时，函数y＝（m2+m）+（m﹣3）x+3是（1）一次函数；（2）二次函数．8．若y＝（k﹣3）x+x2﹣x+1是二次函数，求常数k的值．9．如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃一边AB的长为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？10．已知矩形的周长为12cm，若它的一边长为xcm．它的面积为ycm2．（1）求矩形的面积y与x的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x＝4时，求y的值．11．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，且每件商品售价与其销售量是一次函数关系．若每件商品售价为25元，则可卖出100件；若每件商品售价为30元，则可卖出50件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%．（1）求该商品的销售量与售价的函数关系式；（2）若商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？二次函数课时1 参考答案与试题解析1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2+【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；B、y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，故B错误；C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；D、y＝x2+不是二次函数，故D错误；故选：C．2．下列函数关系中，是二次函数的是（）A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系D．圆的面积S与半径R之间的关系【解答】解：A、关系式为：y＝kx+b，故A错误；B、关系式为t＝，故错误；C、关系式为：C＝3a，故C错误；D、S＝πR2，故D正确．故选：D．3．指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y＝2x+1；（2）y＝2x2+1；（3）y＝x（2﹣x）（4）y＝（x﹣1）2﹣；（5）y＝；（6）y＝x2（x﹣1）﹣1．【解答】解：（1）y＝2x+1不是二次函数，是一次函数；（2）y＝2x2+1，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是1；（3）y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，是二次函数，二次项系数是﹣1、一次项系数是2，常数项是0；（4）y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x+﹣＝x2﹣x﹣2，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是﹣1，常数项是﹣2；（5）y＝不是二次函数；（6）y＝x2（x﹣1）﹣1＝x3﹣x2﹣1不是二次函数．4．已知函数y＝（m﹣1）+2x﹣m是二次函数，求m的值，并指出二次项系数，一次项系数及常数项．解：由题意得∴∴m＝﹣2二次项系数为﹣3，一次项系数为2，常数项为25．已知y＝（m2﹣m）x+（m﹣3）x+m2是关于x的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．【解答】解：根据题意可得，解得：m＝﹣1或m＝3，当m＝﹣1时，二次函数为y＝2x2﹣4x+1，其二次项系数为2，一次项系数为﹣4，常数项为1；当m＝3时，二次函数为y＝6x2+9，其二次项系数为6，一次项系数为0，常数项为9．6．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？【解答】解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，∴m2+2m＝0，m≠0，解得：m＝﹣2；（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，∴m2+2m≠0，解得：m≠﹣2且m≠0．7．当m为何值时，函数y＝（m2+m）+（m﹣3）x+3是（1）一次函数；（2）二次函数．【解答】解：（1）根据题意得：m2﹣2m﹣1＝0或m2﹣2m﹣1＝1或m2+m＝0，解得：m＝1±或m＝1或m＝0或m＝﹣1；（2）根据题意，得：m2﹣2m﹣1＝2且m2+m≠0，解得：m＝3．8．若y＝（k﹣3）x+x2﹣x+1是二次函数，求常数k的值．【解答】解：由于y＝（k﹣3）x+x2﹣x+1是二次函数，所以，①当k﹣3＝0即k＝3时，该函数是y＝（k﹣3）x+x2﹣x+1，属于二次函数，符合题意；②当k2﹣2＝2且k﹣2≠0即k＝﹣2时，该函数是y＝﹣4x2﹣x+1，属于二次函数，符合题意；③当k2﹣2＝1且k＝±时，该函数是y＝x2﹣（±﹣4）x+1，属于二次函数，符合题意；④当k2﹣2＝0即k＝±时，该函数是y＝x2﹣x+2，属于二次函数，符合题意；综上所述，k的值是：3或﹣2或±或±．9．如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃一边AB的长为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？【解答】解：（1）设花圃一边AB的长为x米，由题意得：y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x（0＜x＜10）．（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．解此方程得x1＝7，x2＝3．当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；答：如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是7米．10．已知矩形的周长为12cm，若它的一边长为xcm．它的面积为ycm2．（1）求矩形的面积y与x的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x＝4时，求y的值．【解答】解：（1）由题意，得y＝x（12÷2﹣x）＝﹣x2+6x（0＜x＜10）；所以矩形的面积y与x的函数关系式为：y＝﹣x2+6x（0＜x＜6）；（2）当x＝4时，y＝﹣x2+6x＝﹣16+24＝8，即y的值是8cm2．11．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．【解答】解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x档次，提高的档次是（x﹣1）档．∴y＝[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，即y＝﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400＝1120整理得：x2﹣18x+72＝0解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，且每件商品售价与其销售量是一次函数关系．若每件商品售价为25元，则可卖出100件；若每件商品售价为30元，则可卖出50件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%．（1）求该商品的销售量与售价的函数关系式；（2）若商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？【解答】解：（1）若销售量为y件，每件售价为x元，设该函数为y＝kx+b，由题意得，解得，故所求函数关系式为y＝﹣10x+350；（2）设每件售价为x元，根据题意，得（x﹣21）（﹣10x+350）＝400，解得x1＝25，x2＝31，因为25＜21×（1+20%）＜31，所以取x1＝25，此时销售量为：﹣10×25+350＝100（件）．。

《二次函数》说课稿课题：22.1二次函数（第一节课时）一、教材分析：1、教材所处的地位：二次函数是沪科版初中数学九年级（上册）第22章的内容，在此之前，学生在八年级已经学过了函数及一次函数的内容，对于函数已经有了初步的认识。

从一次函数的学习来看，学习一种函数大致包括以下内容：通过具体实例认识这种函数；探索这种函数的图象和性质，利用这种函数解决实际问题；探索这种函数与相应方程不等式的关系。

本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的。

本节课的主要内容在于使学生认识并了解两个变量之间的二次函数的关系，为二次函数的后续学习奠定基础2、教学目的要求：（1）学生经历从实际问题中抽象出两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；（2）让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；（3）知道实际问题中存在的二次函数关系中，多自变量的取值范围的要求。

（4）把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。

3、教学重点和难点本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点：重点：（1）二次函数的概念（2）能够表示简单变量之间的二次函数关系．难点：具体的分析、确定实际问题中函数关系式二．教法、学法分析：下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：1、教法研究教学中教师应当暴露概念的再创造过程，鼓励学生不但要动口、动脑，而且要动手，学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会主动学习，学会研究问题的方法，培养学生的能力。

本节课的设计坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。

教学过程中，注重学生探究能力的培养。

还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。

二次函数（第一课时）说课稿《二次函数》说课一、教材分析：1.教材的地位和作用二次函数是初中阶段研究的最重要的函数，在历年来的中考题中占有较大比例。

同时，二次函数和一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。

而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象及性质做铺垫。

所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。

2.教学目标知识目标：1、分析确定二次函数关系式2、确定二次函数关系式中各项的系数能力目标：1、通过讲练结合，培养学生解决实际问题的能力。

2、通过设置问题情境，提高学生分析和解决问题的能力。

情感目标：分组学习方式，培养学生与他人沟通交流、团结合作的能力。

3.重点难点重点：1、分析确定二次函数关系式2、确定二次函数关系式中各项的系数难点：通过实例分析、确定二次函数关系的表达式二、教法与学法分析：1.教法分析（1）采用引导探索的方法，激发学生的学习兴趣。

（2）教师精讲、学生多练，体现了以学生为主体、教师为主导的教学原则。

（3）引导学生发现问题，自主学习，从而体验到独立获取知识的喜悦感。

（4）通过“导入”“探索”“归纳”“运用”“总结”突破重点和难点。

2.学法分析（1）主动学习法：举出例子，提出问题，让学生在独立学习和团结合作中获得感性认识的同时，教师层层深入，启发学生积极思维，主动探索知识，培养学生思维想象的综合能力。

反馈补救法：在练习中，注意观察学生对学习的反馈情况，以实现“培优扶差，满足不同。

”3.教学手段采用多媒体辅助教学，实物投影、小测纸等手段，及时反馈相关信息。

三、教学过程：（一）回顾复习一次函数、正比例函数的一般形式是什么？探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x之间的关系：(1)圆的面积y()与圆的半径x(cm)(1)____________________(2)____________________(3)____________________(4)____________________【设计意图：此题由简单的图形公式列关系式逐步过渡到具体应用列关系式，让学生经历由简单到复杂的过程，从而降低学生学习的难度。

九年级上册数学教案二次函数的概念及特殊二次函数的图像第一讲二次函数的概念及特殊二次函数的图像知识框架知识点1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．2.二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．2=的图像y x在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数2=的图像．y x（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =．3.二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．【例1】 判断下列函数是否是二次函数．（1）23y x =； （2）2112y x =-+； （3）21y x =； （4）()2y x x =-； （5）()212y x =+-； （6）()222y x x =+-．【例2】 ()()222231y m m x m x m =--+-+是关于x 的二次函数需要满足的条件是_____________．【例3】 二次函数()22y x =-+的二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则24b ac -=_____． 【例4】 已知二次函数2253y x x =-+．（1）当12x =-时，求函数值； （2）当x 取何值时，函数值为0？九年级上册数学教案 二次函数的概念及特殊二次函数的图像【例5】 下列函数中（x ，t 为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）2132y x =-+； （2）()()23422y x x x =--+；（3）23s t =++； （4）26y x =-．【例6】 已知函数()()22932y m x m x =---+． （1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？（2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【例7】 某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x (0x >)，6月份的营收为y 万元，写出y 关于x 的函数解析．【例8】 用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x 米，面积为y 平方米，求y 与x 的函数解析式及函数的定义域．【例9】 三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为30°，设其中一条边长为x 厘米，三角形的面积为y 平方厘米，试写出y 与x 之间的函数解析式及定义域．【例10】 设12y y y =-，1y 与1x成反比例，2y 与2x 成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．二次函数D ．一次函数 【例11】 已知正方形的周长是C 厘米，面积是S 平方厘米．（1）求S 关于C 的函数关系式；（2）当S =1平方厘米，求正方形的边长．【例12】 某商店将每件进价为8元的某种商品以每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.10元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x 元时，设销售利润为y 元，求y 关于x 的函数关系式．【例13】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =、22y x =的图像； （2）函数212y x =、22y x =的图像与函数2y x =的图像，有何异同？九年级上册数学教案 二次函数的概念及特殊二次函数的图像【例14】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图 像；（3）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？【例15】 二次函数223y x =-的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【例16】 抛物线22y x =除了点______以外，都位于______上方．【例17】 抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______．【例18】 已知点P （32，6）在抛物线2y ax =上，那么a 的值为______．【例19】 抛物线23y x =经过点A （3，n ），则n = ______，且点A 关于抛物线对称轴的对称点A 1的坐标是______．【例20】 已知关于x 的二次函数()21y k x =+，当k 为何值时，它的图像开口向上？当k为何值时，它的图像开口向下？【例21】 已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．【例22】 抛物线212y x =上一点到x 轴的距离为8，求该点的坐标．九年级上册数学教案 二次函数的概念及特殊二次函数的图像【例23】 抛物线2y ax =与直线23y x =-交于点（1，b ）．（1）求a 和b 的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x 取何值时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【例24】 若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．【例25】 已知二次函数()24125m y m x +=-的图像开口向下，求m 的值．课堂练习【习题1】 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，请指出a 、b 、c ．（1）21y x =-； （2）21y x x =--；（3）20.3y x =； （4）()()212y x x x =+--；（5）221x x y π--=； （6）y =【习题2】 已知二次函数2y ax =的图像经过点Q （-1，-2），求a 的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．【习题3】 函数226m m y mx --=是y 关于x 的二次函数．当m = ______ 时，其图像开口向上；当m = ______ 时，其图像开口向下．【习题4】 求直线y x =与抛物线22y x =-的交点坐标．【习题5】 在同一坐标系中，作出①23y x =；②212y x =；③2y x =的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________（填序号）．九年级上册数学教案 二次函数的概念及特殊二次函数的图像【习题6】 自由下落的物体的高度h （米）与下落的时间t （秒）的关系为24.9h t =．现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要的时间是______秒．【习题7】 已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线()2221mm y m m x +-=-的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．课后作业【作业1】 下列函数，不属于二次函数的是（ ）A ．()()12y x x =-+B ．()2112y x =+C ．21y =-D ．()22232y x x =+-【作业2】 在同一平面直角坐标系中，作2y x =，212y x =-，213y x =的图像，它们的共同特点是（ ）A ．抛物线的开口方向向上B ．抛物线的开口方向向下C ．都是关于x 轴对称的抛物线D ．都是关于y 轴对称的抛物线【作业3】 二次函数23y x bx =++中，当x = 3时，y = 0，则b 的值为______．【作业4】 如果抛物线2y ax =过点（cos60°，sin30°），那么a = ______，它的函数表达式是______．【作业5】 如图，四个二次函数图像，分别对应的是12y ax =；22y bx =；32y cx =；42y dx =，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>【作业6】 若函数()2221m m y m m x --=+是二次函数，则m = ______，它的图像开口______，顶点是它的最______点，它的对称轴是______．【作业7】 求直线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标．【作业8】 一个正方形的面积为16平方厘米，当把边长增加x 厘米时，正方形的面积为y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式为____________．【作业9】 抛物线的顶点为原点，以y 轴为对称轴，且经过点A （-2，8）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算OAB ∆的面积．。