7-直线与平面习题精选精讲

直线与平面垂直的判定典型例题目标导航1．知识与技能：理解并掌握直线与平面垂直的定义及垂线、垂面、垂足的含义，会用空间图形及数学符号分别表示直线与平面垂直；理解并掌握直线与平面垂直的判定定理，并能运用定义及判定定理判断直线是否与平面垂直。

2．过程与方法：利用等价转化的思想证明立体几何问题；提高学生逻辑思维能力；培养学生由图形想象出位置关系的能力。

3．情感态度与价值观：利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学的积极性，能辩证的看待问题；学会分析事物间的关系，进而选择解决问题的途径。

要点聚焦1．直线与平面垂直的定义：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称直线与平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

直线与平面垂直时，它们的唯一公共点叫做垂足。

2．直线与平面垂直是直线与平面相交的特例。

直线与平面相交但不垂直时，直线叫做平面的斜线，直线与平面的交点叫做斜足。

3．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则称该直线与此平面垂直。

4．直线与平面垂直的定义中的“任何一条直线”这个词语与“所有直线”是同义语，但与“无数条直线”不同，定义的实质就是直线与平面的所有直线都垂直。

5．直线与平面垂直的判定定理可以用符号表示：6．“a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b，⇒l⊥α”7．直线与平面垂直的方法：(1)若一条直线垂直于平面内的任何直线，则这条直线垂直于平面；（定义）(2)若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于平面；（判定定理）(3)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面。

经典题例例1判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号1．一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行（）2．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直（）3．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边（）4．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内（）5．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面（）分析: 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。

直线、平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且cαβ=，求证：AB∥c．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇．∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α．（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高清：空间的线面垂直398999 例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB ⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

§ 1 异面直线一、复习要点1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离．2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性．5．对异面直线所成的角，要注意：①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．二、例题讲解例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．A．M=NB．M NC．M ND．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF 和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2 在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE 间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）aB．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）aD．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN 与BM成60°角；④DM与BN垂直．图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD 和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．。

B直线与平面（1）线面关系——空间图形起源平面直线问题在平面几何中已经解决，这里所说的线面关系是平面和平面外的直线关系.一条直线和一个平面的位置关系有三种：①直线在平面内——有无数个公共点；②直线和平面相交——有且只有一个公共点；③直线和平面平行——没有公共点.一杆立地，使图形从平面伸展到空间，因此说空间线面关系是空间图形的起源.直线与平面垂直，是空间图形的支柱，也是高考的重点、热点和难点.【例1】如图（1），已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；【解析】(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,如图（2）图（1）∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE∵⊂OE平面BDE，⊄AM平面BDE，∴AM∥平面BDE图（2）图（3）（Ⅱ）如图（3），∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，∴BD⊥平面AE，又因为AM⊂平面AE，∴BD⊥AM.∵AD=2，AF=1，OA=1，∴AOMF是正方形，∴AM⊥OF，又AM⊥BD，且OF∩BD=O.∴AM⊥平面BDF.【点评】线面平行只要平面外一条直线与平面内的一条直线平行就能判定，即最终于由两条直线决定；而线面垂直时，需要平面外一直线与平面内两条直线垂直，而且这两条直线必须相交，即需要三条直线决定.（2）线线关系——寻找平面依托直线与平面位置关系的判定是通过直线与平面内的直线的位置关系而确定的，即通过线线关系而最终确定.但，空间直线不能“悬空”，空间直线要寻找平面为依托.空间线线关系有三种，相交和平行属平面几何范畴，只有异面直线是空间图形的象征.异面直线的定义为“不同在同一平面内的两条直线叫做异面直线”——这才是空间概念.异面直线既是空间图形的开场白，也是空间图形的结束语.空间图形一开场，就介绍了异面直线的判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.直到空间图形的理论学完，才会用“角度和距离”来确定两异面直线间的相对位置.B从根本上讲，研究空间图形，就是研究两异面直线间的关系. 【例2】已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交； ⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是（ ）A ．1 B ．2C ．3D ．4【解】举反例，找模型，如图（4）. ①如图所示：AB=a,BC=b,CC 1=c ，而AB 与CC 1是异面直线，即a 、c 是异面直线；所以①不正确；②是正确的；③在右图中取AB=a ,平面CDD 1C 1是平面β，CC 1=b ,而 AB 与CC 1是异面直线，即a 与b 是异面直线； ④右图中设AB=a,MN=b ，平面CDD 1C 1为β， 则b 也平行于β，所以④也不正确；⑤在图中设AB=a ,B 1C 1=b ,则垂直于a,b 的直线有 图（4） AA 1，BB 1，CC 1，DD 1，MN .所以⑤也不正确所以真命题只有②，即真命题的个数只有1个，答案选A.【点评】 线离不开面，因此我们选择了一个正方体作模型，线与线的关系一目了然.（3）面面关系——归到线面处理不同的平面建构出了空间，也就是说空间是由（不同）平面建设起来的.如何解决空间图形问题？通俗地说：从哪儿来，回哪儿去！ 面面关系问题，首先退到线面关系上去研究.两个平面的平行问题, 退到直线与平面平行上去研究； 两个平面的垂直问题，退到直线与平面垂直上去研究；两个平面所成二面角的问题，退到平面角上去研究.这就是空间几何：从概念上讲，从平面“进到”空间——见所有的判定定理；从研究上讲，从空间“退到”平面——见所有的性质定理.【例3】已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，求证：l ⊥γ．【证法一】：如图（5），在γ内取一点P ，作PA 垂直于α与γ的交线于A ，PB 垂直 于β与γ的交线于B ，则PA ⊥α，PB ⊥β，∵l ＝α∩β，∴l ⊥PA ，l ⊥PB ，∵α与β相交，∴PA 与PB 相交，又PA ⊂γ，PB ⊂γ，∴l ⊥γ．图（5） 图（6）【证法二】：如图（6），在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ，∴m ∥n ，又n ⊂β，∴m ∥β，∴m ∥l ，∴l ⊥γ．图（7）【证法三】：如图（7），在l 上取一点P ，过P 作γ的垂线l ′【点评】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l ′这条辅助线，这是证法三的关键． 通过比较，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法． ● 通法 特法 妙法（1）定理法——判定与性质的双刃剑线线关系，线面关系及面面关系的判定定理及性质定理，都是判定它们的关系的理论依据.【题1】在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形， AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC . (1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；(3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由. 【解析】 (1)证明：∵AB =AC ，D 是BC 的中点， 图（9）∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1.(2)证明：延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N ∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1∵A 1B 1=A 1C 1，∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M 作ME ⊥BC 1于E ，∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C.∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点∴AM =DE =21211 CC AA 1，∴AM =MA 1.【点评】本题用到线面垂直、面面垂直的判定与性质定理.(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线. （2）转化法——空间图形退到平面 1.平行转化2.垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【题2】 两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE . 【分析】 证法一利用线面平行的判定来证明.证法二通过证面面平行来证线面平行. 【证法一】：作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，则MP ∥AB ，NQ ∥AB .∴MP ∥NQ ，又AM =NF ，AC =BF ，∴MC =NB ，∠MCP =∠NBQ =45° ∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ ∴MP =NQ ,故四边形MPQN 为平行四边形 ∴MN ∥PQ ∵PQ ⊂平面BCE ，MN 在平面BCE 外， ∴MN ∥平面BCE .图（11） 图（12） 【证法二】：如图过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC ， ∴AB AH AC AM =连结NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得ABAHBF FN =∴MN ∥平面BCE .【点评】 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即 线(内)∥线(外)⇒线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN 所在平面是一个关键. （3）模型法——抽象关系变为具体构造辅助图形解立体几何题是立体几何解题中的一个常见技巧，在求解有关位置关系问题中最为突出，可以通过构造平行六面体来解有关线面位置关系问题.有时还需要将这个平行六面体视为最为特殊的正方体来处理.【题3】 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角平面角的关系为（ ）（A ）相等 (B)互补助 (C)相等或互补 (D)不确定 【解析】若构造正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，则易发现二 面角CC 1A 1A —A 1A —A 1ABB 1与B 1C 1CB —CB —CBAD的两个半平面分别垂直，但一个二面角的平面角为450，另一个平面角为900，通过此反例说明答案为D.图（13）。

直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α;②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b .其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα⊂⊄ B.b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α⊂b D .α//b 或α⊂b 9. 下列命题正确的个数是10.（1）若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α（2）若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥αA.0个B.1个C.2个D.3个11.b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α是A.b与α内的一条直线不相交B.b与α内的两条直线不相交C.b与α内的无数条直线不相交D.b与α内的所有直线不相交12.已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交13.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF，证明如下：方法一：三角形中位线连接CG交DE于点H，如图所示.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG.∴H为CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.方法二：平面平行的性质∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，∴平面SAB∥平面DEF，又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.14.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.证明平行四边形的性质，平行线的传递性（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 21DC ，又D 1G 21DC ，∴OED 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O . 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1，DB ∩BF =B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .15. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1C.证明 方法一：平行四边形的性质 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ， ∵N 为A 1B 1中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF =21B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1 BC ， 又M 是BC 的中点，∴NF MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形.∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C. 方法二：三角形中位线的性质 连接AM 交C 1C 于点P ，连接A 1P ， ∵M 是BC 的中点，且MC ∥B 1C 1， ∴M 是B 1P 的中点， 又∵N 为A 1B 1中点，∴MN ∥A 1P ，又A 1P ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面AA 1C 1C. 方法三：平面平行的性质设B 1C 1中点为Q ，连接NQ ，MQ ， ∵M 、Q 是BC 、B 1C 1的中点，∴MQ CC 1，又CC 1⊂平面AA 1C 1C ， MQ ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MQ ∥平面AA 1C 1C .∵N 、Q 是A 1B 1、B 1C 1的中点，∴NQ A 1C 1，又A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，NQ ⊄平面AA 1C 1C ， ∴NQ ∥平面AA 1C 1C .又∵MQ ∩NQ=B ，∴平面MNQ ∥平面AA 1C 1C ， 又MN ⊂平面MNQ ∴MN ∥平面AA 1C 1C.16. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F . 求证：EF ∥平面ABCD .方法一：平行四边形的性质过E 作ES ∥BB 1交AB 于S ，过F 作FT ∥BB 1交BC 于T ，连接ST ，则11AE ES AB B B =，且11BF FT BC C C =∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴AE=BF∴11ES FT B B CC =，∴ES=FT 又∵ES ∥B 1B ∥FT ，∴四边形E FTS 为平行四边形.∴EF ∥ST ，又ST ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD . 方法二：相似三角形的性质连接B 1F 交BC 于点Q ，连接AQ ， ∵B 1C 1∥BC ，∴1111B F C F B Q C B =∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴1111B E B FB D B Q=∴EF ∥AQ ，又AQ ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD . 方法三：平面平行的性质 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ， ∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD .17. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？ 解 面面平行的判定 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 直线与平面平行的性质定理18. 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH .（2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD .∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC =AB ， ∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH . (2)解 设EF =x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形， ∴4x CB CF =.则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x .从而FG =6-x 23.∴四边形EFGH 的周长l =2(x +6-x 23)=12-x .又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）.19. 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB =CF ∶FD . （1）求证：EF ∥β;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC =4，BD =6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长.（1）证明 两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例方法① 当AB ，CD 在同一平面内时， 由α∥β，平面α∩平面ABDC =AC ，平面β∩平面ABDC =BD ，∴AC ∥BD ， ∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴EF ∥BD ，又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.方法② 当AB 与CD 异面时， 设平面ACD ∩β=DH ，且DH =AC . ∵α∥β，α∩平面ACDH =AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH =CF ∶FD ， 又∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ， 又EG ∩GF =G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.（2）解三角形中位线如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ， 且ME =21BD =3，MF =21AC =2，∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF =60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得，EF =EMF MF ME MF ME ∠∙∙-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF =7或EF =19.20. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP =DQ . 求证：PQ ∥平面BCE .证明 方法一：平行四边形的性质 如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE =BD . 又∵AP =DQ ，∴PE =QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴AEPE AB PM =，BD BQ DC QN =，DC QNAB PM =，∴PM QN ，∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法二：相似三角形的性质如图所示，连接AQ ，并延长交BC 于K ，连接EK ，∵AE =BD ，AP =DQ ， ∴PE =BQ ， ∴PE AP =BQDQ① 又∵AD ∥BK ，∴BQ DQ =QKAQ②由①②得PE AP =QKAQ，∴PQ ∥EK .又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法三：平面平行的性质 如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ， 连接QM .∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ， 即PM ∥平面BCE ， ∴PE AP =MBAM①又∵AP =DQ ，∴PE =BQ ，∴PE AP =BQDQ②由①②得MB AM =BQDQ，∴MQ ∥AD ， ∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE . 又∵PM ∩MQ =M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ， PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .21. 如图所示，正四棱锥P —ABCD 的各棱长均为13，M ，N 分别为PA ，BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ； （2）求线段MN 的长.（1）证明：方法一： 相似三角形的性质 连接AN 并延长交BC 于Q ， 连接PQ ，如图所示.∵AD ∥BQ ，∴△AND ∽△QNB ， ∴NQ AN =NB DN =BQ AD =58， 又∵MA PM =ND BN =85， ∴MP AM =NQ AN =58，∴MN ∥PQ ， 又∵PQ ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN ∥平面PBC .方法二：平行四边形的性质如图所示，作MQ ∥AB 交P B 于Q ，作NR ∥AB 交BC 于R ，连接QR.∵MQ ∥AB ∥NR ， ∴PM MQ PAAB=，NR BN DCBD=，又∵PM BNMA ND=，∴MQ NR ， ∴四边形MNRQ 为平行四边形，∴MN ∥QR.又QR ⊂平面P BC ，MN ⊄平面P BC ， ∴MN ∥平面P BC .方法三：平面平行的性质如图所示，在平面ABP 内，过点M 作MN ∥P B ，交AB 于点O ， 连接ON.∵MO ∥P B ，MO ⊄平面P BC ，PB ⊂平面P BC 即MO ∥平面P BC ，∴AM AP=AO AB又∵MA PM =ND BN =85， ∴AO AB=DN DB,∴NO ∥AD ，∴NO ∥BC ，又∵NO ⊄平面P BC ，BC ⊂平面P BC ∴NO ∥平面P BC . 又∵MO ∩NO=O ，∴平面MNO ∥平面P BC ， MN ⊂平面MNO ，∴MN ∥平面P BC .（2）解 在等边△PBC 中，∠PBC =60°，在△PBQ 中由余弦定理知 PQ 2=PB 2+BQ 2-2PB ·BQ cos ∠PBQ=132+2865⎪⎭⎫⎝⎛-2×13×865×21=642818，∴PQ =891，∵MN ∥PQ ，MN ∶PQ =8∶13，∴MN =891×138=7.。

2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a ⊂αa ∩α=Aa||α 图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。

（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////a b a b a ααα⊄⊂⇒、.2.2.2 平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。

符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝∅，则a ∥β2、判定定理：1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

图形条件=αβ∅α,b ⊂β，α∩b ＝P α∥α，b ∥α ⇒β∥αl ⊥α l ⊥β ⇒β∥α结论//αβ //αβ //αβ符号表示：若//,,,//a a b a b αβαβ⊂=则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β l ⊥α α∥β a ⊂β结论a ∥bl ⊥βa ∥α1. 解题方法（1） 证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。