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数学北师版选修22第五章1数系的扩充与复数的引入 学习目的 重点难点 1.了解数系的扩大进程，体会实践需求与数学外部的矛盾在数系扩大中的作用．2．能说出双数的有关概念及两双数相等的充要条件．3．了解复平面的概念，了解并掌握双数的几何意义. 重点：双数的概念及代数方式，双数的几何意义． 难点：双数相等的充要条件，双数几何意义的运用.平方等于－1的数用符号______表示，规则________，我们把______叫作虚数单位．形如________的数叫作双数(a ，b 是实数，i 是虚数单位)．a 与b 区分叫作双数的______与______．依据双数a ＋b i 中a ，b 的取值不同，双数可以有以下的分类：双数a ＋b i ⎩⎨⎧ 实数( )虚数( )⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数( )非纯虚数( )双数的全体组成的集合叫作________，记作C ，显然________．预习交流1议一议：你能用Venn 图表示双数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系吗？2．双数的有关概念两个双数a ＋b i 与c ＋d i 相等，当且仅当它们的________与________区分相等，记作a ＋b i ＝c ＋d i.即a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当________．当用直角坐标平面内的点来表示双数时，我们称这个直角坐标平面为________，x 轴称为________，y 轴称为________．双数集C 和复平面内一切的点构成的集合是________的，即任一个双数z ＝a ＋b i 与复平面内的点________是对应的．点Z 到原点的________|OZ |叫作双数z 的模或相对值，记作________，显然________．两个双数普通__________，但__________它们模的大小．预习交流2想一想：引进虚数单位之后，两数还能比拟大小吗？答案：预习导引1．i i 2＝－1 i a ＋bi 实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0 a ≠0 双数集 R C 预习交流1：提示：双数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如以下图所示：2．实部 虚部 a ＝c ，且b ＝d 复平面 实轴 虚轴 逐一对应 Z (a ，b ) 距离 |z | |z |＝a 2＋b 2 不能比拟大小 可以比拟预习交流2：提示：两个双数不全是实数时不能比拟大小，只能说相等或不相等．假定两个双数都是实数那么可以比拟大小．两个双数可以比拟它们模的大小．一、双数的概念及分类实数k 为何值时，双数(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 区分是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．思绪剖析：依据双数的有关概念停止求解．双数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2－3m －4)i 为纯虚数，那么实数m 的值为( )．A ．m ＝4B ．m ＝－2C ．m ＝－1D ．m ≠－1且m ≠4研讨一个双数在什么状况下是实数，虚数或纯虚数时，首先要保证这个双数的实部、虚部有意义．关于纯虚数，除了虚部不为0外，勿忘实部必需为零．二、双数相等2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，务实数x ，y 的值．思绪剖析：应用双数相等的性质，列出方程组，再解方程组．假定a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，i 为虚数单位，那么a 2＋b 2＝( )．A ．0B ．2 C.52 D ．5两个双数相等时，应分清两双数的实部和虚部，然后让其实部和虚部区分相等，列出方程组求解．假定z ＝x ＋y i ＝a ＋b i ，未说明x ，y ，a ，b 为实数时，就不能这样处置．三、双数的几何意义假定双数z ＝(m －2)＋m i 的模等于2，务实数m 的值．思绪剖析：应用双数模的定义求解．z 1＝2－2i ，|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．双数的模表示该双数在复平面内对应的点到原点的距离，因此|z 1－z 2|表示z 1，z 2两双数表示的两点之间的距离．答案：活动与探求1：解：z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i ，(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6，或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6，且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4. (4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 综上所述：当k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数；当k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数；当k ＝4时，z 是纯虚数；当k ＝－1时，z ＝0.迁移与运用：B 解析：当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＝0，m 2－3m －4≠0时，z 为纯虚数，解得m ＝－2. 活动与探求2：解：∵x ，y 为实数，(2x －1)＋(y ＋1)i ＝(x －y )＋(－x －y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.迁移与运用：D 解析：∵a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴a 2＋b 2＝(－1)2＋22＝5. 活动与探求3：解：由题意得(m －2)2＋m 2＝2， 即2m 2－4m ＋4＝4，解得m ＝2或0.即实数m 的值为0或2.迁移与运用：解：z 对应的点可看成以原点为圆心，以1为半径的圆O ，而z 1对应的点是Z 1(2，－2)， ∴|z －z 1|就是点Z 1(2，－2)到圆O 上点的距离，∴|z －z 1|的最大值为|OZ 1|＋1＝22＋1.1．假定双数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，那么实数x 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．－1或12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的双数z 在复平面上对应点的轨迹是( )．A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆3．双数z 满足|z ＋3－3i|＝3，那么|z |的最大值和最小值区分是__________．4．双数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求双数z .5．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 答案：1．A 解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1. 2．B 解析：∵|z －i|＝32＋42＝5，∴z 在复平面上对应点的轨迹是到(0,1)的距离为5的圆． 3．33，3 解析：|z |表示z 的对应点到原点的距离，|z ＋3－3i|＝3，表示以(－3，3)为圆心，以3为半径的圆，那么|z |的最大值为(－3)2＋3＋3＝33，最小值为(－3)2＋3－3＝ 3.4．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i. 5．解：双数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0时，z 为实数，∴m ＝－2.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋3≠0，m 2＋5m ＋6≠0时，z 为虚数， ∴m ≠－3，且m ≠－2.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6＝0，m ＋3≠0，m 2＋5m ＋6≠0时，z 为纯虚数，∴m ＝3.综上所述：m ＝－2时，z 为实数；m ≠－3，且m ≠－2时，z 为虚数；m ＝3时，z 为纯虚数．。
