85拉氏变换应用

拉氏变换的数学方法解答拉氏变换是一种重要的数学工具，用于求解微分方程和积分方程。

它通过将时间域的函数转换为频率域的函数，从而简化了微分方程和积分方程的求解过程。

在本文中，我们将介绍拉氏变换的定义、性质以及如何使用拉氏变换来求解常见的微分方程。

首先，我们来介绍拉氏变换的定义。

拉氏变换是一种积分变换，它将一个在时间域上定义的函数f(t)转换为一个在复平面上定义的函数F(s)。

具体地，拉氏变换定义为：F(s) = L(f(t)) = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复变量，e^(-st) 是指数函数。

拉氏变换的结果 F(s) 是一个复函数，它描述了函数 f(t) 在频率域上的性质。

下面我们来介绍拉氏变换的一些基本性质。

首先，拉氏变换是线性的，即对于任意的函数f(t)和g(t)，以及任意的常数a和b，有：L(af(t) + bg(t)) = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。

其次，拉氏变换有一个重要的性质，即微分等式在变换后变为乘法等式。

具体地，对于一个函数f(t)和它的导数f'(t)，有：L(f'(t))=sF(s)-f(0)其中，f(0)是函数f(t)在t=0时的值。

另外，拉氏变换还有一个重要的性质，即积分等式在变换后变为除法等式。

具体地，对于函数f(t)的积分F(t)和它的拉氏变换F(s)，有：L(F(t))=1/sF(s)通过上述性质，我们可以将微分方程和积分方程通过拉氏变换转化为更简单的代数方程，从而求解微分方程和积分方程。

接下来，我们来介绍如何使用拉氏变换来解决常见的微分方程。

对于一个线性常系数微分方程：a_n*y^(n)(t)+a_(n-1)y^(n-1)(t)+...+a_1*y'(t)+a_0*y(t)=b(t)其中，y(t)是未知函数，a_i和b(t)是已知函数或常数。

我们可以将该微分方程转化为一个代数方程，通过拉氏变换求解。

拉氏变换的基本性质及其应用举例
一、拉氏变换的性质
(1)线性定理：拉氏变换是线性变换，即：
(2)卷积定理：
称为、的卷积，记为
(3)乘积定理：设、的拉氏变换为、，则：的拉氏变换为：
(4)导数定理：
如果：
则：
(5)不定积分定理：
(6)象的导数定理：
(7)象的积分定理：设的象为,且积分收敛，则：
(8)相似定理：设，则：
(9)位移定理：
(10)延迟定理：设，则：
二、用拉氏变换求解常微分方程及积分方程举例
例1、求解初值问题：
解：对方程两端作拉普拉斯变换：
即：
将上式两端反演，即：
从例1中可得出运用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可归纳为：
(1)对方程施行拉普拉斯变换，这变换把初始条件一同考虑。

(2)从变换后的方程中解出象函数。

(3)对求出的象函数进行反演，原函数就是原方程的解。

例2 求解交流RL电路的方程：
解：对方程两边作拉普拉斯变换
将上式两端反演得：
由卷积定理得：
所得结果第一部分代表一个稳定的(幅度不变的)振荡，第二部分则是随时间而衰减的．例3 求解
解：对该方程施行拉普拉斯变换后得：
记
将上式反演，设：
则
则由卷积定理得：
而：
例4 求解方程组：
解：对方程组施行拉氏变换得：
记：
两式相加减得：
将上方程组反演：
例5 求解积分方程
解：对方程两端施行拉氏变换
即：
进行反演：
例6 用拉普拉斯变换求积分：
解：当
进：对积分进行拉普拉斯变换
反演得：
当
时，作变换。

§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。

例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。

一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。

有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。

二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。

现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。

(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。

设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。

当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。

在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。

由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。

因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。

由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。

所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。

为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。

(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。

(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。

拉氏变换与电路设计计算
要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。

信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。

在电路中，用到的线性元件为阻性，用R表示；用到的非线性元件，主要指感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）；
其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。

并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。

然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。

计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数：Vo=Vi（s） --------------------（1）
Io=Vi（s） --------------------（2）
Vo=Ii（s） --------------------（3）
Io=Ii（s） --------------------（4）
下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）；
而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（w）、和相位对时间的变化式θ（w）；
至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。

例子：。

附录1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称拉氏变换，是常用的积分变换之一。

拉氏变换可用于求解常系数线性微分方程，是分析研究线性系统的有力数学工具。

通过拉氏变换，将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，使系统的分析大大简化。

这里首先复习复数、复变函数的概念，然后介绍拉氏变换及反拉氏变换的定义、性质与方法，以及一些典型时间函数的拉氏变换方法。

1 复数与复变函数1-1 复数的定义设σ和ω是任意两个实数，则j σω+称为复数，记为s j σω=+ （1-1）其中，σ和ω分别称为复数s 的实部和虚部，记为 Re()s σ=， I m ()sω=。

j 为虚数单位。

对于一个复数，只有当实部和虚部均为零时，该复数为零；对于两个复数而言，只有当实部和虚部分别相等时，两复数相等。

j σω+和j σω-称为共轭复数。

注意：实数间有大小的区别，而复数间却不能比较大小，这是复数域和实数域的一个重要的不同.1-2 复数的表示方法1） 平面向量表示法复数s j σω=+可以用从原点指向点σω（，）的向量来表示如图1-1，向量的长度称为复数s j σω=+的模，即s r == （1-2）向量与σ轴的夹角θ称为复数s 的幅角，即1tan ωθσ-= （1-3） 2） 三角表示法 由图1-1可知，cos r σθ=，sin r ωθ= 图1 -1复数的向量表示因此，复数的三角表示法为(cos sin )s r j θθ=+ （1-4）3） 指数表示法 由欧拉公式cos sin j ej θθθ=+式（1.1）可以写成j s r e θ= （1-5）分别称式（1-4）和式（1-5）分别称为复数的三角形式和指数形式，则式(1-1)称为复数的代数形式，这三种形式可相互转换。

1-3复变函数以复数s j σω=+为自变量，并按某种确定规则构成的函数()G s 称为复变函数。

复变函数()G s 可写成()()G s u j vs E =+∈ （1-6）其中,u v 分别称为复变函数的实部和虚部，点集E 称为函数的定义域，相应地()G s 取值的全体称为函数的值域。

拉氏变换在工程中的应用
拉氏变换在工程中有很多应用，包括系统分析与设计、信号处理、控制系统、通信系统等等。

1. 系统分析与设计：拉氏变换可以将微分方程转化为代数方程，从而方便对系统的稳定性、频率响应和传递函数等进行分析和设计。

2. 信号处理：拉氏变换可以将时域信号转化为频域信号，从而可以进行频谱分析、滤波、降噪等处理。

3. 控制系统：拉氏变换可以将输入与输出之间的关系转化为传递函数，从而方便对系统的稳定性、响应速度、误差等进行分析和设计。

4. 通信系统：拉氏变换可以对传输信号进行频域分析和设计，从而优化通信系统的频谱利用率和传输性能。

总之，拉氏变换在工程中的应用非常广泛，可以帮助工程师进行系统分析与设计、信号处理、控制系统、通信系统等方面的工作。

浅谈拉氏变换在控制系统时域和频域分析中的应用拉氏变换是求解微分方程的有力工具，应用拉氏变换的复频域分析法在电路的分析中有着重要的作用。

在电子学、控制系统及统计学中，频域是指在对函数或信号进行分析时，分析其和频率有关部份，而不是和时间有关的部份，和时域一词相对。

函数或信号可以透过一对数学的运算子在时域及频域之间转换。

例如傅里叶变换可以将一个时域信号转换成在不同频率下对应的振幅及相位，其频谱就是时域信号在频域下的表现，而反傅里叶变换可以将频谱再转换回时域的信号。

时域分析法又称经典法，是一种建立微分方程，求解微分方程从而得出电路响应的方法。

由于电感和电容元件的电压、电流关系是微分关系，由此列出的电路方程是微分方程，求解结果是电路的完全响应，此时响应电压和电流都表示为时间t的函数，为时域响应。

复频域分析法是一种用电压电流的象函数代替对应的时间函数，并根据电路的复频域模型，应用复频域形式的基尔霍夫定律、元件方程，从而将原来的线性微分方程变为线性代数方程的方法。

复频域分析法分析电路有两种方法，变换方程法和变换电路法。

变换方程法是将描述动态电路的微分方程，经拉氏变换为复频域代数方程，在复频域求解后，反变换为时域响应；变换电路法是将时域电路直接变换为复频域电路，即复频域模型，然后根据复频域模型进行分析计算，得出响应量的复频域形式，最后反变换为时域响应。

应用拉氏变换分析电路，主要的优点有：拉氏变换能将电路分析时域求解微分方程的问题转化为复频域求解代数方程问题，从而使求解得以简化。

可以同时解出微分方程的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，而且初始条件自动地包含在变换式或复频域模型中，不需要确定积分常数。

从而避免了时域求解微分方程确定积分常数的繁琐计算。

应用拉氏变换，可以直接作出时域电路的复频域模型。

在复频域模型的基础上进行分析计算，可以实现几类电路分析方法的统一，而不必在时域列出微分方程，使分析计算大为简化。

拉氏变换可以将时域电路的常系数线性微分方程变换为复频域的复数代数方程，在复频域求解代数方程，得出待求响应量的复频域函数，最后经拉氏反变换为所求解的时域响应。