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2拉氏变换

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第二章 拉氏变换

第二章 拉氏变换

类似地，可得象函数的微分性质： 若，F (s) = £ [f (t)]，则
F ( s ) =-£ [ Hale Waihona Puke f (t ) ]，Re(s)>c
一般地 :
n F ( n ) ( s) = (1)n £ [ t f (t )]，Re(s)>c
性质3（积分性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则：
1、若B(s)有n个单零点s1,s2,…,sn，有，
A( s) st A(sk )esk t Res e , sk B( sk ) B( s )
A(sk )e 即：f (t ) , (t 0) k 1 B( sk )
n
sk t
2、若s1是B(s)的一个m级零点，其余的n-m 都是单零点,sm+1,…,sn，有，
则， £[af1(t)+b f2(t)] =a F1(s)+b F2(s)
其中，a,b为常数
注意： Laplace逆变换也有类似的性质
性质2（微分性质） ：
若，F (s) = £ [f (t)]
则有，£ [ f (t ) ] = sF(s) - f(0)
这个性质说明：一个函数求导以后取拉氏 变换等于该函数的拉氏变换乘以s，再减去 函数的初值。 推论 ： 若，F (s) = £ [f (t)]，
f (t ) Mect ,0 t
成立，则f(t)的Laplace变换（形如式（*）表 示）在半平面Re(s)>c上一定存在，右端的积 分在Re(s) ≥ c1>c上绝对收敛且一致收敛，并 且在Re(s)>c的半平面内，F(s)为解析函数。
举例
1 t 0 例1： 求单位阶跃函数 u (t ) 0 t 0

二章2拉氏变换ppt课件

二章2拉氏变换ppt课件

五、拉氏变换求解线性微分方程
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； ➢解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； ➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
A1 A2 A3 S S2 S3
A1
S S
1
2S
3
S
S 0
1 6
A2
S S
1
2S
3 S
2
S 2
1 2
A3
S S
1
2S
3 S
3
S 3
1 3
1
Y(S) 6
1 2
1 3
S S2 S3
yt 1 1 e2t 1 e3t
62 3
1 e2t 1 e3t
2
3
1
S 0.5
0.57 0.866
S S 0.52 0.8662 S 0.52 0.8662
f t 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
３、A(S)=0有重极点
设A(S)=0有r个重极点，将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
P0 r
1 !
例3：求
F
S
S
S 3
22 S
1
的反变换
将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
22
A02
S 2
A3
S 1
A01
S
S 3
22 S
1 S
22
S 2
1
A02
d
ds
S
S 3
22 S
1 S
22
S
2
2

第二章附录-拉氏变换

第二章附录-拉氏变换

例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
1 s
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积
分
F (s) f (t)est dt
0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
简称拉氏变换。记为 F (s) L[ f (t)]
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t) L1[F (s)]
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t) f(t)
ci是常数
M (s) ci [ D(s) (s pi )]s pi
例1: F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)(s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
c3
[ (s
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
0
(8)卷积定理

控制工程_2拉氏变换

控制工程_2拉氏变换
0
变
令u st t u , dt 1 du
换
s
s
及 其
L[tn ] un e u 1 du
0 sn
s
反 变
1 s n1
un
0
e udu
换
1
n!
Γ(n 1)
s n1
s n1
拉 典型时间函数的拉氏变换
普
拉
1. 单位阶跃函数 u(t)=1
(t ≥0)
1
s
斯 2. 单位脉冲函数δ(t)
sin t est dt
1
e jt e jt
e st dt
0
0 2j
其 反
1 2j
0
e
(s
jt
)
dt
e
(s
jt
)
dt
0
1 2j
s
1 j
s
1 j
变
s2 2
换 同理也可得： Lcost s
s2 2
拉 • 幂函数 t n 普
tn
n! sn1
拉 斯
L[tn ] t n e st dt
6K1 3K2 2K3 51
K1 5
K
2
3
K
3
6
换
(2)F(s)=
(s2
20(s 2s
1)(s 3) 2)(s 2)(s
4)
对于有共轭复根的分式有两种处理方法： a. 该部分分式的系数仍可由前面的方法求得； b. 可对该部分分式的分母用配方法后再用查表法。
8s s2
14 2s
变 换
7. 余弦函数cos ωt
8. 幂函数 tn
拉 • 单位阶跃函数 u(t) 1 1

02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)

02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)

L[sin t 1(t )] L[
e
j t
e 2j
j t
1(t )]
1 1 1 2 2 2 j s j s j s
2.2 拉氏变换的性质
2 微分定理 L[ dx(t ) ] sX ( s ) x (0 ) dt 推论： n d （1）L[ x (t )] s n X ( s ) s n 1 x (0 ) s n 2 x (0 ) n dt
x(t) x(t)
as
X (s)
t a
t
L[sin (t 4) 1(t 4)] e
4 s


s
2 2
2.2 拉氏变换的性质 例：求如下图的拉氏变换。
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) E 1(t ) E 1(t t 0 )
L[ f (t )] E s e
2 st
t0 t0


0
0
te dt

st
s

e
st
0
0
s
dt
1 单位速度函数
t
2.1.1 简单函数的拉氏变换
7 单位加速度函数
0 x (t ) 1 2 2 t
t0 t0

x(t)
L x (t ) 1(t ) 1 s
3
1 2
0
（2）在零初始条件下
s
2

x n (0 ) s
n
L[ x (t )( dt ) ]
n
X (s) s
2.2 拉氏变换的性质
4 衰减定理 例：已知

2 拉氏变换

2 拉氏变换
21
12 V
比 较
实际 位置
负载
n k ud
120° 转角
u2
电位器
角度传感器
反 馈
教材：p320
22
直流电机位置控制系统
功率放大器
23
24
4
质量－弹簧－阻尼系统 质量－弹簧－阻尼系统
m d2 d x o ( t ) B x o t Kx o t f i t dt 2 dt
u (t )
Model
u (t )
AND
y (t )
物理系统
假 设
数学模型 计算机
输入量
系统
输出量
数学 分析
仿真
模型 改进 系统结构 预测
给定元件
响应
比较元件
控制元件
扰动量 控制量
执行元件 被控对象
输出量 （被控量）
物理系统的 期望响应 修改系统参数
反馈量
反馈元件
3
典型控制系统的组成
4
数控机床—工作台
ms X o (s) BsX o s KX o s Fi s
2
数学中，为了把较复杂的运算转化为较简 单的运算，常采取的一种变换手段。例如：
（1）对数变换 数量的乘积
正
对数的和差
lg y lg x1 lg x2
X Y
（2）坐标变换
Y AX
y x1 x2 逆
28
27
积分变换
拉氏变换是一种积分变换，它可以把
积分变换

什么是积分变换？ 通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。
以时间为变量的函数（时域），转换 成以复数s为变量的函数（复数域， 或s域）。 拉氏变换的使用与对数变换 (Logarithmic transformation)相类似。

02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)

02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)

2.2 拉氏变换的性质 5 延时定理
L[ x(t a ) 1(t a)] = e
x(t) x(t)
as
X (s)
t a
t
L[sin ω (t 4) 1(t 4)] = e
4 s
ω 2 2 s +ω
2.2 拉氏变换的性质 例:求如下图的拉氏变换. 求如下图的拉氏变换.
f (t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) = E 1(t ) E 1(t t0 )
∫
t
0
x (ξ ) y ( t ξ ) d ξ = y ( t ) x ( t )
拉氏变换的应用
1,试求 L [ e at cos
βt]
0, t < 0 2,试求 x ( t ) = 3 t 的拉氏变换. 的拉氏变换. te , t ≥ 0
0, t < 0 3,试求 x ( t ) = 的拉氏变换. 的拉氏变换. sin(ω t + θ ), t ≥ 0
2.2 拉氏变换的性质 4 衰减定理 例:已知
ω L[sin ωt 1(t )] = 2 2 s +ω
L[e x(t )] = X ( s + a)
at
s L[cos ωt 1(t )] = 2 2 s +ω ω 求: L[e at sin ωt 1(t )] = ? 2 2 ( s + a) + ω s+a at L[e cos ωt 1(t )] = ? 2 2 ( s + a) + ω
E E E t0 s t0 s e = (1 e ) L[ f (t )] = s s s
2.2 拉氏变换的性质 6 初值定理

2拉氏变换逆变换

2拉氏变换逆变换
m
m 1
系数ai 和bi 都为实数，m和n是正整数； 通常情况下： bn 1
A(s) 0 z1 , z2 ...zm 零点 B(s) 0 p1 , p2 ...pn 极点
2018/11/13 信号与系统
对有理真分式可以进行部分分式展开，形成多 个简单分式的和；
对有理假分式可以首先进行化简，化作为： 有理假分式＝ P(S)＋真分式 对多项式P(S)直接进行逆变换，对真分式进行部分分 式展开。 对有理真分式进行部分分式展开的按照极点的 不同特点，有不同的展开方法。
2018/11/13
信号与系统
1.极点为实数且无重根
A( s) A( s) F ( s) B( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn ) kn k1 k2 ... s p1 s p2 s pn 系数的求解方法：k j ( s p j ) F ( s) |s p j
信号与系统
实际中出现共轭极点时也可以采用如下展开法：
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j A1s A2 2 2 (s )
利用待定系数法确定系 数A1和A2
A( p1 ) k1 ( s j ) F ( s ) |s j 2 jB1 ( p1 ) A( p1*) k 2 ( s j ) F ( s ) | s j k1 * 2 jB1 ( p1*)
2018/11/13 信号与系统
2018/11/13 信号与系统
例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)

第2章 拉氏变换

第2章 拉氏变换

证
d L[ f (t )] L f (t ) dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
0
f (t )e
st 0
| f (t )( s )e st dt
0 0
f (0) s f (t )e st dt sF ( s ) f (0)
0
t
图 2 - 7 单位阶跃函数
第1章 自动控制系统概述
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为
F ( s ) L[1(t )] 1 e st dt
0

1 st 1 e |0 s s
单位阶跃函数如图 2 - 7所示。
(2 - 24)
第1章 自动控制系统概述
【例2】 求斜坡函数（Ramp Function）的象函数。
第1章 自动控制系统概述
第1章 自动控制系统概述
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时， 常需要借助于拉氏变换运算 定理， 这些运算定理都可以通过拉氏变换定义式加以 证明。 下面介绍几个常用定理。 1) 叠加定理
两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变
换的代数和。 即
L[ f1 (t ) f 2 (t )] L[ f1 (t )] L[ f 2 (t )]
第1章 自动控制系统概述
当初始条件f(0)=0时， 有 L ［f′(t)］=sF(s) L ［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0) … L ［f (n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f (n-1)(0)
同理， 可求得
第1章 自动控制系统概述
若具有零初始条件， 即 f(0)=f′(0)=…=f(n-1)(0)=0 则 L［f″(t)］=s2F(s) … L［f(n)(t)］=snF(s)

第三章 拉氏变换(2)

第三章 拉氏变换(2)
k11 − 6k12 = 1
− 6 k 11 = − 4
{
1 18 2 k11 = 3 k1 =
k12 = −
1 18
1 1 2 1 1 1 F ( s) = ⋅ + ⋅ 2 − ⋅ 18 s − 6 3 s 18 s
1 e 6t 2 f (t ) = + t− 18 3 18
⑵ 留数法求解
对于单极点对应的系数有 k i = F ( s )( s − si )
F (s) = ∑
n
(s − sk )n +1− p p =1
k1 p
s−4 k1 k11 k12 k1 s 2 + k11 s − 6k11 + k12 s 2 − 6k12 s F ( s) = 2 = = + 2 + s ( s − 6) s − 6 s s 2 ( s − 6) s
{
k1 + k12 = 0
求函数 f1(t)=t 和 f2(t)=sint 的卷积，即求 )=sin t * sint
解，依卷积的定义得 t ∗ sin t =
t
∫ τ sin(t − τ )dτ
0
t
t
利用分部积分可得 = τ cos(t − τ ) 0 − ∫0 cos(t − τ )dτ 卷积的交换性质：g(t)*h(t)=h(t)*g(t) 2. 卷积定理
用微分定理求常数k的拉氏变换
k l[kt ] = 2 s
6. 积分定理
k k l[k ] = s ⋅ 2 = s s
— 函数积分的拉氏变换 设函数 f (t)及其各重积分均符合拉氏变换定义， 且ℓ[ f (t)]=F(s)，则 函数一重积分的拉氏变换： ，

第9篇拉氏变换2

第9篇拉氏变换2
例 求图9.14(a)的拉氏变换 有限信号，全s平面收敛 • 先对x(t)求导，如图9.14(b),然后积分
x(t) 1
-1
01 2
d x(t) dt 1
12
-1
0
-1
(a)
(b)
图9.14
(a)
x(t)的波形；(b)
d dt
x(t ) 的波形
有 dx(t) [u(t 1) u(t)][u(t 1) u(t 2)]
s 1
• 4 尺度变换性质
若 x (t) X (s) ROC R
则
x(at)
1 a
X
(
s a
)
ROC : R1 aR
式中，a是一个不为零的常数
• 尺度变换性质说明，信号在时域有一个 尺度a的变换，在复频域内也有一个1/a 的变换，并且幅度也变化 1/ a 。
例1 求 x(at b) 的拉氏变换
• 若 x(t) eatu(t) eatu(t) a 0
则有
X
(s)
U (s
a)
U ([s
a])
s
1
a
s
1
a
2a s2 a2
第一项收敛域
Re{s a} 0 Re{s} a
第一项收敛域
Re{(s a)} 0 Re{s} a
• 总收敛域是 a Re{s} a • 偶函数的拉氏变换也是偶函数
x2 (t)
X 2 (s)
1 s2
Re{s} 2
则 x1(t) x2 (t) 的拉氏变换为
X
(s)
X1(s)
X 2 (s)
1 s3
1 s2
2 s 1 (s3)(s2)

2拉氏变换及其应用

2拉氏变换及其应用
0 0 0

t
0
1
2
1
2
t

t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0 t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) 氏变换等于其象 函数除以 s n。
5、终值定理
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理 L[ f (t )] f (t )e st dt sF ( s) f (0)
0
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s0
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n 2 f (0) f n 1(0)
L[af1(t ) bf 2 (t )] aL[ f1(t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的 拉氏变换之和。 2、比例定理
L[ Kf (t )] KF (s)
2-2 拉氏变换的运算定理
3、微分性质
若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 零初始条件下 L[ f n (t )] s n F ( s)

f (t )dt f (t ) lim f (t ) f (0) 0

拉氏变换2.

拉氏变换2.
t
L
xt
t
0
X
s
ds
证：
X sds xtest ds
0
s0
xt dt est ds
0
s
0
xt dt
1 e st t
s
＝ L[ x(t) ] x(t) est dt
t
0t
（11）周期函数的象函数
设函数x(t)是以T为周期的周期函数，即
x(t T ) x(t)
t nest dt
0
1 s n1
u neu du
0
n! s n1
3 拉氏变换的性质
（1） 线性定理 若
Lx1t X1s
L[ X 2 (t)] X 2 (s)
则L[ax1(t) bx2 (t)] aX1(s) bX 2 (s)
L[ax1(t) bx2 (t)] [ax1(t) bx2 (t)] est dt
（5）延时定理（时间域平移定理）
L[x(t a) 1(t a)] eas X (s)
该性质与衰减定理对偶存在应用。
（6）初值定理
limx(t) limsX (s)
t 0
s
证：根据微分定理
L[ dx(t) ] dx(t)est dt
dt
0 dt
L[ dx(t)] sX (s) x(0 ) dt
...
xn (0 ) s
（2）在零初始条件下，
X (s)
L[ ... x(t)dt...dt] sn
该性质与微分定理对偶存在应用。
（4）衰减定理（s域平移定理）
L[eat x(t)] X (s a)
证：
L[eat x(t)] eat x(t)est dt 0 x(t)e(sa)dt 0 X (s a)

2.2_拉普拉斯变换

2.2_拉普拉斯变换

2.2.5 拉普拉斯反变换
例 求F(s)的拉氏反变换，已知
F s

s2
s
3 3s
2
解
F s
s2
s3 3s
2

(s
s3 1)(s
2)

1
s 1
2
s2
由留数的计算公式，得
1

[( s
1)
(s
s3 1)(s
2) ]s1

2
2

[( s
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
L

dn f dt
(t)
n


sn
F
(s)

s n1
f
(0)

sn2
f
(0)
sf (n-2) (0) f (n-1) (0)
如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f (0) f (0) f (0) f (n2) (0) f (n1) (0) 0
a1 a2 an s p1 s p2 s pn
式中，ak(k=1,2,…,n)是常数，系数 ak 称为极点 s= -pk 处的留数。
2.2.5 拉普拉斯反变换
ak 的值可以用在等式两边乘以 (s+pk)，并把 s= -pk代入的方 法求出。即
ak (s pk )F (s) s pk
象函数 F(s) = L[f(t)]
5
t n (n=1, 2, …)
n! s n+1
6
e -at
7
sint
1 s+a
s2+2

第二章 拉氏变换

第二章 拉氏变换
− f (t) = L 1[F(s)]
它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 它表示对中括号中的函数求拉氏反变换。 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来， 不同的原函数对应着不同的象函数；反过来，不同 的象函数对应着不同的原函数。它们之间有一一对应 的象函数对应着不同的原函数。 的关系。 的关系。 以后我们用小写字母表示原函数， 以后我们用小写字母表示原函数，用大写的相同字 母表示象函数。 母表示象函数。如：
=∫ e
0−
∞
−(s+α)t
1 −(s+α)t ∞ 1 dt = − e = 0− s +α s +α
1 ∴ L[e ] = s +α 1 −1 −αt L[ ] =e s +α
−αt
③ (s) = L[δ (t)] = ∫ δ (t)e dt = ∫ δ (t)e dt F
−st −st 0− −∞
解 ① (s) = L[ε(t)] = ∫ ε(t)e−stdt ： F
0− ∞
1 −st ∞ 1 = ∫ e dt = − e = 0+ 0+ s s
−st
∞
1 ∴ L[ε(t)] = s −1 1 L [ ] = ε(t) s
② (s) = L[e ] = ∫ e e dt F
0−
−αt
∞
−αt −st
ε(t)
eαt
1 s 1 s −α
t e (n为正整数 为正整数) 为正整数
n −αt
(1−αt)e−atδ (t)A源自A(1−e−αt )1
A s Aα s(s +α) n! sn+1
sin( ωt +φ)
cos(ωt +φ)

第二节 拉氏变换公式

第二节 拉氏变换公式

L
f
(t) t
F(s)ds
s
F (s)ds
f (t)e stdtds
s
s0
f (t)dt
e stds
0
s
f (t ) d t [ 1 e st ]
0
t
s
f (t ) e st d t L [ f (t ) ]
0t
t
（2－29）
例2-10：求如下函数的拉氏变换
复数域微分定理
证：
Ltf (t)dF(s)
ds
（2－30）
dF(s)d
f(t)estdt
d[f(t)est] dt
ds ds 0
0 ds
tf(t)estdt L[tf(t)] 0
推论：
L(t)n f(t)dndFsn(s)
例2-11：求如下函数的拉氏变换
例2-12：已知因果函数f(t)的象函数
初值定理
（2－26）
尺度变换定理
证：令 t a
L f (at ) aF(as)
（2－28）
则
L[f(t)] f(t)estdt f()easd(a)
a 0a
0
a f()easd 0
再令 as
则 L[f(t)]af()easdaf()ed
a
0
0
aF()aF(as)
复数域积分定理
证：
f(t)
A
T O
f ’(t)
解：
t
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t) =Aε(t) -Aε(t-T)
O f ’’(t)
O
L[f(t)]= A/s- A/s ·e-sT
t

积分变换第二章拉氏变换

积分变换第二章拉氏变换
L [ f ( t )] = F ( s )
则：
∞ f (t ) L = ∫s F ( s )d s . t
∞ ∞ ∞ f (t ) 一般地 , 有L n = ∫ d s ∫ d s⋯ ∫ F ( s )d s s s s t n次
17
例9 求函数
sht f (t ) = t
d L [ f ( t )] = −L [ tf ( t )] Re( s ) > c ds
推论
d n n L [ f ( t )] = ( −1) L[t f ( t )] Re( s ) > c n ds
n
10
f ( t ) = t 2 cos kt (k为实数 的拉氏变换 为实数) 例4 求 为实数 的拉氏变换.
2
2.拉氏变换的存在定理 若函数 (t)满足 拉氏变换的存在定理 若函数f 满足 满足: (1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续 的任一有限区间上分段连续; 的任一有限区间上分段连续 (2) 当t→+∞时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数 即存 →+∞时 的增长速度不超过某一指数函数, →+∞ 的增长速度不超过某一指数函数 在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得 及 |f (t)|≤ M e ct, 0≤ t <+∞ ≤ ≤ +∞ (t)的拉氏变换 则 f (t)的拉氏变换
f ( n) ( t ) = s n F ( s ) L
( Re s > c ) ( n = 1,2,⋯)
此性质可以使我们有可能将f 的微分方程 此性质可以使我们有可能将 (t)的微分方程 转化为F(s)的代数方程 的代数方程. 转化为 的代数方程

2.2拉氏变换及反变换

2.2拉氏变换及反变换
( n 1) s
n 1
x

s
n!
n 1
应记住的 一些简单函数的 拉氏变换
原函数 1t
t
象函数 1 s
e
1t
1 s -
sin t 1 t cos t 1 t
n

s
2 2
s s
2 2
t
1t
dt

s
e
s t
0
s
3、正弦函数 和余弦函数
根据欧拉公式：
j
sin t 1 t cos t 1 t
e
j
cos j sin cos j sin
sin 则 cos
1 , 0 t t0 lim t t 0 0 t 0 0 , t 0或 t t0
1 t0
1t 1t t 0 1 1 t 1 t t 0 解： t lim lim0 t0 0 t0 t0 t0 t0
s 0
使 用 条 件 ：x t 的 终 值 存 在 ， 即 x t 有 稳 态 解 。
例 ：求
lim s in t
t
当 t 时 ，s in t 的 值 也 始 终 在 1 之 间 不 定
s in t 无 终 值 。
例2-1 求单位脉冲函数的象函数
1 1 1 2 s j s j
2
4 .幂函数
设 ( ) 则 ( n 1)
n
t
e
x
1t
0

2拉氏变换

2拉氏变换

2拉氏变换2. 1 拉氏变换定义2. 2 简单函数的拉氏变换1、单位阶跃函数l（t）；2、指数函数eat·I（t）；3、正弦函数sinωt·和余弦函数cosωt·I（t）；4、幂函数tn·I（t）。

2. 3 拉氏变换的性质1、满足叠加原理；2、微分定理；3、积分定理；4、衰减定理；5、延进定理；6、初值定理；7、终值定理；8、时间比例尺改变的象函数；9、tx（t）的象函数；x（t）10、——的拉氏变换；t 11、周期函数的象函数；12、卷积分的象函数。

2. 4 拉氏反变换1、只含不同单极点的情况；2、含共轭复数极点情况3、含多重极点的情况。

2. 5 用拉氏变换解常系数线性微分方程3 系统的数学模型3.1基本环节数学模型3.1.1 质量——弹簧——阻尼系统应用牛顿第二定律建立质量——弹簧——阻尼系统的运动微分方程。

3.1.2 电路网络应用基尔霍夫定律和区姆定律建立电路网络系统的微分方程。

3.1.3 电动机应用力学、电学方面定律建立电枢控制式直流电动机的数学模型。

3.2 数学模型的线性化（一）各类非线性现象。

（二）系统线性化处理的方法。

3.4 传递函数以及典型环节的传递函数（一）传递函数的定义。

（二）传递函数的特点。

3.4.1 比例环节G（s）=K （其中K为常数）3.4.2 一阶惯性环节G（s）=——（其中T这时间常数）TS+13.4.3 微分环节1、理想微分环节G（s）2、近似微分环节G（s）2.4.4 积分环节G（s）2.4.5 二阶振荡环节G（s）3.5 系统函数方块图及其简化1、方块图单元；2、比较点；3、引出点；4、串联；5、并联；6、反馈；7、方块图变换法则；8、方块图简化3.6 系统信号流图及梅逊公式（一）信号流图的表示方法。

（二）梅逊公式。

3.7机械对象数学模型1、高谐振振频率；2、高刚度；3、适当阻尼；4、低转动惯量。

3.8 绘制实际物理系统的函数方块图（一）各种典型机械系统的传递函数。

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2拉氏变换2. 1 拉氏变换定义2. 2 简单函数的拉氏变换1、单位阶跃函数l（t）；2、指数函数eat·I（t）；3、正弦函数sinωt·和余弦函数cosωt·I（t）；4、幂函数tn·I（t）。

2. 3 拉氏变换的性质1、满足叠加原理；2、微分定理；3、积分定理；4、衰减定理；5、延进定理；6、初值定理；7、终值定理；8、时间比例尺改变的象函数；9、tx（t）的象函数；x（t）10、——的拉氏变换；t 11、周期函数的象函数；12、卷积分的象函数。

2. 4 拉氏反变换1、只含不同单极点的情况；2、含共轭复数极点情况3、含多重极点的情况。

2. 5 用拉氏变换解常系数线性微分方程3 系统的数学模型3.1基本环节数学模型3.1.1 质量——弹簧——阻尼系统应用牛顿第二定律建立质量——弹簧——阻尼系统的运动微分方程。

3.1.2 电路网络应用基尔霍夫定律和区姆定律建立电路网络系统的微分方程。

3.1.3 电动机应用力学、电学方面定律建立电枢控制式直流电动机的数学模型。

3.2 数学模型的线性化（一）各类非线性现象。

（二）系统线性化处理的方法。

3.4 传递函数以及典型环节的传递函数（一）传递函数的定义。

（二）传递函数的特点。

3.4.1 比例环节G（s）=K （其中K为常数）3.4.2 一阶惯性环节G（s）=——（其中T这时间常数）TS+13.4.3 微分环节1、理想微分环节G（s）2、近似微分环节G（s）2.4.4 积分环节G（s）2.4.5 二阶振荡环节G（s）3.5 系统函数方块图及其简化1、方块图单元；2、比较点；3、引出点；4、串联；5、并联；6、反馈；7、方块图变换法则；8、方块图简化3.6 系统信号流图及梅逊公式（一）信号流图的表示方法。

（二）梅逊公式。

3.7机械对象数学模型1、高谐振振频率；2、高刚度；3、适当阻尼；4、低转动惯量。

3.8 绘制实际物理系统的函数方块图（一）各种典型机械系统的传递函数。

（二）各种电网络及电气系统的传递函数。

三、考核知识点（一）数学模型的概念：1、数学模型的含义；2、线性系统含义及其最重要的特征—可以运用叠加原理；3、线性定常系统和线性时变系统的定义；4、非线性系统的定义及其线性化方法。

（二）系统微分方程的建立：1、对于机械系统运用牛顿第二定律建立运动微分方程式；2、对于电气系统运用基尔霍夫定律建立微分方程式。

（三）拉氏变换与拉氏反变换定义：（四）典型时间函数的拉氏变换：1、单位阶跃函数的拉氏变换；2、指数函数ιat·l（t）的拉氏变换3、正弦函数Sinωt·l（t）和余弦函数Cosωt·l（t）的拉氏变换；4、幂函数tn·l（t）的拉氏变换。

（五）拉氏变换的性质1、满足叠加原理；2、微分定理；3、积分定理；4、衰减定理；5、延进定理；6、初值定理；7、终值定理；8、时间比例尺改变的象函数；9、tx（t）的象函数；x（t）10、——的拉氏变换；t 11、周期函数的象函数；12、卷积分的象函数。

（六）拉氏反变换1、拉氏反变换2、拉氏反变换的部分分式法：无重极点和有重极点的情况。

（七）用拉氏变换解常微分方程：（八）传递函数：1、传递函数的定义；2、传递函数的主要特点。

（九）方块图及系统的构成：1、方块图表示方法及其构成；2、系统的构成：（1）串联环节的构成及计算；（2）并联环节的构成及计算；（3）反馈联结的构成及计算；（4）误差传递函数、前向通道传递函数、闭环传递函数、反馈通道传递函数和开环传递函数的定义及计算。

3、方块图的简化；4、画系统方块图及求传递函数步骤。

（十）信号流图与梅逊公式：1、信号流图表示方法及其构成；2、信号流图与方块图之间的关系；3、梅逮公式的应用。

（十一）受控机械对象的数学模型：1、高谐振频率；2、高刚度；3、适当阻尼；4、低转动惯量。

（十二）实际物理系统的传递函数方块图：1、各种机械系统的传递函数；2、各种电网络及电气系统的传递函数。

四、考核要求：（一）系统数学模型概念要求达到识记的层次：1、知道数学模型的概念；2、知道线性系统和非线性系统的特性；3、知道线性系统的叠加原理；4、知道非线性系统定义及其线性化的方法。

（二）系统微分方程建立要求达到简单应用的层次：1、应用牛顿定律，建立机械系统的数学模型；2、会选取系统中间变量；3、应用基尔霍夫定律建立电气系统的数学模型。

（三）拉氏变换与拉氏反变换的定义，要求达到领会层次：1、拉氏变换的定义，原函数和象函数的概念；2、函数拉氏变换存在的条件；3、拉氏反变换的定义。

（四）典型时间函数的拉氏变换，要求达到领会层次：1、能知道各种典型时间函数的拉氏变换；2、能查表求得常用函数的拉氏变换。

（五）拉氏变换的性质，要求达到简单应用的层次：1、熟记脉冲函数、阶跃函数、斜坡函数和指数函数的拉氏变换；2、各个定理的证明；3、利用拉氏变换的性质对各种函数和规则波形求拉氏变换。

（六）拉氏反变换的数学方法，要求达到简单应用的层次：1、能采用部分分式法对无重极点的象函数求出原函数；2、能采用部分分式法对有重极点的象函数求出原函数。

（七）用拉氏变换解常微分方程，要求达到简单应用的层次：能用拉氏变换方法求解常微分方程。

（八）传递函数要求达到领会的层次：1、知道传递函数的概念；2、知道系统各环节与方块图之间的关系，串联、并联、反馈联接的概念，并能计算反馈通道传递函数、闭环传递函数、误差传递函数、开环传递函数和前向通道传递函数；3、熟知方框图的简化方法及求解；4、熟知画方框图的步骤及综合过程；5、知道信号流图的概念用构成；6、记住梅逊公式并理解其含义。

（十）机、电系统的传递函数要法度达到综合应用的层次：1、会求各类机械系统的传递函数；2、会求各类电网络的传递函数；3、机械系统传递函数的求解过程；4、机、电系统传递函数的求解。

（十一）本章重点：建立简单机电系统的微分方程，运用综合基础知识，对系统正确地取分离体并分析受力，注意力和方向，列写系统微分方程式。

拉氏变换，拉氏变换的性质及其应用，用部分分式法求拉氏反变换的方法，吸盘拉氏变换法解常微分方程。

建立系统传递函数概念，系统构成及其传递函数，方块图简化及其绘制。

3 时域瞬态响应分析一、学习目的与要求：通过本章学习，明确一个系统在建立了系统的数学模型（包括微分方程和传递函数）之后，就可以采用不同的方法来分析和研究系统的动态性能，时域分析是重要的方法之一。

明确系统在外加作用激励下，根据所描述系统的数学模型，求出系统的输出量随时间变化的规律，并由此确定系统的性能，明确系统的时间响应及其组成，脉冲响应函数的概念，掌握一阶、二阶系统的典型时间响应和高阶系统的时时间响应以及主导极点的概念。

二、课程内容3.1 时域响应以及典型输入信号（一）时域响应的含义：1、瞬态响应的含义；2、稳态响应的含义。

（二）典型输入信号的概念：1、选择典型输入信号的好处；2、常见的典型输入信号。

3.1.1 阶跃函数。

3.1.2 斜坡函数。

3.1.3 加速度函数3.1.4 脉冲函数3.1.5 正弦函数3.2 一阶系统的瞬态响应3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应。

3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应。

3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应。

3.3 二阶系统的瞬态响应3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应：1、欠阻尼情况；2、临界阻尼情况；3、过阻尼情况；4、零阻尼情况；5、负阻尼情况。

3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应：1、欠阻尼情况；2、临界阻尼情况；3、过阻尼情况。

3.3.3 二阶系统的单位斜坡响应：1、欠阻尼情况；2、临界阻尼情况；3、过阻尼情况。

3.4 时域分析性能指标瞬态响应性能指标包括：1、上升时间tr；2、峰值时间tp；3、最大超调量Mp；4、调整时间ts.3.5 高阶系统的瞬态响应1、主导极点的概念；2、偶极子的概念。

3.6 机电系统时域瞬态响应的实验方法三、考核知识点：（一）时间响应：1、时间响应的概念；2、瞬态响应和稳态响应的定义。

（二）脉冲响应函数：1、脉冲响应函数的定义；2、脉冲响应函数与传递函数的关系；3、如何利用脉冲响应函数求系统在任意输入下的响应。

（三）一阶系统的时间响应：1、一阶系统的传递函数及其增益和时间常数的计算；2、一阶系统的单位脉冲响应函数的计算；3、一阶系统的单位阶跃响应函数的计算；4、一阶系统的单位斜坡响应函数的计算。

（四）二阶系统的时间响应：1、二阶系统的传递函数及其无阻尼自然频率、有阻尼自然频率和阻尼比的计算；2、二阶系统特征方程；3、二阶系统特征方程根的分布；4、欠阻尼下的单位阶跃响应；5、临界阻尼下的单位阶跃响应；6、过阻尼下的单位阶跃响应；7、阻尼比、无阻尼自然频率与响应曲线的关系；8、不同阻尼比下的单位脉冲响应。

（五）高阶系统的时间响应1、主导极点的概念及其与时间响应的关系；2、偶极子的概念。

（六）瞬态响应的性能指标1、瞬态响应的性能指标定义；2、二阶系统的瞬态响应指标的计算；3、二阶系统的阻尼比、无阻尼自然频率与各性能指标间的关系。

四、考核要求：（一）时间响应，要求达到识记层次：1、记住时间响应的定义，常用的典型输入信号型式、瞬态响应和稳态响应的定义；2、记住脉冲响应函数的定义，脉冲响应函数与系统传递函数的关系。

（二）利用脉冲响应函数求系统在任意输入下的响应，要求达到领会的层次。

（三）一阶系统的时间响应要求达到领会层次：1、一阶系统数学模型的建立；2、一阶系统增益及时间常数的计算；3、一阶系统的单位阶跃响应函数的计算；4、一阶系统的单位脉冲响应函数的计算；5、一阶系统的单位斜坡响应函数的计算；6、一阶系统的时间常数与系统瞬态响应的关系。

（四）二阶系统的时间响应，要求达到简单应用层次：1、二阶系统数学模型的建立；2、二阶系统无阻尼自然频率，有阻尼自然频率，阻尼比，临界阻尼及特征方程要之间的关系；3、二阶系统在不同阻尼下的单位阶路响应及其根的分布；4、二阶系统在不同阻尼下的单位脉冲响应。

（五）高阶系统的时间响应要求达到识记层次：1、明确主导极点及与系统时间响应的关系；2、明确偶极子概念。

（六）瞬态响应的性能指标，要求达到领会的层次：1、瞬态响应的性能指标定义；2、二阶系统的瞬态响应指标计算；3、二阶系统的阻尼比、无阻尼自然频率与各性能指标的关系；4、根据性能指标的要求来计算二阶系统的阻尼比、无阻尼自然频率、有阻尼自然频率。

（七）本章重点：时间响应的基本概念，一阶系统的时间响应，二阶系统单位阶跃响应及性能指标。

4 控制系统的频率特性一、学习目的与要求：通过本章学习，明确频率特性的基本概念，频率特性与传递函数的关系，系统动刚度的概念，掌握频率特性的两种表示方法以及频率特性与时间响应之间的关系，各基本环节及系统的极坐标图和伯德图的画法，闭环频率特性及相应的性能指标，为频域分析系统的稳定性以及综合校正打下基础。