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第九章拉氏变换 ppt课件

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《拉氏变换详解》课件

《拉氏变换详解》课件

积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用

拉氏变换课件

拉氏变换课件
（指数式） A Ae A A cos j A sin （三角式）
j
机械工程控制基础
有复数
拉氏变换
3) 复变函数、极点与零点的概念
s j ，以s为自变量，按某一确定法则
构成的函数为复变函数，记作：
G( s) u jv
若
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) s( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
机械工程控制基础
2) 复数的表示方法
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A

幅角
a
+1
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
A cos A sin
A a b
2 2
b tan a
机械工程控制基础
拉氏变换
c.三角表示法和指数表示法
从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得 力工具
机械工程控制基础
2 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数； 2当t<0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 具有有限个第一类间断点
拉氏变换


0
st s的某一域内收敛, f (t )e在 dt
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
证明：
f (t )] F (s a)
L[e

at
f(t)] e
0 (s a)t

at
f(t)e dt
st
f(t)e
0

拉氏变换详解ppt课件

拉氏变换详解ppt课件
a

0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0

sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0


st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1

（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e

第九章拉普拉斯变换

第九章拉普拉斯变换
性质8： 如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若x(t) 是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极点 的右边；若x(t) 是左边信号，则其ROC在s平面上位
于最左边极点的左边。
2021/3/11
16
例 X(s)(s1)1(s2)
求其可能有的所有的收敛域
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
2021/3/11
28
X (s)N D ( (s s) )b a m n s sm n a b n m 1 1 s sn m 1 1 a b 1 1 s s a b 0 0
部分分式展开的第一步是把分母D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
2021/3/11
25
• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的像 函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。
• 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 虚轴的一条自下而上的直线。
j Im
s平面 ×
×
jRe
2021/3/11
26
一、求解拉氏反变换的方法
1、留数定理；
√
2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得未 知的拉氏变换，或它们的反变换。
X(s) 2 1s 2
Im {s}
s1 s2
s5 (s 1)(s 2)
×
×
RO : 1C Rse }{ 2 - 1
2
R e{s} 5
2021/3/11
23
9.3 拉氏反变换 The Inverse Laplace Transform
信号x(t)的拉氏变换为：
X(+j)=F{x(t)e-t } =[x(t)e-t ]e-jtdt -

优选补充资料拉氏变换ppt

优选补充资料拉氏变换ppt

ur
Ri
1 C
idt
uc
1 C
idt
(2 1)
式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变
量i,可得:
RC
duc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
北京航空航天大学
• 例2. 设有一弹簧•质 量• 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
F(t)
惯性力 md 2 y / dt 2
由于m受力平衡，所以
1 lim
(m 1)! ss1
d m1 dsm1
[( s
si
)m
A(s) B(s)
eskt ],
t 0
f
(t)
n k m1
( ) A sk eskt B(sk )
1 lim
(m 1)! ss1
d m1 dsm1
[( s
si
)m
A(s) B(s)
eskt ],
t 0
例2
求
F
(s)
1
s (s 1)2
4)终值定理
lim x(t) lim sX (s)
t
s0
5)初值定理
x(0) lim x(t) lim sX (s)

信号与系统-第9章拉普拉斯变换

信号与系统-第9章拉普拉斯变换

X (s) eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
在 Re[s] 时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x(傅t) 里叶变换存在
X ( j ) eate jtdt 1
0
a j
(a 0)
显然，在 a 0时，拉氏变换收敛的区域为 Re[s] ，a包括了 （ 即 0 轴）。j
[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x(的t)
拉氏变换就是 x(t)e的傅t 里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的
信号在引入 后满e足该t 条件。即有些信号的傅氏
变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变
换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
6
例1. x(t) eatu(t)
2
x(t) 1 X ( j)ete jtd 1 X (s)estd
2
2
22
由 s j 得 ds jd
当 从 时, 从 s j j
x(t) 1 j X (s)est ds
2 j j
X (s)的反变换
拉氏反变换表明:
可x(t以) 被分解成复振幅为
的复指数信号 e的st 线性组合。
1 X (s)ds
2 j
23
二.拉氏反变换的求法: 对有理函数形式的 X求(s反) 变换一般有两种方法, 即部分分式展开法和留数法。
❖ 部分分式展开法： 1. 将 X (s)展开为部分分式。 2. 根据X (s)的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质, 对每一项进行反变换。
3
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform

电路原理-拉普拉斯变换PPT课件

电路原理-拉普拉斯变换PPT课件

收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0

0

(t
)e
st
dt

(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1

[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)

s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0

f ()
f (0 )

lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3

t (n
n1
1)!

(
t
)

1 sn
1
1 sn


t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)

第九章 拉普拉斯变换分析-1

第九章 拉普拉斯变换分析-1

3. 时移性
aa
若 f (t) F(s)
则 f (t t0 ) (t t0 ) est0 F (s), t0 0
观察下列图形的时移关系 (p.517 例9-2-1)
f1 (t )
f3 (t)
0
t
f1(t) kt (t)
f2 (t)
0 t0
t
f3 (t) kt (t t0 )
f4 (t)
f (t) f (t) (t) L[ df (t) (t)] sF (s)
dt
例：设
f1(t)
et (t),
f2 (t)
1 et
t0 t 0
求 f1'(t)和f2'(t)的拉氏变换。
解：f1(t), f2 (t)的波形如图所示。
f1 (t )
1
f2 (t)
1
0
t
0
t
-1
由题图可知
L[
f1 (t)]
s
s
( b ) 单边正弦信号 sin 0t (t)
L[sin
0t (t)]
L[ 1 2j
(e
j0t
e j0t
) (t)]
1[ 2j s
1
j0
1
s j0
]
s2
0 02
即
sin
0t
(t)
s2
0 02
( c ) 单边余弦信号 cos0t (t)
L[cos 0t
(t)]
L[ 1 2
(e
j0t
e
2
et不是的函数，故f (t) 1 F (s)e( j)t d
2
s j,
f (t) 1

拉普拉斯变换(The Laplace Transform)课件

拉普拉斯变换(The Laplace Transform)课件
L
设
1 ： X ( s) ( s 1)( s 2)
( s) 2
1 1 , ( s 1) ( s 2)
对X(s) 进行部分分式展开：
X ( s)
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
S平面
j 0
j
s0 0 j0
0

• S平面上虚轴上的所有点代表整个周期 jt 复指数信号集 {e }
9.1 拉氏变换
一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：
X (s) x(t )e dt ( where s j )
st

记作：
x(t ) X (s)
假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极 点，且分母多项式的阶次高于分子多项 式的阶次（有理真分式），那么X(s) 就可以展开成如下形式：
Ai X ( s) i 1 s ai
L {Ai /(s ai )}
1
M
Ai eait u(t )
Re{s} ai
Ai eait u(t ) Re{s} ai
性质3：如果x(t)是有限持续期，并 且是绝对可积的，那么ROC就是 整个s平面。
Im
s平面
Re
性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
1 2

信号与系统：Chapter9拉普拉斯反变换

信号与系统：Chapter9拉普拉斯反变换

｛1.
反拉氏
2.
变换
3.
将x(s)展开为部分分式。 根据X(s)的ROC，确定每一项的ROC 。 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,对每一项 进行反变换。
双边拉氏变换性质回顾
性质
公式
条件（收敛域）
线性 ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s) ROC : 包括 R1 R2
s1u(t)
s
1 est 1
s2 u(t)
etu(t) e2tu(t)
9. 3 拉普拉斯反变换
例4. 求下列函数的反变换 X (s) 10(s 2)(s 5) ，Re{s} 0
s(s 1)(s 3)
解：将X(s)写成部分分式展开形式
X (s) c1 c2 c3 s s 1 s 3
随着 ， H趋( j向)于 。 / 2 则 H ( j趋)向于 。/ 2
H ( j)
1/
1/
9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值
例2. 全通系统：
考查零极点对称分布的系统 H (s) s a （一阶全通系统） sa
❖ 该系统的 H( 在j)任何时候都等于1，所以 称为全通系统。
j
j
1
a
9. 3 拉普拉斯反变换
例6. 求以下函数的拉氏反变换
X (s) s 2
Re{s} 0
s(s 1)3
解：将 X (s)写成展开式
X (s) k11 k12 k13 k2 (s 1)3 (s 1)2 (s 1) s
k2 sX (s) |s0 2
令
X1
(s)
(s
1)3
X
(S)
D(s)
于D(s)的阶次，即m<n 。如果不满足此条件，不可 以按上面方法展开成部分分式。对于m≥n的情况， 可先用长除法将分子中的高次项提出，余下的部分 满足m<n，仍按以上方法分析。

第9章拉氏变换4.

第9章拉氏变换4.

s2 (s) s (0 ) (0 ) 3 [s (s) (0 )] 1 (s) (s)
2
2
• 代入初始条件 [s2 3 s 1] (s) (s) 1
22
(s) 1 1 (s)
s2 3 s 1 s2 3 s 1
22
22
• 代入输入条件 (s) 1 有
s
(s)
(s
• 9.8.3 由电路描述的增量线性系统
• 电路如图
E=5V, C=0.25F, L=1H, R 5t<0, 开关在1 位，当t=0,由1转2，求 t>0的响应 iL(t) 初始条件，iL(0) 0 ，电容电压 uc (0) E
可以列出回路电压方程
L
diL (t dt
)
R
iL
(t
)
1 C
t
iL ( )d 0
两边求单边普拉斯变换
L[sL
(s)
iL
(0
)]
RL
(s)
1 C
[
1 s
L
(s)
1 s
0
iL ( )d
• 9.8 单边拉普拉斯变换
• 9.8.1 定义
• 前面主要讨论双边普拉斯变换。
• 将积分下限设为t=0，这样积分变为
(s) x(t)est dt 0
定义上式为单边拉普拉斯变换
• 积分下限t=0可以取 0 或 0 ，取0 没 有考虑冲击及其导数，需另行处理，取
0则包含冲击及其导数。结果一样
• 单边和双边普拉斯变换的区别
0
[
x( )d
t
x( )d ]estdt
0
0
0
上面
0
x( )d

数学基础-拉普拉斯变换PPT课件

数学基础-拉普拉斯变换PPT课件

es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式

自动控制原理拉氏变换课件

自动控制原理拉氏变换课件
可以证明:若f (t) 是周期 T 的周期函数,即
为
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理
精品ppt所确定的某一域内收敛则由此积分所确定的函数可写为设函数称上式为函数的拉普拉斯变换式叫做的拉氏逆变换象原函数精品ppt二一些常用函数的拉普拉斯变换求单位阶跃函数的拉氏变换求单位脉冲函数的拉氏变换求函数的拉氏变换ktstdtre求单位斜坡函数的拉氏变换tedttedtre精品ppt例5正弦函数精品ppt是周期为在一个周期上连续或分段连续时则有周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式精品ppt1线性性质拉氏变换的几个重要定理2微分定理3积分定理4实位移定理5复位移定理6初值定理7终值定理终值确实存在时精品ppt自动控制原理国家精品课程浙江工业大学自动化研究所19应用拉氏变换的终值定理求注意拉氏变换终值定理的适用条件
1 (s a)-s a s(s a)

1 a
1 s

s
1
a

f(t) 1 1 eat a
1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换
一些常用函数的 拉氏变换
典型信号的拉氏变换（2）
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 23
2.用留数法分解部分分式
s p1
d (m1) ds m 1
(s
p1 )m .F(s)
n

Cie pit
im1

第九章 拉普拉斯变换分解

第九章 拉普拉斯变换分解
L
X ( s) L{x(t )}
几个典型信号的拉氏变换
(1) x(t ) e u(t )
at
1 X ( s) sa 1 X ( s) sa
Re{ s} a Re{ s} a
(2) x(t ) e u(t )
at
1 (3) x(t ) u (t ) X ( s ) s

例
1 X (s ) (s 1)(s 2)
求其可能有的所有的收敛域
Im s平面 Im s平面 Re
× × -2 -1
× × -2 -1
Re
1 X (s ) (s 1)(s 2)
Im s平面
Im
s平面
Re × × -2 -1 Re
× × -2 -1
1 X (s ) (s 1)(s 2)
能应用拉氏变换分析具体电路。
9.0 引言 Introduction

连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复数平面，简称为S平面或 连续时间复频域（s域）.
• S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 e st , 整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。
S平面
j 0
0
Im s平面 Re
• 性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 • Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么 • Re{s} 0 的全部s值都一定在ROC内。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。

拉普拉斯变换及反变换ppt课件

拉普拉斯变换及反变换ppt课件
补充 拉普拉斯变换及反变换 重点 知识
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)

第9章拉氏变换1.

第9章拉氏变换1.

0
e(s1)t dt e(s1)t
0
e e ( 1)t jt
0
s 1
s 1
才能收敛，收
敛域见图９.2。
etu(t) 1 s 1
Re{s} 1
j
-1 0
图９.2 例９.2的收敛域
• 说明
• 1 两个不同信号的拉氏变换完全相同， 仅仅是收敛域不同。收敛域很重要，拉 氏变换与收敛域一起才可以与信号建立 一一对应关系
于 Re{s} 的取值。 • 把能使X(s)存在的s的取值范围称做拉氏
变换的收敛域，用s平面的阴影区表示
• 通过举例说明，注意信号特性
例1 考查右边信号 x(t) etu(t) 的拉氏 变换及其收敛域
X (s) x(t)est dt etest dt
0
e(s1)t dt e(s1)t e( 1)te jt
其中，
y(t) H (s)est
H (s) h(t)estdt
• H(s)称为单位冲击响应为h(t)的双边拉普 拉斯变换，若 s j 为虚数时，成为傅
立叶变换
• 信号的x(t)双边拉普拉斯变换定义为
X (s) x(t)estdt
简称拉氏变换，表示为 L{x(t)}， S通常为 复数（s j ）
第九章 拉普拉斯变换
• ９.0 引言 • 线性时不变系统分析时，将输入信号用基
本信号的线性组合表示，根据系统对基本 信号的响应，利用线性时不变系统的性质， 求出整个系统的响应。 • 连续时间系统傅立叶分析时，复指数信号e jt 是基本信号。
• 简化的系统响应的求解，还揭示了信号 与系统的频率特性，建立了信号频谱的 概念，对传输中的失真，滤波，调制， 抽样，系统性质等有了更进一步的了解
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解: L[f(t)] cokstsed t t 0
1(ejk t ejk)testdt
02
1[ 1 1 ] 2 sjk s jk
s2
s
k2
(2) 相似性质(a为正实数) 设L[f(t)]=F(s), 则当a为正实数时
Lf at 1F s
a a
证明：L f(a)tf(a)e tstdt 0
0
s
L1 1estd)
例2 求出指数函数f (t) = e kt 的拉氏变换
解: L f(t) e kte sd tt e (s k )td t 1
0
0
sk
(Res > Rek)
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: 根据定义有
§9.2 拉氏变换的性质
(1) 线性性质
设a、为常数, 且 L [f( t) 有 ] F ( s )L [ ,g ( t) ] G ( s )
则 L α f 1 ( t ) β f 2 ( 有 t ) α F 1 ( s ) β F 2 ( s ).
例1: 求常数A的Laplace变换.
0
t 0
例5 求函数f(t)=etd(t)etu(t)的laplace变换.
解: L[f(t)] f(t)estdt 0
d [ et (t)etu (t)e]sd t t 0
d (t)e (s )td t e (s )td(tRes > Re)
0
0
e(s)t
e(s)t
s
t0 s
解: L[f(t)] f(t)estdt Aestdt
0
0
A estdt A/s 0
例2: 求函数f(t)=A(1eat)的Laplace变换.
解:
L [f(t) ]
A (1eat)esd t t
0
Ased t t
Aae tesd t t
0
0
Ased t t
Aae tesd t t
0
0
A(1 1 )
s sa
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解:
L[f(t)]
s
ikntsed t t
0
1(ejktejkt)estdt
0 2j
1[ 1 1 ] 2j sjk sjk
s2
k k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换的定义
设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分
f
(t)estdt
0
在s的某一域内收敛(s是一个复参量) ，则由此积
分决定的函数可写为 F(s) f(t)estdt 0
称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)或象
函数，记为F(s)=L[f(t)].
0 s
四、常用函数的拉氏变换公式
(1) L[u(t)]1,(Rs)e>(0) s
(2) L [ek]t1,(R s)> eR (ke ))( sk
d (3 ) L [(t) ]1(R s )> e)(
(4) L sikn ts2 kk2,(R s)> e0)( (5) L co ks ts2 sk2,(R s)> e0)(
又称 f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆
变换)或象原函数，即f(t)=L1[F(s)]
例1 分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数sgnt,以 及f(t)=1的拉氏变换
解: 由拉氏变换的定义有
Lu(t) 1estdt 1 est 1 (Res > 0)
0
s 0 s
Lsgtn )(1estdt 1 (Res > 0)
Lf(t) f(t)esd t t 0
f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个 积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点
假如包括，我们把积分下限记为0 ；
L f(t)0
f(t)esd t ,t
假如不包括，我们把积分下限记为0，于是得出
了不同的拉氏变换。记
L
f(t)
0
f(t)esd t t
00f(t)esd t tR f(t)
例4 求单位脉冲函数d(t)的laplace变换.
解: L[d(t)] d(t)estdt d(t)estdt
0
0
00d(t)estd t L[d(t)] [Re(s) > ]
显然L+[d(t)]=0
d d 而 0 (t)e sd t t (t)e sd t te st =1.
双边拉氏变换:
L [f(t) ]
f(t)e(jw )tdt
傅氏变换:
L[f(t)]
f(t)ejwdt t
傅氏变换与拉氏变换的关系
当t 0 f (t) 0
双边拉氏变换
s j
t
0
单边拉氏变换
s j
0 t
傅氏变换
s j
t
L[f(t)]F[f(t)u(t)et]
(sj)
3°f (t)是指数级函数(增长速度不超过指数函数)
即存在常数M > 0及c > 0使
| f(t)|≤Mect (0≤t <+∞)
c称为 f(t)的增长指数
则f (t)的拉氏变换 F(s) f(t)estdt 0
在半平面Re(s)＞c 一定存在，F(s)是解析函数。
三、关于拉氏变换的积分下限问题
f (t)在t=0附近有界时, f(0)与f (t)的Laplace变换无关
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L [f( t) ] F [f( t)e tu ( t) ]f ( t)e ( j) w tdt 0
L(sk in )t
sikntsed t t
0
s2e skt2(ssikn tkcok)st0
k s2k2
[Re> (s0)]
同理可得
s L[ck o]tss2k2
[Re>0 (s])
二、拉氏变换的存在定理
拉氏变换存在定理: 设函数f (t)满足下列条件：
1°当t＜0时，f (t)=0； 2°f (t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点 的个数是有限个，且都是第一类间断点；
令
at，Lf(a)t
f(
s
)ea
d
0
a
1
s
f()e a
d
1 F s