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第九章 拉氏变换 PPT

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《拉氏变换详解》课件

《拉氏变换详解》课件

积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用

拉氏变换课件

拉氏变换课件
（指数式） A Ae A A cos j A sin （三角式）
j
机械工程控制基础
有复数
拉氏变换
3) 复变函数、极点与零点的概念
s j ，以s为自变量，按某一确定法则
构成的函数为复变函数，记作：
G( s) u jv
若
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) s( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
机械工程控制基础
2) 复数的表示方法
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A

幅角
a
+1
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
A cos A sin
A a b
2 2
b tan a
机械工程控制基础
拉氏变换
c.三角表示法和指数表示法
从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得 力工具
机械工程控制基础
2 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数； 2当t<0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 具有有限个第一类间断点
拉氏变换


0
st s的某一域内收敛, f (t )e在 dt
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
证明：
f (t )] F (s a)
L[e

at
f(t)] e
0 (s a)t

at
f(t)e dt
st
f(t)e
0

第9章 拉普拉斯变换

第9章 拉普拉斯变换

特别地,当
f (0) f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0
时,
f ( n ) (t ) s n F ( s) ℒ
可以证明
( n ) (t ) s n ℒ
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式

b
a
u d v uv | - v d u
9.2.3 积分性质
（1）象原函数的积分性质 若 ℒ f (t ) F (s),
则
F ( s) ℒ [ 0 f (t )dt ] s t -1 F ( s ) ℒ 0 f (t )dt s
t
一般地
1 ℒ [ 0 dt 0 dt 0 f (t )dt ] s n F (s)
sin k t e - st dt
k 所以 ℒ sin k t 2 s k2
Re s 0
即
k sin kt 2 2 s k
s 同理可得 cos kt 2 2 s k
2 如 ℒ sin 2t 2 s 4 s ℒ cos 3 t 2 s 9
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
2 相似性质
若 F ( s ) = ℒ f (t ) a 0 则 ℒ
f (at ) 1 F s a a
ℒ
-1
s F ( a ) af (at )
9.2.2 微分性质 （1）象原函数的微分性质
k - st e cos k tdt s 0
k - 2 s
- st - st k e sin k tdt e cos k t 0 0

第九章 拉氏变换.

第九章 拉氏变换.
s sa
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: L[ f (t )] sinktestdt 0
1 (e jkt e jkt )e st dt 0 2j
1 2j
[ s
1 jk
s
1] jk
s2
k
k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
I
0
f (t)
est d s
s
d
t
0
f
(t )
1 est t
s
dt
f (t) es t
dt
L[
f (t) ]
0t
t
推论:
L
1 tn
f
t
s
dss
ds
s
F
sds
n次
例11 求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换
解:
由于 L(sint)
1 s2 1
则由象函数积分性质有
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L[ f (t)] F[ f (t) e t u(t)] f (t) e( jw)tdt 0
sint 1
L[ f (t)] L[
t
] s
s2
ds 1
=
arccots
即 sint estdt arc cot s 令s = 0得

工程控制理论-拉普拉斯变换ppt

工程控制理论-拉普拉斯变换ppt

L
df (t) dt
sF (s)
f
(0)
证明：
L
df (t) dt
df (t) estdt 0 dt
estdf (t)
0
est f (t) s f (t)estdt sF (s) f (0)
0
0
同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：
L
d2 f dt
(t)
2
s2F
(s)
t
s0
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质
(6) 初值定理
若： L f (t) F(s)
则：
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有
lim
s
0
df (t dt
拉普拉斯变换简表 (续3)
序号
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
13
1 a
(1-e -at )
1 s(s+a)
14
1
b-a
(e -at -e -bt )
1 (s+a) (s+b)
15
1
b-a
(be
-bt
-ae
–at
)
s (s+a) (s+b)
16
sin(t + )
cos + s sin s2+2
L eat eatestdt e(sa)tdt 1
0
0
sa
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(5) 正弦信号函数
正弦信号函数定义：
两 e jt cost jsin t

第九章 拉普拉斯变换

第九章 拉普拉斯变换
L
例：
X ( s)
X ( s)
1 ( s 1)( s 2)
( s) 2
对X(s) 进行部分分式展开：
1 A B 1 1 ( s 1)( s 2) (s 1) (s 2) ( s 1) ( s 2)
X(s) 的零极点图和ROC如图所示：
A3 A j
* 2
1 j1 j1 X (s) s s (2 j1) s (2 j1)
x(t ) (1 je( 2 j1)t je( 2 j1)t )u(t )
jt jt e e 2t (1 2e ( ))u (t ) 2j
• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的 像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。 • 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 j 虚轴的一条自下而上的直线。
Im
s平面
×
×
j
Re
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
s 2 6s 5 Re{s} 0 求x(t) 例：已知： X (s) s( s 2 4s 5)
将X(s)进行部分分式展开：
A3 A1 A2 X (s) s s (2 j1) s (2 j1) s 2 6s 5 A1 2 |s 0 1 s 4s 5 s 2 6s 5 A2 |s 2 j1 j s[s (2 j1)]
部分分式展开的第一步是把分母 D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且

电路原理-拉普拉斯变换PPT课件

电路原理-拉普拉斯变换PPT课件

收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0

0

(t
)e
st
dt

(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1

[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)

s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0

f ()
f (0 )

lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3

t (n
n1
1)!

(
t
)

1 sn
1
1 sn


t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)

拉氏变换详解ppt课件

拉氏变换详解ppt课件
st 0 0 0

t
t

t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0
10
t

L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
19
, bl i
1 d M (s) l { [ ( s p1 ) ]}s p1 i! ds D( s )
l 1
i
1 d M (s) l b1 { [ ( s p1 ) ]}s p1 (l 1)! ds D( s ) 系数cl 1 , , cn , 仍按以前的方法计算
0
t
[ f 1 (t )1(t ) f 2 ( ) d ]e st dt
0 0


f 2 ( ) d f 1 (t )1(t )e st dt
0 0


令t , 则 L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
0
0 st 0
等式两边对s趋向于0取极限
st 左边 lim f ( t ) e dt lim f ( t ) e dt s 0 s 0
f (t ) dt f (t ) 0 lim f (t ) f (0) t
0

右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s ) f (0) s 0 s 0 lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0

sn
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。

第九章1拉普拉斯变换.ppt

第九章1拉普拉斯变换.ppt

1
2
1
2
1[F (s) F (t)] 1[F (s)] 1[F (s)]
1
2
1
2
2019/10/16
20
例4 求cost的拉氏变换。
例5 已知F (s) 5s 1 ,求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
2019/10/16
21
相似性质
设L[ f (t)] F (s),则对任一常数a 0有
2019/10/16
34
例 8 求 L[eattm ] .
解：已知

[t
m
]

(m 1) s m 1
0
2019/10/16
32
例7 利用象函数性质计算 sin t etdt. 0t
2019/10/16
33
4. 位移性质： 若 L[ f (t)] F (s) ,则
L[e at f (t)] F (s a），(Re(s a) c)
证： F (s) f (t)estdt (Re(s) c) 0 L[e at f (t)] e at f (t) estdt 0 f (t) e(sa)tdt 0 F (s a） (Re( s a) c)
[ f (n) (t )] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0)
f (n1) (0)
（当 Re( s) c 成立）
其中，f (k) (0)应理解为lim f (k) (t). t 0
2019/10/16
23
证： [ f (t)] sF (s) f (0)
0
证： 由拉氏变换定义
L[ f (t)] f (t)estdt 0

第09章+拉普拉斯变换

第09章+拉普拉斯变换

F (s) sin(t)estdt ( ejt e-jt )estdt
o
o
2j
1 (e-(s-j )t e-(s+j )t )dt 1 ( 1 1 )
2 j o
2 j s j s j

s2
2
e t
1
s
于是：
L1
F
s

9 20

1 2
e2t

9 4
e4t

16 5
e5t

1t
(2) 当 P(s) 存在共轭复根
F(s)
Q(s)
[s ( j)][s ( j)](s s3)(s s4 )
(s sn )
共轭复根: S1,2 j
第九章 拉普拉斯变换、卷积积分、状态方程
主要内容: (1) 拉氏变换的定义及基本性质; (2) 拉氏反变换方法(分解定理); (3) 运算电路及初始条件的转换; (4) 网络函数及零极点分析; (5) 卷积积分; (6) 状态方程的建立.
9.2 拉氏变换定义及基本性质
一个定义在 0, 的函数 f (t) ，
22
22
S1,2


1 2

j
3 2
F(s)
K11

K12
K3
s ( j) s ( j) s s3
系数计算:
Kn s sn

K11
[S (

j )]F2 [S ( j)]F(s) S j K
S S1 S S2
S Sn
求系数 K1 时,两边同乘 S S1 ,得:

自动控制原理拉氏变换课件

自动控制原理拉氏变换课件
可以证明:若f (t) 是周期 T 的周期函数,即
为
f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
1
ℒ f (t) 1 es T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
三 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理
精品ppt所确定的某一域内收敛则由此积分所确定的函数可写为设函数称上式为函数的拉普拉斯变换式叫做的拉氏逆变换象原函数精品ppt二一些常用函数的拉普拉斯变换求单位阶跃函数的拉氏变换求单位脉冲函数的拉氏变换求函数的拉氏变换ktstdtre求单位斜坡函数的拉氏变换tedttedtre精品ppt例5正弦函数精品ppt是周期为在一个周期上连续或分段连续时则有周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式精品ppt1线性性质拉氏变换的几个重要定理2微分定理3积分定理4实位移定理5复位移定理6初值定理7终值定理终值确实存在时精品ppt自动控制原理国家精品课程浙江工业大学自动化研究所19应用拉氏变换的终值定理求注意拉氏变换终值定理的适用条件
1 (s a)-s a s(s a)

1 a
1 s

s
1
a

f(t) 1 1 eat a
1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换
一些常用函数的 拉氏变换
典型信号的拉氏变换（2）
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 23
2.用留数法分解部分分式
s p1
d (m1) ds m 1
(s
p1 )m .F(s)
n

Cie pit
im1

《拉氏变换》课件

《拉氏变换》课件
介绍拉氏变换在控制系统设计和稳定性分析中的重要性。
六、总结
拉氏变换是一种强大的工具，具有许多优点和应用。通过学习拉氏变换，我们也能培养出思考和解决问题的能 力。
1 拉氏变换的优点和缺点
总结拉氏变换的优点和限制。
ห้องสมุดไป่ตู้
2 学习拉氏变换的思考方式
分享学习拉氏变换的思考方式和技巧。
七、参考文献
提供拉氏变换相关领域的参考文献，供进一步学习和研究之用。
拉氏变换具有许多有用的性质，理解这些性质将有助于我们更好地理解和应用拉氏变换。
线性性质
探讨拉氏变换的线性 性质和叠加原则。
移位性质
解释拉氏变换中的时 移、频移和频率缩放。
放大性质
讨论拉氏变换中的放 大和缩小效应。
模拟性质
研究拉氏变换的模拟 性质和与连续时间信 号的关系。
四、拉氏变换的逆变换
逆变换是拉氏变换的逆过程，将频率域的信号还原回时间域中的信号。
1 逆变换的表达式
探讨拉氏逆变换的数学表达式和符号。
2 逆变换的性质
讨论逆变换的性质以及逆变换在实际应用中的作用。
五、拉氏变换的应用
拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统设计等领域中有广泛的应用。
信号处理
探索拉氏变换在数字信号处理中的作用。
电路分析
研究拉氏变换在电路分析和设计中的应用。
控制系统设计
探索拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统 设计等领域的重要作用。
二、拉氏变换的定义
拉氏变换将信号从时间域转换到频率域，使我们能够以频域的角度来分析和处理信号。
1 时间域和频率域
解释时间域和频率域的概念，并探索两者之 间的关系。
2 拉氏变换的表达式

拉普拉斯变换及反变换ppt课件

拉普拉斯变换及反变换ppt课件
补充 拉普拉斯变换及反变换 重点 知识
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)

第9章拉氏变换1.

第9章拉氏变换1.

0
e(s1)t dt e(s1)t
0
e e ( 1)t jt
0
s 1
s 1
才能收敛，收
敛域见图９.2。
etu(t) 1 s 1
Re{s} 1
j
-1 0
图９.2 例９.2的收敛域
• 说明
• 1 两个不同信号的拉氏变换完全相同， 仅仅是收敛域不同。收敛域很重要，拉 氏变换与收敛域一起才可以与信号建立 一一对应关系
于 Re{s} 的取值。 • 把能使X(s)存在的s的取值范围称做拉氏
变换的收敛域，用s平面的阴影区表示
• 通过举例说明，注意信号特性
例1 考查右边信号 x(t) etu(t) 的拉氏 变换及其收敛域
X (s) x(t)est dt etest dt
0
e(s1)t dt e(s1)t e( 1)te jt
其中，
y(t) H (s)est
H (s) h(t)estdt
• H(s)称为单位冲击响应为h(t)的双边拉普 拉斯变换，若 s j 为虚数时，成为傅
立叶变换
• 信号的x(t)双边拉普拉斯变换定义为
X (s) x(t)estdt
简称拉氏变换，表示为 L{x(t)}， S通常为 复数（s j ）
第九章 拉普拉斯变换
• ９.0 引言 • 线性时不变系统分析时，将输入信号用基
本信号的线性组合表示，根据系统对基本 信号的响应，利用线性时不变系统的性质， 求出整个系统的响应。 • 连续时间系统傅立叶分析时，复指数信号e jt 是基本信号。
• 简化的系统响应的求解，还揭示了信号 与系统的频率特性，建立了信号频谱的 概念，对传输中的失真，滤波，调制， 抽样，系统性质等有了更进一步的了解
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(4) L sikn ts2 kk2,(R s)> e0)( (5) L co ks ts2 sk2,(R s)> e0)(
§9.2 拉氏变换的性质
(1) 线性性质
设a、为常数, 且 L [f( t) 有 ] F ( s )L [ ,g ( t) ] G ( s )
则 L α f 1 ( t ) β f 2 ( 有 t ) α F 1 ( s ) β F 2 ( s ).
3°f (t)是指数级函数(增长速度不超过指数函数)
即存在常数M > 0及c > 0使
| f(t)|≤Mect (0≤t <+∞)
c称为 f(t)的增长指数
则f (t)的拉氏变换 F(s) f(t)estdt 0
在半平面Re(s)＞c 一定存在，F(s)是解析函数。
三、关于拉氏变换的积分下限问题
f (t)在t=0附近有界时, f(0)与f (t)的Laplace变换无关
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L [f( t) ] F [f( t)e tu ( t) ]f ( t)e ( j) w tdt 0
0
0
Ased t t
Aae tesd t t
0
0
A(1 1 )
s sa
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解:
L[f(t)]
s
ikntsed t t
0
1(ejktejkt)estdt
0 2j
1[ 1 1 ] 2j sjk sjk
s2
k k2
显然L+[d(t)]=0
d d 而 0 (t)e sd t t (t)e sd t te st =1.
0
t 0
例5 求函数f(t)=etd(t)etu(t)的laplace变换.
解: L[f(t)] f(t)estdt 0
d [ et (t)etu (t)e]sd t t 0
0
s
L1 1estdt 1
0
s
(Res > 0)
例2 求出指数函数f (t) = e kt 的拉氏变换
解: L f(t) e kte sd tt e (s k )td t 1
0
0
sk
(Res > Rek)
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: 根据定义有
又称 f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆
变换)或象原函数，即f(t)=L1[F(s)]
例1 分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数sgnt,以 及f(t)=1的拉氏变换
解: 由拉氏变换的定义有
Lu(t) 1estdt 1 est 1 (Res > 0)
0
s 0 s
Lsgtn )(1estdt 1 (Res > 0)
L(sk in )t
sikntsed t t
0
s2e skt2(ssikn tkcok)st0
k
s2k2
[Re>(s0)]
同理可得
s L[ck o]tss2k2
[Re>0 (s])
二、拉氏变换的存在定理
拉氏变换存在定理: 设函数f (t)满足下列条件：
1°当t＜0时，f (t)=0； 2°f (t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点 的个数是有限个，且都是第一类间断点；
§9.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换的定义
设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分
f
(t)estdt
0
在s的某一域内收敛(s是一个复参量) ，则由此积
分决定的函数可写为 F(s) f(t)estdt 0
称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)或象
函数，记为F(s)=L[f(t)].
例1: 求常数A的Laplace变换.
解: L[f(t)] f(t)estdt Aestdt
0
0
A estdt A/s 0
例2: 求函数f(t)=A(1eat)的Laplace变换.
解:
L [f(t) ]
A (1eat)esd t t
0
Ased t t Aae tesd t t
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问
Lf(t) f(t)esd t t 0
f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个 积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点
假如包括，我们把积分下限记为0 ；
L f(t)0
f(t)esd t ,t
假如不包括，我们把积分下限记为0，于是得出
双边拉氏变换:
L [f(t) ]
f(t)e(jw )td
ห้องสมุดไป่ตู้
t
傅氏变换:
L[f(t)]
f(t)ejwdt t
傅氏变换与拉氏变换的关系
当t 0 f (t) 0
双边拉氏变换
s j
t
0
单边拉氏变换
s j
0 t
傅氏变换
s j
t
L[f(t)]F[f(t)u(t)et]
(sj)
d (t)e (s )td t e (s )td(tRes > Re)
0
0
e(s)t
e(s)t
s
t0 s
0 s
四、常用函数的拉氏变换公式
(1) L[u(t)]1,(Rs)e>(0) s
(2) L [ek]t1,(R s)> eR (ke ))( sk
d (3 ) L [(t) ]1(R s)> e)(
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
解: L[f(t)] cokstsed t t 0
1(ejk t ejk)testdt
02
1[ 1 1 ] 2 sjk s jk
s2
s
k2
(2) 相似性质(a为正实数) 设L[f(t)]=F(s), 则当a为正实数时
Lf at 1F s
a a
证明：L f(a)tf(a)e tstdt 0
令
at，Lf(a)t
f(
s
)ea
了不同的拉氏变换。记
L
f(t)
0
f(t)esd t t
00f(t)esd t tR f(t)
例4 求单位脉冲函数d(t)的laplace变换.
解: L[d(t)] d(t)estdt d(t)estdt
0
0
00d(t)estd t L[d(t)] [Re(s) > ]