北师大版不等式的解集

教学设计不等式的解集
拓展应用1、已知x﹣2﹤a的解集如图所示，则a的值为（）
A、3
B、1
C、-3
D、4
2、不等式x﹤3的正整数解有（）个。

A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3、不等式x﹤a的正整数解恰好是1,2，则a的取值范围为（）
A 1＜a＜2
B 2＜a＜3
C 2≤a＜3
D 2＜a≤3
4. 在某次数学竞赛中,老师对优秀学生给予奖励,准备了30元，买了3个笔记本和若干支笔,已知笔记本每本4元,笔每支2元,问可以买多少支笔?
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2.3不等式的解集
1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值
2.不等式的解集：不等式的所有解
3.解不等式：
4.不等式解集的数轴表示：①画数轴
②找界点
③定方向
解集的表示
不等式的解
特殊到一般
思想
不等式的解集
数形结合
思想
不等式。

2024年北师大版数学八年级下册2.3《不等式的解集》教学设计一. 教材分析《不等式的解集》是北师大版数学八年级下册第2.3节的内容，本节课主要让学生掌握不等式的解集及其表示方法，学会求解一元一次不等式组，并能够用数轴表示不等式的解集。

教材通过引入实际问题，引导学生探究不等式的解集，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了不等式的基本性质，具有一定的数学运算能力。

但部分学生对不等式的解集概念理解不深，容易与方程的解集混淆。

因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习情况，通过具体例子和实际问题，帮助他们更好地理解不等式的解集。

三. 教学目标1.知识与技能：（1）了解不等式的解集及其表示方法；（2）学会求解一元一次不等式组；（3）能够用数轴表示不等式的解集。

2.过程与方法：（1）通过实际问题，引导学生探究不等式的解集；（2）利用数形结合，培养学生解决实际问题的能力；（3）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：不等式的解集及其表示方法，一元一次不等式组的求解。

2.难点：不等式的解集与方程的解集的区别，用数轴表示不等式的解集。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究不等式的解集。

2.数形结合法：利用数轴帮助学生直观地理解不等式的解集，培养学生的空间想象能力。

3.引导发现法：教师引导学生发现不等式的解集的性质，培养学生独立思考的能力。

4.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示不等式的解集的性质和表示方法。

2.数轴教具：准备数轴教具，方便学生直观地理解不等式的解集。

3.练习题：准备适量的一元一次不等式组练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“某班学生的身高大于160cm，求该班学生的身高范围”，引导学生思考不等式的解集。

北师大版数学八年级下册《3. 不等式的解集》说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册《3. 不等式的解集》这一节主要讲述了不等式的解集及其表示方法。

学生在学习了不等式的基本概念和性质后，对本节内容有了初步的了解。

教材通过实例引导学生掌握不等式的解集表示方法，并运用不等式的性质求解不等式的解集。

本节内容是整个不等式知识体系的重要组成部分，对于学生来说，理解并掌握不等式的解集表示方法及其求解技巧具有重要意义。

二. 学情分析在教学前，我了解到学生已经掌握了不等式的基本概念和性质，但对不等式的解集表示方法及求解技巧还不够熟练。

此外，学生的数学思维能力、逻辑推理能力和团队合作能力有待进一步提高。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的这些特点，有针对性地进行教学设计和指导。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握不等式的解集表示方法，能够运用不等式的性质求解不等式的解集。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流和教师引导，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：不等式的解集表示方法及其求解技巧。

2.教学难点：如何运用不等式的性质求解复杂的不等式解集。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流和教师引导相结合的教学方法，让学生在实践中掌握知识，提高能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合学生分组讨论、上台展示等互动环节，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过实例引入不等式的解集概念，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：让学生独立思考，探索不等式的解集表示方法。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的方法和心得，互相学习，共同进步。

4.教师引导：教师针对学生的讨论情况进行点评，引导学生正确理解和掌握不等式的解集表示方法。

第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变． 【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号） 【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可． 解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式． 故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础． 【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>； 当98x =时,左边=312935x -=>； 当51x =时,左边=311525x -=>； 当12x =时,左边=31355x -=>； 当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<； 当1x =-时,左边=3145x -=-<； 当3x =-时,左边=31105x -=-<； 当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？ 【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式 【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<． （2）4x 13-≥． （3）1x 142-+≥． （4）4x 10-<-． 【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解； 解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<； （2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥； （3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-； （4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>． 【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。

2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教学设计：第二章课题不等式的解集一. 教材分析北师大版八年级数学下册第二章《不等式的解集》的内容包括不等式的概念、不等式的性质、解不等式、不等式的解集等。

本章主要让学生理解不等式的概念，掌握不等式的性质和解不等式的方法，能求出不等式的解集。

通过本章的学习，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本章之前已经掌握了实数、方程、函数等基础知识，具备了一定的逻辑思维和运算能力。

但部分学生对不等式的概念和性质理解不深，解不等式的技巧有待提高。

因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导学生理解不等式的本质，培养学生的动手操作能力和思维能力。

三. 教学目标1.理解不等式的概念，掌握不等式的性质；2.学会解不等式，能求出不等式的解集；3.培养学生解决实际问题的能力；4.培养学生的合作交流能力和创新意识。

四. 教学重难点1.不等式的概念和性质；2.解不等式的方法；3.不等式的解集。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入不等式，激发学生的学习兴趣；2.启发式教学法：引导学生发现不等式的性质，培养学生的思维能力；3.案例教学法：分析典型例题，让学生掌握解不等式的方法；4.小组合作学习：培养学生合作交流能力，提高学生的动手操作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示不等式的概念、性质、解法等；2.例题和练习题：挑选具有代表性的例题和练习题，巩固所学知识；3.教学道具：准备实物道具，辅助讲解不等式的概念和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入不等式的概念，如“小明比小红高”、“这个苹果的重量大于那个苹果”等，让学生感受到不等式的实际应用。

2.呈现（10分钟）讲解不等式的概念和性质，引导学生发现不等式的特点，如“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。

同时，利用实物道具辅助讲解，让学生更直观地理解不等式的概念。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析典型例题，引导学生掌握解不等式的方法。

北师大版数学八年级下册《3. 不等式的解集》教案一. 教材分析《北师大版数学八年级下册》中的《3. 不等式的解集》一章主要介绍了不等式的解集及其表示方法。

通过本章的学习，学生能够理解不等式的解集概念，掌握求解不等式解集的方法，并能够用数轴、表格等方式表示不等式的解集。

二. 学情分析学生在学习本章之前，已经掌握了不等式的基本概念和性质，具备了一定的代数基础。

但部分学生对于不等式的解集的理解和表示方法可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解不等式的解集概念，掌握求解不等式解集的方法，能够用数轴、表格等方式表示不等式的解集。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：不等式的解集概念，求解不等式解集的方法。

2.难点：不等式解集的表示方法，尤其是数轴表示方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等多种教学方法，引导学生自主学习，培养学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的不等式案例，用于课堂分析和练习。

2.准备数轴、表格等表示工具，用于展示不等式的解集。

3.准备课堂提问的问题，激发学生的思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如温度、身高等，引入不等式的解集概念。

提问学生：不等式的解集是什么意思？引导学生思考并回答。

2.呈现（10分钟）呈现一些不等式案例，让学生尝试求解。

如：(1)2x + 3 > 7(2)x - 5 ≤ 8引导学生通过移项、合并同类项等方法，求解不等式的解集。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，解决一些不等式解集的问题。

如：(1)求解不等式 3x - 4 < 2 的解集。

(2)用数轴表示不等式 x > 5 的解集。

第5讲一元一次不等式1．掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形；2．理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；3．掌握解一元一次不等式的方法和步骤并准确地求出不等式的解集．知识点01 不等式的相关概念1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种：“≠”、“＞” 、“＜” 、“≥”、“≤”．2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.要点诠释：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．【知识拓展】（2021春•萍乡期末）“实数x不小于6”是指（）A．x≤6 B．x≥6 C．x＜6 D．x＞6【即学即练】（2021春•建平县期末）据天气预报，2021年7月5日建平县最高气温是25℃，最低气温是22℃，则当天我县气温t（℃）的变化范围是（）A．t＞25 B．t≤22 C．22＜t＜25 D．22≤t≤25知识点02 不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或a c＞bc）．知识精讲目标导航性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc （或a c＜b c）． 要点诠释：（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c . 【知识拓展1】（2021春•饶平县校级期末）若2a +3b ﹣1＞3a +2b ，试比较a ，b 的大小．【即学即练1】（2021•梁园区校级一模）若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则下列式子不一定成立的是（ ） A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．C ．ac ＞bcD ．ac ＞bd【即学即练2】（2021秋•澧县期末）若a ＞b ，则﹣2a ﹣2b ．（用“＜”号或“＞”号填空） 【即学即练3】（2021春•万柏林区校级月考）利用不等式的性质，解答下列问题． （1）①如果a ﹣b ＜0，那么a b ； ②如果a ﹣b ＝0，那么a b ； ③如果a ﹣b ＞0，那么a b ； （2）比较2a 与a 的大小． （3）若a ＞b ，c ＞d ． ①比较a +c 与b +d 的大小； ②比较a ﹣d 与b ﹣c 的大小．【即学即练4】（2021春•未央区校级月考）若m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，求a的取值范围．【即学即练5】（2021春•饶平县校级期末）根据要求，回答下列问题：（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是；（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是；（3）不等式x＞（x﹣1）的解集为．【即学即练6】（2021•连州市模拟）已知a＞b，则下列结论正确的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a+c＞b+c C．3a＜3b D．ac＞bc【即学即练7】（2021春•潍坊期末）若a＞b，则下列不等式一定成立的是．A．a+2＞b+2 B.＜C．﹣2a＜﹣2b D．a2＜b2【即学即练8】（2021•内江）已知非负实数a，b，c满足＝＝，设S＝a+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则的值为．知识点03 一元一次不等式1．一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．要点诠释：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．【知识拓展1】（2021春•皇姑区校级期中）若x2m﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则m＝．【即学即练1】（2021春•饶平县校级期末）已知（b+2）x b+1＜﹣3是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．【即学即练2】（2021春•平川区校级期末）在数学表达式：﹣4＜0，2x+y＞0，x＝1，x2+2xy+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练3】（2021•南岗区校级开学）下列各式中，是一元一次不等式的有（）（1）x+2+x2＜2x﹣5+x2；（2）2x+xy+y；（3）3x﹣4y≥0；（4）﹣5＜x；（5）x≠0；（6）a2+1＞5．A．1个B．2个C．3个D．4个【即学即练4】（2021春•甘孜州期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．x＜y B．a2+b2＞0 C．＞1 D．＜0【即学即练5】（2021春•冠县期末）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝．【知识拓展2】（2021秋•肇源县期末）若不等式组无解，则a的取值范围是．【即学即练1】（2021•滕州市一模）下列各数中，不是不等式2（x﹣3）+3＜0的一个解的是（）A．﹣3 B．C．D．2【即学即练2】（2021•河南模拟）用三个不等式x＞﹣4，x＜﹣1，x＞1中的两个组成不等式组，其中有解集的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【即学即练3】（2021•新野县三模）已知关于x的不等式组有实数解，则m的取值范围是．【即学即练4】（2021春•沭阳县期末）如图，是关于x的不等式的解集示意图，则该不等式的解集为．【即学即练5】（2021春•陆河县校级期末）如图，此不等式的解集为．【即学即练6】（2021春•天津期末）分别用含x的不等式表示如图数轴中所表示的不等式的解集：②；②．【即学即练7】（2021•潮阳区模拟）把某个关于x的不等式的解集表示在数轴上如图所示，则该不等式的解集是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2【即学即练8】（2021春•抚州期末）在实数范围内规定新运算“*”，基本规则是a*b＝a﹣2b，已知不等式x*m≤3的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为．【即学即练9】（2021春•饶平县校级期末）解不等式7﹣2x＞（1﹣）2，把它的解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解．【即学即练10】（2019•衢江区二模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数1和﹣2x+3．（1）求x的取值范围；（2）将x的取值范围在数轴上表示出来．【知识拓展3】（2021秋•龙凤区校级期末）若不等式（3a﹣2）x+2＜3的解集是x＜2，那么a必须满足（）A．a＝B．a＞C．a＜D．a＝﹣【即学即练1】（2021秋•济南期末）不等式﹣3x≤6的解集为．【即学即练2】（2021秋•鹿城区校级期中）若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＜1，则m的取值范围为．【即学即练3】（2021秋•肇源县期末）若关于x的方程x+k＝2x﹣1的解是负数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 D．k≤﹣1【即学即练4】（2021•安徽模拟）解不等式≤．【即学即练5】（2021•永定区模拟）解不等式：7x﹣2≤5x，并把解集在数轴上表示出来．【即学即练6】（2021秋•清镇市期中）已知点M（﹣6，3﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是．【知识拓展4】（2021•陕西）求不等式﹣x+1＞﹣2的正整数解．【即学即练1】（2021•长兴县模拟）整数x满足不等式2x+1＜8，则x的值可能是.（写出一个符合的值即可）【即学即练2】（2021春•聊城期末）解不等式，并写出它的负整数解．【即学即练3】（2021春•鞍山期末）解不等式（1﹣2x ）≥；并写出它所有的非负整数解．【即学即练4】（2021秋•朝阳区校级期中）不等式4（x ﹣2）＜2x ﹣3的非负整数解的个数为（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个1.比较a b +和a b -的大小．2.等式()()52186117x x -+<-+的最小整数解是方程24x ax -=的解，求a 的值．3.解不等式：11315111x x x x ++>+-++．能力拓展分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．（2021秋•龙凤区校级期末）若不等式（3a﹣2）x+2＜3的解集是x＜2，那么a必须满足（）A．a＝B．a＞C．a＜D．a＝﹣2．（2021•锦江区校级开学）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（）A．﹣2a＜﹣2b B．am＜bm C．a﹣3＞b﹣3 D．3．（2021秋•龙凤区期末）已知a＜b，则下列不等式错误的是（）A．a﹣7＜b﹣7 B．ac2＜bc2C．D．1﹣3a＞1﹣3b4．（2021秋•杜尔伯特县期末）若m＜n，则下列各式正确的是（）A．﹣2m＜﹣2n B．C．1﹣m＞1﹣n D．m2＜n2二．填空题（共6小题）5．（2021秋•肇源县期末）若不等式组无解，则a的取值范围是．6．（2021秋•瓯海区月考）根据“3x与5的和是负数”可列出不等式．7．（2021秋•青羊区校级期中）﹣＜x＜的所有整数的和是．8．（2021秋•济南期末）不等式﹣3x≤6的解集为．9．（2021秋•澧县期末）若a＞b，则﹣2a﹣2b．（用“＜”号或“＞”号填空）10．（2020秋•开化县期末）若x＜y，且（a﹣3）x≥（a﹣3）y，则a的取值范围是．三．解答题（共2小题）11．（2021春•澄城县期末）已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，求这个不等式的解集．12．（2021春•秦都区月考）解不等式：3x ﹣4＜4+2（x ﹣2）．题组B 能力提升练一、单选题1．在数学表达式：30-<，+a b ，3x =，222x xy y ++，5x ≠，23x y +>+中，是一元一次不等式的有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．不等式x ﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．不等式2﹣3x≥2x﹣8的非负整数解有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，是关于x 的不等式2x ﹣a≤﹣1的解集，则a 的取值是（ ）A ．a≤﹣1B ．a≤﹣2C ．a=﹣1D ．a=﹣25．已知关于x 的不等式(1)2a x ->的解集为21x a<-，则a 的取值范围是（ ） A ．0a >B ．1a >C ．0a <D ．1a <6．若方程3(1)1(3)5m x m x x ++=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ）A ．54m >B ．54m <C ．54m >-D ．54m <-7．若关于x 的不等式mx m nx n +<-+的解集为23x >-，则关于x 的不等式2mx m nx n ->-的解集是（ ） A ．43x >B ．43x <C ．43x >-D ．43x <-二、填空题8．不等式5x-9≤3(x+1)的解集是________.9．已知不等式3x -0a ≤的正整数解恰是1，2，3，4，那么a 的取值范围是_________________. 10．不等式112943x x ->+的正整数解的个数为___________________． 11．当x _____________时，21x -的值小于32x +的值． 12．不等式442x x ->-的最小整数解为_____． 13．（1）已知x a <的解集中的最大整数为3，则a 的取值范围是________． （2）已知x a >的解集中最小整数为-2，则a 的取值范围是________．14．若不等式2113x -≤中的最大值是m ，不等式317x --≤-中的最小值为n ，则不等式nx mn mx +<的解集是________． 三、解答题15．解一元一次不等式532122x x ++-<．16．解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． （1）6327x x ->-； （2）21123x x -+-≤．17．已知，关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集为x＜10 7．（1）求ba的值．（2）求关于x的不等式ax＞b的解集．题组C 培优拔尖练1．列式计算：求使的值不小于的值的非负整数x．2．已知不等式5（x﹣2）﹣9＞7（x﹣11）+36，它的最大整数解恰好是方程x﹣ax＝20的解，求a的值．3．为了保护环境，池州海螺集团决定购买10台污水处理设备，现有H和G两种型号设备，其中每台价格及月处理污水量如下表：H G价格（万元/台）1512处理污水量（吨/月）250220经预算，海螺集团准备购买设备的资金不高于130万元．（1）请你设计该企业有几种购买方案？（2）哪种方案处理污水多？。