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插值法

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数据插值方法

数据插值方法

数据插值方法
数据插值方法是用于填补数据缺失或缺失值的一种技术。

常用的数据插值方法包括：
1. 线性插值法（Linear Interpolation）：通过已知数据点之间
的直线，对缺失值进行估算。

2. 多项式插值法（Polynomial Interpolation）：使用多项式函
数来拟合已知数据点，进而求得缺失值。

3. 样条插值法（Spline Interpolation）：通过光滑的曲线来插值，可分为线性样条插值、二次样条插值等。

4. K近邻插值法（K-nearest neighbor Interpolation）：基于已
知数据点的距离进行插值，找出最近的K个数据点，并计算
插值值。

5. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）：使用拉格朗日
插值多项式来估算缺失值。

6. 牛顿插值法（Newton Interpolation）：使用牛顿插值多项式
来估算缺失值。

7. 分段插值法（Piecewise Interpolation）：根据已知数据点的
特征，将数据范围划分为多个区间，并在每个区间内进行插值计算。

以上是常用的数据插值方法，每种方法都有其适用的场景和优缺点，选择适合的插值方法需要考虑数据的特点以及具体需求。

插值方法

插值方法
就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉
格朗日（Lagrange）插值。
2.n=2
线 性 插 值 只 利 用 两 对 值 (x0,y0) 及 (x1,y1) 求 得
y=f(x)的近似值，误差较大。
p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。
第1章 插值方法
插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前，我国历法上已经记载了应用一 次插值和二次插值的实例。 拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了 不同的解决方法。
1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例
［a,b］,有与x有关的ξ(a<ξ<b)存在, 使得
其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。
［例５］ 设f(x)=lnx, 并假定已给出值表试近 似计算ln(0.6)的值，并指出精度。 值表 0.4 -0.916291
x lnx
0.5 -0.693147
0.7 -0.356675
0.8 -0.223144
(x∈［-5,5］)。
取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。
图1-3 例6的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
为了避免 Runge现象的发生 , 我们很自 然地会想到把区间［-5, 5］等分为10个小区 间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由 于每个小区间只有两个端点（插值节点） , 按照我们已知的方法, 得到的将是一个分段 线性插值函数。

插值法

插值法

余项表达式只有在 f ( x)的高阶导数存在时才能 应用.
当n = 1时，线性插值余项为 1 1 R1 ( x ) = f ( ) 2 ( x ) = f ( ) ( x - x0 )( x - x1 )， [ x0 , x1 ] 2 2 当n = 2时，抛物插值的余项为 1 R2 ( x ) = f ( ) ( x - x0 )( x - x1 )( x - x 2 )， [ x0 , x 2 ] 6
1.2 二次插值
n=2
1.2.1 待定系数法 已知 x0 , x1 , x2; y0 , y1 ,y2 , 求 P2 ( x) = a0 a1 x a2 x 2
使得 P2 ( x 0 ) = y0 , P2 ( x1 ) = y1 , P2 ( x2 ) = y2
为求P2(x),将三点代入其表达式,即可得到三个方程式, 方程组的解是否存在? 若存在解,是否唯一?! 从而联立方程组解出系数a0, a1, a2即可:
插值
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连 续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散 函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限 个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近 似值
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值 用于天文计算。17世纪之后，I.牛顿，J.-L. 拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插 值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和 编制函数表的常用工具，又是数值积分、数 值微分、非线性方程求根和微分方程数值解 法的重要基础，许多求解计算公式都是以插 值为基础导出的
插值法就是一种基本方法 一般地，构造某种简单函数代替原来函数。
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函 数 g(x) f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。

几种常用的插值方法

几种常用的插值方法

几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。

1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。

对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。

2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。

常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。

具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。

常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。

-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。

-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。

三次样条插值具有良好的平滑性和精度。

4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。

插值法的最简单计算公式

插值法的最简单计算公式

插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。

在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。

插值法的最简单计算公式是线性插值法。

线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。

其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。

通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。

举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。

假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。

根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。

通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。

除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。

在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。

在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。

通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。

插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。

通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。

常见几种插值方法

常见几种插值方法

1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。

方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。

对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。

计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。

当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。

当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。

换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。

这就是一个准确插值。

距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。

用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。

大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。

圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。

2、克里金法克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。

克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。

克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。

3、最小曲率法最小曲率法广泛用于地球科学。

用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。

最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。

使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。

4、多元回归法多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。

你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。

多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。

它实际上是一个趋势面分析作图程序。

使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。

第5章 插值法

第5章 插值法
10
5.3 差商与牛顿插值
二、差商的性质
性质1 如果f(x)是代数多项式，那么对 求1次差商，降1次幂。 是代数多项式， 次差商， 次幂 次幂。 性质 如果 是代数多项式 那么对f(x)求 次差商 对m阶多项式 阶多项式f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋……＋amxm求n阶差商 ＋ ＋ 阶差商f[x,x0,x1,…,xn-1]， ， 阶多项式 阶差商 n＜m时， f[x,x0,x1,…,xn-1]是x的m－n次多项式； ＜ 时 是 的 － 次多项式； 次多项式 n=m时， f[x,x0,x1,…,xn-1]是f(x)的m阶项 mxm的系数am； 时 是 的 阶项a 的系数 阶项 n＞m时， f[x,x0,x1,…,xn-1]恒为 。 ＞ 时 恒为0。 恒为 如果f(x)不能用有限次多项式精确表示（如f(x)为三角函数），那么可能 不能用有限次多项式精确表示（ 为三角函数）， 如果 不能用有限次多项式精确表示 为三角函数），那么可能 无论对f(x)求多少次差商，结果也不会恒为 。 求多少次差商， 无论对 求多少次差商 结果也不会恒为0。 性质2 处的n阶差商也可以定义为 阶差商也可以定义为： 性质 f(x)在x0,x1,…,xn处的 阶差商也可以定义为： 在 f[x0,x1,…,xn]=∑
N
7
5.2 拉格朗日插值
n次拉格郎日插值对应的程序（1/2） 次拉格郎日插值对应的程序（1/2）
#include <stdio.h> #include <math.h> #define MAXSIZE 50 void input(double x[MAXSIZE],double y[MAXSIZE],long n); void main(void) { double x[MAXSIZE],y[MAXSIZE],_x,_y,t; long n,i,j; printf("\n请输入插值节点的个数："); scanf("%ld",&n); 请输入插值节点的个数： 请输入插值节点的个数 input(x,y,n); printf("\n请输入插值点："); 请输入插值点： scanf("%lf",&_x); 请输入插值点 _y=0; for(i=0;i<=n-1;i++) { t=1; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) t*=(_x-x[j])/(x[i]-x[j]); _y+=t*y[i];} printf("\n插值点 插值点(x,y)=(%lf,%lf)。",_x,_y);} 插值点 。

数值计算中的插值方法与误差分析

数值计算中的插值方法与误差分析

数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。

在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。

插值方法就是为了解决这个问题而设计的。

插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。

常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。

下面我们将重点介绍这两种方法。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。

它是基于拉格朗日多项式的思想。

假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。

拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。

具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。

然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。

它是基于差商的思想。

假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。

牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。

具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。

第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)

第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)
§
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要 求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度）， 甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ，可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
故
j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
2016/8/14 6
（ii）由条件(1)可知，x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根，令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17
即
x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0

第二章插值法

第二章插值法

线性插值的几何意义:用 通过点 A(x0 , f (x0 )) 和 B(x1, f (x1 )) 的直线近似地代替曲线 y=f(x)由解析几何知道, 这条直线用点斜式表示为
y=f(x)
p(x)=ax+b
A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
解: 用待定系数法, 将各节点值依次代入所求多项式, 得
解上述方程, 将求出的a0, a1, a2 代入 p(x) = a0 + a1x + a2x2 即得所求二次多项式
例2.5 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式
P(x) an x n an1 x n1 a1x a0
满足
P(x) an x n an1 x n1 a1 x a0 P(xi ) f (xi ) (i 0,1,2, , n)
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称
为代数插值法。其几何意义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
lk ( xi ) ki
1 0
(i k ) (i k )
l0 (x) 与 l1(x) 称为线性插值基函数。且有
lk (x)
1 j0
x xj , xk x j
jk
k 0,1
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
p(x) l0 (x) y0 l1 (x) y1
例2.1 已知 100 10 , 121 11 , 求 y 115
为已知 f (x0 ), f (x1), , f (xn ) ,即 yi f (xi ) 若存在一个
f(x)的近似函数 (x),满足

数值分析中的(插值法)

数值分析中的(插值法)
与其他方法的结合
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
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多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项

插值法

插值法

定理2.2: 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内
存在,在节点 ax0<x1<…<xnb上,满足插值
条件 (2.2)的插值多项式 Ln(x),对任一
x[a,b],插值余项为
f ( n1) ( x ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) n1 ( x) (n 1)! (2.5)
已知 (xk)=yk (k=0,1,…,n),在函数类P中寻找一 函数 (x)作为 (x)的近似表达式,使满足 (xk)=(xk)=yk ,k=0,1,…,n (2.2)
称 y=(x)为被插值函数; 称x0 , x1 ,…,xn为插值节点;
称(x)为插值函数; 称式(2.2)为插值条件;
例3: 求 (x)关于节点 x0,x1,x2的二次 Lagrange插值多 项式.
解
对节点x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为
( x x1 )( x x 2 ) l 0 ( x) ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) l 2 ( x) ( x x 0 )( x x1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x1 ) ( x x 0 )( x x 2 ) , l1 ( x) ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ,
( n 1)
( x ) 所以 Rn ( x) (n 1)! n 1 ( x) f
( n 1)
若|(n+1)(x)|在[a,b]有上界Mn+1,则Lagrange插值 余项也可写成
M n 1 Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
例4 给定函数表
x 10 11 12 13
g(x) f(x)

插值法

插值法

插值法计算GB50300-2013中有插值法计算，很多人不太熟悉插值法的计算，先列于此，供大家参考。

表D.O.1-1和表D.0.1-2给出的样本容量不连续，对合格判定细数需要进行取整处理。

例如样本容量为15，按表D.O.1-1插值得出的合格判定系数为3.571，四舍五入取整可得合格判定数为4，不合格判定数为5。

举例：已知：两个人吃4个包子，四个人吃8个包子，那3个人吃几个包子呢? 口算也知道6个，因为成比例。

那么成比例的算式，能否用插值法计算呢，当然可以。

按上式为例“即：x2= ⊿x 4y4= ⊿y 8z 3= ⊿z?根据插值法公式：⊿ⅹ- ⊿Z /ⅹ-Z= ⊿Z- ⊿Y /Z-Y把数据代入公示：4 - ⅹ/ 2-3=? - 8 / 3 - 4解：4- ⅹ/-1= ？-8/-1;(代入后？为ⅹ)1 去分母：4- ⅹ/-1=?-8/-1 得4- ⅹ= ⅹ-82 移去左边ⅹ：得4 =2 ⅹ-8 ;3 移去右边8：得12=2 ⅹ;ⅹ=12/2=6如果说13个能分到3个包子，20个人能分到5个包子，那18个人能分到几个，口算就吃力了，就需要公式⊿ⅹ- ⊿Z /ⅹ-Z= ⊿Z- ⊿Y /Z-Y计算了。

❖插值法计算过程：❖已知13=3，20=5，求15=？❖根据公式⊿ⅹ- ⊿z /ⅹ-z= ⊿z- ⊿y /z-y。

❖设：ⅹ13= ⊿ⅹ3❖y 20=⊿y 5❖z 15=⊿z ⅹ❖将数据带入公式;得 3 -ⅹ/13-15=ⅹ-5/15-20 计算过程为：❖ 1 算分母：3 -ⅹ/ -2 =ⅹ-5/ -5 2 去分母-2：3 -ⅹ=2ⅹ-10/5❖ 3 去分母5：15-5ⅹ=2ⅹ-10 4 移5ⅹ：15 =7ⅹ-10❖ 5 去-10：25=7ⅹ❖ 6 得ⅹ=25/7=3.571 四舍五入得4。

合格判定数为4，不合格判定数为5.在实际应用中，还可以用更简便的方法来速算。

以上表为例，已知32个样本的合格判定数为7，50个样本的合格判定数为10，求40的合格判定数为多少？用10–7=3，50–32=18，3÷18=1.1667，（40–32）×0.1667=1.3336,四舍五入是1，7+1=8，40的合格判定数是8，9就为合格。

第二章：插值法

第二章：插值法
（2.1）
满足(2.1)式的 l i(x) 是否存在?若存在，具有什么形式呢?
先考虑 l0(x)。因 l0(x)是以 x1, x2 为零点的二次多项式,
所以它可写成 l0(x)＝ 0(x －x1)(x －x2), 其中0 是待定系 数。 又因为 l0( x0)=1，所以0(x0－x1)(x0－x2)＝1，则可有
n
| x - xi |
i=0
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f (n1)( x) 0,
可知 Rn ( x) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
例1 求经过A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三个插值点的插值多项式. 解：三个插值节点及对应的函数值为
-
3
);
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
高次插值通常优于 低次插值
但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
例3 考虑下述的插值法问题：求二次多项式P(x)，满足 P(x0) = y0, P(x1) = y1，P(x2 ) = y2， 其中 x0 x2，y0、y1、y2 是已给的数据并给出使这一问题的解存在且唯一的条件.
x0 )(x -
x1 )，
[ x0 , x1 ]
当n = 2时 ， 抛 物 插 值 的 余 项 为
R2 ( x) =
1 6
f ( )( x -
x0 )(x -
x1 )(x -
x2 )，
[x0 , x2 ]
注： 通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)

数值分析课件-第02章插值法

数值分析课件-第02章插值法
数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数， 使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数 值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连 续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同， 可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一 组离散点，构造一个二元函数通 过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商 的对称性、差商的差分表 示等，以便更好地理解和 应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之 间的关系，以及如何利用 差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简 单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算 新增节点处的差商，原有差商可 重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通 过已知点构造多项式，使得多 项式在已知点处取值与给定数 据相符。该方法简单直观，但 高阶多项式可能导致Runge现 象。
将整个定义域划分为若干个子 区间，在每个子区间上分别构 造插值函数。该方法可以避免 高阶多项式插值的Runge现象 ，但可能导致分段点处的不连 续性。

插值法的简化公式

插值法的简化公式

插值法的简化公式插值法是一种用于在有限数据点之间计算函数值的数学方法。

在插值法中，我们使用一些中间值来代替未观测到的数据点，从而构建出一个函数来拟合数据。

插值法有许多不同的形式，其中最常见的是线性插值、二次插值和三次插值等。

在线性插值中，我们使用一个线性函数来拟合数据点。

具体来说，我们可以用以下公式来计算线性插值函数:f(x) = a0 + a1*x其中，a0 和 a1 是拟合函数的两个系数，而 x 是我们要计算的自变量。

这个公式可以帮助我们在数据点之间计算函数值，特别是当我们只有很少的数据点时，线性插值法可以很好地拟合数据并帮助我们预测未观测到的结果。

在二次插值中，我们使用一个二次函数来拟合数据点。

具体来说，我们可以用以下公式来计算二次插值函数:f(x) = a0*x^2 + a1*x + a2其中，a0、a1 和 a2 是拟合函数的三个系数，而 x 是我们要计算的自变量。

与线性插值法不同，二次插值法可以更好地拟合陡峭的曲线，因此在处理一些复杂的函数时非常有用。

在三次插值中，我们使用一个三次函数来拟合数据点。

具体来说，我们可以用以下公式来计算三次插值函数:f(x) = a0*x^3 + a1*x^2 + a2*x + a3其中，a0、a1、a2 和 a3 是拟合函数的四个系数，而 x 是我们要计算的自变量。

三次插值法可以更好地拟合复杂的曲线，并且比二次插值法更具鲁棒性，因此在处理一些高度复杂的函数时非常有用。

无论是线性插值、二次插值还是三次插值，插值法的核心思想就是使用一些中间值来代替未观测到的数据点，从而构建出一个函数来拟合数据。

这些公式可以帮助我们在数据点之间计算函数值，特别适用于当我们只有很少的数据点时。

插值法是如何计算的-插值法的计算原理【2017-2018最新会计实务】

插值法是如何计算的-插值法的计算原理【2017-2018最新会计实务】

插值法是如何计算的插值法的计算原理【2017-2018最新会计实务】【2017-2018年最新会计实务经验总结，如对您有帮助请打赏！不胜感激！】插值法是计算实际利率的一种方法.是使未来现金流量现值等于债券购入价格的折现率.插值法(或称插插补法、内插法)是财务分析和决策中常用的财务管理方法之一. 插值法的原理是根据比例关系建立一个方程,然后,解方程计算得出所要求的数据.假设与A1对应的数据是B1,与A2对应的数据是B2,现在已知与A对应的数据是B,A介于A1和A2之间,则可以按照(A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)计算得出A 的数值,其中A1、A2、B1、B2、B都是已知数据.验证如下:根据:(A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)可知:(A1-A)=(B1-B)/(B1-B2)×(A1-A2)A=A1-(B1-B)/(B1-B2)×(A1-A2)=A1+(B1-B)/(B1-B2)×(A2-A1)例如某人向银行存入5000元,在利率为多少时才能保证在未来10年中每年末收到750元?5000/750=6.667 或 750*m=5000 查年金现值表 i=8%,系数为6.710 i=9%,系数为6.418 说明利率在8%-9%之间,设为x%(x%-8%)/(9%-8%)=(6.667-6.71)/(6.418-6.71)计算得出 x=8.147.后语点评：会计学作为一门操作性较强的学科、每一笔会计业务处理和会计方法的选择都离不开基本理论的指导。

为此，要求我们首先要熟悉基本会计准则，正确理解会计核算的一般原则，并在每一会计业务处理时遵循一般原则的要求。

会计学的学习，必须力求总结和应用相关技巧，使之更加便于理解和掌握。

学习时应充分利用知识的关联性，通过分析实质，找出核心要点。

要深入钻研，过细咀嚼，独立思考，切忌囫囵吞枣，人云亦云，随波逐流，粗枝大叶，浅尝辄止。

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设 f ( x )在[a, b]上连续可微, 则将f ( x )在x = a处作Taylor展开, 得
f ( x ) = f (a ) + f ′(ξ )( x − a ), a < ξ < x ,
两边积分，得
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f (a )dx + ∫ f ′(ξ )( x − a )dx ,
可验证
16 1 Cn = S2 n − Sn , 15 15
其中C n为复化Cotes法的积分值.
64 1 Rn = C2n − Cn . 63 63 例.
表 4 − 4( P 89)
------ Romberg公式
(达到准确值 !)
3. Richardson 外推加速 法
实际上，使用Romberg公式提高精度的过程还可继续下去， 其理论依据是梯形公式的余项可展成下列级数的形式：
Δ
(4.3.9) (4.3.10)
= I + β 1 h4 + β 2 h6 + β 3 h8 + "
(此时消去了主要部分h2 项)
Δ
比较 (4.3.9)和(4.3.4), 即知上述方法得到的{T1 ( x )} 是
Simpson值序列.
根据(4.3.10)，又有
⎛ h⎞ ⎛ h⎞ ⎛ h⎞ ⎛ h⎞ T1 ⎜ ⎟ = I + β 1 ⎜ ⎟ + β 2 ⎜ ⎟ + β 3 ⎜ ⎟ + " ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
Romberg 算法：
所谓Romberg算法，就是在二分过程中逐步形成T 数表的具体 的方法，其具体步骤为： ( P 91) b−a (0) 步1. (初始步 ). 计算 T0 = f (a ) + f (b )] , 给点精度ε > 0, [ 2 令k = 1. 步 2. (求梯形值 ). 按递推公式(4.3.1)计算梯形值T0( k ) . 步 3. (求加速值 ). 按加速公式(4.3.13)逐个计算T 数表第k + 1 行其余各元素T j( k − j ) ( j = 1, 2," , k ).
0
4.2 Newton-Cotes 公式
1. Cotes 系数
n 1 2 3 4 5 6 7 8
Cotes系数表
1 1 2 2 1 4 1 6 6 6 1 3 1 8 8 8 7 32 12 32 90 90 90 90 19 75 50 50 288 288 288 288 41 216 27 272 840 840 840 840 751 3577 1323 2989 17280 17280 17280 17280 989 5888 928 10496 − 28350 28350 28350 28350
复化求积法的基本思想： 将积分区间分成若干个子区间， 在每个子区间上使用低阶求积公式.
f (b)]
复化求积公式的余项：
( b − a )3 − f ′′(η ) 12
JG f ′′(η k ) x k +1 ⎛ ( x − x k )( x − x k + 1 )dx ⎜ ⇒ RT = − ∫ x k 2 ⎜ 3 3 ( ) − x x h ⎜ k +1 =− k f ′′(η k ) = − f ′′(η k ) ⎜ ⎝ 12 12
7 90 75 19 288 288 27 216 840 840 2989 1323 17280 17280 4540 10496 − 28350 283 50
41 840 3577 751 17280 17280 928 5888 − 28350 28350
989 28350
当n ≥ 8时Cotes系数有正有负, 稳定性不好 . 因此在实际中一般不用高阶的Newton − Cotes公式 .
(0) 步4. 终止判别. 若 Tk(0) − Tk(0) < ε , 则算法终止， T −1 k 即为所求
结果；否则令 k := k + 1, 返回步 2.
4.4 Gauss (高斯) 公式
下面从分析Gauss点的特性入手研究Gauss公式的构造问题 .
0.
2. Gauss-Legendre 公式
( 0 < η < 1)
= 0.0003472
5. 推导下列三种矩形求积公式：
∫ ∫ ∫
证明.
b
a b
a b
a
f ′(η ) f ( x )dx = (b − a ) f (a ) + ( b − a )2 , 2 f ′(η ) f ( x )dx = (b − a ) f (b ) − ( b − a )2 , 2 ⎛ a + b ⎞ f ′′(η ) 3 f ( x )dx = (b − a ) f ⎜ b a + − ( ) . ⎟ 24 ⎝ 2 ⎠
4.3 Romberg (龙贝格) 算法
问题的提出 :
对于复化求积法对提高精度是行之有效的,但要求事先给出 合适的步长. 步长太大, 精度不能保证;步长太小,则导致计算 量增加. 而事先给出一个合适的步长往往有困难. 改进 : 采用变步长的计算方法, 即采用步长逐次分半.
将积分区间[a , b]分成n等份,在小区间[ xk , xk +1 ] 上,由梯形公式有
下面分析复化Simpson法 : 复化Simpson公式的误差为
知该误差近似地与h4 成正比, 于是当步长二分后, 有
1 即误差减至原有误差的 , 从而有 16
1 用S 2 n的误差 ( S 2 n − S n ) 作为S 2 n的补偿得到 15 1 16 1 S = S2 n + ( S2 n − Sn ) = S2 n − Sn 15 15 15
定理 3. 设f ( x ) ∈ C ∞ [a , b]，则
T ( h) = I + α 1 h 2 + α 2 h4 + α 3 h6 + " + α k h 2 k + " ,
(4.3.7)
其中系数 α k ( k = 1, 2,") 与 h 无关 .
由(4.3.7)式有
⎛ h⎞ ⎛ h⎞ ⎛ h⎞ ⎛ h⎞ ⎛ h⎞ T ⎜ ⎟ = I + α1 ⎜ ⎟ + α 2 ⎜ ⎟ + α 3 ⎜ ⎟ + " + α k ⎜ ⎟ + " , ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
2. 偶阶求积公式的代数精度
3. 几种低 阶求积公式的余项
复习积分第二中值定理:
( b − a )3 − f ′′(η ) 12
4. 复化求积法
Newton − Cotes型积分公式的不足： (1) 当阶数n较高( n ≥ 8)时会出现数值不稳定； (2) 当积分区间过大时计算结果的误差较大 . 改进： 使用复化求积公式
2 4 6 2k
α1 2 α 2 4 l 6 ⎛ h⎞ Δ l k h2 k + " , 即 T⎜ ⎟ = I+ h + h + α 3h + " + α 4 16 ⎝ 2⎠
⎛ h⎞ 将T ( h) 与T ⎜ ⎟ 按以下方式作线性组合： ⎝ 2⎠ 4 ⎛ h⎞ 1 T1 ( h) = T ⎜ ⎟ − T ( h), 3 ⎝ 2⎠ 3
a a
b
b
∫ba来自f ( x )dx = ∫ f (a )dx + ∫ f ′(ξ )( x − a )dx
a a
b
b
因在 [a , b]上 x − a ≥ 0，所以由定积分第二中值定理有
= f (a )(b − a ) + ∫ f ′(ξ )( x − a )dx
4 6 8
⎛ h⎞ ⎛ h⎞ ⎛ h⎞ ⎛ h⎞ T1 ⎜ ⎟ = I + β 1 ⎜ ⎟ + β 2 ⎜ ⎟ + β 3 ⎜ ⎟ + " ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ =I+
Δ
4
6
8
β1
16
Δ
l h6 + β l h8 + " h4 + β 2 3
若令
16 ⎛ h ⎞ 1 T2 ( h) = T1 ⎜ ⎟ − T1 ( h), 15 ⎝ 2 ⎠ 15
Δ
则消去h4 项，从而有
T2 ( h) = I + γ 1 h6 + γ 2 h8 + "
比较上式和(4.3.5), 即知上述方法得到的{T2 ( x )} 是
Cotes值序列.
一般地， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，继续下去，每加速一次，误差的量级就提高二阶. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
按公式
4m 1 ⎛ h⎞ Tm ( h) = m Tm −1 ⎜ ⎟ − m Tm −1 ( h) 4 −1 ⎝ 2 ⎠ 4 −1 Δ ⎛ ⎞ 其中 T ( h ) T ( h ) = ⎜ ⎟ 0 经过m ( m = 1, 2,")次加速后，有 ⎝ ⎠
{T0( k ) }的m次加速值，则由递推公式(4.3.11)有
(k ) Tm m 4m 4 ( k + 1) (k ) = m Tm − T k = 1, 2," m −1 , −1 m 4 −1 4 −1
(4.3.13)
利用上式可逐行构造出 T 数表：
T0(0) T0(1) T1(0) T0( 2) T1(1) T2(0) T0( 3) T1( 2) # # T2(1) # T3(0) # %
1 −x
⎤ ⎛a+b⎞ ⎜ 2 ⎟ + f (b)⎥ ⎝ ⎠ ⎦