2016北京市通州区高三(一模)数学(理)含答案

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）复数z=（2﹣i）2在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算、几何意义即可得出．【解析】：解：复数z=（2﹣i）2=3﹣4i在复平面内对应的点（3，﹣4）所在的象限是第四象限．故选：D．【点评】：本题考查了复数的运算、几何意义，属于基础题．2．（5分）已知双曲线离心率是，那么b等于（）A．1 B． 2 C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由双曲线离心率是，可得a=2，c=，即可求出b的值．【解析】：解：∵双曲线双曲线离心率是，∴a=2，c=，∴b==1，故选：A．【点评】：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据题意，得出该几何体的侧视图是什么，从而得出正确的结论．【解析】：解：根据题意，得；该几何体的侧视图是点A、D、D1、A1在平面BCC1B1上的投影，且NC1是被挡住的线段，应为虚线；∴符合条件的是B选项．故选：B．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．4．（5分）设a=﹣1，b=2log3m，那么“a=b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：集合．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若a=b，则2log3m=﹣1，解得，当时，b=2log3m=2log3=log3=﹣1，此时a=b，即“a=b”是“”的充要条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的运算法则是解决本题的关键．5．（5分）已知函数f（x）=那么该函数是（）A．奇函数，且在定义域内单调递减B．奇函数，且在定义域内单调递增C．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．偶函数，且在（0，+∞）上单调递增【考点】：分段函数的应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数的奇偶性和单调性的定义，注意函数的定义域的运用，加以判断即可得到．【解析】：解：函数f（x）=，定义域关于原点对称，当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣2x=﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=2﹣x=﹣f（x），则有对于x∈{x|x∈R，x≠0}，都有f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数，又x＞0时，f（x）=2x递增，x＜0时，f（x）=﹣2﹣x递增，又x＜0时，f（x）＜0，x＞0时，f（x）＞0，由单调性的定义可得f（x）在定义域内为递增函数．故选：B．【点评】：本题考分段函数的奇偶性和单调性的判断，主要考查定义法的运用，属于中档题．6．（5分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解析】：解：将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=cos（x+）的图象；令x+=kπ，k∈z，求得x=2kπ，故所得函数的图象的一条对称轴方程为x=，故选：D．【点评】：本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．（5分）李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金．李江同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95%，不同的选择方式的种数是（）A．3 B． 4 C． 5 D． 6【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：综合题；推理和证明．【分析】：设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z＞95，可得x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，即可得出结论．【解析】：解：设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z＞95，x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，故不同的选择方式的种数是3种，故选：A．【点评】：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的一条曲线，若存在实数t，使得f（x+t）+tf（x）=0对任意x都成立，则称f（x）是“回旋函数”．给下列四个命题：①函数f（x）=x+1不是“回旋函数”；②函数f（x）=x2是“回旋函数”；③若函数f（x）=a x（a＞1）是“回旋函数”，则t＜0；④若函数f（x）是t=2时的“回旋函数”，则f（x）在[0，4030]上至少有2015个零点．其中为真命题的个数是（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：①利用回旋函数的定义即可．②利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a2+3a+1=0，故可判断；③若指数函数y=a x为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得出结论．④由定义得到f（x+2）=﹣2f（x），由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点令x=0，2，2×2，3×2，…，2015×2，即可得到【解析】：解：对于①函数f（x）=x+1为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得x+t+1+t （x+1）=0，t（x+2）=﹣1﹣x，∴t=﹣，故结论正确．对于．②函数f（x）=x2是“回旋函数”若（x+t）2+tx2=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有t=0，令x=1，则有t2+3t+1=0，显然t=0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论不正确；对于③，若指数函数y=a x为阶数为t回旋函数，则a x+t+ta x=0，a t+t=0，∴t＜0，∴结论成立，对于④：若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x+2）+2f（x）=0对任意的实数x都成立，即有f（x+2）=﹣2f（x），则f（x+2）与f（x）异号，由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点，可令x=0，2，4，6，…，2015×2，则函数f（x）在[0，4030]上至少存在2015个零点．故结论正确故真命题为：①③④，故选：C．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3，m}，且B⊆A，那么实数m=2或4．【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：集合．【分析】：利用元素与集合之间的关系即可得出．【解析】：解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，m}，且B⊆A，∴m∈A，∴m=2或4．故答案为：2或4．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系，属于基础题．10．（5分）已知数列{a n}中，a2=2，a n+1﹣2a n=0，那么数列{a n}的前6项和是63．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解析】：解：∵a2=2，a n+1﹣2a n=0，∴a n+1=2a n，∴2a1=2，解得a1=1．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴S6==63．故答案为：63．【点评】：本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的结果是0．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=5时满足条件i＞4，退出循环，输出a的值为0．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得a=2，i=1不满足条件i＞4，a=，i=2不满足条件i＞4，a=1，i=3不满足条件i＞4，a=，i=4不满足条件i＞4，a=0，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出a的值为0．故答案为：0．【点评】：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值是解题的关键，属于基础题．12．（5分）如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PC过圆心O，且与圆O交于B，C两点，过C点作CD⊥PA，垂足为D，PA=4，BC=6，那么CD=．【考点】：相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】：选作题；推理和证明．【分析】：利用切割线定理，求出PO，利用△OAP∽△CDP，求出CD．【解析】：解：由题意，利用切割线定理可得：42=PB•（PB+6），∴PB=2，∴PO=5，连接OA，则OA⊥PA，∵CD⊥PA，∴△OAP∽△CDP，∴，∴∴CD=．故答案为：．【点评】：本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．13．（5分）11位数的手机号码，前七位是1581870，如果后四位只能从数字1，3，7中选取，且每个数字至少出现一次，那么存在1与3相邻的手机号码的个数是16．【考点】：计数原理的应用．【专题】：应用题；排列组合．【分析】：分类讨论，利用列举法，即可得出结论．【解析】：解：若重复的是1，有1317，1371，1137，7131，1713，7113，共6个；1，3交换，重复1317，7131，有4个若重复是3，有1337，1373，3137，7133，3713，7313，共6个；1，3交换，重复3137，7313，有4个若重复是7，有1377，7137，7713，3177，7317，7731，共6个，共有10+10+6=26．故答案为：26．【点评】：本题考查计数原理的运用，考查列举法，比较基础．14．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠ADC=120°，AD=DC=2，AB=4，动点M在△BCD内（含边界）运动，设=+μ，则λ+μ的取值范围是[1，]．【考点】：简单线性规划的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】：不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】：建立空间坐标系，利用向量的基本定理，求出M的坐标，利用线性规划的知识进行求解．【解析】：解：将四边形ABCD放入坐标系中，则A（0，0），D（0，2），B（4，0），∵∠ADC=120°，AD=DC=2，∴∠DCA=30°，AC=，则C（），设M（x，y），∵=+μ，∴（x，y）=λ（4，0）+μ（0，2）=（4λ，2μ），即x=4λ，y=2μ，则λ=，μ=，则λ+μ=+，设z=+，则y=+2z，平移直线y=+2z，由图象知当直线y=+2z经过点B（4，0）时，截距最小，此时z最小，z=，当直线y=+2z经过点C（）时，截距最大，此时z最大，即z=，故1≤z≤，故λ+μ的取值范围是[1，]，故答案为：[1，]【点评】：本题主要考查平面向量基本定理的应用以及线性规划的综合应用，建立坐标系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，，△ABC 的面积是．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2A的值．【考点】：正弦定理；余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得a的值，再利用余弦定理求得b的值．（Ⅱ）由正弦定理求得sinA的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2A的值．【解析】：解：（Ⅰ）因为△ABC的面积是，c=5，，所以=，即=，求得a=3．由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，求得b=7．（Ⅱ）由正弦定理，可得，∴．【点评】：本题主要考查正弦定理和余弦定理、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．16．（13分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（Ⅱ）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（Ⅲ）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用古典概型的概率公式，求出年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（Ⅱ）利用古典概型的概率公式，互斥事件的概率公式，求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（Ⅲ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A，所以．…（3分）（Ⅱ）设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，所以．…（7分）（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3．所以，，，．…（11分）所以X的分布列是…（12分）所以EX=0×+1×+2×=．…（13分）【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．17．（14分）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，且∠A1AC=，点O为AC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面A1OB；（Ⅱ）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点B关于AC的对称点是D，在直线A1A上是否存在点P，使DP∥平面AB1C．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】：综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）连结A1C，证明A1O⊥AC，BO⊥AC，可得AC⊥平面A1OB；（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式求二面角B1﹣AC﹣B 的余弦值；（Ⅲ）设在直线A1A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），．由，得．求出λ，即可得出结论．【解析】：（Ⅰ）证明：连结A1C，因为AC=AA1，，AB=BC，点O为AC的中点，所以A1O⊥AC，BO⊥AC．因为A1O∩BO=O，所以AC⊥平面A1OB．…（4分）（Ⅱ）解：因为侧面A1ACC1⊥底面ABC，所以A1O⊥平面ABC．所以A1O⊥BO．…（5分）所以以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，所以，，．设平面AB1C的法向量为，所以即所以．…（7分）因为平面ABC的法向量为，所以＜．所以二面角B1﹣AC﹣B的余弦值是．…（9分）（Ⅲ）解：存在．因为点B关于AC的对称点是D，所以点．…（10分）假设在直线A1A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），．所以．所以．所以．…（12分）因为DP∥平面AB1C，平面AB1C的法向量为，所以由，得．所以λ=1．…（13分）所以在直线A1A上存在点P，使DP∥平面AB1C，且点P恰为A1点．…（14分）【点评】：本题考查线面垂直，考查二面角的余弦值，考查线面平行，正确运用向量法是关键．18．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点是F（﹣1，0），上顶点是B，且|BF|=2，直线y=k（x+1）与椭圆C相交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若在x轴上存在点P，使得与k的取值无关，求点P的坐标．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）由椭圆C的左焦点是F（﹣1，0），且|BF|=2，可得c，a．再利用a2=b2+c2，得b2即可．（II）直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用数量积及其使得与k的取值无关，即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）∵椭圆C的左焦点是F（﹣1，0），且|BF|=2，∴c=1，a=2．由a2=b2+c2，得b2=3．∴椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）∵直线y=k（x+1）与椭圆C相交于M，N两点，联立方程组消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0．∴△=144k2+144＞0．设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，0），∴，．∴=（x1﹣x0）•（x2﹣x0）+y1y2=====，∵与k的取值无关，∴．∴．∴点P的坐标是．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（13分）已知函数f（x）=ae﹣x﹣x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，求证：2e﹣x﹣2＜x2﹣x．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=1时，求函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，利用导数研究函数的最值即可求a的取值范围；（Ⅲ）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明不等式．【解析】：解：（Ⅰ）因为f（x）=ae﹣x﹣x+1，a=1，所以f（x）=e﹣x﹣x+1．所以f'（x）=﹣e﹣x﹣1．所以f（0）=2，f'（0）=﹣2．所以切线方程是y﹣2=﹣2x，即2x+y﹣2=0．（Ⅱ）由f（x）＜0可得ae﹣x﹣x+1＜0．所以a＜（x﹣1）e x．令g（x）=（x﹣1）e x．所以g'（x）=xe x＞0．所以g（x）在（0，+∞）上单调递增．所以﹣1＜g（x）＜0．所以a≤﹣1．（Ⅲ）令．所以h'（x）=﹣2e﹣x﹣x2+1．…（9分）由（Ⅱ）可知，当a=﹣2时，f（x）=﹣2e﹣x﹣x+1＜0．所以h'（x）＜0．所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．所以h（x）＜h（0）=0．所以．【点评】：本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算和推理能力．20．（14分）设函数f（x）=，方程f（x）=x有唯一解，数列{a n}满足f（a n）=a n+1（n∈N*），且f（1）=数列{b n}满足b n=．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）数列{c n}满足c n=，其前n项和为S n，若存在n∈N*，使kS n=成立，求k的最小值；（Ⅲ）若对任意n∈N*，使不等式成立，求实数t的最大值．【考点】：数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）通过根的判别式为零可知=x有唯一解时，从而，计算可知，利用得a1=1；（Ⅱ）通过（Ⅰ）得b n=2n﹣1，通过拆项可知c n=（﹣），从而利用基本不等式解可得；（Ⅲ）对已知不等式变形及可知＞0，通过作商法可知g（n）是递增数列，计算即可．【解析】：解：（Ⅰ）∵，方程f（x）=x有唯一解，∴，即mx2+（2m﹣1）x=0（m≠0）有唯一解．∴△=4m2﹣4m+1=0．所以，∴，∴，∴a n a n+1+2a n+1﹣2a n=0，∴，∴，∵，∴，解得a1=1．所以数列首项为1，公差为的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴．∵，∴b n=2n﹣1，∴，∴=，∵，∴，所以，当且仅当，即n=2时等号成立．所以k的最小值是；（Ⅲ）∵，∴．令，∵，∴g（n）＞0，∴=，∴g（n）是递增数列，从而，∴．所以t的最大值是．【点评】：本题是一道数列与不等式的综合题，涉及到基本不等式，数列的单调性，根的判别式等知识，考查分析、解决问题的能力以及计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．。

2通州区—高三一模考试数学（理）试卷4月本试卷分第一部分和第二部分两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 （选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合{}|10A x x =-<，{}0,1,2B =，那么()UA B 等于A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}22．已知x ，y 满足0,1,2,x y x x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩那么2z x y =+的最小值是A. 1-B. 0C. 1D. 23．执行如右图所示的程序框图，若输出m 的值是25， 则输入k 的值可以是A ．4B ．6C ．8D ．104．设131log 6a =，31log 2b =，123c -=，那么A ．cb a B ．c a b C ．a b c D ．a c b5．“,210x bx -+>成立”是“[]0,1b ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线28y x =的准线与圆心为C 的圆22280x y x ++-=交于A ，B 两点，那么CA CB -等于A ．2B ．22C ．25D ．427．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示， 则该四棱锥侧视图的面积是是开始输出结束否输入A． B ．4 C． D ．28．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺. 起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底. 描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹. 现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹. 每道工序所需的时间（单位：小原料原料原料9 16 10 则完成这三件原料的描金工作最少需要A ．43小时B ．46小时C ．47小时D ．49小时第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．已知复数()()1i 1i a -+是纯虚数，那么实数a =_______. 10．若直线的参数方程为(为参数)，则点()4,0P 到直线的距离是_______.11．已知数列是等比数列，34a =，632a =，那么86a a =_______；记数列{}2n a n - 的前n 项和为n S ，则n S =_______.12．2位教师和4名学生站成一排合影，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_______（结果用数字表示）.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =， 下列判断：①若c =C 有两个解；②若12BC BA ⋅=，则AC 边上的高为 ③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是_______. 14．设函数，a ∈R ，非空集合{}|()0,M x f x x ==∈R .①M 中所有元素之和为_______； ②若集合()(){}|0,N x f f x x ==∈R，且，则的值是_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数()2sin cos 222x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目. 2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9 亿元，比上年增长17.4％，下面给出的是通州区2011-2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一.又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2％.（Ⅰ）在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；（Ⅱ）通过计算2011-2017这7年的平均增长率约为17.2％，现从2011-2017这7年中随机选取2个年份，记X 为“选取的2个年份中，增长率高于17.2％的年份个数”，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）设2011-2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较与的大小（只需写出结论）.17．（本题满分14分）如图所示的几何体中，平面PAD ⊥平面ABCD ,PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=，四边形ABCD 为直角梯形，//AB DC ，AB AD ⊥，2AB AD ==，//PQ DC ，1PQ DC ==.QD AP图一（亿元）（％）2011-2016年全社会固定资产投资及增长率201620152014201320122011图二201725.020.015.010.05.00.0（亿元）2011-2017年全社会固定资产投资及增长率201620152014201320122011（Ⅰ）求证：//PD 平面QBC ； （Ⅱ）求二面角Q BC A --的余弦值； （Ⅲ）在线段QB 上是否存在点M ，使得AM ⊥平面QBC ，若存在，求QMQB的值；若不存在，请说明理由. 18．（本题满分13分）已知函数,a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求证：；（Ⅱ）当时，求关于x 的方程的实根个数.19．（本题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B ，且2AB =，离心率为2，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是椭圆C 上的两个动点（不与A ，B 重合），且关于y 轴对称，M ，N 分别是OP ，BP 的中点，直线AM 与椭圆C 的另一个交点为D . 求证：D ，N ，Q 三点共线.20．（本题满分14分）已知数列{}n a ，设()11,2,3,n n n a a a n +∆=-=，若数列{}n a ∆为单调增数列或常数列时，则{}n a 为凸数列. （Ⅰ）判断首项，公比，且的等比数列{}n a 是否为凸数列，并说明理由；（Ⅱ）若{}n a 为凸数列，求证：对任意的1k m n ≤<<，且k ，m ，n ∈N ， 均有1n m m k m m a a a aa a n m m k+--≥-≥--，且{}1max ,m n a a a ≤；其中{}1max ,n a a 表示1a ，n a 中较大的数；（Ⅲ）若{}n a 为凸数列，且存在()1,t t n t <<∈N ，使得0t a a ≤，，求证：12n a a a ===.高三数学（理科）一模考试参考答案2018.4二、填空题9．1- 10.11. 4，221n n n ---12. 24 13. ②③ 14. 0，0三、解答题15. 解：（Ⅰ）因为()2sin cos 222x x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭2sin cos 222x x x =1si n 2x x =++sin ++32x π⎛⎫= ⎪⎝⎭． (4)分所以()f x 的最小正周期2.T π= (6)分（Ⅱ）因为[],0x π∈-，所以2+,333x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以当33x ππ+=，即0x =时，函数取得最大值3sin+3.32π= 当32x ππ+=-，即56x π=-时，函数取得最小值31+.2-所以()f x 在区间[],0π-和1+2- (13)分16. 解：（Ⅰ） (4)分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2. …………………… 5分24272(0)7C P X C ===，1134274(1)7C C P X C ===，23271(2)7C P X C ===. ……………… 8分所以X 的分布列为 (9)分所以X 的数学期望()2416012.7777E X =⨯+⨯+⨯=…………………… 10分 （Ⅲ）0x <. (13)分17. 解：（Ⅰ）因为//PQ CD ，PQ CD =，所以四边形PQCD 是平行四边形. 所以//.PD QC因为PD ⊄平面QBC ，QC ⊂平面QBC ， 所以//PD 平面.QBC (4)分（Ⅱ）取AD 的中点为O ，图二201725.020.015.010.05.00.0（亿元）2011-2017年全社会固定资产投资及增长率201620152014201320122011因为PA PD =，所以.OP AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ,OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面.ABCD …………………… 5分以点O 为坐标原点，分别以直线OD ，OP 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则x 轴在平面ABCD 内．因为90APD ∠=︒，2AB AD ===，1PQ CD ==， 所以(),,A -010，(),,B -210，(),,C 110，(),,Q 101，所以()1,1,1BQ =-，()0,1,1CQ =-. …………………… 7分设平面QBC 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n BQ n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00 即,.x y z y z -++=⎧⎨-+=⎩00所以,.x y z y z =+⎧⎨=⎩令1z =，则1y =，2x =.所以()2,1,1n =. …………………… 8分 设平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，所以cos ,6n m == 又因为二面角Q BC A --为锐角，所以二面角Q BC A --的余弦值是6…………………… 10分 （Ⅲ）存在. 设点(),,M a b c ，QM QBλ=，[]01.λ∈,所以()1,,1QM a b c =--，()1,1,1.QB =--所以+1a λ=， b λ=-， +1c λ=-. 所以点(),,.M λλλ+--+11所以(),,.AM λλλ=+-+-+111 又平面QBC 的法向量为()2,1,1n =，AM⊥平面QBC ，所以.λλ+-+=1121所以.λ=13所以在线段QB 上存在点M ，使AM ⊥平面QBC ，且QM QB的值是.13…………… 14分18. 解：（Ⅰ）设函数()()().xxF x f x g x xe ae a =-=-+当1=a 时，()1x x F x xe e =-+，所以'()xF x xe =.所以)0(，-∞∈x 时，'()0F x <；)0(∞+∈，x 时，'()0F x >. 所以()F x 在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增. 所以当0=x 时，()F x 取得最小值(0)0F =.所以()0F x ≥，即)()(x g x f ≥． …………………… 4分（Ⅱ）当1>a 时，'()(1)xF x x a e =-+， 令'()0F x >，即(1)0xx a e -+>，解得1x a >-； 令'()0F x <，即(1)0x x a e -+<，解得 1.x a <-所以()F x 在(1)a -∞-，上单调递减，在(1)a -+∞，上单调递增. 所以当1-=a x 时，()F x 取得极小值，即1(1)a F a a e --=-. (6)分令1()a h a a e-=-，则1'()1a h a e-=-.因为1>a ，所以'()0h a <. 所以()h a 在(1,)+∞上单调递减. 所以()(1)0h a h <<. 所以(1)0F a -<.又因为()0F a a =>，所以()F x 在区间),1(a a -上存在一个零点.所以在),1[+∞-a 上存在唯一的零点. …………………… 10分又因为()F x 在区间)1,(--∞a 上单调递减，且(0)0F =，所以()F x 在区间)1,(--∞a 上存在唯一的零点0. …………………… 12分所以函数)(x h 有且仅有两个零点，即使)()(x g x f =成立的x 的个数是两个.…………………… 13分19. 解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，2AB =，离心率2e =， 所以1b =，2c a = 所以由222a b c =+，得2 4.a = 所以椭圆C 的标准方程是22 1.4x y += …………………… 3分（Ⅱ）设点P 的坐标为()00,x y ，所以Q 的坐标为()00,x y -. 因为M ，N 分别是OP ，BP 的中点， 所以M 点的坐标为00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 点的坐标为001,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭. …………………… 4分所以直线AD 的方程为0021y y x x -=+. …………………… 6分代入椭圆方程2214x y +=中，整理得()()222000042820.x y x x y x ⎡⎤+-+-=⎣⎦ 所以0x =，或()()()0000220008222=.5442x y x y x y x y --=-+-所以()2000000002222431.5454x y y y y y x y y ---+-=⋅+=--所以D 的坐标为()200000022243,5454x y y y y y -⎛⎫-+- ⎪--⎝⎭. (10)分所以000000112.32QNy y y k x x x --+==-+ 又()20000000000243541.22354QD y y y y y k x y x x y -+---+==--+-所以D ，N ，Q 三点共线. …………………… 13分20.解：（Ⅰ）因为+12+1n n n a a a +∆=-，1n n n a a a +∆=-，所以+12+12n n n n n a a a a a +∆-∆=+-22n n n a q a a q =+-()()22121.n n a q q a q =+-=-因为，公比，且， 所以0n a >，()210.q ->所以()210.n a q ->所以等比数列{}n a 为凸数列. …………………… 3分（Ⅱ）因为数列}{n a 为凸数列，所以11=m m m m a a a a ++--，211m m m m a a a a +++-≥-，321m m m m a a a a +++-≥-，…，11.m n m m n m m m a a a a +-+--+-≥-叠加得()1()n m m m a a n m a a +-≥--. 所以1.n mm m a a a a n m+-≥--同理可证1.m km m a a a a m k+-≤--综上所述，1n m m km ma a a a a a n m m k+--≥-≥--. …………………… 7分 因为n m m k a a a a n m m k--≥--，所以()()()().n m m k m k a k m a n m a m n a -+-≥-+-所以()()().n k m m k a n m a n k a -+-≥-令1k =，()()11()1.n m m a n m a n a -+-≥- 所以11.11m n m n m a a a n n --⎛⎫≤+ ⎪--⎝⎭若1n a a ≤，则111()().1111m n n n n m n m m n ma a a a a a n n n n ----≤+≤+=---- 若1n a a ≥，则111111()().1111m n m n m m n ma a a a a a n n n n ----≤+≤+=---- 所以{}1max ,.m n a a a ≤ (10)分（Ⅲ）设p a 为凸数列}{n a 中任意一项，第11页 共11页 由（Ⅱ）可知，1max{,}.p n t a a a a ≤≤再由（Ⅱ）可知，对任意的1p m n ≤<<均有1m p n m m m a a a a a a n mm p +--≥-≥--， （1）当1p t n ≤<<时，t pn ta a a a n t t p --≥--.又因为n t a a ≤，所以0.t pn ta a a a n t t p --≥≥--所以.p t a a ≥（2）当1t p n <<≤时，11p tt a a a a p t t --≥--.又因为1t a a ≤，所以10.1p tt a a a a p t t --≥≥--所以.p t a a ≥（3）当p t =时，.p t a a =所以.p t a a ≥综上所述，.p t a a =所以12n a a a ===.…………………… 14分。

2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分,满分60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B D B C A BDAC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,满分20分.)13. 35 14.2211612x y += 15. 1(0,)216. 2015 三、解答题(本大题共6小题，满分70分.) 17、【解】 （Ⅰ）.1)6sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅-=πωωω依题意函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f 所以.1)632sin(2)(m x x f +-+=π分所以依题意的最小值为所以时当6.1)632sin(2)(.0,.)(,1)632sin(21,656326,],0[ -π+==≤π+≤π≤π+≤ππ∈x x f m m x f x x x （Ⅱ）.1)632sin(,11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f 22252,..863663622,,2sin cos cos(),2152cos sin sin 0,sin .102510sin 1,sin .122Rt C C C ABC A B B B A C A A A A A A πππππππ<+<+==∆+==+--±∴--==-<<∴= 而所以解得分在中解得分分18、∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB∴EF AE ⊥，EF BE ⊥ 又A E E B ⊥∴,,EB EF EA 两两垂直以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为轴 建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0）∴(2,2,0)EG = ，(2,2,2)BD =-,,x y z∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=∴B D E G ⊥-----------------6分()2由已知得(2,0,0)EB = 是平面DEF 的法向量,设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =∵(0,2,2),(2,2,0)ED EG ==∴00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =,得(1,1,1)n =- 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ则||23cos |cos ,|3||||23n EB n EB n EB θ=<>===∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33----------------12分 19．(本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP ………………10分 所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44k k kP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． 20.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）∵错误！未找到引用源。

2016北京市通州区高三（一模）数 学（文）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数()34i i +的虚部为（ ） A ．3B ．3iC ．4C ．4i2．设向量()()4,,2,1x ==-a b ，且⊥a b ，则x 的值是（ ） A ．2B ．2-C ．8C ．8-3．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．48B ．80C ．112D ．1444．若非空集合,A B 满足A B Þ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯”的值，则判断框内应填入（ ） A ．10k ≥B ．16k ≥C ．17k ≤D ．33k ≤6．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知点()3,0A ，过抛物线24y x =上一点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，若PB PA =，则P 的横坐标为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．528．已知正方体1111ABCD A BC D -，点,,E F G 分别是线段1,DC D D 和1D B 上的动点，给出下列结论： ①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1AF A E ⊥； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得1AF A E ⊥； ③对于任意给定的点G ，存在点F ，使得1AF B G ⊥； ④对于任意给定的点F ，存在点G ，使得1AF B G ⊥。

其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．）9．若数列{}n a 满足()*111,2n n a a a n N +==∈，则4a =______；前8项的和8S =______．（用数字作答）10．已知,x y 满足约束条件2,2,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩那么2z x y =+的最小值是______．11．在ABC ∆中，已知22,7,3BC AC B π===，那么ABC ∆的面积是______． 12．甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表，其中●表示一个数字被污损，则甲的平均成绩超过 乙的平均成绩的概率为______． 甲 89 91 90 88 92 乙83879●839913．已知函数()()22,log 1,x x af x x x a ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩在区间(],a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．14．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：()()()111222666,,,,,,A x y A x y A x y ⋅⋅⋅的横、纵坐标分别对应数列{}()*n a n N ∈的前12项，（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），如下表所示：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 1x1y2x2y3x3y4x4y5x5y6x6y按如此规律下去，则15a =______，2016a =______．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．16．（本小题13分）已知数列{}n a 满足()*112,2n n a a a n N +=-=∈，数列{}n b 满足134,14b b ==，且数列{}n n b a -是各项均为正数的等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2n n c b n =-，求数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上 面的折线代表可能出现的从高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温． （Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性； （Ⅱ）估计在10:00时最高气温和最低气温的差；（Ⅲ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）．18．（本小题14分）如图，在四棱锥ABCD P -，⊥PA 底面正方形ABCD ，E 为侧棱PD 的中点，F 为AB 的中点，2==AB PA .（Ⅰ）求四棱锥ABCD P -体积； （Ⅱ）证明：//AE 平面PFC ； （Ⅲ）证明：平面⊥PFC 平面PCD .已知点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，椭圆离心率为22． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点A 、B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定 值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本小题13分）已知函数()f x 和()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x e +=，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()(),f x g x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，分别求出曲线()y f x =和()y g x =切线斜率的最小值；（Ⅲ）设0,1a b ≤≥，证明：当0x >时，曲线()f x y x=在曲线()()21y ag x a =+-和 ()()21y bg x b =+-之间，且相互之间没有公共点．数学试题答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【答案】A 【解析】试题分析：()34i i +i 34+-=，故虚部为3. 考点：复数概念．学科网 2．【答案】C考点：平面向量坐标运算． 3．【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为正四棱锥，底面边长为8，斜高为5，故表面积为1448858214=⨯+⨯⨯⨯. 考点：三视图． 4．【答案】A 【解析】试题分析：由已知，当x A ∈时，x B ∈成立；反之，若x B ∈，x A ∈不成立，故选A. 考点：充要条件． 5．【答案】C考点：程序框图．【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给信息给循环结构中的判断框填加条件以使程序运行的结果是题目所给的结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看这是一个求几个数的乘积的问题，演算知235917⨯⨯⨯⨯五个数的积程序只需运行5次，运行5次后，k 的值变为33，此时程序不再进入循环体，即为所求式子． 6．【答案】B【解析】在⊙M 中，半径π2l r =，圆心角l x r x PMO π2==∠，由)21sin(21PMO r y ∠=，可得x ll y ππsin =，],0[l x ∈，故选B.考点：函数图象．【思路点睛】本题主要考查函数图象的识别与判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点，考查学生分析问题的能力．根据O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数图象，由图象可知函数值随自变量的变化成轴对称性并变化圆滑，由此即可排除A ，C ，D ．本题同时也可利用三角函数求出函数解析式，进而确认图象. 7．【答案】C考点：抛物线的定义．【思路点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，属于容易题．由于过抛物线24y x =上一点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，结合抛物线的定义，可得||||PF PB =，又PB PA =，故||||PF PA =，可知PAF ∆为等腰三角形，由点P 作AF 的垂直线，可知垂足为AF 的中点，进而求出点P 的坐标．学科网 8．【答案】B考点：空间中点线面的位置关系．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．） 9．【答案】8 255 【解析】OPM试题分析：由()*111,2n n a a a n N +==∈，可知数列{}n a 为等比数列，故48a =，8255S =.考点：等比数列． 10．【答案】1考点：简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查简单线性规划问题，属于基础题.处理此类问题时，首先应明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围等. 11．【答案】32【解析】试题分析：由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得1=c ，故ABC ∆的面积23sin 21==∆B ac S ABC . 考点：余弦定理． 12．【答案】45【解析】试题分析：由表可知甲5次体育测试的总分为450，乙的总分为a +442（其中a 为污点处数字，且9,,2,1,0 =a ），可得当甲的平均成绩超过乙的平均成绩，7,2,1,0 =a ，故所求概率为45. 考点：古典概型． 13．【答案】[]1,0-考点：函数的性质．14．【答案】4- 1008考点：归纳推理．【思路点睛】根据坐标纸所示的分形规律，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}()*n a n N ∈的前12项，,3,2,2,1,1,1654321===-===a a a a a a 7892,4,3a a a =-==，105a =，113a =-，126a =，，进而可归纳,,,21434n a n a n a n n n =-==--．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值2，最小值1-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）化简函数解析式，得)(x f 2sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得最小正周期为π；（Ⅱ）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2和1-. 试题解析：（Ⅰ）()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-sin 2cos 2x x =-…………………………………………………………………………………………………4分2sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

2016北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A =B =，则（　）。

（A ）（B ）（C ）（D ）【参考答案】C【答案解析】集合{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，而B =，因此可得{1,0,1}A B =- ，故选择C 。

【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

（2）若x,y 满足 ，则2x+y 的最大值为（　）。

（A ）0 （B ）3（C ）4 （D ）5【参考答案】C【答案解析】可行域如下图阴影部分，目标函数平移到如图虚线处取得最大值，对应的点为（1,2），故可得最大值为2×1+2=4，选择C 。

【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（　）。

（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【参考答案】B【答案解析】开始1,0a k ==；第一次循环1,12a k =-=； 第二次循环2,1a k =-=；第三次循环1a =，条件判断为“是”，跳出循环，此时2k =。

【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

（4）设a,b 是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（　）。

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【参考答案】D【答案解析】若|a|=|b|，则以|a|和|b|组成的平行四边形是菱形，而|a+b|和|a-b|分别表示菱形的对角线，而菱形的对角线是不一定相等的；反之，若|a+b|=|a-b|，那么以|a|和|b|组成的平行四边形为矩阵，而矩阵的相邻的两条边也不一定相等，因此选择D 。

2016年高三第一次联合模拟考试理科数学答案ABDACB BBACDC （注：11题4,e >∴D 选项也不对，此题无答案。

建议：任意选项均可给分）13. 2; 14.14; 15.8; 16. []1,3 17.解：（Ⅰ）证明：113133()222+-=-=-n n n a a a …….3分12111=-=a b 31=∴+n n b b ， 所以数列{}n b 是以1为首项，以3为公比的等比数列；….6分（Ⅱ）解：由（1）知，13-=n n b ，由111n n b m b ++≤-得13131n n m -+≤-，即()143331nm +≤-，…9分 设()143331=+-n nc ，所以数列{}n c 为减数列，()1max 1==n c c ， 1∴≥m …….12分18解：（Ⅰ）平均数为500.051500.12500.153500.34500.155500.26500.05370⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………….4分 （Ⅱ）X 的所有取值为0,1,2,3,4． ……….5分由题意，购买一个灯管，且这个灯管是优等品的概率为0.200.050.25+=，且1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭4413()(0,1,2,3,4)44-⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭kkk P X k C k所以044181(0)C (1)4256P X ==⨯-=， 1341110827(1)C (1)4425664P X ==⨯⨯-==， 2224115427(2)C ()(1)44256128P X ==⨯-==， 331411123(3)C ()(1)4425664P X ==⨯-==， 4404111(4)C ()(1)44256P X ==⨯-=． 以随机变量X 的分布列为：X0 1 2 34 P81256 2764 27128 3641256……………………….10分所以X 的数学期望1()414E X =⨯=．…….12分 19.（Ⅰ）证明：四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥.⊥AE 平面ABCD ,BD ⊂平面ABCDBD AE ∴⊥.⋂=AC AE A ,BD ∴⊥平面ACFE .………….4分 （Ⅱ）解：如图以O 为原点，,OA OB 为,x y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系.则(0,3,0),(0,3,0),(1,0,2),(1,0,)(0)B D E F a a -->，(1,0,)=-OF a .…………6分设平面EDB 的法向量为(,,)=n x y z ， 则有00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n OB n OE ，即3020y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令1z =，(2,0,1)=-n .…………8分由题意o2||2sin 45|cos ,|2||||15⋅=<>===+OF n OF n OF n a 解得3a =或13-. 由0>a ，得3=a . …….12分20. 解：（Ⅰ）由题意得22222,3122 1.a b c ca a b⎧⎪⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩解得 2.1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为2214x y +=. …….4分（Ⅱ）存在0x .当04x =时符合题意. 当直线l 斜率不存在时，0x 可以为任意值.设直线l 的方程为(1)y k x =-,点A ,B 满足：22(1),1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩所以A x ,B x 满足2224(1)4x k x +-=,即2222(41)8440k x k x k +-+-=. 所以22222222(8)4(41)(44)0,8,4144.41A B A B k k k k x x k k x x k ⎧⎪∆=-++>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩………8分 不妨设1A x >>B x ，因为||||A B d PB d PA ⋅-⋅=2001[|||1||||1|]A B B A k x x x x x x +-⋅---⋅-2001[2(1)()2]0A B A B k x x x x x x =+-+++=从而2200228(1)8(1)204141x k k x k k +--+=++.整理得0280x -=，即04x =. 综上，04=x 时符合题意.…….12分21.解：（Ⅰ）'()2xf x e ax =-，由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+， 解得，1,2a b e ==-． …….4分（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知，[]2(),'()21210,0,1xxf x e x f x e x x x x x =-∴=-≥+-=-≥∈，故()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-．法2：由（Ⅰ）知，2(),'()2,''()2xxxf x e x f x e x f x e =-∴=-=-，'()f x ∴在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，所以，'()'(ln 2)22ln 20f x f ≥=->，所以，()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-． …….7分（Ⅲ）因为(0)1f =，又由（Ⅱ）知，()f x 过点(1,1)e -，且()y f x =在1x =处的切线方程为(2)1y e x =-+，故可猜测：当0,1x x >≠时，()f x 的图象恒在切线(2)1y e x =-+的上方．下证：当0x >时，()(2)1f x e x ≥-+．设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则'()2(2),''()2x xg x e x e g x e =---=-， 由（Ⅱ）知，'()g x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 又'(0)30,'(1)0,0ln 21,'(ln 2)0g e g g =->=<<∴<， 所以，存在()00,1x ∈，使得'()0g x =， 所以，当()()00,1,x x ∈+∞时，'()0g x >；当0(,1)x x ∈，'()0g x <，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 又2(0)(1)0,()(2)10xg g g x e x e x ==∴=----≥，当且仅当1x =时取等号．故(2)1,0x e e x x x x+--≥>． 由（Ⅱ）知，1xe x ≥+，故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，当且仅当1x =时取等号．所以，(2)1ln 1x e e x x x x+--≥≥+． 即(2)1ln 1x e e x x x+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+， 即(1)ln 10x e e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立． …….12分 22. 解：（Ⅰ）作'AA EF ⊥交EF 于点'A ，作'BB EF ⊥交EF 于点'B .因为''A M OA OM =-，''B M OB OM =+， 所以2222''2'2A M B M OA OM +=+.从而222222''''AM BM AA A M BB B M +=+++2222('')AA OA OM =++.故22222()AM BM r m +=+ ……5分（Ⅱ）因为EM r m =-，FM r m =+，所以22AM CM BM DM EM FM r m ⋅=⋅=⋅=-.因为2222AM BM AM BM AM BM CM DM AM CM BM DM EM FM ++=+=⋅⋅⋅ 所以22222()AM BM r m CM DM r m++=-. 又因为3=r m ，所以52+=AM BM CM DM ． …………….10分 23.解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ. 圆C 的普通方程分别是22(2)4x y +-=，所以圆C 的极坐标方程分别是θρsin 4=. …….5分（Ⅱ）依题意得，点M P ,的极坐标分别为⎩⎨⎧==,,sin 4αθαρ和⎩⎨⎧==.,8sin αθαρ 所以αsin 4||=OP ，αsin 8||=OM ， 从而2||4sin sin 8||2sin OP OM ααα==.同理，2sin ()||2||2OQ ON πα+=. 所以||||||||OP OQ OM ON ⋅222sin ()sin sin (2)22216πααα+=⋅=， 故当4πα=时，||||||||OP OQ OM ON ⋅的值最大，该最大值是161. …10分 24.解 ：（Ⅰ）由已知得32x m -<-，得51m x m -<<+，即3m = …… 5分（Ⅱ）()x a f x -≥得33x x a -+-≥恒成立33()3x x a x x a a -+-≥---=-（当且仅当(3)()0--≤x x a 时取到等号）33∴-≥a 解得6a ≥或0a ≤故a 的取值范围为 0a ≤或6a ≥ …… 10分。

通州区2016年高三年级模拟考试（一）理科综合能力测试2016年4月本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共12页。

第Ⅰ卷1页至4页，第Ⅱ卷5页至12页。

满分300分。

考试时间150分钟。

考生务必将答案答在答题卡．．．．．．．．．．上．，在试卷上作答无效。

可能用到的相对原子质量：H —1、C —12、O —16、S —32、Fe —56第Ⅰ卷（选择题 每题6分共120分）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、学校、考号填写清楚并认真填涂考号下方的涂点。

2. 答题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，以盖住框内字母为准，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案。

请在下列各题的四个选项中选出唯一．．符合题目要求的选项。

一、选择题：6．化学与社会、生产、生活、环境等密切相关，下列说法不正确的是ABCD使用填埋法处理未经分类的生活垃圾食用油脂能促进人体对某些维生素的吸收利用二氧化碳可制造全降解塑料，有利于缓解温室效应药皂中的少量苯酚，可起到杀菌消毒的作用7．下列解释事实的方程式不正确．．．的是 A ．明矾净水：Al 3+ + 3H 2OAl(OH)3 (胶体)+ 3H +B ．用稀HNO 3清洗试管内壁上的银：Ag + 2H + + NO 3-= Ag + + NO 2↑+ H 2O C ．实验室盛装NaOH 溶液的试剂瓶不能用玻璃塞：SiO 2+2OH －= SiO 23-+H 2O D ．焊接钢轨：2Al + Fe 2O 32Fe + Al 2O 38．氢气用于烟气的脱氮、脱硫反应：4H 2(g) + 2NO(g) + SO 2(g)N 2(g) + S(l) + 4H 2O(g)ΔH ﹤0。

下列有关说法正确的是 A ．当4v (H 2)= v (N 2)时，反应达到平衡B ．升高温度，正反应速率减小，逆反应速率增大C ．使用高效催化剂可提高NO 的平衡转化率D ．化学平衡常数表达式为 K =c (N 2)·c 4(H 2O)c (SO 2)·c 2(NO)·c 4(H 2)9．下列说法正确的是A．100℃时水的离子积常数K w为5.5×10-13，说明水的电离是放热反应B．配制Fe(NO3)2溶液时，为了防止Fe2+水解可向溶液中加入适量的稀硝酸C．NaClO溶液中通入少量CO2，ClO－水解程度增大，溶液碱性增强D．0.1 mol/L CH3COOH 溶液加水稀释后，CH3COOH的电离程度和溶液中c(OH－)都增大10．乙烯催化氧化成乙醛可设计成如图所示的燃料电池，在制备乙醛的同时能获得电能，其总反应为：2CH2=CH2+O2→2CH3CHO 。

否是S=S ∙A A=A+k k>4k=k+2k=1输出S 输入A,S 结束开始北京市西城区2016高三一模试卷数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}240A x x x =+<，集合{}21,B n n k k ==-∈Z ，则A B =（ ）． A ．{}1,1-B ．{}1,3C ．{}3,1--D ．{}3,1,1,3--2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），则C 曲线是（ ）．A ．关于x 轴对称的图形B ．关于y 轴对称的图形C ． 关于原点对称的图形D ．关于y x =对称的图形3．如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）． A ． ()y x f x =+B ．()y xf x =C ．()2y x f x =+D ．()2y x f x =4．在平面直角坐标系xOy 中，向量()1,2OA =-,()2,OB m =，若O ，A ，B 三点构成的三角形，则（ ）． A ． 4m =-B ．4m ≠-C ．1m ≠D ．m ∈R5．执行如图所示的程序库按图，若输入的A 、S 分别为0，1则输出的S =（ ）． A ．4B ．16C ．27D ．366．设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(),0a ∈-∞ ”是“12log x x a >+”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），且函数()f x 的部分图像如图所示，则有（ ）．A ．357436f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．375463f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ． 573364f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．537346f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．如图，在棱长为()0a a >的正四面体ABCD 中，点B ，C ，D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V F x =，则（ ）． A ．当23x =时，函数()f x 取得最大值 B ．函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C ．函数()f x 的图像关于直线12x =对称 D ．存在0x ，使得()013A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12z z =__________． 10．已知等差数列{}n a 的公差0d >，33a =-，245a a =，则n a =________；记{}n a 的前项和为n S ，则n S 的最小值为________．11．若圆()2221x y -+=和双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线相切，则a =________；双曲线C 的渐近线方程是________．12．一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是yO x5π6π12AD CBD 1C 1B 1A 1________．13．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者工作，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，共有 种不同的志愿者分配方案________．（用数字作答）14．一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度和行驶路程之间的关系．根据图1，有一些四个说法：①在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加； ②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km ；③大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ④在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹． 其中，所有正确说法的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设3A π=，sin 3sin B C =．俯视图22（Ⅰ）若7a =b 的值；（Ⅱ）求tan C 的值． 16．（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被成为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计，高一全年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，至少有1人体育成绩在[)60,70的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[)70,80，[)80,90，[]90,100三组中，其中a ，b ，c ∈N ，当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，写出a ，b ，c 的值．（结论不要求证明） （注：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）17．（本小题满分14分）如图，四边形为梯形ABCD ，DAD BC ∥，90BAD ∠=，四边形11CC D D 为矩形，已知1AB BC ⊥，4AD =，2AB =，1BC =．（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1ADD ；（Ⅱ）若12DD =，求平面11AC D 和平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设P 为线段1C D 上的一个动点（端点除外），判断直线1BC 和直线CP 能否垂直？并说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()1e e x x f x x a -=- ，且()'1e f =．D 1C 1DCBA（Ⅰ）求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程()()222f x kx k =->存在两不相等的正实数根1x ，2x ，证明：124lnex x ->． 19．（本小题满分14分）已知椭圆()22:310C mx my m +=>的长轴长为26O 为坐标原点（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）设点()3,0A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值． 20．（本小题满分13分）设数列{}n a 和{}n b 的项均为m ，则将数列和的距离定义为1mi ii a b=-∑．（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离 （Ⅱ）设A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 得最大值；（Ⅲ）记S 是所有7项数列{7,10n n n a a =≤≤或}1的集合，T S ⊆，且T 由任何两个元素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16．北京市西城区2015-2016学年度第二学期高三年级统一测试数学答案（理工类） 2016．4一、选择题：（满分40分） 题号 123 4 5 6 7 8 答案 CABBD A D A题号 91011 12 13答案i29n a n =-,16-3，33y x =±621 ①④三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分） (1)解：因为sin 3sin B C =， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得3b c =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及π3A =，7a =，得227b c bc =+- 所以222()733b b b +-=，解得3b =.（2）解：由π3A =，得2π3B C =-， 所以2πsin()3sin 3C C -=． 即31cos sin 3sin 2C C C +=， 所以35cos sin 2C C =， 所以3tan C =． 16．（本小题满分13分）（1）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人， 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人． （2）解：设“至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ， 由题意，得232537()111010C P A C =-=-=，因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是710. （3）解：,,a b c 的值分别为79,84,90；或79,85,90． 17．（本小题满分14分）解：（1）证明：由为11CC D D 矩形，得11//CC DD ， 又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ， 所以1//CC 平面1ADD ， 同理//BC 平面1ADD ， 又因为1BCCC C =，所以平面1//BCC 平面1ADD ， 又因为1BC ⊂平面1BCC ， 所以1//BC 平面1ADD ．（2）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，得AB BC ⊥． 又因为1AB BC ⊥，1BCBC B =，所以AB ⊥平面1BCC 所以1AB CC ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 和CD 相交一点， 所以1CC ⊥平面ABCD ， 因为11//CC DD 所以1DD ⊥平面ABCD过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以DA ,DM ,1DD 两两垂直，以分DA ,DM ,1DD 别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ,(4,0,0)A ,(4,2,0)B ,(3,2,0)C ,1(3,2,2)C ,1(0,0,2)D , 所以1(1,2,2)AC =-,1(4,0,2)AD =- 设平面11AC D 的一个法向量为(,,z)x y =m 由10AC ⋅=m ，10AD ⋅=m ，得220,420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,3,4)=-m易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n ． 所以329cos ,⋅<>==m n m n m n ． 即平面11AC D 和平面1ADD 329（3）结论：直线1BC 和CP 不可能垂直． 证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈． 由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D 得1(1,0,)BC m =-，1(3,2,)DC m =，1(3,2,)DP DC m λλλλ==，(3,2,0)CD =--，(33,22,)CP CD DP m λλλ=+=--，若1BC CP ⊥，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=，即2(3)3m λ-=-. 因为0λ≠ 所以2330m λ=-+>，解得1λ>，这和01λ<<矛盾．所以直线1BC 和CP 不可能垂直． 18．（本小题满分14分）（1）解：对()f x 求导，得1'()(1)e e x x f x x a -=+-，所以'(1)2e e f a =-=，解得e a =． 故()e e x x f x x =-，'()e x f x x =． 令'()0f x =，得0x =．当x 变化时，'()f x 和()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞ 0(0,)+∞'()f x -+()f x(0,)+∞． （2）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=． 设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+． 求导，得'()e 2(e 2)x x g x x kx x k =-=-． 由'()0g x =，解得0x =，或ln(2)xx =.所以当(0,)x ∈+∞变化时，'()g x 和()g x 的变化情况如下表所示：x(0,ln(2))kln(2)k (ln(2),)k +∞'()g x -+()g x)上单调递增． 由2k >，得ln(2)ln 41k >>． 又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <．不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根）．因为函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<， 所以101x <<．同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <． 可得2ln(2)ln 4x k >>，所以12214ln 41ln e x x x x -=->-=，即124ln ex x ->.19．（本小题满分13分）（1）解：由题意，椭圆22:1113x y C m m+=所以21a m =，213b m=， 故12226a m=16m =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=． 因为222c a b =-=， 所以离心率6c e a ==（II ）解：设线段AP 的中点为D ， 因为BA BP =， 所以BD AP ⊥，由题意，直线BD 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠， 则点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-． 所以直线BD 的斜率为0031AP x k y --=， 所以直线BD 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=- 令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-， 由2200162x y +=，得220063x y =-． 化简，得20023(0,)2y B y --． 所以四边形OPAB 的面积OPAB OAP OABS S S =+△△2000231133222y y y --=⨯⨯+⨯⨯2000233()22y y y --=+ 0033(2)22y y =+00332222y y ≥⨯⨯33= 当且仅当00322y y =，即03[2,2]y =-时等号成立． 所以四边形OPAB 面积的最小值为33 20．（本小题满分13分）(1)解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7．(2)解：设1a p =，其中0p ≠，且1p ≠±．由111n n n a a a ++=-，得，211p a p +=-，32a p =-，411p a p -=+，5a p = 所以15a a =，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次．所以{}n b 中，432k b -=，423k b -=-，4112k b -=-，413k b =(*k ∈N )所以{}n c 中，433k c -=,422k c -=-,4113k c -=-,412k c =(*k ∈N )由111k ki i i i i i b c b c +==-≥-∑∑，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大．由4173i i i b c =-=∑，得3456486411786420163i i i i i i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑．所以当3456m <时，12016mi i i b c =-<∑．故m 的最大值为3455．(3)证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个． 因为数列{}n a 中，0i a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组123(,,)a a a 有且只有8个： (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)．那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a ．设这三个数列分别为{}n c ：1234,,,c c c c ,567,,c c c ；{}n d 1234567:,,,,,,d d d d d d d ；{}n f :1234567,,,,,,f f f f f f f ，其中111c d f ==，222c d f ==，333c d f ==． 因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3．所以{}n c 和{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=中至少有3个成立． 不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠．由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1． 又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立．同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立， 所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”，或“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立” 中必有一个成立．所以712i i i f c =-≤∑和712i i i f d =-≤∑中必有一个成立．这和题意矛盾，所以T 中的元素个数小于或等于16．选填分析一、选择题 1.【答案】C【解答】解：由240x x +<，解得40x -<< ∴{|40}A x x =-<<又∵{|21,}B n n k k ==-∈Z ∴{3,1}A B =-- 故选：C2.【答案】A【解答】解：由222x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩得22(2)2x y -+=表示圆心为(2,0)2 所以曲线C 是关于x 轴对称的图形． 故选：A 3.【答案】B【解答】∵y x =是奇函数，()y f x =为奇函数 ∴()y xf x =是偶函数． 故选：B 4.【答案】B【解答】∵O ,A ,B 三点能构成三角形 ∴OA 和OB 不共线又(1,2)OA =-，(2,)OB m = ∴40m --≠ ∴4m ≠- 故选：B 5.【答案】D 【解答】解：由程序框图知， 0,1,1A S k ===第1次循环，011A =+=,111S =⨯=，3k =． 第1次循环，134A =+=,144S =⨯=，5k =． 第1次循环，459A =+=,4936S =⨯= 此时54k =>，跳出循环． 输出36S = 故选：D 6.【答案】A【分析】由12log x x a >+，得12log x x a ->∵12log y x =是减函数，y x =-是减函数∴12log y x x =-是减函数又∵102x <<∴1122111log log 222x x ->-= ∴12a ≤． 即“1(0,),2x ∈12log x x a >+”等价于“12a ≤”又∵1(,0)(,]2-∞⊆-∞∴“(,0)a ∈-∞”是“12log x x a >+”的充分不必要条件．故选：A 7.【答案】D 【解答】解：由函数的图象可知，35π3ππ46124T =-=∴πT =.∴33π(π)(ππ)()444f f f -=-+=552(π)(ππ)(π)333f f f =-= 771(π)(ππ)(π)666f f f =-= 结合图象知，()f x 在πππ[,]12122+即π7π[,]1212上单调递减，且()f x 关于7π12x =对称．∴2(π)3f 7π2π(2π)()1232f f =⨯-=∴5π(π)()32f f =又∵ππππ7π1264212<<<<∴πππ()()()642f f f >>∴735(π)(π)(π)643f f f >->故选：D 8.【答案】A 【解答】解：设四棱锥1111A B C D -的高为'h ，四棱锥A BCD -的高为h ．∵面111B C D //平面BCD∴111~B C D BCD △△,11~AC D ACD △△ ∵11A DAD x =∴11C D x CD =，'1h x h=- ∴1112B C D BCD S x S =⋅△△，'(1)h x h =-∴1111'3B C D V S h =⋅△21(1)3BCD x x S h =-⋅⋅△2(1)A BCD x x V -=-⋅即()f x 2(1)A BCD x x V -=-⋅h'hD 1C 1B 1A 1CDBA令2()(1)g x x x =-22'()2(1)32g x x x x x x =--=-+令'()0g x =，得0x =或23x =2(0,)3x ∈时，'()0g x >，()g x 单增,2(,1)3x ∈时，'()0g x <，()g x 单减．∴当23x =时，()g x 有最大值，即()f x 有最大值．故选：A ． 二、填空题9．【答案】i【解答】 ∵复数1z 和2z 对应的点关于虚轴对称，且11z i ，∴21z i ， ∴2121(1)(1)121(1)(1)2z i i i i i i z ii i ．故答案为i ．10．【答案】29n a n =-；16-． 【解答】设数列{}n a 的首项为1a ，123a d ，(3)(3)5d d ，解得12,7d a ， ∴7(1)229n a n n ； ∴40a ，50a ， ∴n S 的最小值为4753116S ．故答案为：29n a n =-；16-． 11．3，3y x =． 【解答】双曲线的渐近线方程为1y x a=±，即0x ay ±=，∴圆和双曲线的渐近线相切，2211a=+，由0a >，解得3a =故双曲线的渐近线方程为3y x =． 33y =． 12．【答案】6【解答】该几何体的直观图如图所示： 因此截面为PBC △，由题可知25,22PB PC BC ， ∴PBC △中BC 边上的高等于PD20232，所以截面面积为1223262故答案为：6DACB13．【答案】21【解答】若甲、乙二人都参加了，则有13A 种分配方案；若甲、乙二人中只有一个人参加，则有1223C A ⋅种分配方案； 若甲、乙二人都不参加，则有33A 种分配方案；∴共有13A +1223C A ⋅33312621A +=++=种分配方案． 故答案为：21．14．【答案】①④． 【解答】由图看，在2.6km 到2.8km 之间，赛车速度从100逐渐增加到140/km h ，①对；从0.4km 到1.2km 这段，赛车应该是直道加速到平稳行驶，最长直线路程超过0.6km ，②错； 从1.4km 到1.8km 之间，赛车开始最长直线路程行驶，③错；从图1看，赛车先直线行驶一小段，然后减速拐弯，然后直线行驶一大段距离，再减速拐弯，再直线行驶一大段，拐弯后行驶一中段距离，曲线B 最符合，④对． 故答案为：①④．。

北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．3一、选择题：（满分40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B C D A C二、填空题：（满分30分） 题号9 10 11 12 13 14 答案 10 21n a n =-,(3)(411)n n ++ (2,)4π 3(,]4-∞ 3(0,)4 121||i i i ab =-∑ 22（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1ω=时，213()sin 3cos 222x f x x =+- 13sin cos 22x x =+ sin()3x π=+． 令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ． 解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分 （Ⅱ）由213()sin 3cos 222x f x x ωω=+- 13sin cos 22x x ωω=+ sin()3x ωπ=+． 因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=． 则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ． 解得162n ω=+． 又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>， 所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ．由题意可知， 13+417()=12896P A ⨯⨯=⨯．………………………………………4分 （Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4． 由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；44481(4)70C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为 X0 1 2 3 4 P 170 835 1835 835 170随机变量X 的均值116361610123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分 （Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥．又因为1AC AA ⊥且1AB AA A =，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ．因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知 11111222AB AC AA A B AC =====，所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ． 因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ． 易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ．设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ， y x AMPCB A 1C 1B 1 z由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角， 所以3317cos ,1717⋅〈〉===⋅m nm n m n ． 所以二面角P AM B --的余弦值为31717．………………………………9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-， 所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-．设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =，得02(1,1,)2λλ-=-n （显然0λ=不符合题意）． 又1(2,0,2)AC =-，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥n ． 所以10220AC λλ-⋅=--=n ．所以23λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且12BP PB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x a f x x x+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，． ……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-．（3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分 （Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()a y x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)a x a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<．故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式．因此当0a <时，切线的条数为0．（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<． 取21+1e e a x =>，则221112()(1e 1)2e 0a a g x a a a----=++--=>． 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点． 取2-1-21e<e a x =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a +=-+． 设21(1)t t a=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >． 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =． 因为(2,1)P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．所以12PF F ∆的周长为422+． 易得椭圆的离心率2=2c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)由22220,1,42x y m x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩得2242280x mx m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1222x x m +=-，21284m x x -=, 1122x m y +=，2222x m y +=． 显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ， 则1212121122y y k k x x --+=+-- 12211222(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x m x x x x ++--+--=-- 122112(22)(2)(22)(2)2(2)(2)x m x x m x x x +--++--=-- 1212121222(4)()22422[2()2]x x m x x m x x x x +-+-+=-++ 2121222(8)(4)228216244442[2()2]m m m m x x x x ----+=-++ 2121222(8)(4)22821628[2()2]m m m m x x x x ----+=-++ 2212122216222828216208[2()2]m m m m x x x x --+-+==-++． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）观察数列}{n a 的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…. 因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52，最小公比是4. （ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.又31n n k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ， 即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N .再证n k 为正整数.显然11k =为正整数，2n ≥时，1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅， 即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数. 所以，所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列，且115k c a ==，22231k c a k ==-，所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故15(31)n n c m -=⋅+.只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+. 只要证11[5(31)1]3n n k m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数. 又2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，故2n ≥时，n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.…………………………………………………………………………………………13分DABC海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

俯视图A B C D通州区2016年高三年级模拟考试（一）数学（文）试卷2016年4月本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．复数i(34i)+的虚部为 A ．3B ．3iC ．4D ．4i2．设向量()4,x =a ，()2,1=-b ，且⊥a b ，则x 的值是 A ．2B ．-2C ．8D ．-8 3．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示， 则该几何体的表面积为A ．48B ．80C ．112D ．1444．若非空集合A ，B 满足A B ⊂≠，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D5．如图所示的程序框图表示求算式“”的值，则判断框内应填入 A ．k ≥10 B ．k ≥16C ．k ≤17D ．k ≤336．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是7．已知点()3,0A ，过抛物线24y x =上一点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，若||||PB PA =，则点P 的横坐标为A ．1B ．32 C ．2 D ．528．已知正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F ，G 分别是线段DC ，D 1D 和D 1B 上的动点，给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得AF ⊥A 1E ； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得AF ⊥A 1E ； ③对于任意给定的点G ，存在点F ，使得AF ⊥B 1G ； ④对于任意给定的点F ，存在点G ，使得AF ⊥B 1G ． 其中正确结论的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．若数列{}n a 满足111,2()n n a a a n N *+==∈，则4a = ；前8项的和8S = .（用数字作答）10．已知,x y 满足约束条件2,2,1x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最小值是．11．在△ABC 中，已知2BC =，AC =，23B π=，那么△ABC 的面积是 ． 12．甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表，其中●表示一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．13．已知函数()22()log 1,x x a f x x x a⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，在区间(],a -∞上单调递减，在(,a +∞取值范围是 ．14．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往 上的六个点：()()()111222666,,,A x y A x y A x y ，，，的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，（即横坐标为奇数项， 纵坐标为偶数项），如下表所示：按如此规律下去，则a 15= ，a 2 016＝ ．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．（本小题13分）已知函数22()=sin +2sin cos cos f x x x x x -． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．16．（本小题13分）已知数列{}n a 满足21=a ，*12()n n a a n +-=∈N ，数列{}n b 满足41=b ，143=b ，且数列{}n n a b -是各项均为正数的等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令n b c n n 2-=，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n c 1的前n 项和n T ．17．（本小题13分）中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）估计在10:00时最高气温与最低气温的差； （Ⅲ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）．18．（本小题14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面正方形ABCD ，E 为侧棱PD 的中点，F为AB 的中点，P A =AB=2．（Ⅰ）求四棱锥ABCD P -体积； （Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ；（Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．19．（本小题14分）已知点12⎛ ⎝⎭，在椭圆2222:1x y C a b +=(a >b >0)上，椭圆离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点A 、B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本小题13分）已知函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf x gx e +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数)(x f ，)(x g 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，分别出求曲线()y f x =和()y g x =切线斜率的最小值； （Ⅲ）设0≤a ，1≥b ，证明：当0>x 时，曲线()f x y x=在曲线()()21y ag x a =+- 和()()21y bg x b =+-之间，且相互之间没有公共点.D。

2016年北京市通州区高考数学一模试卷(理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．)1．复数z=在复平面上对应的点位于( ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．如图的程序框图输出S的值为（）A．16 B．32 C．64 D．1283．若非空集合A,B,C满足A∩B=C，且A不是B的子集，则“x∈C”是“x∈A"的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（)A．24 B．20+4C．28 D．24+45．已知｛a n}是首项为2且公差不为0的等差数列，若a1,a3，a6成等比数列，则{a n｝的前9项和等于（）A．26 B．30 C．36 D．406．若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B． C．D．7．已知点A（3,0)，点P在抛物线y2=4x上，过点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，|PB｜=|PA｜,则cos∠APB的值为（）A．B． C．﹣ D．﹣8．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x）,h（x）满足条件：∀x∈D,点（x,g（x)) 与点（x，h(x））都关于点（x，f(x）)对称,则称h（x）是g(x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=,f（x）=3x+b，h（x）是g(x)关于f(x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x)恒成立，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣］B．C．D．［，+∞)二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．)9．（x2+）6的展开式中x3的系数是_______．（用数字作答) 10．在△ABC中，∠A=60°，AC=1,△ABC的面积为，则BC的长为_______．11．如图,圆O的直径AB=4，直线CE和圆O相切于点C,AD⊥CE 于D，若∠ABC=30°,则AD的长为_______．12．若，,是单位向量，且•=0，则（﹣)•(﹣）的最大值为_______．13．已知函数f(x）=|log2x|．若0＜b＜a，且f(a）=f（b），则2a+b 的取值范围是_______．14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数,纵坐标表示黑圈的个数)．比如第一行记为（0,1），第二行记为（1,2)，第三行记为（4，5），照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_______，第n（n∈N＊)行中白圈与黑圈的“坐标”为_______．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．已知函数f（x)=cosx（sinx﹣cosx）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；(Ⅱ）当时，求函数f（x)的最大值和最小值．16．中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图）,其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．(Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）;（Ⅲ）在内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差)依次记为t1，t2，t3，…，t16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3°的概率．17．如图，在多面体ABCD﹣EF中,四边形ABCD为正方形,EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2,∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（Ⅰ）求证：EH∥平面FBD;（Ⅱ）求证：EH⊥平面ABCD;(Ⅲ)在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为?若存在求出BP的长，若不存在请说明理由．18．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a≠0）．(Ⅰ）当a=时，求函数f（x)的零点；(Ⅱ)求f(x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时,若f(x)+≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．19．已知椭圆M：x2+2y2=2．（Ⅰ）求椭圆M的离心率；(Ⅱ）设O为坐标原点，A，B，C为椭圆M上的三个动点,若四边形OABC为平行四边形，判断△ABC的面积是否为定值,并说明理由．20．已知数列{a n｝满足a1=1,|a n+1﹣a n|=p n，其中n∈N＊，p是不为1的常数．（Ⅰ)证明：若｛a n｝是递增数列，则{a n}不可能是等差数列；（Ⅱ)证明:若｛a n｝是递减的等比数列，则{a n｝中的每一项都大于其后任意m(m∈N＊）个项的和；（Ⅲ）若p=2,且{a2n﹣1}是递增数列,{a2n｝是递减数列,求数列{a n｝的通项公式．2016年北京市通州区高考数学一模试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．【解答】解:∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．2．如图的程序框图输出S的值为（）A．16 B．32 C．64 D．128【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解:模拟执行程序，可得k=1，S=1满足条件k≤4,执行循环体,S=2，k=2满足条件k≤4，执行循环体，S=8,k=4满足条件k≤4，执行循环体，S=128，k=8不满足条件k≤4,退出循环，输出S的值为128．故选：D．3．若非空集合A，B，C满足A∩B=C，且A不是B的子集，则“x ∈C”是“x∈A”的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于A∩B=C，且A不是B的子集，由“x∈C”可得“x ∈A”,反之不成立．即可判断出．【解答】解:A∩B=C，且A不是B的子集，则“x∈C"⇒“x∈A"，反之不成立．∴“x∈C"是“x∈A"的充分不必要条件．故选:A．4．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ）A．24 B．20+4C．28 D．24+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为4高为2的正四棱锥，该几何体的下部是边长为4的正方体,由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为2高为1的正四棱锥，该几何体的下部是边长为2的正方体,∴该几何体的表面积：S=5×22+4××2×=20+4．故选B．5．已知{a n｝是首项为2且公差不为0的等差数列，若a1，a3，a6成等比数列,则｛a n｝的前9项和等于（）A．26 B．30 C．36 D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】设公差为d,由已知得（2+2d）2=2(2+5d)，且d≠0，解得d=，由此能求出｛a n｝的前9项和．【解答】解:设公差为d，∵{a n｝是首项为2且公差不为0的等差数列，a1,a3，a6成等比数列,∴（2+2d）2=2（2+5d），且d≠0,解得d=，∴｛a n}的前9项和S9==36．故选：C．6．若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B． C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由直线y=kx+过点A(0，）,结合平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，可知直线过B，C的中点D，求出D的坐标,利用两点求斜率公式得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,A（0，），C（0，4）,联立，解得B(1，1），直线y=kx+过定点A（0，)，要使平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则直线y=kx+过BC的中点D，由中点坐标公式D（，),∴．故选:B．7．已知点A（3，0)，点P在抛物线y2=4x上，过点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，｜PB｜=|PA｜，则cos∠APB的值为( ）A．B． C．﹣ D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P的坐标，可知△APB中BP=3,AP=3，AB=2，在△APB中，由余弦定理即可得cos∠APB．【解答】解:由题意,可知F(1，0）,∴｜PB｜=｜PF｜=PA|，∴P的横坐标为2，不妨取点P(2,2），又点P在抛物线y2=4x上，过点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，∴B（﹣1,2)∵已知点A（3，0），可知△APB中BP=3，AP=3,AB=2，学必求其心得，业必贵于专精∴在△APB 中，由余弦定理可得 cos∠APB===﹣ ，故选 D．8．若定义域均为 D 的三个函数 f(x），g(x），h（x)满足条件:∀ x∈D, 点(x，g（x)） 与点（x,h（x））都关于点（x，f(x））对称，则称 h(x) 是 g(x）关于 f（x)的“对称函数”．已知 g(x）= ，f(x）=3x+b， h（x)是 g(x）关于 f（x）的“对称函数”，且 h（x）≥g（x)恒成立, 则实数 b 的取值范围是( ） A．（﹣∞,﹣ ] B． C． D．［ ，+∞） 【考点】函数恒成立问题． 【分析】根据对称函数的定义，结合 h（x）≥g(x）恒成立,转化为点 到直线的距离 d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解:作出 g（x)和 f（x）的图象, 若 h（x）≥g(x)恒成立, 则 h（x）在直线 f（x）的上方， 即 g（x）在直线 f（x）的下方, 则直线 f(x）的截距 b＞0，且原点到直线 y=3x+b 的距离 d≥1,即 d== ≥1,即｜b｜≥ ，则 b≥ 或 b≤﹣ （舍）, 即实数 b 的取值范围是［ ,+∞）， 故选：D学必求其心得，业必贵于专精二、填空题（共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分．) 9．(x2+ ）6 的展开式中 x3 的系数是 20．(用数字作答） 【考点】二项式系数的性质． 【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的系数等于 3，求 得 r 的值,即可求得展开式中 x3 的系数． 【解答】解：由于(x2+ ）6 的展开式的通项公式为 Tr+1= •x12﹣3r， 令 12﹣3r=3，解得 r=3,故展开式中 x3 的系数是 =20， 故答案为：20．10．在△ABC 中，∠A=60°，AC=1，△ABC 的面积为 ，则 BC 的长为 ． 【考点】余弦定理． 【分析】先利用三角形面积公式和 AC，∠A 求得 AB，进而利用余 弦定理求得 BC． 【解答】解：由三角形面积公式可知 AB•ACsin60°= ∴AB=4 由余弦定理可知学必求其心得，业必贵于专精BC==故答案为:11．如图，圆 O 的直径 AB=4，直线 CE 和圆 O 相切于点 C，AD⊥CE 于 D,若∠ABC=30°，则 AD 的长为 1．【考点】圆的切线的性质定理的证明． 【分析】利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、 三角函数的定义即可得出． 【解答】解：圆 O 的直径 AB=4， 若∠ABC=30°，则 AC=2, 若直线 CE 和圆 O 相切于点 C，AD⊥CE 于 D, 则∠ACD=30°， ∴AD=1， 故答案为:1．12．若 ， , 是单位向量，且 • =0，则（ ﹣ ）•（ ﹣ ）的最大值 为 1+ ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由 ， ， 是单位向量，且 • =0,可设 =（1，0）, =（0，1）， =（cosθ，sinθ)，将（ ﹣ ）•( ﹣ ）的表达式转化为正弦型函数的 形式，再根据正弦型函数的性质得到（ ﹣ )•（ ﹣ )的最大值． 【解答】解:由题意设 =（1，0), =(0,1）， =（cosθ，sinθ）,学必求其心得，业必贵于专精则（ ﹣ ）•( ﹣ ）=（1﹣cosθ，﹣sinθ)•（﹣cosθ,1﹣sinθ） =﹣cosθ+cos2θ﹣sinθ+sin2θ =1﹣（sinθ+cosθ） =1﹣ sin( ), ∴（ ﹣ ）•( ﹣ ）的最大值为 1+ ， 故答案为：1+ ．13．已知函数 f（x）=｜log2x｜．若 0＜b＜a，且 f（a)=f（b）,则 2a+b 的取值范围是，则 2x ∈［],则 sin（2x )∈．∴函数 f（x）的最大值和最小值分别为 0 和 ．16．中国天气网 2016 年 3 月 4 日晚六时通过手机发布的 3 月 5 日通 州区天气预报的折线图（如图)，其中上面的折线代表可能出现的最 高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温． （Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性； (Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）; （Ⅲ）在内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次 记为 t1，t2，t3，…，t16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时 刻的温差不小于 3°的概率．学必求其心得，业必贵于专精【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布折线 图、密度曲线． 【分析】(Ⅰ)由最高气温与最低气温的折线图得到最高气温越高，相 应地最低气温也越高． （Ⅱ)由最高气温曲线波动较小，得到最高气温方差小于最低气温方 差． （Ⅲ）由最高气温与最低气温的折线图列表求出连续两个整点时刻 （基本事件）共有 15 个,其中满足“”恰好有一个时刻的温差不小 于 3°"的事件（记为 A）共有 3 个，由此能求出在连续两个时刻的 温差中恰好有一个时刻的温差不小于 3°的概率． 【解答】解：(Ⅰ）由最高气温与最低气温的折线图得到: 最高气温与最低气温之间成正相关， 即最高气温越高，相应地最低气温也越高． （Ⅱ）由最高气温与最低气温的折线图得到： 最高气温曲线波动较小， ∴最高气温方差小于最低气温方差．学必求其心得，业必贵于专精(Ⅲ）由最高气温与最低气温的折线图可得下表：由表可知,连续两个整点时刻（基本事件）共有 15 个： （8：00，9：00)，(9:00,10:00），（10：00，11:00）， （11：00,12：00），（12:00，13：00），（13:00，14：00）, 14：00，15:00),(15：00，16:00)，（16:00，17：00)， (17：00,18：00），（18：00，19：00），（19：00，20:00）， （20:00，21：00),(21:00，22：00），（22：00,23:00）, 其中满足“”恰好有一个时刻的温差不小于 3°"的事件(记为 A)共 有 3 个， （11：00,12：00），(15：00,16:00），（20：00,21:00）, ∴在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于 3°的概 率： P（A)= ．学必求其心得，业必贵于专精17．如图,在多面体 ABCD﹣EF 中，四边形 ABCD 为正方形，EF∥ AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H 为 AD 的 中点． （Ⅰ）求证：EH∥平面 FBD; （Ⅱ)求证：EH⊥平面 ABCD; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P，使得二面角 B﹣FD﹣P 的大小为？若存在求出 BP 的长,若不存在请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与 平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ)AC∩BD=O，连接 HO，FO,推导出四边形 EHOF 为平 行四边形,由此能证明 EH∥平面 FAC． （Ⅱ)推导出 EH⊥AD，AB⊥EA，AB⊥AD,从而 AB⊥平面 AED， 由此能证明 EH⊥平面 ABCD． （Ⅲ)AC，BD,OF 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能 求出线段 BC 上是存在一点 P,使得二面角 B﹣FD﹣P 的大小为 ， 且 BP=0． 【解答】证明：(Ⅰ）AC∩BD=O,连接 HO，FO， 因为 ABCD 为正方形，所以 O 是 AC 中点, 又 H 是 AD 中点,所以 OH∥CD，OH= ,EF∥AB，EF= , 所以 EF∥OH 且 EF=OH，学必求其心得，业必贵于专精所以四边形 EHOF 为平行四边形,所以 EH∥FO，又因为 FO⊂ 平面 FAC,EH⊄ 平面 FAC．所以 EH∥平面 FAC．（Ⅱ）因为 AE=ED，H 是 AD 的中点,所以 EH⊥AD，又因为 AB∥EF，EF⊥EA,所以 AB⊥EA又因为 AB⊥AD，所以 AB⊥平面 AED，因为 EH⊂ 平面 AED,所以 AB⊥EH，所以 EH⊥平面 ABCD．解：（Ⅲ)AC，BD，OF 两两垂直，建立如图所示的坐标系，∵AB=2EF=2，∴B（0， ,0），C（﹣ ，0,0),F（0，0，1），D（0,﹣ ，0），设 P（a，b,0）,，0≤λ≤1,即（a,b﹣ ,0）=λ(﹣ ,﹣ ，0）,∴a=﹣ ，,P(﹣ ,，0），=（0，﹣ ，﹣1）， =（﹣ ,,﹣1)，平面 BDF 的法向量 =（1，0,0），设平面 PDF 的法向量 =（x,y，z）,则，取 x= ,得 =（ ，，﹣2)∵二面角 B﹣FD﹣P 的大小为 ，∴cos =｜cos＜ ＞｜=|｜= ，解得 λ=0，学必求其心得，业必贵于专精∴线段 BC 上是存在一点 P，使得二面角 B﹣FD﹣P 的大小为 ，且 BP=0．18．已知函数 f（x）=(x2﹣x﹣ )eax（a≠0)． (Ⅰ)当 a= 时，求函数 f(x)的零点； （Ⅱ)求 f（x）的单调区间； （Ⅲ)当 a＞0 时，若 f（x）+ ≥0 对 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理； 利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出 f（x），令 f（x）=0，解出即可； （Ⅱ)先求出 f′(x）=0 的值，讨论 a 的范围,解不等式 fˊ(x）＞0 和 fˊ（x）＜0 即可求出函数的单调区间； （Ⅲ）根据函数的单调性从而求出 f(x）的最小值，使 min≥0 恒成立, 求出 a 的取值范围即可． 【解答】解：(Ⅰ）a= 时,f（x)=（x2﹣x﹣2） , 令 f(x）=0，即 x2﹣x﹣2=0,解得：x=﹣1 或 x=2; (Ⅱ)f'（x）=eax（ax+2）（x﹣1), 令 f′（x)=0 则 x=1 或﹣ ，学必求其心得，业必贵于专精①当 a＜﹣2 时，﹣ ＜1， f(x）在（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞)上单调递减,在(﹣ ,1）上单调递 增; ②当 a=﹣2 时,﹣ =1， f′(x）≤0,f(x）在 R 上减函数； ③当﹣2＜a＜0 时，﹣ =1, f（x）在（﹣∞,1）和(﹣ ,+∞）上单调递减,在（1，﹣ ）上单调递 增; ④a＞0 时，﹣ ＜1，f（x)在(﹣∞，﹣ )和（1，+∞）上单调递增, 在(﹣ ，1）上单调递减； （Ⅲ））由（Ⅱ）得：a＞0 时, f（x)在（﹣∞,﹣ ）和（1，+∞）上单调递减,在(﹣ ，1)上单调递 增; x→﹣∞时,f（x)→0,∴f（1）=﹣ ea 为最小值, ∴﹣ ea+ ≥0 对 x∈R 恒成立，解得:a∈（0，ln2］．19．已知椭圆 M：x2+2y2=2． （Ⅰ)求椭圆 M 的离心率； (Ⅱ）设 O 为坐标原点，A,B，C 为椭圆 M 上的三个动点,若四边形 OABC 为平行四边形，判断△ABC 的面积是否为定值，并说明理由． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】(Ⅰ）椭圆 M 化为标准方程，由此能求出椭圆 M 的离心率． (Ⅱ)若 B 是椭圆的右顶点(左顶点一样)，此时 AC 垂直平分 OB，求 出△OAC 的面积为 ；若 B 不是椭圆的左右顶点，设 AC:y=kx+m,k≠0，由,得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣20=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式求出△ABC的面积，从而得到△ABC的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆M:x2+2y2=2,∴椭圆M的标准方程为：，∴a=，b=1,c=1，∴椭圆M的离心率e=．(Ⅱ)①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC垂直平分OB,∴A(，),C（，﹣),B(，0)，｜AC｜=,|OB|=，∴△OAC的面积=．②若B不是椭圆的左右顶点，设AC：y=kx+m，k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2)，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣20=0，△=16k2m2﹣4（2k2+1）(2m2﹣2）＞0，，,y1+y2=k（x1+x2)+2m=，∵四边形OABC为平行四边形，∴OB=OA+OC=（x1+x2,y1+y2）=(﹣，），∴B（﹣，），代入椭圆方程,化简,得2k2+14=m2,∵｜AC｜====•=，点O到直线AC的距离d=∴△OAC的面积S△OAC===．综上，△OAC的面积为定值，∵△OAC的面积=△ABC的面积，∴△ABC的面积为定值．20．已知数列｛a n｝满足a1=1，｜a n+1﹣a n|=p n，其中n∈N＊，p是不为1的常数．(Ⅰ）证明：若｛a n｝是递增数列，则｛a n｝不可能是等差数列；（Ⅱ）证明:若｛a n}是递减的等比数列，则{a n｝中的每一项都大于其后任意m(m∈N＊）个项的和;（Ⅲ）若p=2,且｛a2n﹣1｝是递增数列，｛a2n｝是递减数列,求数列｛a n}的通项公式．【考点】数列递推式；等比数列的通项公式．【分析】(Ⅰ)利用反证法即可证明；（Ⅱ）通过令n=1、2两种情况即可求出公比q，进而计算可得结论; (Ⅲ）通过在｜a n+1﹣a n｜=2n中令n=1可知a2=3或a2=﹣1，分两种情况讨论，在每一种情况中分别求出数列｛a2n﹣1｝、{a2n｝的通项公式即可．【解答】（Ⅰ）证明：假设数列｛a n}是等差数列,则a n+1﹣a n为一个常数d，∵数列｛a n｝是递增数列,∴|a n+1﹣a n｜=a n+1﹣a n=p n，又∵p是不为1的常数，∴d=p n不是常数，矛盾，故数列｛a n｝不可能是等差数列；(Ⅱ）证明:∵数列{a n｝是递减的首项为1、公比为q的等比数列，∴0＜q＜1，，｜a n+1﹣a n|=a n﹣a n+1=q n﹣1﹣q n=p n，又∵p是不为1的常数，∴p＜1，令n=1、2可知:1﹣q=p，q﹣q2=p2，联立，可知2q2﹣3q+1=0，解得：q=或q=1（舍)，∴a n=,S n=2﹣,∴S n+m﹣S n=(2﹣）﹣（2﹣）=﹣=(1﹣)，∵m∈N＊，∴1﹣＜1，S n+m﹣S n＜=a n，于是数列{a n｝中的每一项都大于其后任意m(m∈N＊）个项的和；(Ⅲ)解：依题意,｜a n+1﹣a n|=2n，令n=1可知，｜a2﹣1｜=2，解得:a2=3或a2=﹣1，①当a2=3时，有｜3﹣a3|=4，解得：a3=7或a3=﹣1（舍),∴｜7﹣a4｜=8，解得：a4=﹣1或a4=15（舍）,∴|﹣1﹣a5｜=16，解得：a5=15或a5=﹣17（舍），∴｜15﹣a6｜=32,解得：a6=﹣17或a5=47（舍），∵｛a2n﹣1｝是递增数列，｛a2n｝是递减数列,∴|a2n+1﹣a2n|=a2n+1﹣a2n=4n，｜a2n+2﹣a2n+1｜=a2n+1﹣a2n+2=2•4n,两式相减得：a2n+2﹣a2n=﹣4n，由累加法可知a2n=a2n﹣a2（n﹣1)+a2(n﹣1）﹣a2（n﹣2）+…+a2×2﹣a2×1+a2=﹣4n﹣1﹣4n﹣2﹣…﹣4+3=3﹣=，同理|a2n+1﹣a2n+2|=a2n+1﹣a2n+2=2•4n，｜a2n+2﹣a2(n+1）+1｜=a2(n+1)+1﹣a2n+2=4•4n，两式相减得：a2（n+1）+1﹣a2n+1=2•4n，由累加法可知a2n﹣1=a2（n﹣1)+1﹣a2（n﹣2）+1+a2（n﹣2)+1﹣a2（n﹣3)+1+…+a2×2+1﹣a2×1+1+a2×1+1=2（4n﹣2+4n﹣3+…+4)+7=7+2×=(n≥2)，又∵a1=1不满足上式，∴a2n﹣1=；②当a2=﹣1时，有|﹣1﹣a3｜=4，解得：a3=3或a3=﹣5(舍），∴｜3﹣a4|=8，解得：a4=﹣5或a4=11（舍)，∴｜﹣5﹣a5|=16，解得:a5=11或a5=﹣21(舍）,∴|11﹣a6｜=32,解得：a6=﹣21或a5=43（舍)，∵｛a2n﹣1｝是递增数列，｛a2n｝是递减数列，∴|a2n+1﹣a2n｜=a2n+1﹣a2n=4n，|a2n+2﹣a2n+1｜=a2n+1﹣a2n+2=2•4n，两式相减得：a2n+2﹣a2n=﹣4n,由累加法可知a2n=a2n﹣a2（n﹣1)+a2(n﹣1）﹣a2（n﹣2)+…+a2×2﹣a2×1+a2=﹣4n﹣1﹣4n﹣2﹣…﹣4﹣1=﹣=，同理|a2n+1﹣a2n+2|=a2n+1﹣a2n+2=2•4n，｜a2n+2﹣a2(n+1）+1｜=a2(n+1)+1﹣a2n+2=4•4n，两式相减得:a2（n+1）+1﹣a2n+1=2•4n，由累加法可知a2n﹣1=a2（n﹣1）+1﹣a2(n﹣2）+1+a2(n﹣2）+1﹣a2(n﹣3）+1+…+a2×2+1﹣a2×1+1+a2×1+1=2(4n﹣2+4n﹣3+…+4)+3=3+2×=（n≥2)，又∵a1=1满足上式，∴a2n﹣1=．2016年9月8日。