北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品

高等代数(北大版第三版)习题答案I篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考第三章线性方程组1．用消元法解以下线性方程组：?x1?x?1?1)?x1x1x13x25x34x413x22x32x42x2x3x4x54x2x3x4x52x2x3x4x5 x12x23x42x51x5??1?x1x23x3x43x523 2)2x?3x?4x?5x?2x?72345?139x9x6x16x2x252345?11x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?343)?4)?4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?17x?3x?x3?7x?2x?x?3x0234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1?3x1?2x2?x3?x4?13x1?2x2?2x3?3x4?25)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?12x2x2xx15x1x2x32x4123412xxx3x4234?15x1?5x2?2x3?2解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有111111000033?2?420000?1521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?11010001??110??30??3??01?011?200?0000030?5?7?10000?15?3?4?4?400?200423581200001?1?11010001?2?2? ?221?2?0? ?0?0由于rank(A)?rank(B)?4?5，因此方程组有无穷多解，其同解方程组为x1x412x1x52，?2x03x?x?0?24解得x1x2x3x4x51kk0k22k其中k为任意常数。

2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有112910 ??002?1?3?920?3463151632?3221??120?0725022?3?7?27120?346341110?2?5?2?1631?1 5161334512529?8?011??333033?2529??72?10??334?512529? 8001?1?3330000??01?由于rank(A)?4?rank(A)?3，因此原方程无解。

高等代数（北大版第三版）习题答案I高等代数（北大*第三版）答案1目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章?―矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)： 1）f(x)?x3?3x2?x?1,g(x)?3x2?2x?1；2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。

17262x?,r(x)??x?； 3999解 1）由带余除法，可得q(x)?22）同理可得q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。

2．m,p,q适合什么条件时，有 1）x?mx?1|x?px?q， 2）x?mx?1|x?px?q。

解 1）由假设，所得余式为0，即(p?1?m)x?(q?m)?0，224223?p?1?m2?023所以当?时有x?mx?1|x?px?q。

?q?m?0?m(2?p?m2)?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?q?1?p?m?02?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。

综上所诉，当??m?0?q?1242 或?时，皆有x?mx?1|x?px?q。

2?p?q?1?p?m?23．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：1）f(x)?2x5?5x3?8x,g(x)?x?3； 2）f(x)?x3?x2?x,g(x)?x?1?2i。

解 1）q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109r(x)??327。

；2）q(x)?x2?2ix?(5?2i)r(x)??9?8i4．把f(x)表示成x?x0的方幂和，即表成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：1）f(x)?x5,x0?1；2）f(x)?x4?2x2?3,x0??2；3）f(x)?x4?2ix3?(1?i)x2?3x?7?i,x0??i。

第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。

第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。

证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。

又因,M N M ⊂ 故M N M =。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N ⊂所以MN N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。

反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。

若x M NL M N L ∈∈∈（），则x ，x 。

在前一情形X x M N ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。

第10章　双线性函数与辛空间1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3，求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）．解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3．2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1．解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2．3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3．试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）．解：可利用定理3．计算由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是a1，a2，a3的对偶基，则即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3．4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使f（a）≠0，i＝1，2， (5)证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2，V…，s．5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使f（a i）≠0，i＝1，2，…，s．证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0．6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x），p2（x），p3（x）使f1，f2，f3是它的对偶基．证明：易证f1，f2，f3都是V＝P[x]3上线性函数．令p1（x）＝c0＋c1x＋c2x2使得f1（p1（x））＝1，f2（p1（x））＝f3（p1（x））＝0，即有解出得同样可算出满足由于p1（x），p2（x），p3（x）是V的一组基，而f1，f2，f3是它的对偶基．7．设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β），对V中确定的向量α，定义V 上一个函数α*：α*（β）＝（α，β）．（1）证明α*是V上线性函数；（2）证明V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射．（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）证明：（1）易证α*是V上线性函数，即α*∈v*．（2）现在令映射φ为下面逐步证明φ是线性空间的同构．①φ是单射．即证明当φ（α）＝φ（β）时有α＝β．对γ∈V，（φ（α））（γ）＝α*（γ）＝（α，γ），（φ（β））（γ）＝（β，γ）．故（α，γ）＝（β，γ），∨γ∈V．这样（α，α）＝（β，α），（α，β）＝（β，β）．于是（α－β，α－β）＝（α，α）－（α，β）－（β，α）－（β，β）＝0，即有α－β＝0，因此α＝β．②φ是满射．取ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，令f 1，f 2，…，f n 是它们的对偶基，对f ＝l 1f 1＋…＋l n f n ∈V*，令a ＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l n εn 则对所有εi ，∀故对所有εi ，有φ（α）（εi ）＝f （εi ），即φ（α）＝f ．③φ是线性映射．对α，β，γ∈V，k∈R，∀ φ（α＋β）（γ）＝（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）＝φ（α）（γ）＋φ（β）（γ）＝[φ（α）＋φ（β）]（γ）．故φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）．又φ（kα）（γ）＝（kα，γ）＝k （α，γ）＝kφ（α）（γ）＝（kφ（α））（γ），故φ（kα）＝kφ（α）．以上证明了φ是线性空间V 到V *的同构．8．设A 是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换．（1）证明：对V 上的线性函数f ，fA 仍是V 上线性函数；（2）定义V *到自身的映射A *为f→fA证明A *是V *上的线性变换（3）设ε1，ε2，…，εn 是V 的一组基，f 1，f 2，…，f n 是它的对偶基，并设A 在ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为A ．证明：A *在f 1，f 2，…，f n 下的矩阵为A'．（因此A *称作A 的转置映射）证明：（1）α，β∈V，k∈P，有∀∀f A （α＋β）＝f （A （α＋β））＝f （A α＋A β）＝f A α＋f A β，f A （kα）＝f （A （kα））＝f （k A α）＝kf A α．故f A 是V 上线性函数．（2）由定义A *f ＝f A ，对f ，g∈V *，k∈P，α∈V 有∀A *（f ＋g ）（α）＝[（f ＋g ）A ]（α）＝（f ＋g ）（A （α））＝f A （α）＋g A （α）＝（f A ＋g A ）（α）＝（A *f ＋A *g ）（α）故A *（f ＋g ）＝A *（f ）＋A *（g ）．又（A *（kf ））（α）＝（kf ）A （α）＝kf （A （α））＝k （A *f ）（α），故A *（kf ）＝k （A *f ）．以上证明了A *是V *上的线性变换．（3）由A （ε1，ε2，…，εn ）＝（ε1，ε2，…，εn ）A ，f i A （ε1，ε2，…，εn ）＝（f i （ε1），…，f i （εn ））A ＝（a i1，a i2，…，a in ），于是即有。

第7章　线性变换1．设数域Ｐ上n×n 矩阵F 的特征多项式为f （x ）及从而对数域P 上多项式G （x ），degG （x ）≥1有（G （x ），f （x ））＝1当且仅当|G （F ）|≠0．证明：F 的特征多项式为f （x ）＝|xE －F|．于是f （a i ）＝|a i E －F|，i ＝1，2，…，m ，由于对数域Ｐ上非常数多项式G （x ）．（G （x ），f （x ））＝1当且仅当它们在复数域上没有公共根．设在复数域上G （x ）＝k （x －a 1）（x －a 2）…（x －a m ），k∈P，则当且仅当有某a i 使f （a i ）≠0时G （x ）与f （x ）有公共根．故（G （x ），f （x ））＝1当且仅当|g （F ）|≠0．2．n×n 复方阵A 称为幂零的，若有正整数k 使A k ＝0．证明：A 是幂零阵的充要条件是A 的全部特征值皆为零．证明：必要性．设λ0是A 的一个特征值，ξ≠0是属于λ0的特征向量．于是Aξ＝λ0ξ．则A k ξ＝ξ＝0．0kλ由于ξ≠0，故＝0，即λ0＝0．k充分性．A 的特征值全为零，故A 的特征多项式f （x ）等于x n （因f （x ）的根全为零）．由哈密顿-凯莱定理有A n ＝0，即A 是幂零的．3．n×n 复方阵A 称为半单的，如果A 相似于对角形．证明对n×n 复方阵A 存在n×n 复方阵B 及C 使得（1）A ＝B ＋C ；（2）B 是半单的，C 是幂零的；（3）BC ＝CB ．证明：A可相似于若尔当形矩阵，即有可逆阵T使T -1JT ＝A ，其中而令它们满足（1）B相似对角阵，故是半单的．（2）N i皆幂零，故C为幂零的．（3）λi E i与N i都交换，故B与C是交换的．（4）B＋C＝T-1JT＝A．完成了证明．4．证明与下述若尔当块证明：方法1 设B＝（b ij）满足AB＝BA．计算b1,n－1＝b2n＝0，b1n＝0，b11＝b22＝…＝b nn，b21＝b32＝…＝b n，n-1b31＝b42＝…＝b n，n-2，……b n-1，1＝b n2，b n1自由．故又可计算得故B ＝b 11E ＋b 21A ＋b 31A 2＋…＋b n1A n －1是A 的多项式．方法2运用空间观点．取n 维线性空间V ，给定一组基ε1，ε2，…，εn ．作线性变换使它在上述基下的矩阵为A ，于是有或这样基ε1，ε2，…，εn 可写成而V 中任一向量都是基的线性组合．设ε∈V，其中是的多项式．这证明了V 中任一向量ξ都是的某个多项式在这种线性变换作用在ε1上的像．现设是V 上的线性变换与交换．来证明是的某个多项式．，它必是，其中是的某个多项式，又对V 的任一向量，故与在V 的任一向量上的作用都相同．因此又设矩阵B 满足BA ＝AB ．作线性变换它在基ε1，ε2，…，εn 下矩阵为B ，且有于是是的一个多项式由线性变换的等式就得到对应的矩阵的等式B ＝f （A ）．5．求下列n 阶循环矩阵C 的特征值以及属于这些特征值的特征向量：解：有其中要证明为此可对k 作归纳法，k＝1显然成立．设k －1时等式已成立，对于k 时的情形，只要证。

第6章线性空间[视频讲解]6.1本章要点详解本章要点■线性空间的定义与简单性质■维数、基与坐标■基变换与坐标变换■线性子空间的判定■线性子空间■子空间的交与和■子空间的直和■线性空间的同构重难点导学一、集合·映射1．集合（1）定义①集合：把一些事物汇集到一起组成的一个整体．②元素：组成集合的东西．a∈M，表示a是集合M的元素，读为：a属于M．a M，表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M．③空集：不包含任何元素的集合．④子集合：如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a∈M可以推出a∈N，则称M为N的子集合．空集合是任一集合的子集合．（2）集合的关系①集合相等：如果两个集合M与N含有完全相同的元素．即a∈M当且仅当a∈Ｎ．或者两个集合同时满足M∈N和N∈M．②集合的交：设M，N是两个集合．既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M与N的交，记为M∩N．③集合的并：属于集合M或者属于集合N的全体元素所组成的集合称为M与N的并，记为M∪N．2．映射（1）定义设M与M′是两个集合．存在一个法则，它使M中每一个元素a都有M′中一个确定的元素a′与之对应，则称这个法则为集合M到集合M′的一个映射．如果映射σ使元素a′∈M′与元素a∈M对应，则记为σ（a）＝a′．a′称为a在映射σ下的像，而a称为a′在映射σ下的一个原像．M到M自身的映射，也称为M到自身的变换．集合M到集合M′的两个映射σ及τ．若对M的每个元素a都有σ（a）＝τ（a），则称它们相等，记作σ＝τ．（2）映射的乘积设映射，乘积定义为(a)＝τ(σ(a))，即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个映射．（3）映射的性质①设σ是集合M到M′的一个映射，用σ（M）代表M在映射σ下像的全体，称为M在映射σ下的像集合，显然σ（M）∈M′，如果σ（M）＝M′，映射σ就称为映上的或满射．②如果在映射σ下．M中不同元素的像也一定不同．即由a1≠a2一定有σ（a1）≠σ（a2），则称映射σ为1-1的或单射．③一个映射如果既是单射又是满射称为1-1对应或双射．（4）可逆映射设映射σ：M→M′，若有映射τ：M′→M，使得，则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，记作σ－1．二、线性空间的定义与简单性质1．线性空间的定义如果加法与数量乘法满足下述规则，则V称为数域P上的线性空间．加法满足下面四条规则(1)α＋β＝β＋α；(2)（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；(3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素α都有0＋α＝α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；(4)对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得α＋β＝0（β称为α的负元素）．数量乘法满足下面两条规则(1)1α＝α;(2)k（lα）＝（kl）α．数量乘法与加法满足下面两条规则(1)（k＋l）α＝kα＋lα；(2)k（α＋β）＝kα＋kβ．在以上规则中，k，l表示数域P中的任意数；α，β，γ表示集合V中任意元素．由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间．分量属于数域P 的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间用P n来表示．2．线性空间的简单性质（1）零元素是唯一的；（2）负元素是唯一的；（3）0α＝0；k0＝0；（－1）α＝－α；（4）如果kα＝0．那么k＝0或者α＝0．三、维数、基与坐标1．线性空间中向量之间的线性关系（1）有关定义①线性组合设V是数域P上的一个线性空间，α1，α2，…，αr（r≥1）是V中一组向量，k1，k2，…，k r是数域P中的数．使得向量α＝k1α1＋k2α2＋…＋k rαr，则称为向量组α1，α2，…，αr的一个线性组合，或者称向量α可以用向量组α1，α2，…，αr线性表出．②向量组等价设α1，α2，…，αr（6-1）β1，β2，…，βr（6-2）是V中两个向量组，如果向量组（6-1）中每个向量都可以用向量组（6-2）线性表出，则称向量组（6-1）可以用向量组（6-2）线性表出．如果向量组（6-1）与向量组（6-2）可以互相线性表出．则称向量组（6-1）与（6-2）为等价的．③线性无关线性空间V中向量α1，α2，…，αr（r≥1）称为线性相关，如果在数域P中有r个不全为零的数k1，k2，…，k r，使k1α1＋k2α2＋…＋k rαr＝0（6-3）如果向α1，α2，…，αr不线性相关，称为线性无关，或者称向量组α1，α2，…，αr为线性无关，如果式（6-3）只有在k1＝k2＝…＝k r＝0时才成立．（2）有关结论①单个向量α是线性相关的充分必要条件是α＝0．两个以上的向量α1，α2，…，αr线性相关的充分必要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合；②如果向量组α1，α2，…，αr线性无关，而且可以被β1，β2，…，βr线性表出，那么r ≤s．。

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使X AX 0 。

证因为 A0，于是 A0 ，所以 rank An ，且 A 不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换 XC 1Y 使XAX YC 1ACYY BYy 12 y 22y p 2y p 21y p 2 2y n 2 ，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在Z C 1Y 中，令 y y2 yp10, y p 1 y p2y n 1, 则可得一线性方程组c 11x 1c 12x2c 1n xnc p 1x1c p 2 x2c pnx n，c p 1,1x1c p 1, 2 x2c p1,nxn1c n1x 1c n 2 x2c nn xn1由于 C 0 ，故可得唯一组非零解X s x 1s , x 2s , , x ns 使X s AX s 0 00 1 11n p 0 ，即证存在 X 0，使 X AX0 。

13 ．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明：A B 也是正定矩阵。

证 因为 A, B 为正定矩阵，所以 X AX , X BX 为正定二次型，且X AX 0 ，X BX 0 ，因此X A B X X AX X BX 0 ，于是 XA B X 必为正定二次型，从而A B 为正定矩阵。

14 ．证明：二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证 必要性。

采用反证法。

若正惯性指数p 秩 r ，则 pr 。

即f x 1 , x 2 , , x ny 2 y 2y 2y 2y 2 ，12pp 1r若令y1 y2 y p 0 ， y p 1 y r 1 ，则可得非零解x1 , x2 , , x n 使 f x1, x2 , , x n 0 。