《1.3.2 矩阵乘法的运算律》教案2

《1.3.2 矩阵乘法的运算律》教案1教学目的一、知识与技能：理解矩阵乘法不满足交换吕和消去律，会验证矩阵乘法满足结合律 二、过程与方法：比较演算法三、情感态度和价值观：体会类比推理中结论全真的含义教学重点、难点熟练运用各种运算教学过程一、矩阵的加法 定义2 设}{ij a A = 和}{ij b B = 是 n m ⨯ 的矩阵，A 与B 的加法（或称和），记作A + B ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵：111112121121212222221122{}n n n n ij m m m m mn mn a b a b a b a ba b a b c a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥===⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦C A +B 。

例2 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2015A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4012B ，计算 B A +。

负矩阵 设{}ij m na ⨯=A ，称矩阵{}ij a -=-A 为矩阵A 的负矩阵。

矩阵的减法：111112121121212222221122()n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥-=+-=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦A B A B二、数与矩阵相乘定义3 （矩阵数乘） 数λ与矩阵nm ij a A ⨯=}{的乘积（称之为数乘），记作A λ 或λA ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵111212122212()()n n ij m n ij m nm m mn a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A 。

以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：交换律 A B B A +=+结合律 )()(C B A C B A ++=++A O A =+ O A A =-数对矩阵的分配律 B A B A λλλ+=+)( 矩阵对数的分配律 A A A μλμλ+=+)( 结合律 )()(A A μλλμ=例3 设312157543-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，754519321-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 且 2,+=A X B 求矩阵X 。

解：由2+=A X B 得23-31(-)=2-212-1-3-2⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦X B A 。

三、矩阵与矩阵相乘 设有两个线性变换：1111122132211222233y a x a x a x y a x a x a x =++⎧⎨=++⎩ ，其系数矩阵111213212223a a a aa a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ；111112222112223311322x b t b t x b t b t x b t b t=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ ，其系数矩阵111221223132b b b b b b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 从而可得从21,t t 到21,y y 的线性变换：()()()()111111221133111112122213322221112221233112112222223322y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t =+++++⎧⎪⎨=+++++⎪⎩ ，其系数矩阵，记做C 则111112211331111212221332211122212331211222222332a b a b a b a b a b a b C a b a b a b a b a b a b ++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦ 。

显然，矩阵C 是由矩阵A 、B 产生的，把这种运算称为矩阵与矩阵的乘积。

定义4 （矩阵乘法） 设}{ij a A =是一个s m ⨯矩阵，}{ij b B =是一个n s ⨯矩阵，A 与B 的乘法，记作AB ，定义为一个n m ⨯ 的矩阵{}ij m nc ⨯==C AB ，其中∑==+++=sk kjik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 12211),,2,1;,,2,1(n j m i ==.由定义，不难看出（强调）：只有在左矩阵A 的列数和右矩阵B 的行数相等时，才能定义乘法AB ； 矩阵C=AB 的行数是A 的行数，列数则是B 的列数； 矩阵C=AB 在),(j i 位置上的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和。

例4 设矩阵10312102-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，410113201134⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求AB 和BA(BA 无意义)。

例5 设矩阵 2422,1211-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B , 求 AB 和 BA 。

例6 设A 是n ⨯1的矩阵（行向量），B 是1⨯n 的矩阵（列向量），即()12n a a a =A ，12n b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ， 求 AB 和 BA 。

上述几个例子显示，当AB 有意义时，BA 不一定有意义（例4）；即使AB 和BA 都有意义（例5、6），但不一定有相同的阶数（例6），即便有相同的阶数，也不一定相等（例5）。

例5还说明，如果AB = O ，不是一定有A = O 或B = O 。

一般情况而言矩阵乘法不满足交换律。

特殊的，若两个矩阵A 和B 满足 AB =BA ，则称矩阵A 和B 是可交换的。

例7 设m n⨯A 是一般矩阵，mE 和nE 分别是m 和n 阶单位阵，则m m n m n⨯⨯=E A A 和m n n m n⨯⨯= A E A 。

如果A 是方阵时，有AE = EA = A ，E 相当于数1的作用。

这就是称E 为单位阵的原因。

矩阵乘法满足以下运算律： 结合律 )()(BC A C AB =。

数乘结合律 )()()(B A B A AB λλλ==。

分配律AC AB C B A +=+)(； CA BA A C B +=+)(。

矩阵的幂 设A 是n 阶矩阵，定义：)(,,,121k k A A A AA A A A ===+ ,其中，k 是正整数；特别规定 0A E = . 由于乘法成立分配律结合律，有lk lk A A A=+ ，kl l k A A =)(，但由于不成立交换律，故一般 kk k B A AB ≠)(。

例8 设矩阵A 、B 是上（下）三角矩阵，则 AB 亦是上（下）三角矩阵；且AB 的对角元素等于A 、B 对角元素的乘积。

特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。

例9 用矩阵表示线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩。

解：令111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，称A 为系数矩阵；12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦b ，称b 为常数项矩阵；12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦X ，称X 为未知数矩阵；则原方程组可表示为 AX = b 。

四、矩阵的转置 定义5 (转置矩阵)设111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，112111222212m m nnmn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是将A 的行和列对应互换得到的m n ⨯矩阵，称它为A 的转置矩阵，记作TA 。

如 410232-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，则T 403122-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 。

矩阵的转置满足下列运算法则：A A TT =)(； T T T B A B A +=+)(；λλλ,)()(TT A A = 是数；.)(T T T A B AB = 例10 设201132-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，171423201-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求()T AB 。

解：解法1 1712010143423132171310201-⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB ， 所以017()1413310T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦AB 。

解法214221017()72003141313112310T T T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB B A 。

定义6 (对称矩阵) 设{}ij n na ⨯A =是n 阶矩阵。

如果T =A A ，则称A 为对称阵。

显然，其元素满足：,ij jia a i j=∀；如果T=-A A ，则称A 为反对称阵。

显然，其元素满足：,ij jia a i j=-∀。

例如1110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 是一个对称矩阵，而0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦B = 是一个反对称矩阵。

显然，对角矩阵一定是对称矩阵。

五、方阵的行列式定义7 (方阵的行列式) 由n 阶方阵nn ij a A ⨯=}{的元素，不改变它的位置构成一个n 阶行列式，称此行列式为矩阵A 所对应的行列式，记做 | A | 或det ()A ，即nnn n n na a a a a a a a a212222111211||=A 。

注意：矩阵的行列式与矩阵是两个不同的概念，前者是一个数，后者是一个数表。

矩阵的行列式满足以下运算律，设A 、B 都是方阵，则（1）||||A A T =（由行列式性质） 。

（2）||||A A n λλ=，n 是矩阵A 的阶。

（3） ||||||B A AB =。

定义8 ( 伴随矩阵 ) 设}{ij a A =是n 阶方阵，由行列式 |A | 中的每个元素aij 的代数余子式ijA 所构成的矩阵1121112222*12n n nnnn ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A A A A A ，称之为矩阵A 的伴随矩阵。

注意，伴随矩阵*A 在位置),(j i 上的元素是矩阵A 在位置),(i j 上的代数余子式。

例如， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A 的伴随矩阵是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1324*A 。

定理1 设A 是n 阶方阵，A* 是A 的伴随矩阵，则E A A A AA ||**==证明 记 *AA B =，由矩阵的乘法，展开定理1.3及推论1.3，得⎩⎨⎧≠==+++=i j ij A A a A a A a b jn in j i j i ij ,0,||2211 ⇒ E A AA ||*=。

例11 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=343122321A 的伴随矩阵。