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第五章函数Function函数在数学、应用数学等许多领域，尤其计算机科学领域有着极其重要的作用。
函数的思想、概念和应用无处不在，无时不在。
它主要是研究变量之间的关系和规律。
函数的划分有很多种。
有线性与非线性之分、连续与离散之分。
例如，x12345…y357911…5.1 函数假定A，B是两个非空集合，f : A→B，称f为A到B上的函数，对每个a∈A, 有唯一的f(a)∈B, 记做b = f(a)。
函数也叫映射mappings或变换transformations（错误）a叫做函数f的自变量argument，b被称为因变量，b=f(a)叫做函数的值value，也叫a的像。
例1. A＝{1,2,3,4}, B={a,b,c,d},，则f是一个函数。
也可以简单记为，f={(1,a), (2,a), (3,d), (4,c)}另外,g={(1,a), (1,b), (2,a), (4,c)}因为对于1来说，1∈A, 不是唯一的f(1)∈B与之相对应,f(1)=a,并且f(1)=b, 因此g就不是一个函数。
例2．f：Z→Z，f(a)=f是函数。
例3．恒等函数1A(a)=a是函数。
正如，我们在第四章里表述的，函数f : A→B，b=f(a), 是一个特殊的二元关系，我们知道，由函数f可以确定一个关系，简单地，可以表示为(a,b)∈，或 ab。
关系的特征函数为或者简记为因此，这样一来，我们以前所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函数来说，就可以完全适用。
例如，f：A→B, g：A→B,函数的复合设f：A→B，g：B→C，是函数，则g◦f：A→C，是函数。
g◦f（a）＝g(f(a))例4．函数的复合设f，g都是整数函数，f(a)=a+1, g(b)=2b.则g◦f (a)=2(a +1) 是整数集到偶数集的函数。
f◦g(a)=2a＋1也是整数集到奇数集的函数。
特殊函数Special Type of Functions设f是从A到B的一个函数，如果Dom(f)=A，则称f是处处有定义everywhere defined；如果 Ran(f)=B，则称f是满射；如果对于集合A中两个不同的元素a和b，有f(a)≠f(b), 则称f是单射，即a≠b f(a)≠f(b), 或f(a)=f(b) a=b；例5. A＝{1,2,3,4}, B={a,b,c,d}, f={(1,a), (2,a), (3,d), (4,c)}f是一个函数，但是f既不是单射，也不是满射。
离散数学函数在数学的广袤领域中，离散数学如同一位低调但实力非凡的智者，而函数则是其手中的一把关键钥匙，为我们打开了理解和解决诸多问题的大门。
函数，简单来说，就是一种对应关系。
想象一下，你有一堆苹果，你把它们按照大小分类，每一个苹果都能找到自己所属的类别，这就是一种函数关系。
在数学中，我们给这种对应关系更精确的定义和规则。
离散数学中的函数与我们在中学阶段学习的函数有所不同。
中学时，我们接触的函数大多是连续的，比如常见的一次函数、二次函数等。
而离散数学中的函数，其定义域和值域往往是离散的元素集合。
比如说，假设有一个集合 A ＝｛1, 2, 3}，另一个集合 B ＝｛4, 5, 6}。
那么从集合 A 到集合 B 的一个函数 f 可以是这样的：f(1) ＝ 4，f(2) ＝ 5，f(3) ＝ 6。
这里的 1、2、3 就像一个个独特的“身份标识”，通过函数 f 的“安排”，分别与 4、5、6 建立了对应关系。
函数的定义中有两个重要的概念：定义域和值域。
定义域就是函数输入的所有可能值的集合，而值域则是函数输出的所有可能值的集合。
对于离散函数来说，这两个集合中的元素都是离散的、独立的。
再举个例子，假设我们有一个函数 g，其定义域是一周的七天（星期一到星期天），值域是 1 到 7 的数字。
那么 g(星期一) ＝ 1，g(星期二) ＝ 2，以此类推，直到 g(星期天) ＝ 7。
在这个例子中，定义域是离散的七天，值域是离散的数字 1 到 7。
离散函数在计算机科学中有着广泛的应用。
比如在数据库管理中，当我们根据某个条件筛选数据时，就可以看作是在使用一个离散函数。
又比如在算法设计中，函数的概念常常被用来描述数据的处理和转换过程。
从逻辑的角度来看，离散函数可以帮助我们进行推理和证明。
通过研究函数的性质和关系，我们能够得出一些关于系统行为的结论。
在组合数学中，离散函数也发挥着重要作用。
例如，在计算排列组合的问题时，我们常常需要定义特定的函数来描述问题中的数量关系。
