第5章 习题解答
5.1 A:③; B:⑥; C:⑧; D:⑩; E:⑨
分析 S 为n 元集,那么有个元素.S 上的一个二元运算就是函数
S S ⨯2n .这样的函数有个.因此上的二元运算有个.
S S S f →⨯:2n n },{b a 162
=n n 下面说明通过运算表判别二元运算性质及求特导元素的方法.
1 °交换律 若运算表中元素关于主对角线成对称分布,则该运算满足交换律.
2 °幂等律 设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线元,,,21n x x x 素的排列也为 则该运算满足幂等律.
,,,21n x x x 其他性质,如结合律或者涉及到两个运算表的分配律和吸收律,在运算表中没有明显的特征,只能针对所有可能的元素等来验证相关的算律是否成立.
z y x ,,3 ° 幺元设运算表表头元素的排列顺序为如果元素所在的.e ,,,21n x x x i x 行和列的元素排列顺序也是则为幺元.
,,,21n x x x i x 4 ° 零元如果元素所在的行和列的元素都是,则是零元. .θi x i x i x 5 ° 幂等元.设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线上,,,21n x x x 第个元素恰 为那么是幂等元.易见幺元和零元都是幂等元.
i },,2,1{n i x i ∈i x 6 ° 可逆元素及其逆元.设为任意元素,如果所在的行和列都有幺元,并i x i x 且这两个幺元关于主对角线成对称分布,比如说第行第列和第行第列的两i j j i 个位置,那么与互为逆元.如果所在的行和列具有共同的幺元,则幺元一j x i x i x 定在主对角线上,那么的逆元就是自己.如果所在的和地或者所在的列没i x i x i x 有幺元,那么不是可逆元素.不难看出幺元一定是可逆元素,且;而零i x e e e =-1元不是可逆元素.
θ以本题为例,的运算表是对称分布的,因此,这三个运算是可交换的,
321,,f f f
而不是可交换的.再看幂等律.四个运算表表头元素排列都是,其中主对角4f b a ,线元素排列为的只有,所以, 遵从幂等律.下面考虑幺元.如果某元素所b a ,4f 4f 在的行和列元素的排列都是,该元素就是幺元.不难看出只有中的a 满足这b a ,2f 一要求,因此,a 是的幺元,其他三个运算都不存在幺元.最后考虑零元.如果a 2f 所在的行和列元素都是a,那么a 就是零元;同样的,若b 所在的行和列元素都是b,那么b 就是零元.检查这四个运算表,中的a 满足要求,是零元,其他运算都没1f 有零元.在的运算表中,尽管a 和b 的列都满足要求,但行不满足要求.因而4f 4f 中也没有零元.
5.2 A:①; B:③; C:⑤; D:⑦; E:⑩
分析 对于用解析表达式定义的二元运算 °和 *,差别它们是否满足交换律,结合律,幂等律,分配律和吸收律的方法总结如下:
任取,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成y x ,x y y =x 立 °运算就满足交换律.
2 ° °运算的地合律
任取根据°运算的解析表达式验证等式是否成立. z y x ,,)y (z y)(z x x =如果成立, °运算就是可结合的.
3 ° °运算的幂等律
任取x,根据 °运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成立, °x x x = 运算满足幂等律.
4 ° °运算对*运算的分配律
任取,根据 °和*运算的解析表达式验证等式
z y x ,,和是否成立。如果成立，则°)(*)()*(z x y x z y x =)(*)()*(x z x y x z y =运算对*运算满足分配律。
5 ° °和*运算的吸收律
首先验证 °和*运算是可交换的。然后任取根据 °和 *运算的解析表达,,y x 式验证等式和是否成立。如果成立，则°和 *运算满足
x y x x =)*( x y x x =)(*
吸收律。
设°是用解析表达式定义的A 上的二元运算，求解对于该运算的特导元素可以采用下述方法：
1 ° 求幺元e 。根据幺元定义，应满足等式。将等式中的
e A x ,∈∀x x e e x == 和用关于°运算的解析表达式代入并将结果化简，然后由x 的任意性
=e x x e 来确定
.e 2 °求零元根据零元定义，应该满足等式。将等.θθ,A x ∈∀θθθ==x x 式中的和用关于 °运算的解析表达式代入并将结果化简，然后由x 的θ x x θ任意性确定
.θ3 ° 求幂等元. 将等式中的用关于 °运算的解析表达式代入x x x = x x 并化简单,然后求解该议程,所得到的解就是幂等元.
4 ° 求可逆元素的逆元. 任取,设x 的逆元为y,则x 与y 应该满足等A x ∈式将等式中的与用关于°运算的解析表达式代入,并将.e x y y x == y x x y e 用 °运算的幺元代入,然后化简等式.观察使得该等式成产的x 应该满足的条件,然后将y 用含有x 的公式表示出来,从而得到x 的逆元.这里特别要说明一点,如果°运算不存在幺元则所有有元素都是不可逆的.
,e 以本题为例,具体的分析过程如下: 任取,由
Q Q y x b a ⨯>∈<><,,, >+>=<<*>
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