定理5.3.1 设f:AB和g:BC是函数，通 过复合运算o，可以得到新的从A到C的函数， 记为gof，即对任意aA，有(gof)(x)=g(f(x))。
注意，函数是一种关系，今用斜体“o”表 示函数复合运算，记为gof，这是“左复合”， 它与关系的“右复合”fog次序正好相反，为区 分它们在同一公式中的出现，用粗体符号表示 关系复合fog，故有gof=fog。
BA={f|f:AB}
设 |A|=m ， |B|=n ， 则 |BA|=nm 。 这 是 因 为 对 每个自变元，它的函数值都有n种取法，故总共 有nm种从A到B的函数。
上面介绍一元函数，下面给出多元函数的 定义。
n 定义5.1.5 设A1,A2,···,An和B为集合，若f:
AiB 为 函 数 ， 则 称 f 为 n 元 函 数 。 在
定理5.4.4 （Zermelo）设A和B是任意两个 集合，则下述情况恰有一个成立：
① |A|<|B| ② |B|<|A| ③ |A|=|B|
定理5.4.5 （Cantor-Schroder-Bernstein） 设A和B是任意两个集合，若|A|≤|B|和|B|≤|A|， 则|A|=|B|。
本定理对证明两集合具有相同基数提供了 有效的方法。若能够构造一单射函数f:AB， 则有|A|≤|B|；又能构造另一个单射函数g:BC， 以证明|B|≤|A|。于是根据本定理即可得出|A|=|B|。 特别要注意，f和g不必是满射。因为通常构造 这样两个单射函数比构造一个双射函数要容易 许多。
该定义说明了，B中的每个元素b是且仅是 A中某个元素a的像。因此，若A和B是有穷集合， 存在双射函数f:AB，则|A|=|B|。
定义5.2.4 设f:AB是函数，若存在bB， 使 对 任 意 aA 有 f(a)=b ， 即 f(A)={b} ， 则 称 f:AB为常值函数。
定义5.2.5 设f:AA是函数，若对任意aA， 有f(a)=a，亦即
i1
<x1,x2,···,xn>上的值用f(x1,x2,···,xn)表示。 一元函数中概念对n元函数几乎完全适用，
在这里不多讨论了。
5.2 函数类型
根据函数具有的不同性质，可以将函数分 成不同的类型。本节将定义这些函数，并给出 相应的术语。
定义5.2.1 设f:AB是函数，若R(f)=B，或 对任意bB，存在aA，使得f(a)=b，或形式表 为：
5.4 基 数
1．基数定义
首先选取一个“标准集合”Nn={0,1,2,···,n1}，称它为N的<截段n；再用双射函数为工具， 给出集合基数的定义如下：
定义5.4.1 设A是集合，若f:NnA为双射函 数，则称集合A是有限的，A的基数是n，记为 |A|=n，或card A=n。若集合A不是有限的，则 称A是无穷的。
定理5.3.4 若f:AB是双射，则f-1:BA也 是双射。
定 义 5.3.1 设 f:AB 是 双 射 函 数 ， 称 f -1:BA是f的逆函数，习惯上常称f-1为f的反函 数。
定 理 5.3.5 设 f:AB 是 双 射 函 数 ， 则 f -1of=IA，fof-1=IB
定理5.3.6 若f:AB是双射，则(f-1)-1=f。
(x)(y)(x,yAxyf(x)f(y)) 则称f:AB是单射函数（或一对一函数）， 或称函数f:AB是单射的，或入射的。 本定义揭示了，A中不同的元素，其在B中 像也是不同的。于是，若A的B是有穷集合，存 在单射函数f:AB，则|A|≤|B|。
定义5.2.3 设f:AB是函数，若f既是满射 又是单射，则称f:AB是双射函数（或一一对 应），或称函数f:AB是双射的。
2．基数比较
在有了集合基数的基础上，可以建立相等 关系和次序关系，进行基数比较和基若有一个从A到B的双射函数，则称A和 B有相同基数（或称A与B是等势），记为 |A|=|B|（或AB）。
②若有一个从A到B的单射函数，则称A的 基数小于等于B的基数，记为|A|≤|B|。
若f:NnA是双射函数，则示意A的元素是 可“数”的，但“数”的过程可能不会终止，
这导致了如下定义：
定义5.4.3 设A是集合，若f:NnA是双射函 数，则称集合A是可数的；若|A|=0，则称A是 可数无穷的；若A是不可数的，则称A是不可数 的或不可数无穷的。
可以证明下面一个很有用的定理：
定理5.4.2 若集合A1,A2,A3,···都是可数的，
定理5.4.8 （Cantor）设A是任意集合，则 |A|<|P(A)|。
应用本定理，可以构造一个可数无穷的无 穷基数的集合，其中每一个都大于它前边的一 个
第五章 函 数
5.1 函数基本概念 5.2 函数类型 5.3 函数运算 5.4 基 数
退出
5.1 函数基本概念
函数也常称为映射或变换，其定义如下：
定义5.1.1 设A和B是任意两个集合，且F是 从A到B的关系，若对每一个xA，都存在唯一 的yB，使<x,y>F，则称F为从A到B的函数， 并 记 作 F:AB 。 A 称 为 函 数 F 的 定 义 域 ， 即 D(F)=A，B称为函数F的陪域，R(F)称为函数F 的值域，且R(F)B。有时也用F(A)表示函数F 的值域，即
F(A)=R(F)={y|yB(x)(xAy=F(x))} 并称F(A)为函数F的像。 对于F:AB来说，若<x,y>F，则称x为函 数的自变元，称y为函数因变元，因为y值依赖 于x所取的值，或称y是F在x处的值，或称y为F 下x的像。通常把<x,y>F记作F(x)=y。
定义5.1.3 设f:AB，且CA，若有
④ 若a≥b，且ab，有f(a)>f(b)，则称f为严 格单调递减函数。
显然，严格单调递增函数是单调递增函数， 严格单调递减函数是单调递减函数。
定义5.2.8 设R是非空集合A上的等价关系， 且函数f:AA/R，f(a)=[a]R，aA，则称f是从A 到商集A/R的自然映射。
自然映射在代数结构中有重要的应用。
定理5.2.1 设A和B是全集合U的任意两个子 集。对任意xU，则下列关系式成立。
① A(x)=0A= ② A(x)=1A=U
③ A(x)≤B(x)AB ④ A(x)=B(x)A=B ⑤ A’(x)=1-A(x) ⑥ A∩B(x)=xA(x)*xB(x) ⑦ A∪B(x)=A(x)+B(x)-A∩B(x) ⑧ A-B(x)=A∩B’(x)=A(x)-A∩B(x)
②要证明一个集合A有基数，只需选取基 数为的任意集合B，证明从A到B或从B到A存 在一个双射函数。选取集合B的原则是使证明尽 可能容易。
上述定义中选用符号≤和<，是因为它们具 有这些符号的通常性质。然而，要证明这些性 质是冗长和复杂的。下面将不加证明地引入说 明这些性质的两个定理。第一个定理称为三歧 性定律。第二定理表明：≤是反对称的。
③若有一个从A到B的单射函数，但不存在 双射函数，则称A的基数小于B的基数，记为 |A|<|B|。
由于在复合运算下，双射函数是封闭的， 双射函数的逆函数（即常说反函数）是双射函 数，因此等势关系有以下性质：
定理5.4.3 等势是任何集合族上的等价关系。 综上可见，等势关系是个等价关系。
从上面定义及定理可知：
其中+，-，*，为通常的算术运算+，-，和 。
定义5.2.7 设<A,≤>和<B,≤>为全序集，函 数f:AB。对于任意a,bA.
① 若a≤b，有f(a)≤f(b)，则称f为单调递增 函数。
② 若a≥b，有f(a)≥f(b)，则称f为单调递减 函数。
③ 若a≤b，且ab，有f(a)<f(b)，则称f为严 格单调递增函数。
定义5.2.9 设p:AA为函数，若p是双射， 则称p为A上的置换。
置换在群论中作为一节进行讨论，有着重 要的应用。
5.3 函数运算
函数是一种特殊关系，对关系可以进行运 算，自然对函数也需要讨论运算问题，即如何 由已知函数得到新的函数。
1．函数复合
利用两个具有一定性质的已知函数通过复 合运算可以得到新的函数。
①等势是集合族上的等价关系，它把集合 族划分成等价类，在同一等价类中的集合具有 相同的基数。因此可以说：基数是在等势关系 下集合的等价类的特征。或者说：基数是在等 势关系下集合的等价类的名称。这实际上就是 基数的一种定义。例如，3是等价类 {{a,b,c},{p,q,r},{1,2,3},··} 的 名 称 （ 或 特 征 ） 。 0是自然数集合N所属等价类的名称。
(y)(yB(x)(xAf(x)=y))
则称f:AB是满射函数，或称函数f:AB 是满射的。
本定义表明了，在函数f的作用下，B中每 个元素b，都至少是A中某元素a的像，因此，若 A和B是有穷集合，存在满射函数f:AB，则 |A|≥|B|。
定义5.2.2 设f:AB是函数，对任意的a， bA，且ab，都有f(a)f(b)，或形式表为
g=f∩(CB)
则称g是f到C的缩小，记为f|c，即g为C到B 的函数：
g:CB
g(x)=f(x)
或
f|c(x)=f(x)
定义5.1.4 设f:CB，g:AB，且CA，
若g|c=f，则称g是f到A的扩大。
下面讨论由集合A和B，构成这样函数 f:AB会有多少呢？或者说，在AB的所有子 集中，是全部还是部分子集可以定义函数？令 BA表示这些函数的集合，即
推论1 若f,g,h都是函数，则(fog)oh=fo(goh)。 本推论表明，函数复合运算是可结合的。 若对于集合A，f:AA，则函数f能同自身 复合成任意次。f的n次复合定义为： ① f 0(x)=x ② f n+1(x)=f(fn(x))，nN。
定理5.3.2 设f:AB，g:BC ① 若f:AB，g:BC都是满射，则 gof:AC也是满射。 ② 若f:AB，g:BC都是单射，则 gof:AC也是单射。 ③ 若f:AB，g:BC都是双射，则 gof:AC也是双射。
