联系三角形法在地下工程中的应用【摘要】在地下工程施工中建立地面与地下统一的坐标系是工程建设过程中的关键，只有统一的坐标才能使隧道的贯通得以顺利进行，而如何使地上、地下的坐标得以统一联系测量是工程施工中的关键。
本文介绍的一井定向方法解决了地上与地下的坐标统一问题，解析了联系三角形的计算方法，提出了利用一井定向进行地下工程的联系测量不但可以保证工程的进度，同时可以保证工程的精度。
【关键词】一井定向；联系三角形；贯通；统一坐标系0 引言一井定向是指经过一个竖井进行定向的方法，亦可称为联系三角形定向。
一井定向的方法是通过测量角度、距离等几何量来完成定向的，属于几何定向方法。
这种方法需要在竖井、车站或投点孔等处进行。
进行一井定向时，在竖井井筒中悬挂两根钢丝垂球，在地面上利用地面控制点测定两垂球线的平面坐标及其连线方位角，在井下使用全站仪测角量边把垂球线与井下起始控制点连接起来，通过计算确定井下起始控制点的坐标和方位角。
一井定向测量工作可分为投点（即在井筒中下放钢丝）和连接测量两项工作。
1 联接测量暗挖隧道采用竖井联系三角形测量即通过竖井悬挂两根钢丝，由近井点测定与钢丝的距离和角度，算得钢丝的坐标以及它们的方位角，然后在井下认为钢丝的坐标和方位角已知，通过测量和计算便可得出地下导线的坐标和方位角，从而将地上和地下联系起来。
图1所示为一井定向的示意图。
图1 联系三角形定向测量联系三角形法，一般适合于井口小、深度大的竖井进行联系测量。
虽然其作业工作量较大，但其精度很稳定，在城市轨道交通联系测量工作中该法也得到广泛应用。
井上、井下联系三角形应满足下列要求：1）竖井中悬挂钢丝间的距离c应尽可能长；2）联系三角形锐角γ、γ’，一般应小于1°，呈直伸三角形；3）a/c及a’/c比值，一般应小于1.5，a为近井点至悬挂钢丝的最短距离。
钢丝宜选用Φ0.3mm，悬挂10kg重锤，并将重锤浸没在阻尼液中。
联系三角形边长测量可采用光电测距或经检定的钢尺丈量，每次应独立测量三测回，每测回三次读数，各测回较差应小于1mm。
第六单元 解三角形教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C .余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .[小题速通]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4，∵b ＜c ，∴b ＝2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B 由余弦定理可得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，又因为b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝12，则A ＝60°.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以角C 是钝角，故选C.4．(2018·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理及(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )·sin A ，得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a ＝0，则B ＝________.解析：由正弦定理可得sin B cos C ＋3sin B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，则3sin B sin C ＝sin C cos B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝33，则B ＝30°. 答案：30°[清易错]1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． 1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解D ．不确定解析：选B ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又∵a <b ，∴B 有两个解， 即此三角形有两解．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.解析：在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5π6.又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴A ＝2π3.∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A＝1. 答案：13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝7，b ＝8，c ＝13，则角C 的大小为________．解析：∵在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，c ＝13，∴由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋82－1322×7×8＝－12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3. 答案：2π3设△ABC 的边为a ，b ，c ，所对的三个角为A ，B ，C ，其面积为S . (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为△ABC 内切圆的半径)．[小题速通]1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝12，则A ＝30°，所以C ＝90°，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×1＝32.2．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3D ．2解析：选B 由题意S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，则AC ＝1，由余弦定理可得BC ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝ 3.3．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：15344．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：由cos A ＝－14，得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，解得a ＝8. 答案：8[清易错]应用三角形面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 时，注意公式中的角应为两边的夹角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，A ＝30°，则△ABC 的面积为________．解析：∵a ＝2，c ＝23，A ＝30°， ∴由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝32，∴C ＝60°或120°， ∴B ＝90°或30°，则S △ABC ＝12ac sin B ＝23或 3.答案：23或 31．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度)．坡度又称为坡比． [小题速通]1．(2018·潍坊调研)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝( )A ．10 3 n mile B.1063 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile解析：选D 如图，在△ABC 中，C ＝180°－60°－75°＝45°，又A ＝60°，由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即10sin 45°＝BC sin 60°，解得BC ＝5 6. 2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO ·tan 45°＝30(m)， ON ＝AO ·tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：10 33.如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.则此船的航速是________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：32[清易错]易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°， 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.一、选择题1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．135°解析：选C ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，设a ＝m ，则b ＝m ，c ＝3m . ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝m 2＋m 2－3m 22m 2＝－12， ∴C ＝120°.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14.则c 的值为( )A ．4B ．2C ．5D ．6解析：选A ∵c ＝2a ，b ＝4，cos B ＝14，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即16＝14c 2＋c 2－14c 2＝c 2，解得c ＝4.4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.5．(2018·湖南四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( )A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.2π3解析：选A 由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，sin C ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π6.6．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107(km)．7．(2018·贵州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.8．一艘海轮从A 处出发，以每小时40 n mile 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 n mileB ．10 3 n mileC ．20 3 n mileD ．20 2 n mile解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.故B ，C 两点间的距离是10 2 n mile. 二、填空题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A＝2sin B ，则c ＝________.解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝2b ，则b ＝3，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，则c ＝4. 答案：410．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________．解析：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列， ∴2B ＝A ＋C ，由三角形内角和定理，可得B ＝π3，又∵边a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ， 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2＋c 2－ac ，即a 2＋c 2－2ac ＝0， 故(a －c )2＝0，可得a ＝c ， 所以△ABC 的形状为等边三角形． 答案：等边三角形11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围为________．解析：由AC ＝b ＝2，要使三角形有两解，就是要使以C 为圆心，以2为半径的圆与AB 有两个交点，当A ＝90°时，圆与AB 相切，只有一解；当A ＝45°时，交于B 点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°<A <90°，即22<sin A <1，由正弦定理可得a ＝x ＝b sin Asin B＝22sin A ，所以2<x <2 2. 答案：(2,22)12．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析：如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m)．又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350. 故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)． 答案：2 650 三、解答题13．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB ―→AC ―→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解：因为AB ―→·AC ―→＝－6， 所以bc cos A ＝－6， 又S △ABC ＝3， 所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0＜A ＜π， 所以A ＝3π4. 又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29， 所以a ＝29.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b cos C ＝a cos C ＋c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝7，求a 及△ABC 的面积． 解：(1)∵2b cos C ＝a cos C ＋c cos A ，∴由正弦定理可得2sin B cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即2sin B cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B.又sin B ≠0，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)∵b ＝2，c ＝7，C ＝π3，∴由余弦定理可得7＝a 2＋4－2×a ×2×12，即a 2－2a －3＝0， 解得a ＝3或－1(舍去)，∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×2×32＝332.高考研究课(一)正、余弦定理的3个基础点——边角、形状和面积 [全国卷5年命题分析][典例] ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 故sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫1213－513＝7226. [方法技巧]应用正、余弦定理的解题策略(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时演练]1．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析：法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得 2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ＞0， 因此cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以2ac cos B ＝ac ＞0，cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.答案：π33.(2018·成都二诊)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B .∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5，∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＝＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝⎛⎭⎫－12＝49.∴CD ＝7.＋b )sin(A －B )＝(a －b )·sin(A ＋B )”，试判断三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B. 法一：用“边化角”解题由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：用“角化边”解题 由正弦定理、余弦定理得：a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． [方法技巧]判断三角形形状的2种方法(1)“边化角”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(2)“角化边”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．[提醒] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[即时演练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 依据题设条件的特点，由正弦定理， 得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ， 从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1， ∴A ＝π2，∴△ABC 是直角三角形．2．在△ABC 中，“2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，且sin B ＋sin C ＝1”，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，由余弦定理得，cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，解得sin B ＝sin C ＝12.因为0<B <π2，0<C <π2，故B ＝C ＝π6，所以△ABC 是等腰钝角三角形．[典例] (2017·a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B )， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517或cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2. [方法技巧]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [即时演练]1．(2018·太原一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×32，∴c ＝4.2．(2018·陕西四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13. (1)求cos 2B ＋C2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)cos 2B ＋C2＋cos 2A ＝1＋cos (B ＋C )2＋2cos 2A －1＝12－cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12－12×13＋2×⎝⎛⎭⎫132－1 ＝－49.(2)由余弦定理可得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc 有最大值94.又cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，于是△ABC 面积的最大值为12×94×223＝324.1．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010D ．－31010解析：选C 法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.法二：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a ，B ＝π4，易知BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a .在Rt △ABD 中，由勾股定理得， AB ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a .同理，在Rt △ACD 中，AC ＝ ⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∴cos A ＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a＝－1010.2．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22， 因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°. 因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°， 所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 解析：因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21134．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A. (1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解：(1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3， 即c 2＋2c －24＝0. 解得c ＝4(负值舍去)． (2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为 12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin 2π3＝23，所以△ABD 的面积为 3.6．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C .因为sin C ≠0，可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin Bsin C； (2)若∠BAC ＝60°，求B . 解：(1)由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ， 所以sin B sin C ＝DC BD ＝12.(2)因为C ＝180°－(∠BAC ＋B )，∠BAC ＝60°， 所以sin C ＝sin(∠BAC ＋B )＝32cos B ＋12sin B. 由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33， 所以B ＝30°.8．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B. 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为24×42－2＝2＋1.一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，若B 为锐角，则A ∶B ∶C ＝( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B 因为a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，所以由正弦定理可得sin B ＝b sin Aa ＝32，则B ＝60°，所以C ＝90°，则A ∶B ∶C ＝1∶2∶3. 2．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．根据增加的长度确定三角形的形状解析：选A 设原来直角三角形的三边长是a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为d ，原来的斜边仍然是最长的边，故cos A ＝(b ＋d )2＋(c ＋d )2－(a ＋d )22(b ＋d )(c ＋d )＝2bd ＋2cd ＋d 2－2ad2(b ＋d )(c ＋d )>0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.3．(2018·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( )A ．a ＝cB ．b ＝cC ．2a ＝cD ．a 2＋b 2＝c 2解析：选B 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，则A ＝30°.又b ＝3a ，由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝32，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C 、D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B.4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010 B.31010C.55D.255解析：选B 如图所示，设CD ＝a ，则易知AC ＝5a ，AD ＝2a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 则由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4， 即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB ―→·BC ―→>0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，32C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎦⎤12，32解析：选B 在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∵A 是△ABC 的内角，∴A ＝60°. ∵a ＝32， ∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin (120°－B )＝1， ∴b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B＝3sin(B ＋30°)．∵AB ―→·BC ―→＝|AB ―→|·|BC ―→|·cos(π－B )>0， ∴cos B <0，B 为钝角，∴90°<B <120°，120°<B ＋30°<150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32， ∴b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32. 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝32c ，则ab 的最小值为________． 解析：将2c cos B ＝2a ＋b 中的边化为角可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin C cos B ＋2sin B cos C ＋sin B ．则2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，则C ＝120°，所以S ＝12ab sin 120°＝32c ，则c ＝12ab .由余弦定理可得⎝⎛⎭⎫12ab 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥3ab ，则ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝23时取等号，所以ab 的最小值为12.答案：128．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2， 由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14， 则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104.答案：1521049．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ， 所以(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C . 由正弦定理得b 2＋c 2－bc ＝4，又因为b 2＋c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，此时三角形为等边三角形，所以S ＝12bc sin 60°≤12×4×32＝3，故△ABC 的面积的最大值为 3. 答案： 3 三、解答题10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值． 解：(1)由a sin A ＝4b sin B ，及a sin A ＝bsin B，得a ＝2b . 由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理， 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.(2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos2B sin A＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255. 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin B ＝3b cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理得sin A sin B ＝3sin B cos A . 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝332.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin B ·(a cos B ＋b cos A )＝3c cos B.(1)求B ；(2)若b ＝23，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长． 解：(1)由正弦定理得，sin B (sin A cos B ＋sin B cos A )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin(A ＋B )＝3sin C cos B ， ∴sin B sin C ＝3sin C cos B.∵sin C ≠0，∴sin B ＝3cos B ，即tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝23，∴ac ＝8.根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴12＝a 2＋c 2－8，即a 2＋c 2＝20， ∴a ＋c ＝(a ＋c )2＝a 2＋2ac ＋c 2＝6， ∴△ABC 的周长为6＋2 3.1．在平面五边形ABCDE 中，已知∠A ＝120°，∠B ＝90°，∠C ＝120°，∠E ＝90°，AB ＝3，AE ＝3，当五边形ABCDE 的面积S ∈⎣⎡⎭⎫63，3334时，则BC 的取值范围为________． 解析：因为AB ＝3，AE ＝3，且∠A ＝120°，由余弦定理可得BE ＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos A ＝33，且∠ABE ＝∠AEB ＝30°. 又∠B ＝90°，∠E ＝90°，所以∠DEB ＝∠EBC ＝60°. 又∠C ＝120°，所以四边形BCDE 是等腰梯形． 易得三角形ABE 的面积为934，所以四边形BCDE 的面积的取值范围是⎣⎡⎭⎫1534，63. 在等腰梯形BCDE 中，令BC ＝x ，则CD ＝33－x ，且梯形的高为3x2， 故梯形BCDE 的面积为12·(33＋33－x )·3x 2，即15≤(63－x )x <24， 解得3≤x <23或43<x ≤5 3. 答案：[3，23)∪(43，53]2.如图，有一直径为8 m 的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是∠ECF ＝π6，点E ，F 在直径AB 上，且∠ABC ＝π6.(1)若CE ＝13，求AE 的长；(2)设∠ACE ＝α，求该空地种植果树的最大面积． 解：(1)由已知得△ABC 为直角三角形， 因为AB ＝8，∠ABC ＝π6，所以∠BAC ＝π3，AC ＝4.在△ACE 中，由余弦定理得，CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos A ，且CE ＝13， 所以13＝16＋AE 2－4AE ， 解得AE ＝1或AE ＝3.(2)因为∠ACB ＝π2，∠ECF ＝π6，所以∠ACE ＝α∈⎣⎡⎦⎤0，π3， 所以∠AFC ＝π－∠BAC －∠ACF ＝π－π3－⎝⎛⎭⎫α＋π6＝π2－α， 在△ACF 中，由正弦定理得CF sin ∠BAC ＝AC sin ∠AFC ＝AC sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝AC cos α，所以CF ＝23cos α，在△ACE 中，由正弦定理得CE sin ∠BAC ＝AC sin ∠AEC ＝ACsin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以CE ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以S △ECF ＝12CE ·CF sin ∠ECF ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos α＝122sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋3.因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以π3≤2α＋π3≤π， 所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3≤1， 所以当sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝0，即α＝π3时，S △ECF 取得最大值为4 3. 即该空地种植果树的最大面积为4 3 m 2. 高考研究课(二)正、余弦定理的3个应用点——高度、距离和角度 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 高度问题 5年1考 测量山高问题距离问题 未考查 角度问题未考查测量高度问题[典例] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中， CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． [答案] 100 6 [方法技巧]利用正、余弦定理求解高度问题应注意的3个方面(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． [即时演练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2.如图，为测得河岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________m.解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理得，BC sin 45°＝CDsin 30°， 所以BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC ，AB ＝BC tan 60°＝106(m)． 答案：10 6测量距离问题[典例]侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________m. [解析] ∵∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， ∴由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. [答案] 20 6 [方法技巧]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． [即时演练]1.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则AB 的长为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m. 答案：200 72.隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解：在△ACD 中，∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°，所以AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，由正弦定理知BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 ， 所以A ，B 两目标之间的距离为 5 km.角度问题[典例] (2018·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为( )A.217 B.22C.32D.5714[解析] 如图，连接BC ，在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos 120°＝700，∴BC ＝107， 再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ABsin θ，∴sin θ＝217. [答案] A [方法技巧]解决测量角度问题的3个注意点(1)明确方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [即时演练]1.如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2.如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．。
关联法几何求解整10度角格点三角形1、整10度角格点三角形的定义：如图1所示△ABC内有一点P，如果三角形的三个内角∠BAC、∠ABC、∠ACB及六个分角∠PAB、∠PBA、∠PBC、∠PCB、∠PCA、∠PAC都是10的整数倍，则称为整10度角格点三角形。
图 12、分角标示及分组、编码：本文按图2的规则标示六个分角：a、b、c、x、y、z ；并依间隔分为两组：a、b、c和x、y、z。
图 2为了叙述方便起见，我们也用编码来记录整10度角格点三角形，它是由abcxyz一列数字组成，角度只取10位的数字，100°用0代替。
必须注意的是，一个六位数的编码对应一个确定的整10度角格点三角形；而一个确定的整10度角格点三角形，由于顶点标注的字母不同，就可能读出不同的编码来。
图三图三中两个编码不同的三角形是同一个角格点三角形。
3、角格点三角形之间的关联性：一组角格点三角形如果两个分角组中的三个分角角度都相等，我们称它们是关联的角格点三角形，事实上关联的角格点三角形六个分角都是相等的，只是分布的位置不同，从而形成不同内角的三角形。
文献记载，如果不考虑分角对称分布的等腰三角形和对称生成的全等三角形，整10度角格点三角形只有45个，它们的编码是：（1） 213110 110213 110312 312110 110321 321001（2） 126612 612126 216216（5） 315315 135513 513135（6） 316224 316422 422316 136422 422136 224316（7） 323415 415323 233415 415233 415332 514233（8） 324324 423234 234423这45个整10度角格点三角形按关联性排成了8组，下面我们按分角升序排列为每个关联组给出一个代表编码：110123 126126 127134 128223135135 136224 145233 2342344、关联的角格点三角形之间的关系：对现有的一个整10度角格点三角形，在同一个分角组中交换两个分角的位置，可以得到内角不同的新的角格点三角形，这种关系可以通过几何方法得以证明。
4种方法突破解三角形两解问题需要电子稿和后面练习答案的请在文章后留言，写下电子邮箱，我发给你。
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三角形有：三个角，三条边这六个元素。
一般三个条件，就能确定三角形（初中学过的全等三角形的判定就是如此）。
比如：•三条边唯一确定三角形•确定了两个角，和任意一条边。
（知道了两个角等于知道了三个角）唯一确定三角形•确定了两条边和这两条边的夹角也能唯一确定三角形但有一个问题例外：知道了两边和一边的对角的三角形有可能有2种情况。
【上图：已知角B,边b,边c时，则三角形ABC与三角形ABC'具有同样的角B边b和边c。
其中角C和C'互补】所以三角形两解问题核心是：已知三角形两边和一边的对角的情况下：•如何判断三角形是只有1种情况还是2种？•已知两边和一边的对角的三角形在什么情况下三角形必然有两解？我们用以下四种方法来解决该问题。
方法1：用大边对大角，小边对小角快速判断只有一解操作：若三角形中角的正弦已用定理求出，但此角所对的边不是最大边，那么此三角形不可能是钝角三角形，只有一解。
说明：因为在三角形中，角越大，边越大，角的正弦越大，反之亦然。
而钝角所对之边应该是最长边，若不是则必然非钝角三角形。
方法2：用内角是否超过180度判断三角形是否有2解操作：若一用正弦定理算出另一角的正弦，且是特殊三角函数值，先写出对应的2个角度（一个锐角，一个与之互补的钝角），锐角必然保留。
钝角的话，如果两角相加超过180度，则舍去，三角形只有一种情况；如果两角相加不足180度，则满足三角形内角和180度公理，则钝角保留。
说明：因为三角形的内角和为180度。
方法3：画圆弧法，找到三角形两解的等价条件操作：若已知角所对边的范围在：另一边与已知角正弦的积到另一边长度之间，则此三角形有2解。
说明：方法4：用余弦定理构造二次方程判断三角形是否有两解操作：用余弦定理构造第三边的二次方程，若此二次方程有2个正根，那么三角形有2解；若此二次方程有一正一负两根，或两个相等的正根，则此三角形只有1解；若此二次方程两根皆是负数，或没有根，则此三角形无解。
