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一元二次方程的应用一元二次方程是中学数学中比较基础的内容之一。
在实际应用中，一元二次方程也有着广泛的适用性。
本文将介绍一元二次方程在实际中的应用，并分析其具体的数学方法和过程。
一、抛物线的应用一个抛物线可以用一元二次方程的形式表示。
其中，方程中的a、b、c分别代表抛物线关于x的二次项系数、一次项系数和常数项系数。
在实际应用中，我们经常需要利用一元二次方程来求解以下问题：（1）给定一个抛物线，求出其顶点坐标顶点坐标可以通过求解方程a(x-p)²+q得到，其中，p、q分别为顶点的横、纵坐标。
根据平面几何的知识，抛物线的顶点就是其对称轴的交点。
因此，我们可以通过求解关于x的一元二次方程来确定对称轴的位置，从而得到顶点坐标。
（2）给定一个抛物线，求出其与x轴的交点1）当抛物线在x轴下方时，交点个数为0。
2）当抛物线与x轴相切时，交点个数为1。
3）当抛物线在x轴上方时，交点个数为2。
根据以上规律，我们可以利用求根公式或配方法求解一元二次方程，从而确定交点坐标。
二、最值与最优解在实际问题中，有许多情形下需要求解一个函数的最值或最优解。
通过构建一元二次函数，我们可以通过求解其极值点来得到最值或最优解。
在解决此类问题时，我们需要用到以下定理：1）一元二次函数在x=a处取得最大值或最小值，当且仅当a为该函数的极值点。
2）一元二次函数的对称轴是该函数最大值或最小值的轴线。
通过对称轴和极值点的求解，我们可以得到一元二次函数的最优解或最值。
三、勾股定理勾股定理在平面几何中由比达赖创建。
在实际问题中，我们可以利用一元二次方程的求根公式验证勾股定理。
对于一个直角三角形，其斜边又可以表示为一元二次方程的形式。
利用求根公式，我们可以求出其两个直角边的长度。
如果其长短满足勾股定理，则该三角形是一个合法的直角三角形。
四、变速直线运动直线运动是物理学中比较基础的内容。
在实际问题中，我们可以将变速直线运动建模成一元二次函数。
一元二次方程的应用(优秀5篇)元二次方程篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点：重点：1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点：一元二次方程的含义。
教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。
事实上初中代数研究的主要对象是方程。
这部分内容从初一一直贯穿到初三。
到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2.什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程。
(板书一元二次方程的定义)3.强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
一元二次方程的应用一元二次方程是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将探讨一元二次方程的应用，并分析其在实际问题中的具体应用场景。
一、物理学中的应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动是一种常见的物体运动形式。
通过解一元二次方程，可以求解物体的运动轨迹、落地时间和最大高度等相关参数。
例如，一个抛掷物体在抛出后的运动可以用一元二次方程表示，通过求解该方程，我们可以得到物体的落地时间和最大高度，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 天体运动在天体物理学中，一元二次方程可以用来描述天体运动的轨迹。
例如，行星的运动可以用一元二次方程来表示。
通过解方程，可以计算行星的运行周期、离心率等重要参数。
这些参数对于研究宇宙的运行规律和天体力学有着重要的意义。
二、工程学中的应用1. 抛物线天桥设计在工程学中，抛物线天桥是一种被广泛使用的结构。
设计师可以利用一元二次方程来计算抛物线天桥的曲线形状和斜率。
通过合理的抛物线曲线设计，可以使天桥具有更好的稳定性和美观性。
2. 弹道学弹道学是研究飞行物体的轨迹和运动规律的学科。
一元二次方程广泛应用于弹道学中，用于计算弹道飞行的高度、速度和飞行时间等参数。
通过解一元二次方程，可以优化发射角度和发射速度，提高弹道导弹的命中率和射程。
三、经济学中的应用1. 供求关系在经济学中，供求关系是研究市场经济的基本规律之一。
供求关系可以用一元二次方程来描述。
通过分析供求方程的解，可以确定市场均衡点的价格和数量，了解市场供应和需求的关系，并为经济政策制定提供依据。
2. 成本和收益分析在经济决策中，成本和收益分析是一种常见的方法。
通过建立成本和收益方程，并求解一元二次方程，可以确定最大利润的产量和价格，从而指导企业的生产和经营决策。
综上所述，一元二次方程在物理学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。
通过解方程，我们可以得到丰富的信息和参数，从而更好地理解和分析实际问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的一元二次方程，并利用解方程的方法得出准确的结果。
1地理学中
一元二次方程在地理学中是一个常见的工具。
例如，用一元二次方程可以解决数据型地理问题，比如地形的识别和建模以及空间模式识别。
此外，在图像分析中，它也可以用来识别地理信息，如方位、海拔、灌溉以及其它空间信息等。
此外，一元二次方程还可以应用在曲线的拟合上。
在地形曲线的拟合中，一元二次方程可以用来对沿海面的弯曲度进行精确估计、确定某个地区的变化情况，以及测量地形曲线的总体变化量。
它同样也可以用于水文学，比如流量变化的应用和水位变化的模拟等。
2建筑学中
在建筑学中，一元二次方程也被广泛使用。
它可以用于建筑空间的计算，比如沿墙道路的建模、构建分层布置或绘制空间结构等。
同样，它也可以用于建筑物的屋顶分析、建筑结构的分析和计算、建筑师的工作量的衡量等等。
最重要的是，一元二次方程可以用来计算预算和预期，如估算时间和材料使用量等。
3计算机科学中
一元二次方程最广泛的应用之一是在计算机科学领域。
它可以用于优化计算机代码，以及计算和研究算法的效率和性能等。
此外，它也广泛应用于几何图形学，如曲线拟合和几何建模等。
一元二次方程也可以用于形状分类任务，比如光密度分析、图像处理以及色彩空间的分类等。
它同样也可以应用在复杂机器学习任务，比如支持向量机、神经网络以及连贯向量机等。
更重要的是，一元二次方程可以用来处理大量繁重的数字计算工作，如计算特定参数和函数最佳值等。
一元二次方程的应用简介一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为`ax^2 + bx + c = 0`。
本文将介绍一元二次方程的应用领域和例子，以帮助读者更好地理解和应用这一数学概念。
应用领域一元二次方程的应用非常广泛，尤其在科学、工程和经济领域中。
以下是一些常见的应用领域：物理学在物理学中，一元二次方程经常用于描述运动的轨迹和曲线。
例如，抛体运动的轨迹可以用一元二次方程来描述。
工程学工程学中很多问题都可以归结为一元二次方程的求解问题。
比如，求解抛物线天线的最佳位置，求解炮弹射程的最优发射角度等。
经济学经济学中也广泛运用一元二次方程来解决一些供求关系、成本利润等问题。
例如，根据市场需求函数和供应函数，可以建立一元二次方程模型来分析市场的均衡价格和供求关系。
应用例子以下是一些常见的一元二次方程的应用例子：炮弹的抛射高度假设炮弹以速度v0和发射角度θ抛射，求炮弹的最大抛射高度。
根据物理学的公式可以得到以下一元二次方程：h = v0^2 * sin^2(θ) / (2g)其中，h为抛射高度，v0为炮弹的初速度，θ为发射角度，g 为重力加速度。
市场供求关系假设市场需求函数为D(p) = a - bp^2，市场供应函数为S(p) = cp^2。
求市场的均衡价格和均衡数量。
根据经济学的理论可以得到以下一元二次方程：a - bp^2 = cp^2解这个方程可以得到市场的均衡价格p和均衡数量。
结论一元二次方程的应用十分广泛，涉及到物理学、工程学、经济学等多个领域。
了解一元二次方程的应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
一元二次方程的运用
一元二次方程在数学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 物理学：在物理学中，一元二次方程可以用来描述一些运动问题，如抛体运动、自由落体运动等。
通过解一元二次方程可以求解抛物线的最高点、最远点、碰撞时间等问题。
2. 金融学：在金融学中，一元二次方程可以用来解决一些与利润、成本、销售量等相关的问题。
例如，通过解一元二次方程可以找到最大利润的销售量，或者确定成本、利润等之间的关系。
3. 工程学：在工程学中，一元二次方程可以用来解决一些与曲线、定义域等相关的问题。
例如，在建筑设计中，可以通过解一元二次方程来找到合适的曲线形状。
4. 统计学：在统计学中，一元二次方程可以用来描述一些与模型拟合、回归分析等相关的问题。
通过解一元二次方程可以找到最佳拟合曲线、预测未来趋势等。
5. 生活中的实际问题：一元二次方程在生活中也有一些实际应用，如计算税收、计算折旧、计算物体的轨迹等。
通过解一元二次方程可以帮助人们解决一些实际问题。
一元二次方程的应用一元二次方程是数学中比较常见的方程形式，它在现实生活和各个学科中都有着广泛的应用。
本文将探讨一元二次方程的应用领域及其重要性。
一元二次方程的标准形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实系数，且a≠0。
通过解一元二次方程，我们可以求解未知数的值，从而应用于实际问题中。
以下是一元二次方程常见的应用领域：1. 物理学中的运动问题：一元二次方程常常用于描述物体在加速度恒定的情况下的运动轨迹。
例如，当我们研究自由落体运动时，可以利用一元二次方程描述物体在不同时间下的位移和速度。
2. 经济学中的盈利模型：一元二次方程可以用来建立盈利模型，在经济学中具有重要的应用价值。
通过解一元二次方程，我们可以确定成本、收入和利润之间的关系，对企业的盈利能力进行分析和预测。
3. 工程学中的建模：在工程学中，一元二次方程常用于建立物理系统的数学模型。
例如，在弹簧系统中，根据胡克定律，弹簧的伸长或压缩与所受的力成正比。
通过一元二次方程，我们可以解析地描述弹簧的行为和特性。
4. 生物学中的生长问题：一元二次方程可以应用于生物学中的生长问题。
例如，在生态学中，人口增长和物种扩散的模型常常使用一元二次方程进行建模。
通过解方程，我们可以研究生物种群的生长规律和相关动态。
5. 统计学中的拟合优度：一元二次方程可以用于拟合优度分析，在统计学中具有广泛应用。
通过最小二乘法，我们可以利用一元二次方程来拟合实际数据，并评估模型的拟合程度，进而进行统计分析和决策。
总结起来，一元二次方程在物理学、经济学、工程学、生物学和统计学等各个领域都有重要的应用。
通过解方程，我们可以得到问题的解答，从而更好地理解和应用数学知识。
在实际问题中，合理运用一元二次方程可以帮助我们分析和解释事物的变化规律，为决策和问题解决提供有力的工具。
在解一元二次方程的过程中，我们还常常运用配方法、公式法、图像法等不同的求解策略，根据具体情况选择合适的方法。
一元二次方程的实际应用与解法一元二次方程是数学中常见的一种类型方程，表达形式为ax^2 + bx + c = 0。
本文将介绍一元二次方程的实际应用以及解法。
一、一元二次方程的实际应用一元二次方程广泛应用于各个领域，特别是在物理学、工程学和经济学等实际问题的建模与求解中。
以下是一些常见的实际应用：1. 物体运动问题：对于抛体运动或自由落体运动等问题，可以通过一元二次方程来描述物体的运动轨迹。
例如，当我们知道一个物体的初速度、重力加速度和运动时间时，可以使用一元二次方程来求解物体的最终位置。
2. 地面覆盖问题：在城市规划中，经常需要考虑各类设施的地面覆盖范围。
通过一元二次方程可以描述设施的传播范围和受影响区域的大小。
例如，对于一个无线网络信号的传播范围，可以通过一元二次方程来计算无线信号的衰减程度和覆盖范围。
3. 财务问题：在经济学中，一元二次方程常应用于财务问题的建模与解决。
例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算某项投资的回报率和投资时间。
此外，一元二次方程也可用于计算生产成本与产量之间的关系等。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积，即可直接得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，从而得到x = 1和x = 3两个解。
2. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求根公式来计算。
根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，可以得到方程的解。
其中，a、b和c 分别代表方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
3. 完全平方式：当一元二次方程的解可以表示为一个完全平方数时，可以通过完全平方式求解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而得到x = -3作为方程的解。
一元二次方程的应用
一元二次方程是代数学中常见且重要的内容，具有广泛的应用领域。
本文将从数学、物理和经济等方面介绍一元二次方程的应用。
一、数学应用
1. 解析几何：一元二次方程可以用于描述平面上的曲线，如抛物线。
通过求解方程，可以确定曲线的顶点、焦点等重要特征，进而进行几
何分析和解题。
2. 最值问题：一元二次方程可以用于求解最值问题，如求解抛物线
的最大值或最小值。
这种问题在最优化、经济学和物理学等领域中具
有很高的实际意义。
二、物理应用
1. 自由落体运动：当物体做自由落体运动时，其运动轨迹符合一元
二次方程。
通过求解方程，可以确定物体的运动速度、位移等重要参数，进而进行物理分析和解题。
2. 抛体运动：抛体运动也是一种常见的物体运动形式，其轨迹也是
抛物线。
一元二次方程可以用来描述抛体运动的高度、时间、速度等
相关问题。
三、经济应用
1. 成本和收益分析：在经济学中，一元二次方程可以用来建立成本和收益之间的关系。
通过求解方程，可以确定最佳利润点或成本控制的策略，对经济决策提供参考依据。
2. 市场需求预测：一元二次方程还可以用来进行市场需求的预测和分析。
通过建立需求函数，求解方程可以推测出市场规模、价格敏感度等相关指标，为企业决策提供参考依据。
综上所述，一元二次方程在数学、物理和经济等多个领域中具有广泛的应用。
通过求解方程，可以解决和分析与抛物线相关的问题，为相关学科的研究和实际应用提供支持。
对于学习者而言，掌握一元二次方程的应用，将有助于提高问题分析和解决能力，培养综合思考和创新能力。
一元二次方程的应用一元二次方程是解决数学问题中常用的一种方程类型。
它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在实际生活中，一元二次方程可以用来解决各种与数量关系有关的问题。
以下将通过几个具体的应用案例，介绍一元二次方程在实际中的应用。
案例一：抛物线的形状在物理学、工程学和建筑学等领域中，抛物线的形状是一个常见的问题。
一元二次方程可以帮助我们确定抛物线的开口方向、顶点位置以及焦点位置等信息。
例如，考虑一座桥的拱形，我们可以根据桥拱的高度和宽度来建立一元二次方程。
通过求解这个方程，我们可以确定最佳的拱形形状，以确保桥的承载能力和结构稳定性。
案例二：运动轨迹的预测一元二次方程还可以用于预测物体的运动轨迹。
假设一个物体被抛出，并以初速度v0和发射角度θ抛出，忽略其他外部因素的影响。
我们可以通过一元二次方程来计算物体的飞行时间、到达最远距离的水平位置以及最高点的高度。
这些信息对于设计射击、投掷和抛掷物体的运动轨迹都非常有用。
案例三：经济优化问题一元二次方程在经济学和管理学中也有广泛的应用。
例如，在某个工厂的生产线上，单位时间内生产的产品数量与工人的数量呈现出一定的关系。
我们可以通过建立一元二次方程，将工人数量作为自变量，生产产品数量作为因变量，来找到最大的产量和最优的工人数量。
案例四：旅行时间和距离计算一元二次方程还可以用于计算旅行的时间和距离。
例如，某辆汽车以固定的速度行驶，我们可以通过一元二次方程来计算汽车行驶到特定距离所需的时间。
这在交通规划、旅行导航和物流管理等领域都有很实际的应用。
综上所述，一元二次方程在实际生活中具有广泛的应用。
通过了解和熟练运用一元二次方程，我们可以更好地解决与数量关系有关的问题，并做出准确的预测和决策。
因此，掌握一元二次方程的应用方法对于提高数学素养和解决实际问题非常重要。
浅谈一元二次方程的应用姓名：宋永安年级：2011 级专业：数学应用指导教师：王元会浅谈一元二次方程的应用(宋永安，2011级，数学应用本科)文章摘要：一元二次方程在初中教学内容中，站着举足轻重的地位，学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。
因此，本文将从函数入手，着重探讨一下一元二次方程的概念、形式、解法以及应用，以求对于一元二次方程有个深入的解析。
关键词：函数一元二次方程应用一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》和分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。
应该说，一元二次方程是初中教学的重点内容。
一、函数1、函数的概念函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
1755欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数.由此演变为目前的函数的“变量说”，黎曼在1851定义：“我们假定z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的每一个值与之对应，则称W 是Z 的函数.1939年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数：(1)对A 中每一个元素x ，存在y B ∈，使(),x y F ∈；(2)若()1,x y F ∈且()2,x y F ∈，则12y y =.数F 记作：:F A B →. 分别称以上函数的定义为变量说、对应说和关系说. 2、函数概念的核心思想数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系.数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系.中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数.函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法.解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数.析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的.表法适用于表达变量取值是离散的情况.用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法来表达函数因题而异. 3、中学数学研究的函数性质数学中研究函数主要是研究函数的变化特征.学阶段主要研究函数的周期性，也涉及奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性.(1)函数的周期性周期性反映了函数变化周而复始的规律.中学阶段学习函数的一个基本的性质.期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况.(2)函数的奇偶性函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质.偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律.(3)函数的单调性单调性是讨论函数“变化”的一个最基本的性质.几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律.4、函数与其它内容的联系(1)函数与方程用函数的观点看待方程可以把方程的根看成函数与x轴交点的横坐标，即零点的横坐标.程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图形与x轴的交点问题.(2)函数与数列数列是特殊的函数.的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集.列通常称为离散函数.差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化.(3)函数与不等式我们首先确定函数图像与x轴的交点（方程f(x)=0的解），再根据函数的图像来求解不等式.(4)函数与线性规划是最优化问题的一部分，从函数的观点来看：首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等.次，需要确定目标函数的可行域.后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题.线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值.5、函数模型函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立思想模型的基础，具有良好的普适性和代表意义.实生活中，普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数建模的思想进行解决.运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案.在实际的教学中，除了使学生了解所学习的函数在现实生活中有丰富的“原型”之外，还应通过实例介绍或让学生通过运算来体验函数模型的多样性.有通过实例，才能让学生体会、感受数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，使学生们学会并运用用数学的知识、思想方法、数学模型去解决生活中的实际问题，提高运用数学的能力．要鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例进行探索实践.下面我们通过常见的函数模型——一元二次方程，来揭开函数与方程这种数学思想的神秘面纱.二、 一元二次方程1、一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程. 2、一元二次方程的一般式()2y 0,,0ax bx c a b c a =++=≠其中为常数，且，则称y 为x 的二次函数.顶点坐标为(2b a-,244ac b a -).经过适当变形，继而我们可以得到：(1)顶点式：2()y a x h k =-+(,,0a h k a ≠为常数，且).(2)交点式(x 轴)：12()()y a x x x x =--.(3)两根式：12()()y a x x x x =--，其中1x ,2x 是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的两个根. 注意：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式2()y a x h k =-+，抛物线的顶点坐标是(,)h k ，h ＝0时，抛物线2y ax k =+的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线2()y a x h =-的顶点在x 轴上；当h ，k ＝0时，抛物线2y ax =的顶点在原点.(2)当抛物线2y ax bx c =++与x 轴有交点时，即对应二次方程20ax bx c ++=有实数根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解公式2ax bx c ++1()a x x =-2()x x -,二次函数2y ax bx c =++可转化为两根式12()()y a x x x x =--. 3、一元二次方程的解法一元二次方程的求解和应用是初中数学的重点内容，方程思想也是学习数学的一种重要思想.一元二次方程的解法以一元一次方程为基础，解一元二次方程的基本思想就是降次，把二次变为两个一元一次方程再求解.一元二次方程的一般形式为()200ax bx c a ++=≠，特点是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程.如果不是整式方程，需要先把它整理成整式方程再进行判断.一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.下面我们将举例分析这四种方法的运用： 例1 用直接开方法解下面的一元二次方程. （1）()2319x +=；（2）()()22324x x -=+.分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如()2(0)x m n n -=≥的方程，就可以把方程变为x m -=. 通过观察可以发现（1）、（2）两个小题可以用直接开方法来求解. 解：（1）()2319x +=.直接两边开方，得：3x +1=±3.（注意，不能漏了-3）.由3x +1=3得1x =23，由3x +1=-3得2x =43-， ∴原方程的解为：1x =23，2x =43-.（2）()()22324x x -=+.直接两边开方，得：324x x -=+或()()324x x -=-+.由324x x -=+得1x =3，由()()324x x -=-+得2x =12-，∴原方程的解为：1x =3，2x =12-.说明：用直接开方法解一元二次方程，一般不用把方程转化为一般形式，再两边同时开方的时候应注意方程只需在一边取正负号，还应注意不要丢解. 例2 用配方法解下列一元二次方程:22420x x --=.分析：用配方法解方程()200ax bx c a ++=≠，应先将二次项系数化为1，常数a 移到方程右边，再将方程左边配成完全平方的形式.该题可变为221x x -=，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方之后，就可以按照直接开方法来解方程了. 解:22420x x --=.二次项系数化为1，移常数项，得：221x x -=. 配方，得：22111x x -+=+，即2(1)2x -=.说明：用配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后变为一边是完全平方的形式就可以用直接开方法进行解题. 例3 用公式法解2347x x +=.分析:公式法就是指利用求根公式2b x a-=，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，确定a ，b ，c 的值，然后代入到公式中进行计算.或者也可以先计算24b ac -的值，当24b ac -≥0时，把各项系数a ，b ，c 的值代入求根公式即可得到方程的根.先判断解的情况之后，如果Δ<0，那么可以直接省去更多的运算，方程无解. 解：化为一般式：23740x x -+=，求出判别式的值：Δ=24b ac -=1>0，代入求根公式：716x ±=，∴11x =，243x =.说明：公式法是解一元二次方程的通用的方法，如果对其他方法不熟悉的情况下，都可以使用公式法来解一元二次方程，因此，这个公式一定要熟记.用公式法一定要先把方程转化为一般形式，明确公式中字母在题中所表示的量，再代入公式进行计算.注意最后的根如果有根号要化成最简形式. 例4用分解因式法解26150x x +-=.分析:分解因式法就是把方程的一边变为因式相乘的形式，另外一边的值为0，解题的方法就是让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根.一般需要先把它整理成一般形式再进行分解因式.解 左边分解成两个因式的积得：（2x-3）（3x+5）=0. ∴2x–3=0，3x+5=0，∴1x =32，2x =53-. 说明：在使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能把方程拆为两个一元一次方程达到降次的目的. 4、一元二次方程解法口诀含有一个未知数，最高指数是二次； 整式方程最常见，一元二次方程式。
