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一元二次方程的算法：公式法课件 公开课获奖课件

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《公式法》一元二次方程PPT课件

《公式法》一元二次方程PPT课件

X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
即
x1= - 3
x2 =
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解下列方程：
（口答）填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 1、x2 +2x =5
解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2 .
（x1=-1+
公式法。
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
例1.用公式法解方程2x2+5x3=0
解:
∴ ∴x= =
a=2
b=5
=
c= -3
b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
= -q+(
)2
)2 =
-q
用配方法解一般形式的一元二次方程 解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
配方，得 即 ∵4a2＞0 x2 +
x2 +
x+(
x= )2 =当b2-4ac≥0时, 解得 即 x= x= ±
x +
=±
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
，x2=-1-
）
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 x1= -2 , = x2 = . = .
2、 6t2 -5 =13t （t1 = ，t2 = ）
例
用公式法解方程： x2 +3 = 2 x 解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 ，c=3 )2-4×1×3=0 = =

用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)

用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)

复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：

用公式法求解一元二次方程-ppt课件

用公式法求解一元二次方程-ppt课件
2
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 公式法的应用
1.在长 、宽 的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为 ，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为 ．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为 的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为 ．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为 的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是 ， ，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为 的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −

− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．

= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，

用公式法求解一元二次方程ppt课件

用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，

公式法解一元二次方程课件

公式法解一元二次方程课件
公式法解一元二次方程 PPT课件
本课件将详细介绍公式法解一元二次方程的步骤、应用和几何意义，以及解 答思路和优缺点分析。同时还包括丰富的例题演示和实战演练。
一元二次方程的定义和特点
一元二次方程是形如ax²+ bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。 它的特点是含有二次项和一次项，并且未知数的最高次幂为2。
求解一元二次方程的两种方法的比较
公式法
适用于一切一元二次方程，计算简便，但需要 记住公式。
配方法
适用于特定的一元二次方程，计算较为繁琐， 但思维灵活。
一元二次方程在实际生活中的 应用
• 物理学中的运动学问题。 • 工程学中的曲线设计。 • 经济学中的成本与收益分析。 • 金融学中的利润计算。
求解一元二次方程时需要注意的事项
• 确保方程按标准形式排列。 • 计算判别式时，注意繁简幂运算和符号的处理。 • 对于存在浮点数解的情况，注意精度问题。 • 在使用根的公式计算解时，注意正负号的运算。
实数解和虚数解的区别
一元二次方程的实数解是指方程的解为实数，虚数解是指方程的解为虚数。 虚数解以i表示，例如3 + 4i。
常见一元二次方程的例子
例子1
x² + 3x - 4 = 0
例子3
3x² - 6x + 3 = 0
例子2
2x² - + 2 = 0
例子4
x² + 4x + 4 = 0
公式法解一元二次方程的步骤
1. 将方程按标准形式ax²+ bx + c = 0排列。 2. 计算判别式△ = b²- 4ac。 3. 根据△的值来判断方程的根的情况。 4. 如果△ > 0，则方程有两个不相等的实数根。 5. 如果△ = 0，则方程有两个相等的实数根。 6. 如果△ < 0，则方程没有实数解，存在两个虚数根。

解一元二次方程公式法市公开课一等奖省优质课获奖课件

解一元二次方程公式法市公开课一等奖省优质课获奖课件
解：将原方程化为普通形式，得
x2 -2 3x 3=0 a 1,b -2 3, c 3,
2
b2 4ac -2 3 4 1 3 0,
x 2 3 0 3, 2
x1 x2 3.
第9页
归纳
（1）用公式法解一元二次方程关键是在ax2+bx+c=0（a≠0）
和b2-4ac≥0情况下使用求根公式
x b. b2 4ac
2a
（2）先将原方程化为普通形式，确定a，b，c值.
（3）代入公式计算前，普通先计算b2-4ac值，若b2-4ac≥0， 把b2-4ac值直接代入求根公式求方程根；若b2-4ac<0，直 接说明此方程无实数解.
(4)当值等于0时，必须把原方程根写成 形式，说明原方程有相等根而不是一个根.
x2 b x c
a
a
x2 b x ( b )2 c ( b )2 a 2a a 2a
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
x 3 10
x 10 3
开方 解得
x b 2a
b2 4ac 4a2
b2 4ac 0
x b b2 4ac 2a
第5页
归纳
普通地，对于一元二次方程
学习目标
1.学会推导一元二次方程根判别式和求根公式. 2.能够用公式法解一元二次方程.(重点、难点)
第2页
导入新课
回顾与思索 问题1 用配方法解下面这个一元二次方程：
2x2 12x 2 0
问题2 你还会其它解法吗？
第3页
讲授新课
一 一元二次方程根判别式及求根公式
一起用配方法解下面这个一元二次 方程吧
.
第11页
当堂练习
1.用公式法解方程 4x2 12x 3 0 ，得到（ A ）

解一元二次方程-公式法 ppt课件


利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0

∵ = 1，b=−4，c=−7.

∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
 = 2 + 11， = 2 − 11.
x


，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k

=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得


2.3.1用公式法解一元二次方程 课件(共20张PPT)


典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.

例 5：若x²+3xy-2y²=0，则

点拨：方程两边同时乘
=

,得

− ±



.


+ × − = ,


设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值

范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理

《用公式法求解一元二次方程》ppt省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件


(3)x1 = 3 , x2 = -1；
(5) x1 = x2 =
3 2
；
1 (2) x1= 2
, x2 = -1；
(4) x1=3 2 , x2 = 3 2;
(6)没有实数根.
课堂小结
1求根公式：x b b2 4ac (a ≠ 0 , b2 - 4ac ≥ 0) 2a
2用公式法解一元二次方程旳一般环节
x b b2 4ac 1 49 1 7 .
2a
22 4
即x1
3 2
，x2
2
（2）4x2 + 1 = 4x
解：将原方程化为一般形式,得 4x2 -4x + 1 = 0 . a = 4 , b = -4, c = 1.
b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 ,
b b2 4ac (4) 0 1
（1）.将方程化为一般形式； （2）.拟定 a, b, c 旳值； （3）.求出 b2 - 4ac ； （4）.利用求根公式求解.
课后作业 1、教材习题22.2第4题任选四个用公 式法求解 2、思索与探究（选做） 对于求根公式旳推导，若一元二次方 程 ax2 bx c 0(a 0)两边都乘以4a,你 能推导出一元二次方程旳求根公式吗
b2
4ac 4a2
的符号由b2
4ac决定
当 b2–4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根).
当 b2– 4ac ≥ 0 时,左右两边都是非负数.能够用直接开
平措施求解, x b
2a
b2 4ac 4a 2
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac 2a
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时，

解一元二次方程PPT教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件

第3页
1．复习配方法，引入公式法
问题1 什么叫配方法？配方法基本步骤是什么？ （1）将方程二次项系数化成 1； （2）移项； （3）配方； （4）化为（x + n）2 = p（n，p 是常数，p≥0）形 式； （5）用直接开平方法求得方程解．
第4页
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法处理一元二次方程求根问 题呢？
第10页
3．归纳公式法解方程步骤
问题4：你能总结用公式法解一元二次方程步骤 吗？应用公式时要注意什么问题？
第11页
4．练习巩固公式法
回到本章引言中问题，雕像下部高度 x（m）满 足方程
x2 + 2x - 4 = 0． 用公式法解这个方程： （1）假如雕像高度设计为 3 m，那雕像下部 应是多少？4 m 呢？ （2）进而把问题普通化，这个高度比是多少？
第5页
2．推导求根公式
问题3 我们知道，任意一个一元二次方程都能够 转化为普通形式
ax2 + bx + c = 0 （a≠0） 你能用配方法得出它解吗？
第6页
2．推导求根公式
此时能够用开平方法求解吗？
（x
b ）2 2a
b2
4ac 4a2
x b 2a
b2 4ac 4a2
x b b2 4ac
2a
2a
x b b2 4ac b b2 4ac
2a 2a
2a
第7页
2．推导求根公式
普通地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）根 由方程系数 a，b，c 确定．将 a，b，c 代入式子就得 到方程根：
x b b2 4ac 2a
利用它解一元二次方程方法叫做公式法．
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49 96 - 47 0
方程没有实数解。
2020年1月1日8时50分
瞿忠仪教学资源库
7
随堂 练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）16x2+8x=3.
2020年1月1日8时50分
瞿忠仪教学资源库
8
思考题
2020年1月1日8时50分
x 7 121 7 11
21
2
即 ： x1 9 x2 2
2020年1月1日8时50分
瞿忠仪教学资源库
4
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
瞿忠仪教学资源库
9
2020年1月1日8时50分
瞿忠仪教学资源库
10
即
2020年1月1日8时50分

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
瞿忠仪教学资源库
2
用配方法解一般形式的一元二Leabharlann 方程ax2 bx c 0
4a2 0 当 b2 4ac 0 时
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
特别提醒
即 x b b2 4ac
2a
2a
一元二次方程的
求根公式
b b2 4ac x
2a
2020年1月1日8时50分
瞿忠仪教学资源库
3
b b2 4ac x
2a
例 1 解方程： x2 7x 18 0
解： 这里 a 1 b 7 c 18
b2 4ac （ 7）2 41（18） 121
2020年1月1日8时50分
瞿忠仪教学资源库
1
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
解: 把方程两边都除以 a
移项，得 配方，得
x2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x2

b a
x


b 2a
2


c a


b 2a
2
2a
4、写出方程的解： x1、x2
2020年1月1日8时50分
瞿忠仪教学资源库
5
b b2 4ac x
2a
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） 0 2 3
x
3
21
2
即 ： x1 x2 3
2020年1月1日8时50分
瞿忠仪教学资源库
6
b b2 4ac x
2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8