K1.05-常见信号的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。

具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。

具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。

具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。

具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。

具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。

通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。

成绩评定表课程设计任务书目录1.Matlab介绍............... 错误!未定义书签。

2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5)2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5)2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7)2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8)3.总结 (14)4.参考文献 (15)1．Matlab介绍MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。

经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。

典型的用途包括以下几个方面：1）数学计算；2）新算法研究开发；3）建模、仿真及样机开发；4）数据分析、探索及可视化；5）科技与工程的图形功能；6）友好图形界面的应用程序开发。

1.1Matlab入门Matlab7.0介绍Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。

当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。

在国内外Matlab已经经受了多年的考验。

Matlab7.0功能强大，适用范围很广。

其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。

MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。

函数即是预先编制好的子程序。

在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。

无疑，这会大大提高编程效率。

拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换(又名拉式转换)。

基本定义
如果定义：
∙是一个关于t的函数，使得当时候，；
∙是一个复变量；
∙是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分
；是的拉普拉斯变换结果。

则的拉普拉斯变换由下列式子给出：
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换，是已知，求解的过程。

用符号表示。

拉普拉斯逆变换的公式是：
对于所有的；
是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有的个别点的实部值。

拉普拉斯变换的存在性
关于一个函数的拉普拉斯变换，只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。

也就是说，必须是在对于的每一个有限区间内都是片断性连续的，且当趋于无穷大的时候，
是指数阶地变化。

拉普拉斯变换的基本性质
∙线性叠加
∙微分
∙时域
∙频域
∙积分
∙初始值定理
∙终值定理
, 所有极点都在左半复平面。

终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现，且避免部分分式展开。

如果函数的极点在右半平面，那么系统的终值是
不定义的(例如：或)。

∙s移动
∙t移动
注: 表示阶跃函数.
∙n次幂移动
∙卷积
变换简表
原函数转换后函数
收敛区域
在工程学上的应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。

在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。

拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换是进行信号分析的重要工具之一，通过将时间域上的函数进行变换，可以将其转化为在复平面上展开的函数。

下面是拉普拉斯变换中一些最基本的函数及其变换结果的表格。

1. 常数函数：f(t)=a
拉普拉斯变换结果：F(s)=a/s
2. 单位冲击函数：f(t)=δ(t)
拉普拉斯变换结果：F(s)=1
3. 单位阶跃函数：f(t)=u(t)
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/s
4. 指数函数：f(t)=e^-αt
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/(s+α)
5. 正弦函数：f(t)=sin(ωt)
拉普拉斯变换结果：F(s)=ω/(s^2+ω^2)
6. 余弦函数：f(t)=cos(ωt)
拉普拉斯变换结果：F(s)=s/(s^2+ω^2)
7. 时域上的微分：f(t)=df(t)/dt
拉普拉斯变换结果：F(s)=sF(s)-f(0)
8. 时域上的积分：f(t)=∫f(τ)dτ
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/sF(s)+f(0)
9. 常见分布函数：f(t)=t^n/n!, n为正整数
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/s^(n+1)
10. 指数衰减信号：f(t)=e^-αt u(t)
拉普拉斯变换结果：F(s)=1/(s+α)
总结
通过以上的表格可以看出，拉普拉斯变换可以将时域上的函数转换为在复平面上的函数，这种函数在进行信号分析时特别有用。

我们可以通过这种方法来推导出系统的传递函数，从而进一步进行系统稳定性的分析。