养老保险精算模型操作及指标解释

精算师的养老保险精算在当今快速老龄化的社会中，养老保险的需求变得尤为突出。

精算师作为保险行业中专业的数学和统计分析人员，扮演着关键的角色，为养老保险的设计、定价和风险管理提供专业的精算支持。

本文将重点探讨精算师在养老保险领域中的重要性以及其所承担的具体工作职责。

一、养老保险精算的定义和意义养老保险精算是指利用数学和统计方法对养老保险风险进行评估、测算以及定价的过程。

通过养老保险精算的工作，可以更好地预测未来的风险和负债，并为保险公司提供合理的产品定价和风险管理策略，以保障被保险人在退休后获得稳定的养老金收入。

精算师在养老保险精算中的角色十分重要。

他们根据大量的数据和统计模型，分析保险公司的历史赔付情况、参保人群的特征以及其他相关变量，预测未来的保险需求和风险水平。

这些预测和分析结果将在保险产品的设计和定价中发挥重要作用，保证保险公司的经济可持续性和被保险人利益的最大化。

二、精算师在养老保险精算中的工作职责1. 风险评估与模型构建：精算师需要根据大数据分析和统计方法，评估养老保险业务的风险水平，并建立合适的数学模型以量化这些风险。

通过风险评估和模型构建，精算师可以更好地估计未来的养老保险赔付和资金需求。

2. 养老金计算与定价：精算师负责根据保险公司的养老保险方案和参保人的特征，计算养老金的金额和支付期限。

他们需要结合各种因素，如参保人的年龄、工作年限、收入水平以及退休年龄的变化趋势等，准确预测和确定养老金的数额，以制定合理的保费方案。

3. 基金管理和风险控制：精算师需要制定科学的投资策略，合理配置养老保险基金的资产，以保证基金能够获得稳定的收益并满足养老金支付的需求。

他们还需要对投资组合进行风险评估和监控，及时调整投资策略以应对市场波动和风险事件。

4. 创新产品设计：精算师通过对市场需求和竞争情况的研究，为养老保险提供创新的产品设计方案。

他们可以根据不同的参保人群和养老需求，提出灵活的投保方案、可选的保障范围以及适应不同退休年龄和养老金支付方式的产品设计。

保险精算师的数学模型和算法保险精算是一项重要而复杂的职业，它的核心在于使用数学模型和算法来评估风险、制定保险费率以及进行资金管理。

在这篇文章中，我们将探讨保险精算师如何应用数学模型和算法解决各种问题。

一、风险评估模型保险精算师利用数学模型来评估风险，并为保险公司提供相关建议。

其中最常用的模型之一是频率-严重性模型，即衡量保险索赔的次数和金额。

通过分析历史数据，保险精算师可以确定不同风险因素的影响程度，从而预测未来的索赔频率和严重性。

此外，保险精算师还利用统计学方法，如概率分布函数和回归分析，建立数学模型来评估风险。

这些模型能够帮助精算师确定风险的概率和可能的损失大小，为保险公司提供更准确的保险费率。

二、费率制定算法保险精算师利用算法来确定合适的保险费率，以使保险公司获得稳定的利润同时满足市场需求。

根据历史数据和风险评估模型，精算师可以使用线性回归、决策树等算法来建立费率制定模型。

在费率制定过程中，精算师需要考虑多个因素，如风险水平、市场竞争情况和公司的盈利目标。

通过运用优化算法，精算师可以调整不同的参数，以实现最优的费率设计。

三、资金管理模型保险精算师还负责进行有效的资金管理，以确保保险公司能够支付索赔并保持良好的盈利能力。

为了实现这一目标，精算师使用数学模型来优化资金分配和投资策略。

保险精算师利用模型来评估不同资产的风险和回报，并确定最佳的投资组合。

他们还使用模型来进行应急资金评估，以便在面临大规模风险事件时采取相应的措施。

四、保险产品开发除了对风险评估、费率制定和资金管理的研究，保险精算师还参与保险产品的开发过程。

他们利用数学模型和算法来设计新的保险产品，并预测其未来的经济效益。

在保险产品开发中，精算师需要考虑多个因素，如市场需求、经济环境和风险水平。

他们使用模型来进行产品定价、制定保险条款，并评估产品在市场上的潜在表现。

结论保险精算师的数学模型和算法在风险评估、费率制定、资金管理以及保险产品开发等方面发挥着重要作用。

个人帐户养老金精算模型一、问题的提出中国老龄化问题日益严重。

在人口老龄化的趋势下，我国传统的现收现付制的养老保险制度已不适合我国的经济的发展，因此，只有建立基金式养老金模式，与国际社会接轨，才能彻底解决我国老龄化问题对我国政府带来的压力。

因此，我国于1997年对养老金制度进行了改革，社会基本养老保险由传统的现收现付制模式转化为现部分基金模式。

所谓部分基金模式，即退休职工的退休金包括两部分：基础养老金和个人账户养老金。

当职工退休时，领取的基础养老金标准是该地区上年度职工月平均工资的20%，个人帐户养老金的标准为本人帐户储存额除以120，均为按月发放。

对改革前实施前参加工作、实施后退休且个人缴费和视同缴费年限累计满15年的人员（以下简称‘中人’），按照新老办法平稳衔接、待遇水平基本平衡等原则，在发给基础养老金和个人帐户养老金的基础上再确定过渡性养老金，过渡性养老金从养老保险基金中解决。

具体办法，由劳动部会同有关部门制订并指导实施；对改革时已经退休的职工（以下简称‘老人’），养老金发放标准与现收现付制下的标准相同。

对于基本养老金制度的改革，我们提出以下两个问题：1、试对改革后个人账户养老金发放标准建立数学模型，并对标准的合理性进行分析；2、试建立数学模型并分析当前养老金制度中影响保障程度的指标。

二、问题的分析《决定》规定，退休后职工的基本养老金由基础养老金和个人帐户养老金组成。

退休后的基本养老金计算公式为：月养老金＝基础养老金＋个人帐户养老金。

其中：基础养老金＝上年度本地区在职职工月平均工资×20%，个人帐户养老金＝个人养老保险帐户累积储存额/120，个人帐户养老金按照社会平均余命发放，超过平均余命的退休职工的养老金部分，由社会统筹支付。

替代率是指个人进入退休期所领取的养老金与进入退休期上一年度工资的比例，或者是进入退休期社会平均养老金与进入退休期上一年度社会平均工资的比例。

替代率的高低是衡量养老金制度是否合理的关键因子。

养老保险的模型设计柏强魏永涛摘要：本文通过对给定保险方案的分析，针对养老保险的实际情况，提出了对投保人有利的计算方法，以下对题目所给定的方案作出简要分析：方案I：40足岁开始投保，直到59岁止，60岁开始领取养老金，直到死亡，死时一次支付家属一定金额；方案II：40足岁开始投保，投10年，60岁开始领取养老金，直到死亡，死亡时一次支付家属一定金额。

将两方案进行比较，投保方法相同，只是领取养老金的方法不同。

这样,便简化了数学模型的建立。

问题一：指出对投保人更有利的方案。

针对该问题需寻找一个确定有利方案的指标，由此我们引入了投保有利率η(其定义为：领取的总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差再与投保总金额（包括利息）的比值)；这样来把未来的资金转换为现值，来体现投保人与保险公司何者获利及何种方案对投保人更有利。

在此需说明：a．η>0表示投保人获利；b．η=0表示投保人和保险公司等价交换；c．η<0表示保险公司获利。

此外，η的值越大说明对投保人越有利。

我们计算出方案I的η值为0.039322，方案II的η值为0.019176；根据我们的对η的定义可知：方案I对投保人更有利。

问题二：建立一般数学模型。

此问题相当灵活，在此，我们将问题涉及到的所有参量均作一般化处理，从而建立对保险问题通用的数学模型。

具体实现如下：a.统一两方案并将问题作一般化重述：投保人从m岁时开始投保，每年交费c元，一直交到n岁为止，从p岁起，每年领取养老金d元，以后每年增加e元，直到死亡，死亡后，保险公司一次性支付a元。

若预期寿命为k岁，银行年利率为λ。

同时，对其中的参量作定性的约束。

b.据以上重述及对问题的分析建立一般模型。

此模型对实际投保问题很有意义，既可做为保险公司方的参考工具，又可为投保人提供一定的信息。

本文也对寿命的变化所引起的模型的变化做了灵敏性分析；但其中不足之处亦有之：模型没有图形、表格之类的部分，不能使问题更清晰，直观地表现。

养老保险精算模型操作及指标解释1.数据收集和处理：模型的建立需要大量的数据支持，包括参保人员的基本信息、工作记录、缴费记录等。

数据的质量和完整性对模型的准确性至关重要。

2.假设设定：根据实际情况和需求，需要对养老保险的各项假设进行设定，包括参保人员的寿命、退休年龄、工资增长率等。

这些假设对模型的输出结果产生重要影响。

3.公式推导和模型建立：根据养老保险制度的运行规则和设定的假设，建立相应的数学模型。

常见的养老保险精算模型包括个人账户模型、基金模型、传统模型等。

模型建立需要充分考虑参保人员的人口结构和退休人员的生命周期。

4.参数设定与模型调整：将建立的模型应用于实际数据，通过对参数进行设定和模型的不断调整，使模型与实际情况相匹配，提高模型的预测和分析能力。

1.风险价值：风险价值是衡量保险产品或养老保险制度的风险承受能力的指标。

通过风险价值的计算，可以确定制度或产品在面对不同风险情景时的资金安全水平。

2.资产负债率：资产负债率是养老保险基金资产与负债的比例，用于评估基金的偿付能力和风险水平。

资产负债率的提高可能意味着基金的资金短缺或未来偿付能力不足。

3.投资收益率：投资收益率是养老保险基金的资产收益与投资本金的比例，用于评估基金的投资策略和风险收益水平。

投资收益率的提高可以增加基金的价值和偿付能力。

4.投保率：投保率是指参保人员在特定时期内实际参加养老保险的比例。

投保率的提高可以增加基金的缴费收入，保障基金的偿付能力和可持续性。

5.养老金替代率：养老金替代率是指退休后个人养老金与退休前工资的比例。

养老金替代率的高低可以反映养老保险制度对个人退休生活的保障程度。

养老金投资的战略配置与精算分析养老金是指为了满足人们退休后生活所需而进行的资金储备。

随着人口老龄化趋势的加剧，养老金的投资管理变得越来越重要。

在养老金投资中，战略配置和精算分析是两个关键的方面。

本文将探讨养老金投资的战略配置和精算分析的重要性以及如何进行有效的战略配置和精算分析。

一、养老金投资的战略配置养老金投资的战略配置是指根据投资目标和风险承受能力，将养老金资金分配到不同的资产类别中，以实现最佳的风险收益平衡。

战略配置需要考虑以下几个方面：1. 投资目标：养老金投资的目标是保值增值，以满足未来退休生活的需求。

因此，战略配置应该以长期稳健增长为主要目标。

2. 风险承受能力：不同的养老金计划参与者对风险的承受能力不同。

年轻人可以承受更高的风险，因为他们有更长的投资时间来弥补潜在的损失。

而年长者则需要更加保守的投资策略。

3. 资产类别选择：根据投资目标和风险承受能力，养老金资金可以分配到不同的资产类别中，如股票、债券、房地产等。

股票具有较高的风险和回报，适合年轻人；债券相对较为稳定，适合年长者。

4. 分散投资：战略配置还需要考虑到资产的分散投资。

将养老金资金分散到不同的资产类别和市场，可以降低投资风险，提高整体收益。

二、养老金投资的精算分析精算分析是指通过数学和统计方法，对养老金投资进行风险评估和收益预测。

精算分析可以帮助投资者更好地理解和管理养老金投资的风险和回报。

以下是一些常用的精算分析方法：1. 风险评估：通过历史数据和模型，对养老金投资的风险进行评估。

常用的风险评估方法包括价值-at-risk（VaR）和条件风险价值（CVaR）等。

2. 收益预测：通过对市场和资产的研究，预测养老金投资的收益。

常用的收益预测方法包括基本面分析、技术分析和量化分析等。

3. 敏感性分析：通过对关键变量进行敏感性分析，评估养老金投资的风险敏感性。

敏感性分析可以帮助投资者了解不同因素对投资组合的影响程度。

4. 模拟测试：通过模拟不同的市场情景和投资决策，评估养老金投资的风险和回报。

养老金绩效评估的指标体系与方法随着人口老龄化问题的日益突出，养老金绩效评估成为了一个备受关注的话题。

为了确保养老金的安全性和可持续性，建立一个科学合理的指标体系和评估方法是至关重要的。

本文将探讨养老金绩效评估的指标体系与方法。

一、养老金资金收支状况指标养老金资金收支状况是评估养老金绩效的重要指标之一。

包括养老金收入和支出的平衡状况、缴费率和缴费基数的合理性、投资收益的稳定性等方面。

通过对这些指标的评估，可以了解养老金的运行状况，及时发现问题并采取相应的措施。

二、养老金运营管理指标养老金运营管理指标主要包括投资管理绩效、风险管理绩效和运营成本管理绩效。

投资管理绩效评估可以从投资收益、风险控制和资产配置等方面来考察。

风险管理绩效评估则关注养老金投资组合的风险水平和风险控制措施的有效性。

运营成本管理绩效评估则聚焦于养老金运营过程中的成本控制和效率提升。

三、养老金服务质量指标养老金服务质量是评估养老金绩效的重要方面。

包括养老金管理机构的服务水平、信息披露的透明度和及时性、参保人员的满意度等。

通过对这些指标的评估，可以衡量养老金管理机构的服务质量，并提供改进的方向。

四、养老金制度可持续性指标养老金制度可持续性是评估养老金绩效的长期考量因素。

包括养老金制度的可负担性、养老金基金的可持续性、养老金制度的适应能力等。

通过对这些指标的评估，可以预测养老金制度未来的发展趋势，并提出相应的政策建议。

养老金绩效评估的方法主要包括定量评估和定性评估两种。

一、定量评估方法定量评估方法是通过收集大量的数据，利用统计学和数学模型进行分析，得出养老金绩效评估的结果。

这种方法的优点是客观、科学，可以量化地评估养老金的各项指标。

常用的定量评估方法包括回归分析、指标加权法、层次分析法等。

二、定性评估方法定性评估方法是通过专家评估、问卷调查等方式，根据主观判断得出养老金绩效评估的结果。

这种方法的优点是灵活、直观，可以综合考虑多个因素的影响。

个人帐户养老金精算模型个人帐户养老金精算模型一、问题的提出中国老龄化问题日益严重。

在人口老龄化的趋势下，我国传统的现收现付制的养老保险制度已不适合我国的经济的发展，因此，只有建立基金式养老金模式，与国际社会接轨，才能彻底解决我国老龄化问题对我国政府带来的压力。

因此，我国于1997年对养老金制度进行了改革，社会基本养老保险由传统的现收现付制模式转化为现部分基金模式。

所谓部分基金模式，即退休职工的退休金包括两部分：基础养老金和个人账户养老金。

当职工退休时，领取的基础养老金标准是该地区上年度职工月平均工资的20%，个人帐户养老金的标准为本人帐户储存额除以120，均为按月发放。

对改革前实施前参加工作、实施后退休且个人缴费和视同缴费年限累计满15年的人员（以下简称‘中人’），按照新老办法平稳衔接、待遇水平基本平衡等原则，在发给基础养老金和个人帐户养老金的基础上再确定过渡性养老金，过渡性养老金从养老保险基金中解决。

具体办法，由劳动部会同有关部门制订并指导实施；对改革时已经退休的职工（以下简称‘老人’），养老金发放标准与现收现付制下的标准相同。

对于基本养老金制度的改革，我们提出以下两个问题：1、试对改革后个人账户养老金发放标准建立数学模型，并对标准的合理性进行分析；2、试建立数学模型并分析当前养老金制度中影响保障程度的指标。

二、问题的分析《决定》规定，退休后职工的基本养老金由基础养老金和个人帐户养老金组成。

退休后的基本养老金计算公式为：月养老金＝基础养老金＋个人帐户养老金。

其中：基础养老金＝上年度本地区在职职工月平均工资×20%，个人帐户养老金＝个人养老保险帐户累积储存额/120，个人帐户养老金按照社会平均余命发放，超过平均余命的退休职工的养老金部分，由社会统筹支付。

替代率是指个人进入退休期所领取的养老金与进入退休期上一年度工资的比例，或者是进入退休期社会平均养老金与进入退休期上一年度社会平均工资的比例。

精算平衡模型的应用——以广东省社会养老保险为例摘要：本文将依据《广东省社会养老保险条例》以及精算理论建立三个企业职工养老金精算模型：参保职工养老保险缴费额在退休之际的精算累计值、他（她）的养老金理论发放总额在退休时点的精算现值、他（她）的养老金实际发放总额在退休时点的精算现值。

通过三阶段分析，计算得到精算平衡条件下他（她）理论每月应该领取的养老金数额；养老金发放政策下他（她）实际每月领取的养老金数额。

从而得出养老金替代率不高以及养老金理论发放总额和实际发放总额不相等，即养老基金可能存在“缺口”的结论。

关键词：养老保险；精算模型一、引言我国正在接近深度老龄化社会，2018年中国60岁及以上人口已有2.5亿人，约占总人口的17.9%，2050年这一比例将达到34.1%i。

庞大的老年人口数量，加上国民预期寿命提高和退休年龄过早，社会养老保险基金面临的可持续支付问题日益严峻。

在这一现实背景下，本文探究了退休职工可领取的养老金水平（通过养老金替代率反映）以及社会养老保险基金的支付压力（通过养老基金“缺口”反映），以期为在岗职工自身合理规划晚年生活以及为学者寻求保持养老保险基金动态平衡与可持续性的解决方案提供参考。

二、模型构建（一）人物设定假设一名男性于2000年1月1日在广东省深圳市出生，2006年9月1日入学。

他接受了6年小学、6年中学、4年大学的教育后于从2022年6月从普通本科院校毕业，且中间没有辍学、休学、复读等情况。

设定他于2023年1月1日转为正式员工，在广东省深圳市某私人企业非核心部门工作。

同时开始缴纳养老保险费，直到退休。

（二）缴费与养老金发放的精算模型按照现行制度规定，1992年8月1日以后参加工作的参保人，依照规定退休时，其月基本养老金的构成为：统筹养老金和个人账户养老金。

不妨令W表示养老保险缴费总额，U为养老金理论发放总额，P为退休养老金实际发放总额，q为每年领取的养老金理论值，R为退休年龄，a表示参加工作年龄，λ为单位缴费率，为个人缴费率，为平均缴费指数，T为最大存活年龄，n为缴费年限，为养老金增长率，为个人工资增长率，为社会平均工资增长率，w̅为社会年平均工资，w为个人年工资，r表示年利率，为期末付复递增年金现值，为。

养老保险精算1.1养老保险的含义养老保险是社会保障制度的重要组成部分，是社会保险五大险种中最重要的险种之一。

所谓养老保险是国家和社会根据一定的法律和法规，为解决劳动者在达到国家规定的解除劳动义务的劳动年龄界限，或因年老丧失劳动能力退出劳动岗位后的基本生活而建立的一种社会保险制度。

这一概念主要包含以下三层含义:(1)养老保险是在法定范围内的老年人完全或基本退出社会劳动生活后才发生作用的。

(2)养老保险的目的是为保障老年人的基本生活需求，为其提供稳定可靠的生活来源。

(3)养老保险是以社会保险为手段来达到保障的目的。

1.2我国养老保险的组成我国是一个发展中国家，经济还不发达，为了使养老保险既能发挥保障生活和安定社会的作用，又能适应不同经济条件的需要，以利于劳动生产率的提高。

我国的养老保险由三个部分组成:基本养老保险、企业补充养老保险、个人储蓄性养老保险。

(1)基本养老金在我国实行养老保险制度改革以前，基本养老金也称退休金、退休费，是一种最主要的养老保险待遇。

在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。

(2)企业补充养老保险(企业年金)企业补充养老保险是指由企业根据自身经济实力，在国家规定的实施政策和实施条件下为本企业职工所建立的一种辅助性的养老保险。

它居于多层次的养老保险体系中的第二层次，由国家宏观指导、企业内部决策执行。

(3)个人储蓄性养老保险职工个人储蓄性养老保险是我国多层次养老保险体系的一个组成部分，是由职工自愿参加、自愿选择经办机构的一种补充保险形式。

由社会保险机构经办的职工个人储蓄性养老保险，由社会保险主管部门制定具体办法，职工根据自己的工资收入情况，按规定缴纳个人储蓄性养老保险费，记入当地社会保险机构在有关银行开设的养老保险个人账户。

职工达到法定退休年龄经批准退休后，凭个人账户将储蓄性养老保险金一次支付或分次支付给本人。

北京高中数学知识应用竞赛论文题目：社会养老保险缴纳方式的建议与养老金的计算分析学校：北京市第三十五中学作者：***指导老师：李赤军、王霞一、摘要本文论述了北京的养老模式问题，并由此进行了对养老金的计算、分析、缴纳方式的研究，并运用matlab进行了编程，并对过去、未来的工资、养老金最低标准等进行了拟合、推算。

关键词：matlab 拟合养老金二、问题的提出早在2008年底，北京市民政局、市发改委、市规划委员会、市财政局以及市国土资源局等五个部门联合下发了《关于加快养老服务机构发展的意见》，提出了“9064”养老新模式。

即到2020年，90%的老年人在社会化服务的协助下通过居家养老，6%的老年人通过政府购买社区服务照顾养老，4%的老年人入住养老服务机构集中养老。

而这其中90%的老人的生活消费的新型养老模式就是我们所要探讨与研究的话题。

所以，在这里我们提出了几个问题：问题一：对于正常的养老来说，我们每月需要花费多少养老金呢？对于这部分养老金，我们是如何分配的呢？问题二：现在网络上的养老金计算器的计算所需要的数据太繁复，怎么才能更简单的了解自己的现在或未来的养老金多少，和相应的其他信息？问题三：那么我们为了能使退休时的养老金达到一定的标准，保证未来的生活品质，我们应该怎么做？三、问题的分析养老金也称退休金、退休费，是一种最主要的养老保险待遇。

即国家有关文件规定：在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，是造福社会的需要，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。

然而，由于中国的养老金主要分为两类——机关事业单位人员退休养老金和企业人员退休养老金，而机关事业单位人员退休养老金远比企业人员退休养老金高，比例大约是300%-500%。

所以，企业人员退休后，如何用相对退休前工资较低的退休金来合理规划，独立生活，就成了一个急需解决的社会普遍问题，特别是在中国老龄化社会愈发严重的大背景下，北京的老龄化程度更是达到了全国第四的极高的比例，所以，如何合理运用时间，规划夕阳生活，成了北京的一个重要的难题。

收稿日期:2002-06-25.基金项目:国家自然科学基金资助项目(10171041).作者简介:原俊青(1978-),女,现为香港科技大学数学系博士研究生.¹通讯联系人. 文章编号:0455-2059(2003)06-0012-04养老保险的连续精算模型原俊青,杨　兵,李泽慧¹(兰州大学数学系,甘肃兰州　730000)摘要:建立了养老保险3种模式的连续精算模型,讨论了其平衡条件,为应用精算技术准确厘定养老金交费标准和给付水平提供了坚实的理论依据.关键词:养老保险;平衡模型;精算研究中图分类号:O 212;F 840.62 文献标识码:A0引言社会养老保险不仅关系到保险人和投保人的利益,而且关系到职工因年老退休造成的经济损失能否得到及时、足额的补偿,在我国还关系到经济制度改革的成败.因此加强社会养老保险的研究,进一步健全和完善社会养老保险制度,具有十分重要的社会意义[1].确保社会养老保险基金平衡是加强社会养老保险基金管理的关键,也是促进社会养老保险持续发展,进一步深化养老保险基金制度改革的必要条件.近年来,一些学者已开始关注这个问题[2,3],从定性的角度对其进行了研究,并做了初略的定量分析.但是由于当前的测算和评估方法比较简单,测算结果比较粗糙,使得现有实施方案难免存在保障功能不强,适应能力差等问题.在实践中存在筹资不足,养老基金收支不平衡,账户基金增值困难以及经营成本过大等问题.本文试图从实际情况出发,得出连续的数学精算模型,为准确厘定交费标准和给付水平,保证养老金的稳健运用和给付安全提供可靠的理论基础.在人口老龄化压力日益加剧的今天,有着重要的现实意义.研究养老保险基金在收入和支出之间的数量上的平衡关系,其中心内容是研究未来人口状态变动所决定的缴费率、替代率和退休年龄之间的变动关系.本文分别在社会养老保险现收现付、部分积累和完全积累3种模式下,以未来的分年龄人口测算数据为基础,建立了相应的连续精算模型,讨论了其平衡条件,并且在人口结构趋于老龄化时,对其进行了分析与比较.同时,对甘肃省1990年的人口普查资料作了实证分析.1现收现付模式王鉴刚[3]从退休职工平均养老金和在职职工平均工资的角度分析了人口老龄化时的养老保险平衡问题.实际上,不同退休职工由于退休时间早晚的不同,退休前职工收入的不同,或个人养老金缴费的不同等,养老金是有差别的.目前假设在同一年,年龄越大养老金越少是有意义的.另一方面,职工的工资与工龄有关,一般来讲工龄越长,工人的熟练程度越高,工作业绩越好,工资也越高.将从这两点出发,在离散模型的基础上得到连续模型.为了使模型建立简单,先作几点假设:职工开始就业的年龄A ,退休年龄B 是相同的;职工年龄构成的变动与人口年龄构成的变动一致;由于是现收现付模式,养老金筹集到发放时间很短,利率对其影响极小,因而不考虑利率对养老保险平衡的影响;养老保险基金支出全部用于存活退休职工养老金的发放,不考虑管理费用和抚恤金的支出.在以上假设的基础上,首先定义样本空间8为{参加养老保险的全体职工},随机变量X 为职工当年的年龄.令X i 为第i 个职工当年的年龄,设参加此基金的总人数为N ,那么随机变量X 的分布函数为F (x )=P (X <x )=1N ∑Ni =1I (X i <x ),　x ≥A .(1)第39卷第6期2003年12月兰州大学学报(自然科学版)Jo urnal of L anzho u U niver sity (N atur al Sciences)V ol.39N o.6Dec.2003其中:I(õ)表示õ的示性函数.令w=inf{x:F(x) =1},则有F(w)= 1.定理1现收现付模式下的连续精算模型为∫B A C1W(x)d F(x)=∫w B Q(x)d F(x).(2)其中:∫B A=∫[A,B),W(x)为x岁人群的当年平均工资,Q(x)为x岁人群的当年平均退休金,C1为当年的养老金缴费率.证明(2)式左边乘以总人数N即为当年养老金缴费收入,右边乘以总人数N即为当年养老金发放支出.根据现收现付模式的精算平衡原理,可得(2)式.定义1抚养比DR是退休职工人数与在职职工人数之比,即DR=∑Ni=1I(X i≥B)∑Ni=1I(A≤X i<B).由(1)式易知,抚养比D R可以表示为DR=1-F(B)F(B)-F(A)=∫w B d F(x)∫B A d F(x).(3)显然,抚养比DR随着退休年龄B的增加而减少.定义2平均替代率T是指全部退休职工的平均养老金收入与全部职工的平均工资收入的比率,即为T=∫w B Q(x)d F(x)∫B A W(x)d F(x)õ∫B A d F(x)∫X B d F(x).(4)它是用以表示退休职工整体的养老金收入水平高低的指标.定理2现收现付模式下的精算平衡条件为C1=TõDR.(5)证明由(2～4)式可证之.注从此模型的平衡条件(5)式和(3)式可以看出,缴费率与平均替代率、抚养比和退休年龄有关.缴费率与平均替代率和抚养比分别成正比关系.当抚养比不变时,缴费率随平均替代率的增大而增大;当平均替代率不变时,缴费率随抚养比的增大而增大,随退休年龄的增大而减小.下面根据甘肃省1990年人口普查资料的在业人口的年龄构成数据来计算抚养比的值.设开始就业年龄A为20岁,退休年龄B分别为50,55和60岁时,由(3)式计算出的抚养比的数值如表1所示.表1稳定态人口下不同退休年龄的抚养比 Table1Foster percentage of diff erent retiring agein a stable state of population退休年龄/岁抚养比/%5018.48559.2360 3.62 再根据现收现付模式的平衡条件(5)式,可以求得不同平均替代率数值下的缴费率如表2所示.从表2的数据可以看出缴费率随平均替代率的增加而增加,随退休年龄的增加而减少的变动关系.稳定态人口类型的养老保险平衡分析能够为一个国家的养老保险的平衡分析和制定政策提供表2稳定态人口下不同平均替代率、退休年龄的缴费率Table2Payment ratio of dif ferent retiring age and average substitution rate in a stable state of population退休年龄/岁平均替代率/%405060708090100110120507.399.2411.0912.9414.7816.6318.4820.3322.18 55 3.69 4.62 5.54 6.467.388.319.2310.1511.08 60 1.45 1.81 2.17 2.53 2.90 3.26 3.62 3.98 4.34一个比较的基准.它告诉我们,当人口因素不再发生变化时的养老保险的缴费率、平均替代率和退休年龄的平衡关系.甘肃省目前老龄化程度较轻,社会养老负担还不重,但随着人口走向老龄化,实现养老保险收支平衡的难度就会大大增加.上述稳定态人口的计算结果表明,养老保险政策的基本取向是在提高退休年龄和降低平均替代率两方面同时采取措施.2部分积累模式部分积累模式平衡的实质是用目标期间内收大于支年份的积累去弥补收不抵支年份的缺口.因此部分积累模式中的目标期间可以分为两个阶段:第一阶段可称为积累阶段,该阶段养老负担较轻,按照一个确定的缴费率筹集的养老金除满足当年养老金支付后仍有结余;第二阶段是负积累阶段,13第6期 原俊青等:养老保险的连续精算模型 该阶段养老负担较重,按照确定的缴费率筹集的养老金不能满足当年养老金支付的需要,存在资金缺口.实现部分积累模式平衡就是拿第一个阶段的养老金积累去平衡第二阶段养老金支付的缺口.为了建立部分积累模式的连续模型,我们首先作出以下假定:开始就业年龄、退休年龄、人口年龄构成变动、养老保险基金发放的用途等保留现收现付模型的假设;在职职工的工资随着年龄的增长而增长,随着时间(年度)的增加而增加;退休职工的退休金随着年龄的增长而减少,随着时间(年度)的增加而增加;设养老金增值率在整个目标期间内保持不变,利息力为常数D ;目标期间为n 年.在上述人口和经济参数的假定之下,我们定义随机过程X t 为第t 年的年龄t ∈[0,n ],其样本轨道在图1所示的斜线上.对于P t ∈[0,n ],职工的年龄构成可表示为F (t ,x )=P (X t <x ),　x ≥A ,(6)d F t (x )d x =5F (t ,x )5x =P (x ≤X t <x +d x ),P t ∈[0,n ]表示第t 年各年龄段人口在基金总人口中的比重.d F x (t )d t =5F (t ,x )5t=lim $t →0+P (X t +$t <x )-P (X t <x )$t ,P t ∈[A ,w ]表示不到x 岁的人口在基金总人口中所占比重随时间的变化.图1时间—年龄方格图F ig .1T ime -age g ra ph定理3部分积累模式下的连续精算模型为∫n 0e -D t∫BAC 2W (t ,x )d F t (x )d t =∫ne -D t∫wBQ (t ,x )d F t(x )d t .(7)其中:W (t ,x )为x 岁人群的第t 年平均工资,Q (t ,x )为x 岁人群的第t 年平均退休金,C 2为目标期间为n 年的部分积累模式下的养老金缴费率.证明根据部分积累模式下现值的平衡原理,易得(7)式.根据本节的假设(2),(3),可以设W (t ,x )随x的增长率为a ,而Q (t ,x )随x 的增长率为-b .由于通货膨胀、经济增长等因素,设它们随t 的增长率分别为g 和h ,其中a ,b >0,g ≥h >0.即W (t ,x )=W õe ax õe gt , x ∈[A ,B ],t ∈[0,n ];(8)Q (t ,x )=Q õe-bxõe ht, x ∈[B ,w ],t ∈[0,n ].(9)其中:W =W (0,A )õe -a A ,Q =Q (0,B )õe b B .将(8),(9)式代入(7)式,可得C 2W ∫n 0e(g -D )t∫BAe axd F t (x )d t =Q ∫n 0e (h -D )t∫wBe -bxd F t(x )d t .(10)定义3稳定态人口是指人口年龄构成不发生变化的人口类型,那么d F t (x )=P (x ≤X t <x +d x )d x 与t 无关,即为d F (x ).定理4稳定态人口条件下,部分积累模式的精算平衡条件为C 2=Q W õe (h -D )n-1e (g -D )n -1õg -Dh -Dõ∫wBe -bx d F (x )∫BAe ax d F (x ).(11)证明稳定态人口条件下,(10)式变为C 2W ∫n 0e(g -D )td t ∫BAe ax d F (x )=Q ∫n 0e (h -D )td t ∫wBe -bx d F (x ).(12)通过简单计算可得(11)式.注:分两种情况讨论上述平衡条件.第1种情况:g =h ,即退休职工与在职职工共同分享社会进步带来的利益,(11)式就变为 C 2=Q Wõ∫wBe -bx d F (x )∫B A e axd F (x )=∫wB Q (x )d F (x )∫B AW (x )d F (x )=C 1(t ),　t ∈[0,n ].(13)其中:C 1(t )表示第t 年在现收现付模式下的缴费率.(13)式表明部分积累模式下的缴费率与现收现付模式下的相同.第2种情况:g >h 即在职职工比退休职工享受更多的社会进步带来的利益,实际情况一般是这样的.(12)式中∫n0e(g -D )td t >∫ne (h -D )t d t >0,由(11)式14 兰州大学学报(自然科学版) 第39卷可得 C 2=Q Wõ∫n 0e (h -D )td t∫n 0e (g -D )t d t ∫wBe -bxd F (x )∫B Ae axd F (x )<Q Wõ∫wBe -bxd F (x )∫BAe axd F (x )=C 1(0),(14)C 1(t )=e(h -g )tC 1(0).(15)由(15)式可知C 1(t )是t 的减函数,则v t 0,使得C 1(t 0)=C 2成立,那么就有C 1(0)>…>C 1(t 0)=C 2>…>C 1(n ).上述讨论表明,如果人口是稳定态的,在相同的条件下,部分积累模式的缴费率不大于现收现付模式的缴费率,可以缓解由于人口老龄化带来的养老负担.因此,随着人口老龄化的到来,许多国家由原来的现收现付模式发展为部分积累模式.3完全积累模式完全积累模式下,个人账户的平衡指的是职工在职时的缴费收入与退休后的发放支出的平衡,这是单个职工的自身纵向平衡,与人口因素无关.平衡关键是根据个人账户的储存额、平均剩余寿命和预期利率来确定发放标准,以确保退休后平均养老金的发放.定理5完全积累模式下,个人账户的连续精算模型为C 3W (e km -e r m )k -r =Q r(1-E {e -rT}).(15)其中,W 为职工就业第一年工资,k 为工资增长率,m 为缴费年限,r 为个人账户记账利息度,C 3为工资的缴费比例,Q 为个人账户养老金发放的标准,T 为职工退休后的剩余寿命,是随机变量.证明因为第t 年的工资为W e kt,则退休时个人账户的终值为M 收=∫mC 3W e kt e r (m -t )d t =C 3W (e km -e r m )k -r.(16)而各年的养老金在退休年的现值为M 支=∫TQ e -r td t =Q r (1-e -rT).(17)由平衡条件M 收=E M 支可证之.推论1设E T =s ,则平衡条件下Q 的上界为Q ≤C 3W r k -r e km-erm1-e-rs .(18)证明由凸函数期望的性质得E {e -r T }≤e -rET =e -r s .(19)由(15),(19)式,可计算出Q 的上界.参　考　文　献[1]　周渭兵.社会养老保险精算研究现状及需要进一步研究的课题[J].统计研究,2000,12:46-49.[2]　王晓军.中国养老金制度及其精算评价[M ].北京:经济管理出版社,2000.[3]　王鉴刚.社会养老保险平衡测算[M ].北京:经济管理出版社,1999.[4]　Ger ber H U.L ife Insur ance M athematics[M ].Berlin:Spr inger -V er lag ,1990.[5]　郑真真,顾大勇,任强译.应用数理人口学[M ].北京:华夏出版社,2000.[6]　兰州大学社会人口研究所编写组.甘肃省1990年人口普查资料[M ].兰州:兰州大学出版社,1995.Continuous actuarial model of endowment insuranceYUA N J un -qing ,YAN G Bing ,LI Ze -H ui(Depar tment of M athematics,L anzhou U niv ersity ,L anzhou,730000,China)Abstract :In this paper ,the continuo us actuarial models of endow ment insurance in three patter ns arepr esented,and their balance conditions are discussed as w ell,w hich try to provide a stable theo ry for calculating pension income and expense level by m eans of actuarial techniques.Key words :endow ment insurance ;balance m odel ;actuar ial research MR (1991)Subject classification :62P 0515第6期 原俊青等:养老保险的连续精算模型 。