精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数

第07课 二次函数图象性质知识点：⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x轴交点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2）⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒++=⎪⎩⎪⎨⎧⇔++=轴有无交点，则与轴有一个交点，则与轴有两个交点，则与决定轴的交点个数由与抛物线轴，则若对称轴是符号，轴右侧，则若对称轴在符号，轴左侧，则若对称轴在的对称轴是直线抛物线若交点在坐标原点，则轴的负半轴，则若交点在轴的正半轴，则若交点在），轴的交点坐标是（与抛物线当开口向下时，则当开口向上时，则决定的开口方向由抛物线x x x x y b a y b a y y y y 2222c bx ax y c bx ax y c bx ax y c bx ax y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+-⇒-=+-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++⇒=++cb a cb ac b a c b a c b a cb ac b a c b a 轴上，则点在轴下方，则点在轴上方，则点在确定时抛物线上的点的位置的符号：由轴上，则点在轴下方，则点在轴上方，则点在确定时抛物线上的点的位置的符号：由x x x 1x x x x 1x例1.二次函数x x y 42+-=的函数值为3，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程 ．反之,解一元二次方程342=+-x x 又可以看作已知二次函数 的函数值为3的自变量x 的值．一般地：已知二次函数c bx ax y ++=2的函数值为m ，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程 ．反之，解一元二次方程 又可以看作已知二次函数c bx ax y ++=2的值为m 的自变量x 的值．例2.如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac ＜0；②方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=3；③a+b+c ＞0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大． 正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．例3.已知函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图象如图所示，则关于x 的方程 02=++c bx ax 的根的情况是（ ）A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等实数根D.无实数根 例4.观察图象：(1)二次函数22-+=x x y 的图象与x 轴有____个交点，则一元二次方程022=-+x x 的根的判别式△=_____0；(2)二次函数962+-=x x y 的图像与x 轴有____个交点，则一元二次方程0962=+-x x 的根的判别式△=_______0；(3)二次函数12+-=x x y 的图象与x 轴______公共点，则一元二次方程012=+-x x 的根的判别式△_______0．例5.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。

第09课 二次函数综合复习1.把242+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）A.y=-(x-2 )2-2 B.y=-(x-2 )2+6 C. y =-(x+2 )2-2 D. y=-(x+2 )2+6 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=12(x+2 )2 -2 B.y=12(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2-2 3.把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）A.21(5)12y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D.21722y x x =+-4.抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 5.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=126.二次函数522-+=x x y 有( )A.最大值-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6 7.抛物线2)1(212+-=x y 的对称轴是直线__________顶点坐标为__________ 8.把322---=x x y 配方成k h x a y +-=2)(的形式为__________ 9.抛物线262+--=x x y 与x 轴的交点的坐标是_________10.方程ax 2+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线__________11.已知直线y=2x-1与两个坐标轴的交点是A 、B ，把y=2x 2平移后经过A 、B 两点，则平移后的二次函数解析式为______________12.已知抛物线222)1(2k k x k x y -+-+-=，它的图象经过原点，求①解析式; ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。

第03课 函数2)(h x a y -=的图象与性质知识点：函数2)(h x a y -=图象性质（1）形状：二次函数2)(h x a y -=的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标： ⇔反映在坐标系中： （4）对称轴：（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。

（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；（7）图象左右平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0)(2>-=k k x a y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0)(2>+=k k x a y 例1.在同一坐标系中画出二次函数22x y =，2)1(2-=x y ，2)1(2+=x y 的图象，它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这三个函数的图象之间有什么关系?总结：1.函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象开口方向 、对称轴和顶点坐标 ；函数2)1(2-=x y 的图象可以看作是函数22x y =的图象向 平移 个单位得到的，它的对称轴是 ，顶点坐标是 。

函数2)1(2+=x y 与22x y =的图象开口方向 、对称轴和顶点坐标 ；函数2)1(2+=x y 的图象可以看作是函数22x y =的图象向 平移 个单位得到的，它的对称轴是 ，顶点坐标是 。

2.函数2)1(2-=x y 的图象当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。

函数2)1(2+=x y 的图象当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的左右平移与 有关平移规律：若抛物线顶点落在x 轴上⇔042=-ac b增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。

第06课二次函数实际应用二例1.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线my+=与该二次函数的图象交于A、B两点，x其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当h最大值时，求其P点坐标。

例2.如图，已知二次函数24=-+的图像经过点A和点B．y ax x c（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离.例3.如图，抛物线c=2与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.y++bxx(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.例4.某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图中的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？例5.如图，已知抛物线1-)1-2(22n x n x y ++= (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.课堂练习：1.在二次函数y=x 2+bx+c 中，若b+c=0，则它的图象一定经过点（ ）A ．（-1，-1）B ．（1，-1）C ．（-1，1）D ．（1，1）2.若ac ﹤0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点个数为（ ）A ．2个B ．l 个C ．0个D ．无法确定3.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-b+c ，b 2-4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（ ）5.在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax-1（a ≠0）的图象可能是图中的（ ）6.已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）7.如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴是直线x=1．下面给出了4个结论：①a ﹤O ，b ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④4a+2b+c=0．正确结论的序号是 .8.已知抛物线c x x y ++=221与x 轴有两个不同的交点． (1)求c 的取值范围；(2)抛物线c x x y ++=221与x 轴两交点的距离为2，求c 的值．9.如图所示，二次函数y=-x 2+2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．（1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x ＞0，y ＞0），使ABC ABD S S ΔΔ=，求点D 的坐标．10.如图，在平面直角坐标系中，已知直线3-+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线32++=nx mx y 经过点A 和点（2，3），与x 轴的另一交点为C.（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P 是x 轴下方的抛物线上一点，且△ACP 的面积为10，求P 点坐标。

第05课 二次函数实际应用 一例1.求下列二次函数的最值：(1)求函数3-22x x y +=的最值;)32-(≤≤x (2)求函数3-22x x y +=的最值．)30(≤≤x例2.已知：二次函数c x ax y +=4-2的图象经过点A(1，-8)和点(-2，7)．(1)求该二次函数的解析式；(2)将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．例3.抛物线kx m x k y 4-)2-(22+=的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线221-+=x y 上，求抛物线解析式。

例4.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。

如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。

设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元，（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？例5.如图，二次函数c bx x y ++=2的图象经过点M （1，-2）、N （-1，6）． （1）求二次函数c bx x y ++=2的关系式．（2）把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB=900，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5. 将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离．课堂练习：1.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.3512+-=x y 的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( ).A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m 2.把抛物线142-2++=x x y 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 （ ）A.6)1-(2-2+=x yB.6-)1-(2-2x y =C.6)1(2-2++=x yD.6-)1(2-2+=x y 3.若直线y=x-n 与抛物线n x x y --2=的交点在x 轴上, 则n 的取值一定为 ( ) A.0 B.2 C.0或2 D.任意实数 4.不论x 为何值,函数)0≠(2a c bx ax y ++=的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<05.若函数432)1(+++=m m x m y 是二次函数，则m 的值为6.已知(-2,y 1),(-1,y 2),(3,y 3)是二次函数y=x 2-4x+m 上的点,则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是7.二次函数5-6-2x x y +=，当x 时， y<0，且y 随x 的增大而减小．8.如图,抛物线c bx ax y ++=21和直线n mx y +=2的图象，观察图象，y 2≥y 1时，x 的取值范围____________ 9.根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式。

九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。

需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。

例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。

其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。

练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。

练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。

二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。

画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。

需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。

通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。

同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。

因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。

当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。

当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。

当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。