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关于e 和π的超越性的证明David Hilbert一，证明e 是超越数.若不然，假设e 满足n 次整系数方程0...2210=++++n n e a e a e a a其中00≠a . 方程左边乘以积分⎰∞-+∞---=⎰01),0()])...(2)(1[(dz e n z z z z z ρρ其中ρ是一个正整数，则得到表达式),0(),0(22),0(1),0(0...∞∞∞∞⎰++⎰+⎰+⎰n n e a e a e a a (1)将(1)分解为如下两个表达式之和),(),2(22),1(1),0(01...∞∞∞∞⎰++⎰+⎰+⎰=n n n e a e a e a a P ),0()2,0(22)1,0(12...n n n e a e a e a P ⎰++⎰+⎰=熟知恒等式!0ρρ=-∞⎰dz e z z这表明，积分),0(∞⎰是一个能被!ρ整除的整数.而对于n k e k k,...,2,1,),(=⎰∞有dze n k z k z k z k z dz e n k z k z k z k z ee z k z kk k⎰⎰∞-+∞+-+∞-+-+-++=-+-+-++=⎰010)'(1),()])...(2)(1[()(')]')...(2')(1'[()'(ρρρρ最后一个被积函数的中括号内是关于z 的常数项为0的多项式，所以),(),2(2),1(,...,,∞∞∞⎰⎰⎰n n e e e都是能被)!1(+ρ整数的整数，从而1P 是一个能被!ρ整数的整数，并且可见模)1(+ρ的同余式(1)])...(2)(1[(+---ρn z z z 常数项为1)!)1((+-ρn n )))1(mod()!()1(!10)1(1+-≡++ρρρρn a P n (2) 另一方面，设m M ,分别表示z e n z z z n z z z z -------))...(2)(1(,))...(2)(1(在],0[n z ∈上所取得的最大值.则ρρρnmM mM mM n ≤⎰≤⎰≤⎰),0()2,0()1,0(, (2)(事实上，上面的等号都是取不到的，不过这无关紧要) 记m e a n e a e a k n n )...2(221+++=则有ρρρnmM e a mM e a mM e a e a e a e a P n n n n n ⋅++⋅+≤⎰++⎰+⎰=...2...221),0()2,0(22)1,0(12即有不等式k M P ρ≤2 (3)现在，取一个正整数ρ，使得ρ|!0n a ，并且k M ρρ>!. 由于!0n a 的因子都包含于ρ中，而1)1,(=+ρρ，所以10)!(+ρn a 必不能被1+ρ整除，所以由同余式(2)得到，!1ρP 是一个不等于0的整数，又由不等式(3)得 1!!2<≤ρρρk M P 所以!2ρP 的绝对值小于1.所以0!!21=+ρρPP 不可能成立，即021≠+P P ，进而 0...2210≠++++n n e a e a e a a与假设相悖，证毕.二，证明π是超越数.若不然，假设π是一个代数数，则πi 是代数数，设παi =1满足一个整系数的n 次方程，现在用n ααα,...,,32表示该方程其余的根，由于01=+πi e所以，表达式N n e e e e e e βββααα++++=+++...1)1)...(1)(1(2121 (4)的取值必然是0.其中12...21-=+++=nn n n n C C C N ，那些N k k ,...,2,1,=β包含了所有的}{,...,}{,}{,}{1111∑≤≤≤<<≤≤<≤≤≤+++ni i n k j i k j i n j i j i n i i ααααααα (5)易得(5)中每一个大括号内的数都单独构成一个整系数方程的所有根(对称多项式基本定理)，这些方程的次数分别是nnn n C C C ,...,,21 所以，这些k β是一个N 次整系数方程的根.不妨设N k k ,...,2,1,=β中前M 个不等于0，而其余的等于0，则这M 个M k k ,...,2,1,=β是一个如下形式的M 次整系数方程的根0...)(110=+++=-M M M b z b z b z f并且0≠M b .于是表达式(4)取如下形式M e e e a βββ++++...21 (6)其中，a 是一个正整数.将(6)乘以积分⎰∞-+∞=⎰01),0()]([dz e z g z z ρρ其中ρ表示一个正整数.而)()(0z f b z g M=.则得),0(),0(),0(),0(...21∞∞∞∞⎰++⎰+⎰+⎰M e e e a βββ (7)将(7)分解为如下两个表达式之和),(),(),(),0(1...2211∞∞∞∞⎰++⎰+⎰+⎰=M M e e e a P ββββββ ),0(),0(),0(2...2211M M e e e P ββββββ⎰++⎰+⎰=其中，积分),(∞⎰k β的积分路径是，复平面中从点k z β=沿着一条平行于实轴的直线延伸到∞=z .而积分),0(k β⎰的积分路径是从点0=z 沿着直线段延伸到点k z β=.由于!0ρρ=⎰∞-dz e z z所以积分),0(∞⎰是一个能被!ρ整除的整数，并且由于1)]([+ρz g 的常数项为1++ρρMMM b b ，所以可见成立模)1(+ρ的同余式))1(mod(!110),0(+≡⎰++∞ρρρρM M M b b (8) 又对于M k e k k,...,2,1,),(=⎰∞ββ有)()!1()]([)(')]'([)'(010)'(1),(k z k k z k k G dze z g z dz e z g z e e k k k k βρββββρρβρρβββ+=++=++=⎰⎰⎰∞-+∞+-+∞以上之所以可以提取)!1(+ρ，是因为0)(=k g β，所以)(k z g β+的常数项必然为0，所以1)]([)(+++ρρββk k z g z中z 的最低次幂便是1+ρ.其中)(k G β表示k β的一个整系数多项式函数，其关于k β的次数为M M M +<++-ρρρ)1)(1(而且)(k G β的系数全都被MM b +ρ0整除.由于M βββ,...,,21是整系数方程0)(=z f 的根，从而M b b b βββ02010,...,,便是一个最高次项系数为1的整系数M 次方程的根(即M k b k ,...,2,1,0=β为代数整数). 于是)(...)()(21M G G G βββ+++ (9)可以看做关于M k b k ,...,2,1,0=β的对称的整系数多项式，所以(9)必然是整数.由此得出，表达式1P 是一个能被!ρ整除的整数，并且成立模)1(+ρ的同余式))1(mod(!101+≡++ρρρρM M M b ab P (10) 另一当面，设q Q ,分别为ze z g z zg -)(,)(在线段],0[k β(即从0=z 到k z β=的连线段积分路径)上的最大值.则M k q Q k k ,...,2,1,),0(=⋅≤⎰ρββ(事实上上式等号都是取不到的，不过这无关紧要) 记q e e e h M M )...(2121ββββββ+++=则qQ eq Q eq Q e e e e P M MM M ρβρβρββββββββββ⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅≤⎰⋅++⎰⋅+⎰⋅≤......21),0(),0(),0(2212211即有不等式ρhQ P ≤2 (11)现在取一个正整数ρ，使得ρ|0M b ab ，且ρρhQ >!.则M b ab 0的因子都包含于ρ中，又1)1,(=+ρρ，所以10++ρρM M M b ab 必不能被1+ρ整除，所以由同余式(10)得到，!1ρP 不能被1+ρ整除，因而!1ρP是一个不等于0的整数. 又由于(11)，有1!!2<≤ρρρhQ P 故!2ρP 是一个模小于1的复数.这样，0!!21=+ρρPP 不可能成立，即021≠+P P .进而 0...121≠++++N e e e βββ与假设相悖，证毕.容易认识到，一般的林德曼(Lindemann)命题也可以按照如上途径简单证明.一些补充：关于超越数论的沙努尔(Schanuel)猜想：定义：若对任意不恒为0的有理系数n 元多项式P ，都有0),...,,(21≠n y y y P则称复数n y y y ,...,,21代数无关.超越数论开端于法国数学家刘维尔(Liouville).1844年，刘维尔构造出了第一个超越数，早期的工作有，1873年艾尔米特(Hermite)证明了e 是超越数，1882年林德曼(Lindemann)证明了π是超越数.希尔伯特第七问：若α为异于0,1的代数数而β为无理数，那么βα是否为超越数？比如))1((ie --=π，希尔伯特当时认为这问题相当困难而需要新的思想方法才能解决，不过，很快，在1934年盖尔方德(Gelfond)和施耐德(Schneider)在1934年别给出了肯定的回答.若用Q 表示代数数全体，则其关于普通的四则运算封闭，即构成数域，再用Q 表示有理数域.盖尔方德-施耐德定理为：若21,x x 为非0代数数使得21ln ,ln x x 在Q 上线性无关，则21ln ,ln x x 在Q 上仍然线性无关. 而贝克(Baker)又将此定理推广至：若n x x x ,...,,21为非0代数数使得n x x x ln ,...,ln ,ln 21在Q 上线性无关，则n x x x ln ,...,ln ,ln ,121在Q 上仍然线性无关.那么，这些自然对数之间是否还存在着更深刻的独立性呢？这就是对数代数无关性猜想： 若n x x x ,...,,21为非0代数数使得n x x x ln ,...,ln ,ln 21在Q 上线性无关，则n x x x ln ,...,ln ,ln 21代数无关.对数代数无关性猜想在n=1时的情形是成立的，此时也就是艾尔米特-林德曼命题： 若α为非0代数数，则αe 必是超越数.(文中的证明即是α=i π的特殊情形，由林德曼命题反证，立即有π为超越数.)更一般地，有沙努尔猜想：若n x x x ,...,,21为Q 上线性无关的复数，则n x x x n e e e x x x ,...,,,,...,,2121中至少有n 个数代数无关.当n x x x ,...,,21都是代数数时，沙努尔猜想就是林德曼-维尔斯特拉斯(Weierstrass)定理. 沙努尔猜想如果成立，那么它将蕴含着数的非常深刻而又神秘的关联，比如说，目前尚未知道，e 和π是否代数无关.这相当于证明沙努尔猜想中取n=2而πi x x 2,121==的情形. 断言一个数是否是超越数是一个十分困难的问题，例如欧拉常数γ，π+e 等.。
证明希尔伯特变换是正交的希尔伯特变换的正交性在信号处理中有着非常重要的应用。
通过对其进行研究和证明，我们可以更好地了解希尔伯特变换的性质以及在信号处理中的实际应用。
下面，我们将为大家介绍证明希尔伯特变换是正交的详细过程。
首先，我们需要明确什么是希尔伯特变换。
希尔伯特变换是一种线性运算，用于将一个信号转换为其复解析信号，即在傅里叶变换的基础上，将实部和虚部的信号分别反转并取相反数，用于分析信号在时域和频域中的行为。
那么，如何证明希尔伯特变换是正交的呢？步骤一：定义内积首先，我们需要定义内积。
内积是在函数空间中定义的一种运算，用于度量两个函数相似程度的大小。
对于两个实函数f(x)和g(x)，其内积定义如下：（ f , g ）= ∫f(x)g(x)dx对于两个复函数，其内积定义如下：（f , g）= ∫f*(x)g(x)dx其中，f*(x)是f(x)的共轭复数。
步骤二：证明正交性根据内积的定义，我们可以证明希尔伯特变换是正交的。
首先，我们需要证明希尔伯特变换是有限范围内的，即其信号在无穷远处趋于0。
根据奇偶性，我们可以证明实部和虚部对应的傅里叶变换值分别关于频率轴对称，因此，它们的线性组合即希尔伯特变换的傅里叶变换值也是关于频率轴对称的，这就保证了其在无穷远处趋于0。
接下来，我们需要证明希尔伯特变换的内积等于零。
我们可以将希尔伯特变换的实部和虚部表示为：h(x)=f(x)cos(wx)-g(x)sin(wx)h*(x)=f(x)cos(wx)+g(x)sin(wx)其中，f(x)和g(x)是两个实函数，w是一个常数。
我们可以将希尔伯特变换的内积表示为：（h , h*）= ∫[f(x)cos(wx)-g(x)sin(wx)][f(x)cos(wx)+g(x)sin(wx)]dx将其展开，得到：（h , h*）= ∫[f(x)^2+g(x)^2]cos^2(wx)dx +∫[f(x)^2+g(x)^2]sin^2(wx)dx根据三角函数的性质，cos^2(wx)+sin^2(wx)=1，因此，上式可以简化为：（h , h*）= ∫[f(x)^2+g(x)^2]dx由于f(x)和g(x)都是实函数，因此其和的平方和是非负的，即（h , h*）≥ 0。
希尔伯特公理希尔伯特公理，也被称为欧几里德定理或希尔伯特定理，是数学家安德烈希尔伯特（1777-1855）所发现的一个重要定理。
它表明，每个正整数都是平方和的形式，即可以用至多三个不同的整数的平方和来表示。
希尔伯特公理是数论中一个重要的定理，广泛应用于数论、线性代数以及数学分析中。
让我们先来看看希尔伯特公理的直观概念，它表明任何一个正整数都可以表示为至多三个不同整数的平方和，即：n=a^2+b^2+c^2其中，a, b, c都是不同的正整数，n是你要表示的正整数。
比如，我们可以用10的平方加上6的平方加上2的平方的和来表示某个正整数，即：n=100+36+4=140。
另外，希尔伯特公理还有一些其他重要的规则，比如，任何一个数字都可以通过多种不同方式来表示，如：n=45=25+16+4=20+20+5=32+9+4。
希尔伯特公理的发现和发展，是数论发展史上一个重要的里程碑，也是包含着深厚数学理论的极其完美的定理。
事实上，在古希腊时数学家就发现了希尔伯特公理，但它更早是在古印度的文献中提及的。
当时的数学家们就发现，任何一个不能被4整除的正整数，都可以表示为两个整数的平方和，即：n=a^2+b^2也就是说，他们发现了一个更为特殊的希尔伯特公理，即只需要使用两个整数就可以表示某个正整数。
现代数论学家格雷戈里塞尔西（1777-1855）在1830年提出了希尔伯特公理的主要定理，即任何一个正整数都可以表示为至多三个不同整数的平方和，即：n=a^2+b^2+c^2而安德烈希尔伯特，在1849年用不同方法证明了这一定理，这一证明方式被认为是迄今为止最完整的。
希尔伯特公理用于许多数学领域，它可以用来解决许多数论问题，比如求解Diophantine方程，研究同余问题，以及研究一元多项式方程的解析性。
此外，希尔伯特公理也可以用于许多非数学领域，比如信号处理中的离散傅里叶变换、金融投资、社会科学等等。
希尔伯特公理的发现和发展，极大地拓宽了数论的研究范围，也为现代数学的发展做出了巨大的贡献。
数学中最著名的48个问题，是一系列由著名数学家希尔伯特提出的数学难题，又称希尔伯特23个问题。
这些问题旨在推动数学的发展和研究，其中大部分问题至今尚未被完全解决，成为数学史上的经典之一。
下面，我们就来了解一下其中几个问题。
1.希尔伯特基本定理希尔伯特基本定理是希尔伯特23个问题中的第一问题，这个问题与函数的连续性和多项式方程的解的属于有关。
虽然在19世纪的代数学和函数论中已完成了大量相关工作，但当时没有得到完整的解决方案。
希尔伯特在1900年的巴黎数学家大会上提出了这个问题，希望证明任意域上的多项式方程组的解，可以经由有限次多项式运算、<!——没有出现识别——>开方和求逆元得到，或者无解。
该问题在20世纪50年代被数学家E. Artin完全解决。
2.黎曼假设黎曼假设是希尔伯特23个问题中的第八个问题，涉及黎曼数学中的黎曼ζ函数，该函数曾发挥重要角色，解决了数论的许多问题。
黑格-法洛猜想（Hodge conjecture）的证明前，数学家们一直期望这个假设能被证明。
黎曼假设的精髓在于涉及一些数学领域的灵敏部分，包括素数的分布规律和高阶求和公式的形成，目前还没有被证明的理论或定理与这个假设有关。
3.费马猜想费马猜想是希尔伯特23个问题中的第十一个问题，是整数论中著名的猜想。
这个猜想曾被称为世界上最简短、最富魅力、最难解答的数学问题之一，但在1994年安德鲁·怀尔斯证明了这个猜想，将之成为定理。
费马猜想表述为：对于大于2的整数n，存在无限个正整数a、b和c，使得$a^n+b^n=c^n$。
4.希尔伯特熵基本定理希尔伯特熵基本定理是希尔伯特23个问题中的第十四个问题。
熵是从物理学中引入数学的一个概念，它被用来测量概率分布的不确定性度量。
希尔伯特熵基本定理涉及到了对于分治结构（而没有限制）的遗传系统，从一组独立等碘和重叠不氧化物的状态出发，进化的熵密度存在且是物理的。
这个问题在20世纪70年代得到了完全解决。
世界七大数学难题与Hilbert的23个问题继上文《数学家的猜想错误》提到的七大数学难题和大卫·希尔伯特23个数学难题，今天我们就来详细了解下。
世界七大数学难题，这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想。
千年大奖问题美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。
我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。
）“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。
这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。
认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。
不少国家的数学家正在组织联合攻关。
可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。
01庞加莱猜想1904年，法国数学家亨利·庞加莱（HenriPoincaré）在提出这个猜想：'任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
'换一种简单的说法就是：一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
懵逼中为了大家便于理解庞加莱猜想，有人给出了一个十分形象的例子：假如在一个完全封闭（足够结实）的球形房子里，有一个气球（皮是无限薄的），现在我们将气球不断吹大，到最后，气球的表面和整个房子的墙壁是完全贴住，没有缝隙。
面对这个看似十分简单的猜想，无数位数学家前仆后继，绞尽脑汁，甚至是倾其一生都没能证明这个猜想。
希尔伯特零点定理证明希尔伯特零点定理是数学领域中的一个重要定理，它在分析学和数论中有着广泛的应用。
本文将从基本概念入手，逐步阐述希尔伯特零点定理的原理和证明过程。
我们需要了解一些基本概念。
在数论中，一个数被称为是有理数，如果它可以表示为两个整数的比值，其中分母不为零。
而一个数如果不能表示为有理数，就称之为无理数。
希尔伯特零点定理是关于无理数的性质的一个重要定理。
希尔伯特零点定理的主要内容是：任何一个无理数都可以在整数集合上有无限个近似值。
换句话说，对于任何一个无理数x，存在无数个整数a，使得|x-a|<ε，其中ε是任意小的正数。
为了证明希尔伯特零点定理，我们首先需要了解到一个重要的数学概念——连分数。
连分数是一种无限循环的分数表示形式，它可以将一个无理数表示为一个无限循环的分数序列。
通过不断截取连分数的部分，我们可以得到无理数的一个近似值。
接下来，我们将介绍连分数的计算方法。
首先，我们将无理数x表示为一个整数部分和一个小数部分的和，即x=[a0;a1,a2,a3,...]。
其中a0是整数部分，a1,a2,a3,...是小数部分的循环序列。
然后，我们可以将无理数x表示为一个带有循环的分数形式：x=a0+1/(a1+1/(a2+1/(a3+...)))通过不断截取连分数的部分，我们可以得到无理数的近似值。
例如，如果我们截取连分数的前n项，就得到了一个有理数，它是无理数的一个近似值。
通过增加n的值，我们可以得到无理数的更精确的近似值。
接下来，我们将介绍如何利用连分数来证明希尔伯特零点定理。
假设x是一个无理数，我们可以通过连分数的计算方法，得到x的一个近似值。
然后，我们可以通过不断增加连分数的项数，得到更精确的近似值。
由于连分数是一个无限循环的分数序列，所以我们可以得到无穷多个近似值。
根据无理数的定义，对于任意一个无理数x，存在无数个整数a，使得|x-a|<ε，其中ε是任意小的正数。
在连分数的计算过程中，我们可以通过逐步增加连分数的项数，得到无理数x的一个近似值，这个近似值与x之间的差值小于任意小的正数ε。
希尔伯特零点定理证明希尔伯特零点定理是数学中的一个重要定理，它与数论和代数几何有关。
该定理由德国数学家大卫·希尔伯特于1888年提出，并在此后的一个世纪中得到了广泛的研究和应用。
希尔伯特零点定理的内容是：对于任意一个非零的代数方程组，只要方程组的系数是整数，那么一定存在至少一个整数解。
要理解这个定理，首先需要了解什么是代数方程组。
代数方程组是由一组方程组成的数学表达式，其中每个方程都包含了未知数和系数。
例如，下面这个方程组就是一个代数方程组的例子：x + 2y = 52x - 3y = 7在这个方程组中，x和y是未知数，而1、2、-3和5、7则是系数。
希尔伯特零点定理的意义在于，无论系数是什么，只要是整数，这个方程组就一定存在至少一个整数解。
为了证明希尔伯特零点定理，我们可以利用数论和代数几何的知识。
首先，我们知道整数是数论的研究对象，而代数方程组则属于代数几何的范畴。
希尔伯特零点定理将这两个领域结合在了一起。
在证明过程中，我们可以运用数论中的整除性质和代数几何中的曲线性质。
通过对方程组进行适当的变换和分析，可以得到一些性质和限制条件。
然后，我们可以利用这些性质和限制条件，来证明至少存在一个整数解。
具体的证明过程非常复杂，需要运用到许多高深的数学理论和技巧。
为了清晰地叙述证明过程，我们可以将其分为几个步骤：1. 首先，我们将代数方程组转化为一个几何问题。
例如，可以将方程组表示为一个曲线或者曲面，这样就可以利用代数几何的方法进行分析。
2. 接下来，我们对曲线或曲面进行进一步的分析，找出其中的一些特殊点或特性。
这些特殊点或特性可以为我们提供一些有用的信息，帮助我们找到整数解。
3. 在分析的过程中，我们可以运用到一些数论的知识，如质数分解定理、剩余定理等。
这些数论的工具可以帮助我们对方程组进行更深入的分析，从而找到整数解。
4. 最后，我们可以利用数论和代数几何的结合，将得到的结果推广到一般情况。
巴黎圣母院的钟声迎来了20世纪。
1900年，人们都吧眼光放在未来：无产阶级正在组织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时代的潮流……。
这一年的8月6日，第二届国际数学家代表会议在巴黎召开。
年方38岁的德国数学家大卫•希尔伯特走上讲台，第一句话就问道：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？”接着，他向到会者，也向国际数学界提出了23个数学问题，这就是著名的希尔伯特演说。
这一演说，成为世界数学史的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的第一页！科学发展的每一个时代都有自己的问题。
希尔伯特站在当时数学研究的最前沿，高瞻远瞩地用23个数学问题，预示20世纪数学发展的进程。
现在，时光已过去80多年。
这23个问题约有一半已获得解决，有一些取得了很大进展，有些则收效甚微。
80年来，人们把解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成至高无上的荣誉。
据统计，从1936〜1974年，被育为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（Fields）国际数学奖的20名获奖人中，至少有12人的工作与希尔伯特问题有关。
1976年，美国数学会组织评论1940年以来的美国十大数学成就，就有3项是希尔伯特问题的（1）、（5）、（10）等3个问题的解决。
重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的。
希尔伯特，1862年生于德国德哥尼斯堡（现为苏联的加里宁格勒）。
1884年获哥尼斯堡大学博士学位。
1895年担任著名的哥廷根大学教授，直到1943年去世。
他最初的研究领域是代数不变量和代数数论。
1900年前后致力于数学基础──元数学。
后来又转到分析方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出的贡献。
希尔伯特为发表1900年的重要演说，曾作过仔细的准备。
1899年，第二届国际数学家会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言。
