【真题】17年浙江省9+1高中联盟高三(上)数学期中试卷含答案

2016学年第一学期期中杭州地区七校联考高三年级数学学科 试 题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

1．设集合{}21|≤≤-=x x A ,{}40|≤≤=x x B ，则=B A （ ）。

A ．[1，2] B ．[0，2] C ．[0，4]D ．[1，4]2．已知))(sin()(R x x f ∈+=ϕϕ，则“2πϕ=”是“)(x f 是偶函数”的（ ）。

A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．平面向量a 与b 的夹角为60°，=（2，0），||=1+=（ ）。

A ．3B ．32C ．4D ．124．已知函数()y f x =的图象是由函数=sin 26y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位得到的，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）。

A ．B ．0C ．12- D ．12 5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(]0,1x ∈时，()21log f x x =+。

若对任意的x ∈R 都有()()4f x f x =+，则()()()2014201622015f f f +-=（ ）。

A ．2-B ．1-C ．1D ．26．设实数,x y 满足条件203600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+的最小值为（ ）。

A ．256B ．83C ．113D ．4 7．方程22(20x y x +-=表示的曲线是（ ）。

A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一条直线D ．一个圆8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，4||21=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||=PQ ，则双曲线的离心率是（ ）。

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试数学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则a 等于（ ）A.1B. C. D.32.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则（ ）A.B.C. D.3.若命题“，成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.在中，D 是BC 上一点，满足，M 是AD 的中点，若，则（ ）A.B.C.D.5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ）D.6.函数的部分图象如图所示，直线与其交于A ，B 两点，若，则（）A.4B.3C.2D.17.已知函数，若，，，则有（）{}0,1A =-{}0,1,2B a =-A B ⊆1-3-1z 2z 12i z =-12z z =34i 55-34i 55+41i 5+41i 5-x ∃∈R 220x x a ++<1a ≤1a <1a ≥1a >ABC △2BD DC = BM BA BC λμ=+λμ+=54785658π12()()sin 20y x ωϕω=+>12y =3AB π=ω=()xxf x e e-=+3log 0.6a =0.013b =5log 3c =A. B.C. D.8.已知函数（a ，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ）A.B. C.2 D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X 服从二项分布，且，则C.X 和Y 是分类变量，若值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握性越大D.若随机变量X 服从正态分布，且，则10.已知数列的前n 项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（）A.为等比数列B.为等比数列C.D.11.已知曲线C 的方程为：，，，过M 的直线交曲线C 于A 、B 两点（A 在B 的上方），已知，，下列命题正确的是（ ）A.B.的最小值是2C.周长的最大值是D.若，将沿MN 翻折，使面面，则折后三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.()()()f a f b f c >>()()()f b f c f a >>()()()f b f a f c >>()()()f c f a f b >>()()221f x a x bx a =-+-+b ∈R 2a ≠[]1,222a b +3212()~20,X B p ()8E X =() 4.8D X =()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()2~2,X N σ()50.2P X >=()150.6P X -<<={}n a n S 13a =()()*1310n n n a na n ++-=∈N {}n na n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭3n n a n =⋅()1213344n n n S +-=⋅+()()2222104340x y y x y y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=<⎩()1,0M -()1,0N AMN α∠=ANM β∠=()sin sin 2sin αβαβ+=+tan3tan22αβ+ABN △4+3πα=AMN △AMN ⊥MNB AB =12.双曲线的渐近线方程为______.13.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字。

浙江省新⾼考研究联盟2017届⾼三上学期考试数学试题Word版含答案2016学年第⼀学期浙江“七彩阳光”新⾼考研究联盟⾼三联考数学学科试题考⽣须知：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

2.考⽣答题前，务必将⾃⼰的姓名、准考证号⽤⿊⾊字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3.选择题的答案须⽤2B 铅笔将答题纸上对应题⽬的答案标号涂⿊，如要改动，须将原填涂处⽤橡⽪擦净。

4.⾮选择题的答案须⽤⿊⾊字迹的签字笔或钢笔写在答题纸相应区域内，答案写在本试题卷上⽆效。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()().P A B P A P B +=+ 如果事件,A B 相互独⽴，那么()()().P A B P A P B = 如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是p，那么n 次独⽴重复试验中事件A 恰好发⽣k次的概率()(1)(0,1,2,,).k kn k n n P k C p p k n -=-= 球的表⾯积公式24,S R π=其中R 表⽰球的半径。

球的体积公式34,3VR π=其中R 表⽰球的半径。

柱体的体积公式,V Sh =其中S 表⽰柱体的表⾯积，h 表⽰柱体的⾼。

锥体的体积公式1,3VSh =其中S 表⽰锥体的表⾯积，h 表⽰锥体的⾼。

台体的体积公式()121,3V h S S =其中12,S S 表⽰台体的上、下⾯积，h 表⽰台体的⾼。

第Ⅰ卷⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.已知全集U R =,集合{}{}2|3,|13,A x x B x x =≥=<<则()R A C B =B.{|x x x ≤≥C.{|1或x x x ≤≥D.{}|3x x x ≤≥ 2.若,a b 为实数，则“33ab <”是“1a b <+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续整数的概率是（） A.35 B.25C.13D.234.已知等差数列{}na 满⾜22383829a a a a ++=，且0n a <，则其前10项和为（）A.-9B.-11C.-13D.-15 5.函数()2cos sin 3f x x x π??=- ?的最⼤值为（）A.12 D.26.设圆C的圆⼼与双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线30x y -=被圆C 截得的弦长等于1，则双曲线的离⼼率e 的值是（）327.如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 两个三等分点，41BA CA BE CE ?=?=- ，，则BF CF的值是（）A.-5B.-4C.-3D.-2 8.已知221,0()() (1),0x x x f x y f x x f x x ?--+<==-?-≥?，则的零点有（）B.A.1个 B.2个C.3个D.4个()2*0121123sin cos cos ,0...,()(),,2...,n n n n n n n f x x x x x x x x a f x f x n N S a a a a S π-=+≤<<<<≤=-∈=++++9.已知函数则的最⼤值等于（）1 D.210.如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=5,PA=4，BC=6,点M 在平⾯PBC 内，且α，则cos α的最⼤值为（）A.5B.5C.25D.5第Ⅱ卷⼆、填空题：本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 三、11.已知42,lg ,a x a ==则a =；x =.12.正项等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，公⽐为q ，且4418,a S S =-则1=；=q .13.⼀个⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的最长的棱长为；体积为. 14.已知实数,x y 满⾜320324010x y x y y -+≥??+-≤??+≥?，则z x y =+的最⼤值是15.已知00=2x y xy x y >>+，，，若222x y m m +≥+恒成⽴，则实数m 的取值范围是.16.已知函数2)3,1() 2,1xa x a x f x x -+17.直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的⾯积称为函数()f x 在区间[],a b 上的⾯积.现已知函数sin y nx =在区间0,n π的⾯积为2n ，则函数3sin 314y x π=-+（）在区间5,44ππ上的⾯积为.三、解答题：本⼤题共5个⼩题，共74分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）在ABC ?中，⾓A B C ，，的对边分别为,,a b c ，且tan 21.tan A c B b+=（Ⅰ）求⾓A 的⼤⼩.（Ⅱ）若=2a ，求ABC ?⾯积的最⼤值.19.（本题满分15分）如图，在四棱锥C ABDE-中，F为CD的中点，,//,2D B A B C B D A E B D平⾯且（Ⅰ）求证：//.EF ABC 平⾯（Ⅱ）若6AB BC CA DB ====，，求AC 与平⾯ECD 所成⾓的正弦值.20.（本题满分15分）已知函数31() 1.3f x x ax =-+ 1左视图俯视图AEDBF（Ⅰ）若=1a 时，求()f x 在2x =处的切线⽅程.（Ⅱ）求()f x 在[]0,1上的最⼩值()g a 的表达式.21.（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离⼼率为，并且经过点(M .（Ⅰ）求椭圆的标准⽅程. （Ⅱ）若直线l 与圆22:1O x y +=相切，与椭圆C 相交A,B 两点，求AOB ?D 的⾯积最⼤值.22.（本题满分15分）已知数列{}n a 满⾜12115,6(2)n n n a a a a a n +-===+≥.（Ⅰ）求证：{}12n n a a ++是等⽐数列.（Ⅱ）设33n n n n na b n +=?，且{}n b 的前n 项和为*,n T n N ∈,证明：6n T <.2016学年七彩联盟—⾼三数学试题答案2016.12.1⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分。

2023学年第一学期浙江省9＋1高中联盟高三年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}ln 0A x x =≤，{}0B x x =≤，A B = （）A.(],0-∞ B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.∅【答案】D 【解析】【分析】先根据函数ln y x =的定义域及函数的单调性得{}{}ln 001A x x x x =≤=<≤；再根据集合的交集运算即可得出答案.【详解】因为函数ln y x =的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上单调递增，ln10=所以{}{}ln 001A x x x x =≤=<≤.又因为{}0B x x =≤所以A B ⋂=∅.故选：D.2.已知复数12i =-z ，则1z的虚部是（）A .2i 3-B.23-C.2i 5D.25【答案】D 【解析】【分析】直接使用复数的运算法则计算即可.【详解】12i =- z ，1112i 12i 12i (12i)(12i)55+∴===+--+z 故1z 的虚部是25故选：D3.白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设.”古代北方游牧民族以毡帐为居室，如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毛帐的侧面积（单位2m ）是（）A.39πB.32πC.33πD.45π【答案】C 【解析】【分析】分别求解出圆锥和圆柱的侧面积，然后相加即为结果.【详解】圆锥的侧面积：6152π⨯=π2m ，圆柱的侧面积：623182⨯π⨯⨯=π2m ，所以毛帐的侧面积为151833π+π=π2m ，故选：C.4.已知n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，设甲：数列{}n S 是递增数列，乙：对任意*N n ∈，均有0n S >，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用定义法直接判断【详解】充分性：因为数列{}n S 是递增数列，取数列为：1-，1，3，5 符合数列{}n a 为无穷等差数列，且{}n S 是递增数列，但110S =-<，故充分性不满足；必要性：因为对于任意的*N n ∈，均有0n S >，所以得110S a =>，又因为数列{}n a 为无穷等差数列，所以公差大于零，所以可得数列{}n S 为递增数列，故必要性满足.综上所述：甲是乙的必要不充分条件，故B 项正确.故选：B.5.已知抛物线C ：24y x =（0y >）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，5AF =，若2FB BA =，则点B 的纵坐标是（）A.43 B.83C.163D.323【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式可得A 的坐标，再由2FB BA =，列出方程，即可得到结果.【详解】因为5AF =，由抛物线的焦半径公式可得2A pAF x =+，即4A x =，且0y >所以()4,4A ，设()00,B x y ，则()()00001,,4,4FB x y FA x y =-=--，又2FB BA = ，则()000021424x x y y ⎧-=-⎨=-⎩，解得00243x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点B 的纵坐标是43.故选：A6.今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（）A.18B.24C.32D.64【答案】A 【解析】【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有33A 6=种，若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有1223A A 12⨯=种，所以总的方法数有61218+=种.故选：A7.函数()πsin 3f x A x b ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0A >，0ω>，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（）A.3 B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】先根据图象平移得到函数()g x 的解析式；再根据两函数图象关于y 轴对称及诱导公式得到关于ω的等式即可得出答案.【详解】由题意可得函数()ππππsin sin 3333g x A x b A x b ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，所以()()g x f x =-，即πππsin sin 333A x b A x b ωωω⎛⎫⎛⎫+-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πππsin sin 333x x ωωω⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得：()πππsin sin sin 21πZ 333x x x k k ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+=+++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()πππsin sin 21πZ 333x x k k ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+++∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()11πππ21π,Z 333x x k k ωωω+-=+++∈，或22πππ2π,Z 333x x k k ωωω⎛⎫⎛⎫+-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为x ∈R所以解得：()112321π,Z k k ω=++∈故当10k =时，5ω=.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R +，对于任意的x ，R y +∈，都有()()()1f x f y f xy +=+，当1x >时，都有()1f x >，且()22f =，当[]1,16x ∈时，则()f x 的最大值是（）A.5B.6C.8D.12【答案】A 【解析】【分析】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.【详解】令1x y ==，则()11=f ，且()()()2241+=+f f f 故()34=f ，()()()14164+=+f f f ，故()516=f 且令1x x =，21=y x x ，可得()()21211⎛⎫⎪⎝+=+⎭x f x f f x x 设21x x >，则211>x x ，()()212110⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭x f x f x f x 则()()12f x f x <，故()f x 在R +上单调递增()f x \的最大值是()516=f 故选：A【点睛】本题需要考生先求出特殊值，后判断抽象函数的单调性，再求出端点值即可.判断抽象函数的单调性时需要记忆或推理常见的抽象函数模型.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分）9.已知平面向量()1,0a = ，()2,2b =，下列叙述正确的是（）A.a 与b的夹角为45︒B.a 与b的夹角为135︒C.a b -=D.b 在a 上的投影向量为2a【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为()1,0a = ，()2,2b =，则cos ,2a b a b a b ⋅===⋅，且0,180a b ︒︒≤≤，所以,45a b =︒ ，故A 正确，B 错误；()1,2a b -=-- ，则a b -== C 正确；b 在a上的投影向量为cos ,22a b a b a a⋅== ，故D 正确；故选：ACD10.已知函数()323f x x x =-，满足()f x t =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，则（）A.实数t 的取值范围是40t -<<B.()f x 关于点()1,2-中心对称C.()()()13012822f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.123x x x ++的值与t 有关【答案】AB 【解析】【分析】作数函数()f x 的图像即可判断A ；判断()()114f x f x -++=-是否成立可判断B ；根据函数()f x 关于点()1,2-中心对称计算可判断C ；根据题意建立等式()()()()123f x t x x x x x x -=---化简即可判断D .【详解】对于A ，因为()236f x x x '=-，所以当()0f x ¢>时，即0x <或2x >，()f x 单调递增，当()0f x '<时，即02x <<，()f x 单调递减，且()00f =，()24f =-，故函数()f x 如图所示，所以满足()f x t =有三个不同的实数根实数t 的取值范围是40t -<<，故A 正确；对于B，因为()()()()33221113(1)13(1)4f x f x x x x x -++=---++-+=-，所以函数()f x 关于点()1,2-中心对称，故B 正确对于C，因为函数()f x 关于点()1,2-中心对称，所以()()024f f +=-，13422f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()130121022f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为1x ，2x ，3x 是()f x t =有三个不同的实数根，所以()()()()123f x t x x x x x x -=---，化简的：()()3232123121323123300x x t x x x x x x x x x x x x x x x --=-+++++-所以1233x x x ++=，故D 错误.故选：AB .【点睛】求一元n 次函数解析式，可以根据一元n 次方程的根建立等式求解.11.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD AD ===，4AB =，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（）A.存在点Q 使得//CQ 平面PADB.存在点Q 使得CQ BD⊥C.四棱锥P ABCD -外接球的表面积为32πD.Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交PA 于点E ，则四棱锥B CDEQ -的体积为【答案】BCD 【解析】【分析】由面面垂直的性质可证得OP ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，设出点Q 坐标，运用空间向量坐标法计算0CQ n ⋅= 求出λ可判断A 项，运用空间向量坐标法计算0CQ BD ⋅=求出λ可判断B 项，画出外接球的球心，进而可求得其半径，结合球的表面积公式计算即可判断C 项，由点、线、面关系证得平面CDQ平面PAB EQ =，由线面平行判定定理可证得//AB 平面CDEQ ，运用等体积法3333324B CDEQ B DEQ A DEQ Q ADE B ADE B PAD V V V V V V ------=====求解即可判断D 项.【详解】取AD 中点O ，连接OP ，因为PA PD =，所以OP AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD ，过O 作//Oy AB ，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、Oy 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为PA PD AD ===，4AB =，则A ，4,0)B ，(4,0)C ，(D ，(0,0,3)P ，所以(4,0)BD =-- ，4,3)PB =-，设PQ PB λ=（01λ<<），则,4,33)Q λλ-（01λ<<），所以44,33)CQ λλ=+--，对于A 项，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)n =，假设//CQ 平面PAD ，则440CQ n λ⋅=-=，解得1λ=，又因为01λ<<，所以不存在点Q 使得//CQ 平面PAD ，故A 项错误；对于B 项，假设因为CQ BD ⊥，则(4)(44)0CQ BD λ⋅=-++-⨯-=，解得511λ=，所以存在点Q 使得CQ BD ⊥，故B 项正确；对于C 项，连接AC 、BD 相交于点1O ，取等边三角形PAD 的外心2O ，过1O 作1//O M PO ，过2O 作21//O M OO ，连接1OO ，如图所示，则1O M ⊥平面ABCD ，2O M ⊥平面PAD ，所以M 为四棱锥P ABCD -的外接球的球心，又12113O M OO PO ===，112O A AC ====所以r MA ===所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为224π4π32πr =⨯=，故C 项正确；对于D 项，连接EQ 、ED 、EB ，如图所示，因为平面CDQPA E =，PA ⊂平面PAB ，所以点E 在平面CDQ 与平面PAB 的交线处，又Q ∈平面CDQ 且Q ∈平面PAB ，所以点Q 在平面CDQ 与平面PAB 的交线处，所以平面CDQ平面PAB EQ =，因为//CD AB ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，又因为CD ⊂平面CDQ ，平面CDQ 平面PAB EQ =，所以//CD EQ ，又//CD AB ，所以//AB EQ ，又因为Q 为PB 中点，所以E 为PA 的中点，12EQ CD =，又因为//AB EQ ，AB ⊄平面CDEQ ，EQ ⊂平面CDEQ ，所以//AB 平面CDEQ ，所以点B 到平面CDEQ 距离等于点A 到平面CDEQ 距离，所以33313332443B CDEQ B DEQ A DEQ Q ADE B ADE B PAD PAD V V V V V V S AB ------======⨯⨯△311π311sin 443234322PA AD AB =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=D 项正确.故选：BCD.12.人教A 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上动点P 到左焦点(),0F c -的距离和动点P 到直线2a x c =-的距离之比是常数c a .已知椭圆C ：22143x y +=，F 为左焦点，直线l ：4x =-与x 轴相交于点M ，过F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），分别过点A ，B 向l 作垂线，垂足为1A ，1B ，则（）A.12AA AF= B.MA BF MB AF ⋅=⋅C.直线MA 与椭圆相切时，AB 4= D.sin 2tan AFM AMF∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由1AF cAA a=判断；对D ：作AN x ⊥轴于N ，表示出sin ,tan AFM AMF ∠∠，根据A 结论判断；对B ：利用D 结论可判断AMF BMF ∠=∠，由角平分线性质得结论；对C ：根据D 结论可判断当且仅当AB x ⊥时MA 与椭圆相切即可.【详解】对A ：由条件知：112AF c AA a ==，故12AA AF =，故A 正确；对D ：作AN x ⊥轴于N ，则sin sin A y AFM AFN AF ∠=∠=，1tan 2A A ANy y AMF MN AA AF∠===，所以sin 2tan AFM AMF ∠=∠，故D 正确；对B ：同D 知：sin 2tan BFM BMF ∠=∠，因为sin sin BFM AFM ∠=∠，所以tan tan AMF BMF ∠=∠，所以AMF BMF ∠=∠，即MF 平分AMB ∠，由角平分线性质知MA AFMB BF =即MA BF MB AF ⋅=⋅，故B 正确；对C ：下面证明当且仅当AB x ⊥时MA 与椭圆相切，因为sin 2tan AFM AMF ∠=∠，所以1tan 2AMF ∠=时当且仅当90AFM ∠=o ，此时点A 是唯一的，故MA 与椭圆相切当1tan 2AMF ∠≠时，sin 1AFM ∠≠，满足条件的AFM ∠有两个，即点A 有两个，此时MA 与椭圆相交，故当且仅当AB x ⊥时MA 与椭圆相切，此时3AB =，故C 错误.故选：ABD【点睛】关键点点睛：此题关键是证明sin 2tan AFM AMF ∠=∠成立，从而再证出其它选项，在椭圆中一般结论是sin tan e AFM AMF ⋅∠=∠，其中e 是离心率.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）13.413x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为______.（用数字作答）【答案】54【解析】【分析】根据4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式可求出结果.【详解】4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()4k 4k 421441C 3=C 13k k k k k k T x x x ---+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令420k -=，得2k =，所以4132x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开始得常数项为()2224C 1354-=.故答案为：54.14.已知圆M ：()()22324x y -+-=，过点()5,0P 的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当ABM 面积最大时，直线l 的斜率为______.（写出一个即可）【答案】2-+2-（答案不唯一）【解析】【分析】根据面积最大时求出圆心到直线距离，设出直线方程，求出斜率即可.【详解】已知圆的半径2r =，如图，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，ABM 面积1sin 2sin 2ABM S MA MB AMB AMB =⋅∠=∠ ，当ABM 面积最大时sin 1AMB ∠=即πsin 2AMB ∠=，此时圆心M 到直线l的距离2d r ==，设直线l 的斜率为k ，则直线方程为()5y k x =-，则2410d k k ==⇒++=，解得：2k =--2k =-+.故答案为：2-2-（答案不唯一）15.已知2e e 0ax x -≥在0x >时恒成立，则实数a 的最小值为______.（注：e 为自然对数的底数）【答案】e【解析】【分析】转化问题为2ln x a x +≥在0x >时恒成立，只需max 2ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()2ln x f x x+=，0x >，结合导数分析其单调性，进而求解即可.【详解】由2e e 0ax x -≥在0x >时恒成立，即2ln e e ax x +≥在0x >时恒成立，即2ln x a x+≥在0x >时恒成立，设()2ln x f x x+=，0x >，则()()2212ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+--'==，令()0f x ¢>，即10e x <<；令()0f x '<，即1ex >，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当1e x =时，()max 12ln e e 1e f x +==，所以e a ≥，即实数a 的最小值为e .故答案为：e .16.已知数列{}n a 的首项为1，且21πcos 2n n n a a n ++=⋅（*N n ∈），则40a 的值是______.【答案】759【解析】【分析】根据递推公式首先令n 为偶数，即可求出12339a a a a ++++ ，再令n 为奇数，即可求出1233940a a a a a +++++ ，从而得解.【详解】因为21πcos2n n n a a n ++=⋅，11a =，所以当2n =时22322cosπ2a a +=⨯=-，当4n =时24254cos2π4a a +=⨯=，当6n =时26726cos3π6a a +=⨯=-， ，当36n =时23623736cos18π36a a +=⨯=，当38n =时23823938cos19π38a a +=⨯=-，所以12339a a a a ++++ ()222222222124681012343638=+-+-+-++-+- ()21224681012343638=+++++++++- ()22361812387592+⨯=+⨯-=-，又21πcos 2n n n a a n ++=⋅，所以当1n =时122π1cos02a a +=⨯=，当3n =时3423π3cos 02a a +=⨯=，当5n =时5625π5cos 02a a +=⨯=， ，当37n =时2373837π37cos 02a a +=⨯=，当39n =时2394039π39cos 02a a +=⨯=，所以12339400a a a a a +++++= ，所以40759a =.故答案为：759四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 2c B a b ⋅=+.（1）求角C 的大小；（2）若1b =，c =，ACB ∠的角平分线交AB 于D ，求CD 的值.【答案】（1）2π3C =（2）23CD =【解析】【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得1cos 2C =-，进而求解即可；（2）先由余弦定理可得2a =，进而结合等面积法ABC ADC BDC S S S =+ 进行求解即可.【小问1详解】∵2cos 2c B a b ⋅=+，由正弦定理得，2sin cos 2sin sin C B A B =+，∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++，∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C B B C B C B =++，∴2cos sin sin C B B =-，即1cos 2C =-，∵()0,πC ∈，∴2π3C =.【小问2详解】由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，∴2271a a =++，解得2a =或3a =-（舍去），由ABC ADC BDC S S S =+ ，∴1111212222222CD CD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，∴23CD =.18.某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动.（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：天12345成交额（万元）912172127求成交额y （万元）与时间变量x 的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A 、B 两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p 、q ，两次抽奖结果互不影响.记小明中奖的次数为ξ.求ξ的分布列及()E ξ；附：对于一组具有线性相关关系的数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ⋯，其回归直线ˆˆˆy a bx=+的斜率和茷距的最小二乘估计分别为()()()121ˆn ii i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.【答案】（1）ˆ 4.5 3.7yx =+，30.7万元（2）分布列见解析，()E p qξ=+【解析】【分析】（1）计算出样本中心，求出回归系数，即可得到回归直线方程，将6x =代入回归方程求解即可；（2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．【小问1详解】由已知可得1234535x ++++==，91217212717.25y ++++==5119212317421527303i i i x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑.所以515122ˆ553035317.245 4.5553105i i ii i x y x y b x x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，所以17.2 4.53 3.7ˆˆa y bx=-=-⨯=，所以ˆ 4.5 3.7y x =+.当6x =时，ˆ 4.56 3.730.7y =⨯+=（万元），所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；【小问2详解】由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.()()()011P p q ξ==--，()()()111P p q q p ξ==-+-，()2P pqξ==所以X 的分布列为ξ012P ()()11p q --()()11p q q p -+-pq ∴()0(1)(1)1[(1)(1)]2E p q p q q p pq p q ξ=⨯--+⨯-+-+⨯=+.19.如图，四边形ABCD 为菱形，//EF 平面ABCD ，过EF 的平面交平面ABCD 于AC ，2EF AC EC ===.（1）求证：//DE 平面ABF ；（2）若平面ABCD ⊥平面ACEF ，60ACE ∠=︒，且四棱锥E ABCD -的体积是，求直线ED 与平面BCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据题意，由面面平行的判定定理可得平面//CDE 平面ABF ，再由其性质定理即可得到//DE 平面ABF ；（2）方法一：根据题意，由线面角的定义，代入计算，即可得到结果；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【小问1详解】证明：∵//EF 平面ABCD ，过EF 的平面交平面ABCD 于AC ，∴//EF AC ，又∵EF AC EC ==，∴四边形ACEF 为菱形∴//AF CE ，∵AF ⊂平面ABF ，CE ⊄平面ABF ，∴//CE 平面ABF .又∵四边形ABCD 为菱形，∴同理//CD 平面ABF ，∵CD CE C = ，,CE CD ⊂平面CDE ，∴平面//CDE 平面ABF ，又DE ⊂平面CDE ，∴//DE 平面ABF ；【小问2详解】设ED 与平面BCE 所成角为θ连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，∵AC EC =，且60ACE ∠=︒，则ACE △为等边三角形，又四边形ABCD 为菱形，则O 为AC 中点，∴OEAC ⊥又∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，且交线为AC∴OE ⊥平面ABCD∵2EF AC EC ===，∴OE =∴111326E ABCD V BD AC BD -=⋅⋅⋅⋅⋅∴6BD =.法一：常规法：作OG BC ⊥于G ，连接EG ，作OH EG ⊥于H ，因为OE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以OE BC ⊥，且OG OE O ⋂=，,OG OE ⊂平面OEG ，所以BC ⊥平面OEG ，且OH ⊂平面OEG ，所以BC OH ⊥，EG BC G ⋂=，,EG BC ⊂平面BEC ，∴OH ⊥平面BCE ，因为OC OB ^，111,322OC AC OB BD ====则BC ==OBC 中，由等面积法可知，1122OB OC BC OG ⋅=⋅，则OB OC OG BC ⋅==则EG==，在三角形OEG中，由等面积法可得，1123EG OH OE OG⋅=⋅，则OE OGOHEG⋅==，∵D到平面BCE的距离是O到平面BCE距离OH的两倍，∵Dh=，由OE⊥平面ABCD，OD⊂平面ABCD，所以OE OD⊥，则222DE EO DO=+，∴DE=sin13DhDEθ==.法二：建系：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系，∴()0,0,0O，(E，()3,0,0B，()3,0,0D-，()0,1,0C，∴(DE=，(BE=-，(0,CE=-，令平面BCE的法向量为(),,n x y z=，则BE nCE n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，30xy⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴(n=∴39sin cos,13DE nDE nDE nθ⋅===.20.已知数列{}n a是公差为d（0d≠）的等差数列，n S是{}n a的前n项和，*Nn∈.（1）若314a=，且639S S S>>，求公差d的取值范围；（2）若12a d=，数列{}n b a的首项为1a，满足12n nb ba a+=，求数列{}n b的前n项和n T.【答案】（1）74d-<<-（2）122nnT n+=--【解析】【分析】（1）根据已知可推得639300S S S S ->⎧⎨-<⎩，根据等差数列的性质结合已知化简得出3321420272870a d d a d d +=+>⎧⎨+=+<⎩，求解即可得出答案；（2）根据已知可推得()1121n n b b ++=+，{}1n b +是以2为首项，公比为2的等比数列，求出21n n b =-.分组求和结合等比数列的前n 项和公式，即可得出答案.【小问1详解】由题意得639300S S S S ->⎧⎨-<⎩，即()4565456789673030a a a a a a a a a a a a ++=>⎧⎨+++++=+<⎩，所以，56700a a a >⎧⎨+<⎩，化简得3321420272870a d d a d d +=+>⎧⎨+=+<⎩，解得74d -<<-，所以，公差d 的取值范围为74d -<<-.【小问2详解】由题意得11b =，因为{}n a 为等差数列，满足12n n b b a a +=，所以()()111121n n a b d a b d ++-=+-⎡⎤⎣⎦.又12a d =，所以()()121221n n d b d d b d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，化简得()1121n n b b ++=+，所以，{}1n b +是以2为首项，公比为2的等比数列，所以，12n n b +=，即21n n b =-，所以，12n n T b b b =+++ 2212121n =-+-++-()12122212nn n n +-=-=---.21.已知双曲线E ：22221y x a b-=（0a >，0b >）过点()3,2Q ，且离心率为2，2F ，1F 为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆2F ：()2210x y c +-=（c =）交于A ，B 两点.（1）求1F AB 的面积；（2）点P 为圆2F 上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线1MF 和1NF 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求切线方程，再结合直线与圆的位置关系可求得1F AB 的面积；（2）先求切线方程，找出M ，N 两点坐标的关系式，再利用韦达定理化简可得.【小问1详解】∵222224912a b c a c a b ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴22132a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴2213x y -=设过曲线上一点的切线的方程为：y kx t =+，由2213x y y kx t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得()222316330k x ktx t -++-=，则()()()222Δ6431330kt k t =---=，即22310k t +-=.又因为切点为Q ，所以23k t =+，所以解得12k t ==，则过点Q 的切线l 的方程为：21y x -=.设()11,A x y ，()22,B x y ，∴l 交y 轴于点10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立直线l 与圆2F 的方程()2221210y x x y -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩消y 得256310x x --=，∴1265x x +=，12315x x =-.∴125x x -==，∴111211144122225F AB S F H x x ⎛⎫=⋅-=+⋅= ⎪⎝⎭△.【小问2详解】设()00,P x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，则()2200210x y +-=设过点()33,M x y 的双曲线的切线方程为：y kx t =+，由（1）可知22310k t +-=，又因为33y kx t =+，则()2233310k y kx +--=，即()22233333210x k x y k y +-+-=（*）而223313x y -=，所以223333x y +=，223313x y -=，则（*）式可化为2223333960y k x y k x -+=，即()23330y k x -=可得333x k y =，3331t y kx y =-=，则切线方程为33313x y x y y =+，整理可得过点M 的双曲线的切线方程为3313x x y y -=.同理可得过点N 的双曲线的切线方程为4413x x y y -=.又两切线均过点()00,P x y ，则303040401313x x y y x x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，因此，直线MN 的方程为0013x x y y -=联立直线MN 与双曲线E 的方程00221313x x y y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 可得()()2222000036990x y x x x y -++-=，故03422002034220063993x x x x y y x x x y -⎧+=⎪-⎪⎨-⎪⋅=⎪-⎩所以()()003434000011222233x x y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22220000000343422200000034411212933x y y x x y y x x x x y y y y x y ---⎛⎫++=+⋅++= ⎪-⎝⎭因为()2200210x y +-=，则()2200102x y =--，则222000044155x y y y ---=-所以()()22203004122223400035523253391y y x y y k k x x x y y -+-+=⋅=⋅=--.【点睛】关键点睛：（1）本问考查直线与圆相关的面积问题，关键点是先求出过双曲线上一点的切线方程，再联立直线与圆的方程，通过切割三角形来求1F AB 的面积.（2）本问考查双曲线的定值问题，解题关键是先求出过双曲线上点M 、N 的切线方程，再通过两条切线交点为P ，得出直线MN 的方程，再联立直线MN 与双曲线E 的方程，通过韦达定理来化简计算出12k k 为定值.22.已知函数()ln f x a x x =+，a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使()1ln 2f x ax x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭成立，求实数a 的取值范围.注：e 为自然对数的底数.【答案】（1）答案见解析（2）12a ≥【解析】【分析】（1）求出函数的导数，对a 讨论，分为0a ≥和a<0两种情形，通过导数与0的关系可判断单调区间；（2）依题转化为1ln 2x ax a x -+≤，设()ln x g x ax a x=-+，即min 1()2g x ≤，，应用导数求最值，对对a 讨论，分为0a ≤和10a 4<<，1a 4≥三种情形讨论即可求解.【小问1详解】∵()ln f x a x x =+，定义域为(0,)+∞，∴()1a x a f x x x+'=+=，当0a ≥时，∴()0f x '≥，∴()f x 的递增区间是()0,∞+；当a<0时，由()0x a f x x+'=>，得x a >-，∴()f x 的递增区间是(),a -+∞，()0x a f x x+'=<，得x a <-，递减区间是()0,a -；【小问2详解】∵()1ln 2f x ax x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，∴1ln ln 2a x x ax x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴1ln 2x ax a x -+≤，设()ln x g x ax a x=-+，∴()22ln 1111ln ln 24x g x a a x x '-⎛⎫=-=--+- ⎪⎝⎭，当0a ≤，()0g x '≥，()g x 在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，∴()()min 2e e e 1g x g a a ==-+≤，121e e a -≥-，不符合题意，当10a 4<<，则存在唯一的20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00g x '=.当[]0,e x x ∈，使得()00g x '<，当20e ,x x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00g x '>.当[]0,e x x ∈，()g x 单调递减，当20e ,x x ⎡⎤∈⎣⎦，()g x 单调递增，∴()()000min 01ln 2x g x g x ax a x ==-+≤，∴00000200ln e 211111111ln 212212x x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥->-=-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这与10a 4<<矛盾.当1a 4≥，()0g x '≤，()g x 在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，∴()()222122e e e g x g a a ==-+≤，∴12a ≥，综上，12a ≥【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调区间和最值，考查能成立问题，构造函数是关键，也是常用的一种手段．通过求构造函数的最值即可，属于中档题．。

实用文档 精心整理12017学年浙江9+1联盟高三上期中命题：新昌中学 张伯桥 王金妃 台州中学 陈清妹一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 已知集合P ={x |x >0}，Q ={x |−1<x <1}，那么(C R P )∩Q =( )A . (−1，+∞)B . (0，1)C . (−1，0]D . (−1，1)2. 设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z =1+i ，则z zi⋅=( ) A . 2i B . −2i C . 2D . −23. “m =2”是“直线2x +(m +1)y +4=0与直线mx +3y −2=0平行”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 已知x ，y 满足约束条件1230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是( )A . 3m ≥B . 3m ≤C . 72m ≤D . 73m ≤ 5. 已知函数3211()1()32f x ax x x a R =+++∈，下列选项中不可能是函数()f x 图象的是() DCBA6. 已知实数a >0，b >0，11111a b +=++，则a +2b 的最小值是( ) A. B. C . 3D . 27. 已知等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若21n n S n T n +=+则67a b 的值是( )实用文档 精心整理2A .1314 B . 1312 C . 1415D .11148. 设点P 是双曲线12222=-by a x (,0a b >)上异于实轴端点上的任意一点，F 1，F 2分别是其左右焦点，O为中心，2212||||||2b PF PF OP -=，则此双曲线的离心率为( )ABCD . 2 9. 已知P −ABC 是正四面体(所有棱长都相等的四面体)，E 是P A 中点，F 是BC 上靠近B 的三等分点，设EF 与P A 、PB 、PC 所成角分别为α、β、γ，则( )A . β > γ > αB . γ > β > αC . α > β > γD . α > γ > β10. 如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中AB =2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC PB ⋅的最大值是( ) A . 2 B . 1 C . 0 D . −1二、填空题(本大题共7小题，共36分)11. 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b =N ↔b =log a N ，现在已知2a =3，3b =4，则ab =_______________________ 12. 设sin 2sin αα=,(0,)απ∈则cos α=____________ ; tan 2α=_____________.13.在1)nx+的展开式中，各项系数之和为64，则n =___________________，展开式中的常数项为_______________14. 4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有_____________________种结果，其概率为______________________ 15. 某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为_____________，此几何体的体FEPCBAP OC BA侧视图俯视图正视图2221实用文档 精心整理3积_________________16. 已知圆C ：222()(0)x y r r r +-=>，点A (1，0)，若在圆C 上存在点Q ，使得60CAQ ∠=︒，则r的取值范围是___________17. 当3[,4]2x ∈时，不等式2|4|2ax bx a x ++≤恒成立，则6a b +的最大值是_____.三、解答题(本大题共5小题，共74分)17. (14分)设函数22()sin(2)sin cos 6f x x x x π=++-(1) 求f (x )的单调递增区间(2) 若角A 满足()1f A =，a =△ABC 的面积为2，求b +c 的值 18. (15分)如图，在三棱锥P −ABC 中，△ABC 是正三角形，面P AB ⊥面ABC ，∠P AB =30°，AB =PB =2，△ABC和△PBC 的重心分别为D ，E .(1)证明：DE ∥面P AB ;(2)求AB 与面PDE 所成角的正弦值.19. (15分)已知函数()axf x ex =- .(1)讨论f (x )的单调性;(2)证明：当a ≠1时，存在实数x 0，使f (x 0)<1.20. (15分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M (x 0，y 0)是椭圆C ：2212x y +=上一点，从原点O 向圆M :22002()()3x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，直线OP 、OQ 的斜率分别记为k 1，k 2(1)求证：k 1k 2为定值;(2)求四边形OPMQ 面积的最大值.PED CBA。

2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z 的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．253．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．3236．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．647．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√312．人教A 版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上动点P 到左焦点F （﹣c ，0）的距离和动点P 到直线x =−a 2c 的距离之比是常数c a ．已知椭圆C ：x 24+y 23=1，F 为左焦点，直线l ：x ＝﹣4与x 相交于点M ，过F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），分别过点A ，B 向l 作垂线，垂足为A 1，B 1，则（ ） A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l的斜率为．（写出一个即可）15．已知e ax﹣e2x≥0在x＞0时恒成立，则实数a的最小值为．（注：e为自然对数的底数）16．已知数列{a n}的首项为1，且a n+a n+1=n2⋅cos nπ2（n∈N*），则a40的值是．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c•cos B＝2a+b．（1）求角C的大小；（2）若b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，求CD的值．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a 1＝2d ，数列{a b n }的首项为a 1，满足a b n+1=2a b n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若存在x ∈[e ，e 2]，使f(x)≤(ax +12)lnx 成立，求实数a 的取值范围．注：e 为自然对数的底数．2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |lnx ≤0}，B ＝{x |x ≤0}，A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．∅解：A ＝{x |lnx ≤0}，lnx ≤ln 1，∴0＜x ≤1，A ＝（0，1]，B ＝{x |x ≤0}＝（﹣∞，0]，∴A ∩B ＝∅． 故选：D ．2．已知复数z ＝1﹣2i ，则1z的虚部是（ ）A ．−23iB ．−23C ．25iD ．25解：z ＝1﹣2i ，则1z =11−2i =1+2i (1−2i)(1+2i)=15+25i ，其虚部为25．故选：D ．3．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则该毡帐的侧面积（单位m 2）是（ ）A ．39πB ．32πC ．33πD ．45π解：由于圆锥的高为4m ，圆柱的高为3m ，底面圆的直径为6m ，则圆锥的母线长为√32+42=5， 故圆锥的侧面积为π•3•5＝15π； 圆柱的侧面积为2π•3•3＝18π； 故毡帐的侧面积为15π+18π＝33π． 故选：C ．4．已知S n 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列{a n }的前n 项和，设甲：数列{S n }是递增数列，乙：对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：若数列{S n }是递增数列，则d ＞0，但是对任意n ∈N *，S n ＞0不成立，所以由甲推不出乙， 若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列，所以由乙可以推出甲， 所以甲是乙的必要不充分条件． 故选：B ．5．已知抛物线C ：y 2＝4x （y ＞0）的焦点为F ，点A 为抛物线上一点，|AF |＝5，若2FB →=BA →，则点B 的纵坐标是（ ） A ．43B ．83C ．163D ．323解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，因为|AF |＝5，所以|AF |＝x A +1＝5，所以x A ＝4，所以y A ＝4或y A ＝﹣4（舍去）， 设B （x 1，y 2），由2FB →=BA →，所以2（x 1﹣1，y 2）＝（4﹣x 1，4﹣y 2）， 所以2y 2＝4﹣y 2，解得y 2=43．故选：A ．6．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64解：在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有n =C 31A 32=18种．故选：A ．7．函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ）的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g （x ）的图象，g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，则ω可能的取值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：∵函数f(x)=Asin(ωx −π3)+b （A ＞0，ω＞0，b ∈R ），将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g （x ）＝A sin （ωx +ωπ3−π3）+b 的图象，∵g （x ）与f （x ）的图象关于y 轴对称，∴f （x ）＝g （﹣x ）， ∴A sin （ωx −π3）+b ＝A sin （﹣ωx +ωπ3−π3）+b ，∴（ωx −π3）+（﹣ωx +ωπ3−π3）＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k +2，k ∈Z ，则令k ＝1，可得ω的值为5． 故选：C ．8．已知函数f （x ）的定义域为R +，对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，当x ＞1时，都有f （x ）＞1，且f （2）＝2，当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．12解：∵对于任意的x ，y ∈R +，都有f （x ）+f （y ）＝f （xy ）+1，又f （2）＝2， ∴f （2）+f （2）＝f （2×2）+1，∴f （4）＝2f （2）﹣1＝3， 又f （4）+f （4）＝f （4×4）+1，∴f （16）＝2f （4）﹣1＝5， ∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）+f （x 2x 1）＝f （x 2）+1，∴f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2x 1）﹣1，又当x ＞1时，都有f （x ）＞1∵x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，∴x 2x 1＞1，∴f （x 2x 1）＞1，∴f （x 2x 1）﹣1＞0，即f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∴f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）单调递增，∴f （x ）在[1，16]也单调递增， ∴当x ∈[1，16]时，则f （x ）的最大值是f （16）＝5． 故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分） 9．已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，下列叙述正确的是（ ） A ．a →与b →的夹角为45° B ．a →与b →的夹角为135° C ．|a →−b →|=√5D ．b →在a →上的投影向量为2a →解：已知平面向量a →=(1，0)，b →=(2，2)，则|a →|=1，|b →|=2√2，a →⋅b →=1×2+0×2=2，则cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=21×2√2=√22， 又＜a →，b →＞∈[0°，180°]，则＜a →，b →＞=45°，即选项A 正确，选项B 错误；又|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√1−4+8=√5，即选项C 正确； b →在a →方向上的投影向量为a →⋅b →|a →|a→|a →|=2a →，即选项D 正确．故选：ACD ．10．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2，满足f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则（ ） A ．实数t 的取值范围是﹣4＜t ＜0B ．f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称C ．f(0)+f(12)+f(1)+f(32)+f(2)=−8 D ．x 1+x 2+x 3的值与t 有关解：因为f （x ）＝x 3﹣3x 2，x ∈R ，f ′（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）， 所以当x ＜0或x ＞2时，f ′（x ）＞0；当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，所以函数f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）， 作出函数y ＝f （x ）的图象，如图所示：所以f （x ）极大值＝f （0）＝0，f （x ）极小值＝f （2）＝﹣4，又因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，所以﹣4＜t ＜0，故A 正确； 因为f （x ）+f （2﹣x ）＝x 3﹣3x 2+（2﹣x ）3﹣3（2﹣x ）2 ＝x 3+（2﹣x ）3﹣3[x 2+（2﹣x ）2]＝2[x 2﹣x （2﹣x ）+（2﹣x ）2]﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝2（3x 2﹣6x +4）﹣3（2x 2﹣4x +4） ＝﹣4，所以f （x ）关于点（1，﹣2）中心对称，故B 正确； 由B 可知f （0）+f （2）＝﹣4，f （12）+f （32）＝﹣4，又f （1）＝1﹣3＝﹣2，所以f （0）+f （12）+f （1）+f （32）+f （2）＝﹣4﹣4﹣2＝﹣10，故C 错误；对于D ，设x 1＜x 2＜x 3，因为f （x ）＝t 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，即x 3﹣3x 2＝t ，x 3﹣3x 2﹣t ＝0有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3， 等价于（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）＝0，即x 3﹣（x 1+x 2+x 3）x 2+（x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3）x ﹣x 1x 2x 3＝0，所以x 1+x 2+x 3＝3，x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝0，x 1x 2x 3＝t ，所以x 1+x 2+x 3＝3，与t 无关，故D 错误． 故选：AB ．11．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，Q 为线段PB 上一动点（不包含端点），则（ ） A ．存在点Q 使得CQ ∥平面P AD B ．存在点Q 使得CQ ⊥BDC ．四棱锥P ﹣ABCD 外接球的表面积为32πD ．Q 为PB 中点时，过点C ，D ，Q 作截面交P A 于点E ，则四棱锥B ﹣CDEQ 的体积为3√3 解：取AD 中点O ，连接OP ，因为P A ＝PD ，所以OP ⊥AD ，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， OP ⊂面P AD ，所以OP ⊥平面ABCD ， 过O 作Oy ∥AB ，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、Oy 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为PA =PD =AD =2√3，AB ＝4，则A(√3，0，0)，B(√3，4，0)，C(−√3，4，0)，D(−√3，0，0)，P （0，0，3）， 所以BD →=(−2√3，−4，0)，PB →=(√3，4，−3)，设PQ →=λPB →（0＜λ＜1），则Q(√3λ，4λ，3−3λ)（0＜λ＜1）， 所以CQ →=(√3λ+√3，4λ﹣4，3﹣3λ），对于A 项，又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， AB ⊂面ABCD ，所以AB ⊥平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为n →=（0，1，0），假设CQ ∥平面P AD ， 则CQ →⋅n →=4λ−4=0．解得λ＝1，又因为0＜λ＜1， 所以不存在点Q 使得CQ ∥平面P AD ，故A 项错误；对于B 项，假设存在点Q 使得CQ ⊥BD ，则CQ →⋅BD →=−2√3(√3λ+√3)+(−4)×(4λ−4)=0，解得λ=511，所以存在点Q使得CQ⊥BD，故B项正确；对于C项，连接AC、BD相交于点O1，取等边三角形P AD的外心O2，过O1作O1M∥PO，过O2作O2M∥OO1，连接OO1，如图所示，则O1M⊥平面ABCD，O2M⊥平面P AD，所以M为四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心，又O1M=OO2=13PO=1，O1A=12AC=12√AB2+AD2=12√42+(2√3)2=√7，所以r=MA=√O1M2+O1A2=2√2，所以四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4πr2=4×(2√2)2π=32π，故C项正确；对于D项，连接EQ、ED、EB，如图所示，因为平面CDQ∩P A＝E，P A⊂平面P AB，所以点E在平面CDQ与平面P AB的交线处，又Q∈平面CDQ且Q∈平面P AB，所以点Q在平面CDQ与平面P AB的交线处，所以平面CDQ∩平面P AB＝EQ，因为CD∥AB，CD⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CD∥平面P AB，又因为CD⊂平面CDQ，平面CDQ∩平面P AB＝EQ，所以CD∥EQ，又CD∥AB，所以AB∥EQ，又因为Q为PB中点，所以E为P A的中点，EQ=12CD．又因为AB∥EQ，AB⊄平面CDEQ，EQ⊂平面CDEQ，所以AB∥平面CDEQ，所以点B到平面CDEQ距离等于点A到平面CDEQ距离，所以V B﹣CDEQ＝3V B﹣DEQ＝3V A﹣DEQ＝3V Q﹣ADE=32V B﹣ADE=34V B﹣P AD=34×13S△P AD×AB=34×13×12P A×AD×sinπ3=34×13×12×2√3×2√3×√32×4＝3√3，故D项正确．故选：BCD．12．人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆x2 a2+y2b2=1（a＞b＞0）上动点P到左焦点F（﹣c，0）的距离和动点P到直线x=−a2c的距离之比是常数ca．已知椭圆C：x24+y23=1，F为左焦点，直线l：x＝﹣4与x相交于点M，过F的直线与椭圆C相交于A，B两点（点A在x轴上方），分别过点A，B向l作垂线，垂足为A1，B1，则（）A ．|AA 1|＝2|AF |B ．|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |C ．直线MA 与椭圆相切时，|AB |＝4D ．sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF解：对于选项A ：易知|AF||AA 1|=ca =12， 所以|AA 1|＝2|AF |，故选项A 正确；对于选项B ：过点A 作AA 2⊥x 轴，过点B 作BB 2⊥x 轴，此时△AA 2F ∽△BB 2F ，所以|AA 1||BB 1|=|AF||BF|=|AA 2||BB 2|=|A 1M||B 1M|，因为AA 1⊥A 1M ，BB 1⊥A 1M ，所以△AA 1M ～△BB 1M ，则|AM||BM|=|AA 1||BB 1|=2|AF|2|BF|=|AF||BF|，即|MA |•|BF |＝|MB |•|AF |，故选项B 正确；对于选项C 项：若直线MA 与椭圆相切时，不妨设MA 的方程为y ＝k （x +4）， 联立{y =k(x +4)x 24+y 23=1，消去y 并整理（3+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣12＝0，此时Δ＝（32k 2）2﹣4（3+4k 2）（64k 2﹣12）＝4k 2﹣1＝0，解得k 2=14，所以4x 2+8x +4＝0，解得x ＝﹣1，所以|AB |为通径，则|AB|=2b2a=3，故选项C 错误；对于选项D ：因为sin ∠AFM =sin ∠AFA 2=AA 2AF ，tan ∠AMF =AA 2MA 2， 不妨设sin ∠AFM ＝2tan ∠AMF ，此时AA 2AF=2AA 2MA 2，即MA 2＝2AF ，又|AA 1|＝2|AF |，|AA 1|＝|MA 2|，所以MA 2＝2AF ，故选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上） 13．(3x −1x)4展开式中常数项为 54 ．（用数字作答）解：根据二项式的展开式T r+1=C 4r ⋅(3x)4−r ⋅(−x)−r =C 4r⋅34−r ⋅(−1)r ⋅x 4−2r （r ＝0，1，.....，4）r ∈N ； 当4﹣2r ＝0时，解得r ＝2；故常数项为C 42⋅32=54．故答案为：54．14．已知圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，过点P （5，0）的直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，当△ABM 面积最大时，直线l 的斜率为 （﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一） ．（写出一个即可） 解：设其方程是kx ﹣y ﹣5k ＝0，由圆M ：（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝4，可得圆心M （3，2），半径r ＝2， 由S △ABM =12|BM |•|AM |•sin ∠AMB ，知sin ∠AMB ＝1时，△ABM 面积最大，此时∠AMB ＝90°，圆心M 到直线的距离为√2， 所以√k 2+1=√2，解得k ＝﹣2±√3，故直线l 的方程是：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0或（﹣2−√3）x ﹣y +10+5√3=0． 故答案为：（﹣2+√3）x ﹣y +10﹣5√3=0（不唯一）．15．已知e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立，则实数a 的最小值为 e ．（注：e 为自然对数的底数） 解：∵e ax ﹣e 2x ≥0在x ＞0时恒成立⇔e ax ≥e 2x 在x ＞0时恒成立 ⇔ax ≥2+lnx 在x ＞0时恒成立⇔a ≥2+lnxx在x ＞0时恒成立， 令f(x)=2+lnx x ，则f ′(x)=−1−lnx x 2＞0⇒0＜x ＜1e ，f （x ）在(0，1e )上是增函数，在(1e ，+∞)上是减函数，∴a ≥f(1e)=e ，∴实数a 的最小值为e ． 故答案为：e ．16．已知数列{a n }的首项为1，且a n +a n+1=n 2⋅cos nπ2（n ∈N *），则a 40的值是 759 ． 解：依题意，由a n +a n+1=n 2⋅cosnπ2， 可得a n +1+a n +2＝（n +1）2•cos (n+1)π2，两式相减，可得a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2，当n ＝1时，a 1+a 2＝12•cos π2=0，∵a 1＝1，∴a 2＝﹣1，当n 为偶数时，n +1为奇数，cos (n+1)π2=0，此时a n +2﹣a n ＝（n +1）2•cos (n+1)π2−n 2•cos nπ2=−n 2•cos nπ2，此时a 2＝﹣1，a 4﹣a 2＝﹣22•cos 2π2=22，a 6﹣a 4＝﹣42•cos 4π2=−42，a 8﹣a 6＝﹣62•cos 6π2=62，a 10﹣a 8＝﹣82•cos 8π2=−82，…a 38﹣a 36＝﹣362•cos 36π2=−362，a 40﹣a 38＝﹣382•cos 38π2=382，各项相加，可得a 40＝﹣1+22﹣42+62﹣82+…+342﹣362+382，＝﹣1﹣2×（2+4）﹣2×（6+8）﹣…﹣2×（34+36）+382， ＝﹣1﹣2×（2+4+…+36）+382， ＝﹣1﹣2×(2+36)×182+382， ＝759． 故答案为：759．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c •cos B ＝2a +b ．（1）求角C 的大小；（2）若b ＝1，c =√7，∠ACB 的角平分线交AB 于D ，求CD 的值． 解：（1）根据题意，若2c •cos B ＝2a +b ， 则有：2c ×a 2+c 2−b 22ac=2a +b ，整理得：a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，可得：cos C =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab =−12，又在△ABC 中，0°＜C ＜180°， 所以C ＝120°；（2）因为C＝120°，b＝1，c=√7，∠ACB的角平分线交AB于D，所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得7＝a2+1﹣2×a×1×（−12），可得a2+a﹣6＝0，解得a＝2或﹣3（舍去），因为S△ABC＝S△ACD+S△BCD，所以12ab sin120°=12b•CD•sin60°+12a•CD•sin60°，所以2×1＝1×CD+2×CD，解得CD=2 3．18．（12分）某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：求成交额y（万元）与时间变量x的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；（2）小明分别获得A、B两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为p、q，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为ξ．求ξ的分布列及E（ξ）；附：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（x n，y n），其回归直线y=a+b x的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2，a=y−b x．（1）易知x=1+2+3+4+55=3，y=9+12+17+21+275=17.2，而∑5i=1x i y i=1×9+2×12+3×17+4×21+5×27=303，∑5i=1x i2=12+22+32+42+52=55，可得b=∑5i=1x i y i−5xy∑5i=1x i2−5x2=303−5×3×17.255−5×32=4.5，则a=y−b x=17.2−4.5×3=3.7，所以y关于x的线性回归方程为y=4.5x+3.7，当x＝6时，y=4.5×6+3.7＝30.7（万元），所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；（2）易知ξ的所有可能取值为0，1，2，此时P（ξ＝0）＝（1﹣p）（1﹣q），P（ξ＝1）＝（1﹣p）q+（1﹣q）p，P（ξ＝2）＝pq，则ξ的分布列为：故E（ξ）＝0×（1﹣p）（1﹣q）+1×（1﹣p）q+（1﹣q）p+2×pq＝p+q．19．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，EF＝AC ＝EC＝2．（1）求证：DE∥平面ABF；（2）若平面ABCD⊥平面ACEF，∠ACE＝60°，且四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，求直线ED与平面BCE所成角的正弦值．（1）证明：因为EF∥平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于AC，所以EF∥AC，又EF＝AC，所以四边形ACEF是平行四边形，所以CE∥AF，AF⊂平面ABF，CE⊄平面ABF，所以CE∥平面ABF；因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，AB⊂平面ABF，CD⊄平面ABF，所以CD∥平面ABF；CD∩CE＝C，CD，CE⊂平面CDE，所以平面CDE∥平面ABF，而DE⊂平面CDE，所以DE∥平面ABF．（2）解：连接BD交AC于O，连接CO，因为AC＝EC＝2，∠ACE＝60°，所以四边形ACEF是菱形，且EO⊥AC，EO=√3，因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，所以EO⊥平面ABCD，因为四棱锥E﹣ABCD的体积是2√3，所以13S ABCD OE＝2√3，所以S ABCD＝6=12AC⋅BD，所以BD＝6，所以BE＝DE=√3+9=2√3，设AB＝a，则由余弦定理得：{a 2+a2−2a2cos∠ABD=4a2+a2+2a2cos∠ABD=36，得a=√10，在△BCE中，由余弦定理得：cos∠EBC=BE2+BC2−CE22BE⋅BC=12+10−4430=3√3020，sin∠EBC=√1−2740=√13020，所以S△BCE=12BE⋅BC sin∠EBC=12×2√3×√10×√13020=√392，因为V E﹣BCD＝V D﹣BCE，所以点D到平面BCE的距离为3V E−BCDS△BCE=√3√392=6√1313，所以直线ED与平面BCE所成角的正弦值为6√13132√3=√3913．20．（12分）已知数列{a n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S n是{a n}的前n项和，n∈N*．（1）若a3＝14，且S6＞S3＞S9，求公差d的取值范围；（2）若a1＝2d，数列{a bn }的首项为a1，满足a bn+1=2a bn，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，可得首项a1＝a3﹣2d＝14﹣2d，则S6＝6•（14﹣2d）+6×52•d＝3d+84，S 3＝3•（14﹣2d ）+3×22•d ＝42﹣3d ， S 9＝9•（14﹣2d ）+9×82•d ＝18d +126， ∵S 6＞S 3＞S 9，∴3d +84＞42﹣3d ＞18d +126， 即{3d +84＞42−3d 42−3d ＞18d +126，解得﹣7＜d ＜﹣4，∴公差d 的取值范围为（﹣7，﹣4）．（2）由题意，可得a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2d +（n ﹣1）d ＝（n +1）d ， 则a b n =（b n +1）d ，a b n+1=（b n +1+1）d ， ∵a b n+1=2a b n ，∴（b n +1+1）d ＝2（b n +1）d ， ∵d ≠0，∴b n +1+1＝2（b n +1）， ∵数列{a b n }的首项为a 1，即a b 1=a 1， ∴b 1＝1， ∴b 1+1＝1+1＝2，∴数列{b n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n +1＝2•2n ﹣1＝2n ，∴b n ＝2n ﹣1，n ∈N *， ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n＝（21﹣1）+（22﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n =21−2n+11−2−n＝2n +1﹣n ﹣2．21．（12分）已知双曲线E ：y 2a 2−x 2b2=1（a ＞0，b ＞0）过点Q （3，2），且离心率为2，F 2，F 1为双曲线E 的上、下焦点，双曲线E 在点Q 处的切线l 与圆F 2：x 2+(y −c)2=10（c =√a 2+b 2）交于A ，B 两点．（1）求△F 1AB 的面积；（2）点P 为圆F 2上一动点，过P 能作双曲线E 的两条切线，设切点分别为M ，N ，记直线MF 1和NF 1的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值． 解：（1）因为双曲线E 经过点Q （3，2）， 所以4a 2−9b 2=1，①因为双曲线E 的离心率为2， 所以ca=2，②又c 2＝a 2+b 2，③联立①②③，解得a ＝1，b =√3， 则双曲线E 的方程为y 2−x 23=1， 不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时过点Q 的切线l 的方程为2y ﹣x ＝1， 因为直线l 交y 轴于点H(0，12)，联立{2y −x =1x 2+(y −2)2=10，消去y 并整理得5x 2﹣6x ﹣31＝0， 此时Δ＝656＞0，由韦达定理得x 1+x 2=65，x 1x 2=−315，所以S △F 1AB =12|F 1H|⋅|x 1−x 2|=12(12+2)•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12(12+2)•4√415=√41；（2）证明：不妨设P （x 0，y 0），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）， 因为点P 在圆F 2上，所以x 02+(y 0−2)2=10，过点M ，N 的双曲线E 的切线方程分别为{y 3y −x 3x3=1y 4y −x 4x3=1因为两切线均过点P （x 0，y 0）， 所以{y 3y 0−x 3x 03=1y 4y 0−x 4x03=1， 则直线MN 的方程为y 0y −x 0x3=1，联立{y0y−x0x3=1y2−x23=1，消去y并整理得(x02−3y02)x3+6x0x+(9−9y02)=0，由韦达定理得x3+x4=−6x0x02−3y02，x3⋅x4=9−9y02x02−3y02，所以(y3+2)(y4+2)=(x03y0x3+1y0+2)(x03y0x4+1y0+2)=x029y02x3x4+x03y0⋅1+2y0y0(x3+x4)+(1+2y0y0)2=3(x02−4y02−4y0−1)x02−3y02，因为x02+(y0−2)2=10，所以x02=10−(y0−2)2，此时x02−4y02−4y0−1=5−5y02，则k1k2=y3+2x3⋅y4+2x4=3(5−5y2)x02−3y02⋅x02−3y029(1−y02)=53．22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x∈[e，e2]，使f(x)≤(ax+12)lnx成立，求实数a的取值范围．注：e为自然对数的底数．解：（1）f（x）＝alnx+x（x＞0），f′（x）=ax+1=a+xx，当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由f′（x）＜0，解得x＜﹣a，所以x∈（0，﹣a），此时f（x）单调递减；由f′（x）＞0，解得x＞﹣a，此时f（x）单调递增；综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增；（2）∵f(x)≤(ax+12)lnx，∴alnx+x≤(ax+12)lnx，x∈[e，e2]，∴xlnx−ax+a≤12，设g(x)=xlnx−ax+a，∴g′(x)=lnx−1ln2x−a=−(1lnx−12)2+14−a，当a≤0，g'（x）≥0，g（x）在[e，e2]上单调递增，∴g(x)min=g(e)=e −ae +a ≤12，即a ≥e−12e−1，不符合题意； 当0＜a ＜14时，则存在唯一的x 0∈[e ，e 2]，使得g '（x 0）＝0，当x ∈[e ，x 0]，使得g '（x 0）＜0，此时g （x ）单调递减， 当x ∈[x 0，e 2]，使得g '（x 0）＞0，此时g （x ）单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0lnx 0−ax 0+a ≤12， ∴a ≥1x 0−1(x 0lnx 0−12)＞1x 0−1(x 0lne 2−12)=1x 0−1(x 02−12)=12，这与0＜a ＜14相矛盾； 当a ≥14时，g '（x ）≤0，此时g （x ）在[e ，e 2]上单调递减，∴g(x)min =g(e 2)=e 22−ae 2+a ≤12，解得a ≥12，符合题意， 综上，实数a 的取值范围是[12，+∞）．。

高三年级数学学科一、选择题（共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

请将你认为正确的选项答在指定的位置上） 1。

已知集合{}{}2|12,|log3A x x B x x =-<=<，则A B =（ ）．A ．(-1,3)B ．（0,3)C ．（0,8)D ．(—1，8)2。

已知命题()():210p x x ++<命题15:,22q x x⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦,则下列说法正确的是（ ）．A ．p 是q 的充要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充分不必要条件D ．是q 的既不充分也不必要条件 3.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的表面积是（ ）．A ．1623+B ．1625+C ．2023+D ．2025+4。

为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ )．A ．向右平移56π个单位B ．向右平移512π个单位C ．向左平移56π个单位D ．向左平移512π个单位5.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中，各项系数之和为3，则展开式中的常数项为（ ）．A ．-120B ．—80C ．80D ．1206.设,x y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩若02ax by ≤+≤恒成立，则22a b +的最大值是( ）．A ．1B ．89C ．209D ．47．如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P Q 、,若060PAQ ∠=且4OQ OP =，则双曲线C 的离心率为( ）．A 213B 7C 239 D 38.已知函数()32f x xax bx c =+++，(,,a b c 均为非零整数）,且()()33,,f a a f b b a b ==≠，则c =（ )．A ．16B ．8C ．4D ．1二、填空题（本题共7道小题，共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置） 9。

2017-2018学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合P={x|x＞0}，Q={x|﹣1＜x＜1}，那么（∁R P）∩Q=（）A．（﹣1，+∞）B．（0，1） C．（﹣1，0]D．（﹣1，1）2．（4分）设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=1+i，则=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．（4分）“m=2”是“直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y﹣2=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知x，y满足约束条件若2x+y≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．D．5．（4分）已知函数（a∈R），下列选项中不可能是函数f （x）图象的是（）A． B．C．D．6．（4分）已知实数a＞0，b＞0，+=1，则a+2b的最小值是（）A．B．C．3 D．27．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，若，则的值是（）A．B．C．D．8．（4分）设点P是双曲线（a，b＞0）上异于实轴端点上的任意一点，F1，F2分别是其左右焦点，O为中心，，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．29．（4分）已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近点B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，则（）A．β＞γ＞α B．γ＞β＞α C．α＞β＞γ D．α＞γ＞β10．（4分）如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB=2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．（4分）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b=N⇔b=log a N．现在已知2a=3，3b=4，则ab=．12．（6分）设sin2α=sinα，α∈（0，π），则cosα=；tan2α=．13．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=；展开式中的常数项为．14．（6分）4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有种结果；其概率为．15．（6分）某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为；此几何体的体积．16．（4分）已知圆C：x2+（y﹣r）2=r2（r＞0），点A（1，0），若在圆C上存在点Q，使得∠CAQ=60°，r的取值范围是．17．（4分）当x∈[，4]时，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，则6a+b的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（14分）设函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角A满足f（A）=1，，△ABC的面积为，求b+c的值．19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，面PAB⊥面ABC，∠PAB=30°，AB=PB=2，△ABC和△PBC的重心分别为D，E．（1）证明：DE∥面PAB；（2）求AB与面PDE所成角的正弦值．20．（14分）已知函数f（x）=e ax﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a≠1时，存在实数x0，使f（x0）＜1．21．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：上一点，从原点O向圆M：作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2．（1）求证：k1k2为定值；（2）求四边形OPMQ面积的最大值．22．（18分）已知数列{a n}满足：，p＞1，．＞1；（1）证明：a n＞a n+1（2）证明：；（3）证明：．2017-2018学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合P={x|x＞0}，Q={x|﹣1＜x＜1}，那么（∁R P）∩Q=（）A．（﹣1，+∞）B．（0，1） C．（﹣1，0]D．（﹣1，1）【解答】解：集合P={x|x＞0}，Q={x|﹣1＜x＜1}，∴∁R P={x|x≤0}，∴（∁R P）∩Q={x|﹣1＜x≤0}=（﹣1，0]．故选：C．2．（4分）设i为虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=1+i，则=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【解答】解：∵z=1+i，∴=．故选：B．3．（4分）“m=2”是“直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y﹣2=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y﹣2=0平行，∴=，解得m=2或﹣3，故“m=2”是“直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选：A．4．（4分）已知x，y满足约束条件若2x+y≥m恒成立，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m≤3 C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，），令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．∴满足2x+y≥m恒成立的m的取值范围是m≤．故选：D．5．（4分）已知函数（a∈R），下列选项中不可能是函数f （x）图象的是（）A． B．C．D．【解答】解：当a=0时，函数的图象如图A所示：当a＞0时，f′（x）=ax2+x+1，若0，则导函数有两个负根，即原函数的两个极值点均为负，不存在满足条件图象；若a，则导函数至多有一个根，即原函数在R上递增，图象如图B所示：当a＜0时，导函数有两个异号的根，即原函数的两个极值点异号，图象如图C 所示，故D不可能是函数f（x）图象，故选：D．6．（4分）已知实数a＞0，b＞0，+=1，则a+2b的最小值是（）A．B．C．3 D．2【解答】解：∵实数a＞0，b＞0，，则a+2b=[（a+1）+2（b+1）]﹣3=+≥2=2，当且仅当a+1=（b+1）=+1时取等号．∴a+2b的最小值是2．故选：B．7．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，若，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，不妨设S n=n（n+2），T n=n（n+1），可得a6=S6﹣S5=6×8﹣5×7=13，b7=T7﹣T6=7×8﹣6×7=14．则=．8．（4分）设点P是双曲线（a，b＞0）上异于实轴端点上的任意一点，F1，F2分别是其左右焦点，O为中心，，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|OP|=t，P在双曲线右支上，且|F1F2|=2c，在△PF1O中，m2=t2+c2﹣2tccos∠POF1，①在△PF2O中，n2=t2+c2﹣2tccos∠POF2，②由cos∠POF1+cos∠POF1，=0，①+②可得m2+n2=2t2+2c2，由题意可得mn﹣t2=，由双曲线的定义可得m﹣n=2a，可得m2+n2﹣2mn=4a2，即有2c2﹣b2=4a2，即为c2+a2=4a2，即c2=3a2，即有e==．故选：C．9．（4分）已知P﹣ABC是正四面体（所有棱长都相等的四面体），E是PA中点，F是BC上靠近点B的三等分点，设EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，A．β＞γ＞α B．γ＞β＞α C．α＞β＞γ D．α＞γ＞β【解答】解：取AC中点G，连结PG，过B作BO⊥平面PAC，交PG于点O，在平面PAC中过O作OD∥AC，交PA于D，设正四面体棱长为2，则OG===，PO==，BO==，以O为原点，OP为x轴，OD为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，则P（，0，0），A（﹣，1，0），B（0，0，），C（﹣，﹣1，0），E（，，0），F（﹣，﹣，），=（﹣，﹣，），=（﹣，1，0），=（﹣，0，），=（﹣，﹣1，0），∵EF与PA、PB、PC所成角分别为α、β、γ，∴cosα===0，∴α=90°，cosβ===，cosγ===，∴α＞γ＞β．故选：D．10．（4分）如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB=2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：如图所示，根据题意，PC⊥PA，AC⊥BC，∴•=0，•=||×||×cos∠BAC=；又=+，=+，∴=（+）•（+）=﹣﹣•+•+•=﹣+•（﹣）=﹣+•=﹣+=，∴当PC=PA=AC=1时，取得最大值是1．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．（4分）16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b=N⇔b=log a N．现在已知2a=3，3b=4，则ab=2．【解答】解：∵2a=3，3b=4，∴a=log23，b=log34．∴a=，b=．∴ab=•=2．故答案为：2．12．（6分）设sin2α=sinα，α∈（0，π），则cosα=；tan2α=．【解答】解：由sin2α=sinα，得2sinαcosα=sinα，∵α∈（0，π），∴sinα≠0，得cosα=；则α=，2α=，∴tan2α=﹣．故答案为：，．13．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=6；展开式中的常数项为15．【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=64，解得n=6，则其通项公式为C6r x，令6﹣3r=0，解得r=2，则展开式中的常数项为C62=15故答案为：6，1514．（6分）4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有24种结果；其概率为．【解答】解：设有甲、乙、丙、丁四支足球队参加比赛，共有甲对乙，甲对丙，甲对丁，乙对丙，乙对丁，丙对丁六场比赛，∵每场一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，∴每场比赛均有2种结果，∴4支足球队两两比赛，一共有：26=64种结果，每队赢的场数各不相同，∴四支球队赢球的场次分别为3，2，1，0，∴4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，共有A=24种结果，其概率为P==．故答案为：24，．15．（6分）某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为+2；此几何体的体积π+．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个底面半径r=1，高h=2的半圆柱和一个倒放的四棱锥的组合体，其中四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，且SD=2，∴俯视图的面积为S===+2，此几何体的体积为：V===．故答案为：，．16．（4分）已知圆C：x2+（y﹣r）2=r2（r＞0），点A（1，0），若在圆C上存在点Q，使得∠CAQ=60°，r的取值范围是．【解答】解：如图当AQ与圆相切时，∠CAQ最大，若在圆C上存在点Q，使得∠CAQ=60°，则∠CAQ的最大值不小于600，即∠CAO≥600∴，∴，r．故答案为：[，+∞）．17．（4分）当x∈[，4]时，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，则6a+b的最大值是6．【解答】解：当x∈[，4]时，不等式|ax2+bx+4a|≤2x恒成立，即：|ax+b+|≤2，即：|a（x+）+b|≤2，x∈[，4]时，恒成立，因为当x∈[，4]时：4=2≤x+≤5，所以x+∈[4，5]，令f（x）=|a（x+）+b|f（x）max=Max{f（2），f（4）}，∴，画出可行域如图：解得A（4，﹣18），目标函数z=6a+b经过可行域的A时，取得最大值：4×6﹣18=6故答案为：6．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（14分）设函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角A满足f（A）=1，，△ABC的面积为，求b+c的值．【解答】解：（1）设函数，则：，=，令：，（k∈Z），解得：，（k∈Z）．所以，f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）．（2）由条件，∵，∴，∴，解得．∵，∴bc=2．又，化简得（b+c）2﹣3bc=3，则（b+c）2=9，∴b+c=3．19．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，面PAB⊥面ABC，∠PAB=30°，AB=PB=2，△ABC和△PBC的重心分别为D，E．（1）证明：DE∥面PAB；（2）求AB与面PDE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取BC中点F，连结AF，由重心性质可知D，E分别在AF，PF上且AD=2DF，PE=2EF，所以在△AFP中有，所以DE∥AP，又DE⊄平面PAB，AP⊂平面PAB，所以DE∥平面PAB．（2）解：以AB中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=PB=2，∠PAB=30°，∴∠PBA=120°，∴，又由条件A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，∴，，．设面PDE的法向量为，则取，则∴，∴，即所求角的正弦值为．20．（14分）已知函数f（x）=e ax﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a≠1时，存在实数x0，使f（x0）＜1．【解答】解：（1）∵f（x）=e ax﹣x，∴f'（x）=ae ax﹣1．①当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在R上单调递减；②当a＞0时，令f'（x）＞0得，令f'（x）＜0得，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）因为f（0）=1，所以①若a≤0，则f（x）在R上递减，所以当x0＞0时能使f（x0）＜1；②若0＜a＜1，则，而f（x）在上单调递减，所以取时能使f（x0）＜f（0）=1；③若a＞1，则，而f（x）在上单调递增，所以取时能使f（x0）＜f（0）=1，综上，当a≠1时，存在实数x0，使f（x0）＜1．21．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：上一点，从原点O向圆M：作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2．（1）求证：k1k2为定值；（2）求四边形OPMQ面积的最大值．【解答】（1）证明：∵直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x与圆M相切，由，可得k1，k2是方程的两个不相等的实数根，∴，∵点M（x0，y0）在椭圆C上，∴，∴；（2）解：①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵2k1k2+1=0，∴，即，∵P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，∴，整理得，∴，∴OP2+OQ2=3．②当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=3，综上：OP2+OQ2=3．∵，又，∴S OPMQ的最大值为1．22．（18分）已知数列{a n}满足：，p＞1，．（1）证明：a n＞a n＞1；+1（2）证明：；（3）证明：．【解答】证明：（1）先用数学归纳法证明a n＞1．①当n=1时，∵p＞1，∴；②假设当n=k时，a k＞1，则当n=k+1时，．由①②可知a n＞1．．，再证a n＞a n+1令f（x）=x﹣1﹣xlnx，x＞1，则f'（x）=﹣lnx＜0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0，．所以，即a n＞a n+1（2）要证，只需证，只需证其中a n＞1，先证，令f（x）=2xlnx﹣x2+1，x＞1，只需证f（x）＜0．因为f'（x）=2lnx+2﹣2x＜2（x﹣1）+2﹣2x=0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0．再证（a n+1）lna n﹣2a n+2＞0，令g（x）=（x+1）lnx﹣2x+2，x＞1，只需证g（x）＞0，，令，x＞1，则，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，从而g'（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0，综上可得．（3）由（2）知，一方面，，由迭代可得，因为lnx≤x﹣1，所以，所以ln（a1a2…a n）=lna 1+lna 2+…+lna n =；另一方面，即，由迭代可得．因为，所以，所以=；综上，．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。