第3节 角平分线的性质及应用

三角平分线模型定理1.引言1.1 概述三角平分线模型定理是三角形中一个重要的几何定理，它涉及到三角形的平分线以及与之相关的性质。

在我们的日常生活和实际应用中，三角形是非常常见的图形，所以了解和掌握三角形的性质和定理对我们的学习和应用都有重要的意义。

本文旨在介绍三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理。

首先，我们将给出三角平分线的定义。

三角形的平分线是指从三角形的一个顶点引出的直线，将对立边分成两个相等的线段。

这个定义非常直观和容易理解，同时也是我们后续讨论的基础。

接着，我们将探讨三角平分线的性质。

首先，三角形的三条平分线的交点被称为三角形的内心，该内心与三个顶点的连线的交点分别是三角形的三条边的中点。

这一性质的直观解释是，平分线将对立边分成相等的线段，所以三条平分线的交点就是三个中点的共同点。

除此之外，我们还将研究三角平分线模型定理。

该定理是一个重要的几何定理，它给出了三角形内心与三角形的三个顶点之间的距离关系。

根据三角平分线模型定理，内心到三角形每条边的距离等于该边上相邻两边的长度之差的一半。

这一定理的应用范围广泛，在许多几何问题的解决中都起到了关键的作用。

通过对三角形平分线的概念、性质和模型定理的深入了解，我们将能够更好地理解和运用三角形的相关知识。

本文将系统地介绍这些内容，帮助读者全面掌握三角平分线的概念和定理，并为读者进一步探索几何学和应用数学提供基础知识。

下面将详细讨论三角平分线的定义和性质，以及三角平分线模型定理，以便读者对这一主题有更清晰和全面的理解。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构：本文主要包含引言、正文和结论三个部分。

引言部分：引言部分将对本文的内容进行概述，并介绍文章的结构和目的。

正文部分：正文部分将包括两个小节，分别是“三角平分线的定义和性质”和“三角平分线的模型定理”。

1. 三角平分线的定义和性质：这一小节将详细介绍三角平分线的定义和相关的性质。

角的平分线的性质（二）一、教材的分析和处理本节课选自人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册，第十一章第三节内容“角的平分线的性质”。

1、教材的地位和作用角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，为后面证明线段相等、角相等的几何证明开辟了一种新的，更为简捷的方法。

同时也是轴对称图形的基础，并为解决九年级下册确定内切圆的圆心提供了依据。

本节分两个课时，我选的是第二课时。

本课时主要探究角的平分线的性质和判定，并能在此基础上进行简单的应用.教材不仅为学生动手操作、观察、思考、验证、交流等提供了较好的素材，使学生通过自主探究、合作交流等方式形成新的知识，更让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，从而解决相关的实际问题。

2、教学目标知识与技能：掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题.过程与方法：通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力.情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度，体验探索过程中的乐趣与成功后的喜悦.3、教学重、难点重点：掌握角的平分线的性质和判定.难点：理解角的平分线的性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题.4、教材的处理教材是围绕现实生活中的实际问题采用“创设问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的基本教学模式来展开教学活动。

让学生经历探索角的平分线的性质、判定的形成与初步的应用过程，从而能从理性逻辑思维的角度掌握性质和判定的区别与联系，达到真正的“学数学”和“用数学”。

二、教法、学法课堂教学利用引导，鼓励，赏识的教学方法充分调动学生的积极性，激发学生内在的动力，让他们主动的投入到学习中去，成为教学的主体和学习的主人，以获取最大限度的发展。

三、教学手段和教具准备教学手段：多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率.教具准备：学生各自准备一张三角形纸片.四、教学过程设计（1）创设情境、引入新知有两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，有一头小牛的家就建在小河交汇所成的角平分线上的A处。

初二数学第十一章第3节角平分线的性质人教新课标版一、学习目标：1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；2. 掌握角平分线的性质和判定；3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。

二、重点、难点：重点：角平分线的性质和判定。

难点：角平分线的性质和判定的综合应用。

三、考点分析：对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。

角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。

中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。

这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。

1. 角平分线的定义2. 角平分线的尺规作法3. 角平分线的性质4. 角平分线的判定知识点一作角平分线例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB⊥于C。

思路分析：由于AB是直线，要求作CM AB⊥，实际上就是要作平角ACB∠的平分线。

根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。

解答过程：作法：1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；2、分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，使两弧交于点M；3、作直线CM。

所以，直线CM即为所求。

解题后的思考：此题要求“大于12DE 的长为半径”的理由是：半径如果小于12DE ，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE ，则两弧交点位于C 点处，无法作出直线CM 。

在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。

小结：本题属于作图题。

在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。

八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。

在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。

因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。

一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。

在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。

2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。

(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。

(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。

二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。

外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。

2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。

三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。

在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。

例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。

根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。

12.3角平分线的性质及判定第3课时角平分线的应用一、教学目标知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度与价值观：学生通过观察，亲自动手实验获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创作性，培养学生克服困难的意志，激发学生的学习兴趣二、教学准备多媒体课件，教学三角板三、重点难点重点：角平分线的性质难点：角平分线的应用四、教学方法讲练结合五、教学过程（一）、复习旧知1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。

3、判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

（二）、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？（三）探究新知关于三角形三条角平分线的交点问题如图，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点吗？②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，DI、EI、FI 有什么关系？结论：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. （四）例题精析例1三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB（2）如图②PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角（3）如图③PB平分∠ABC、PC平分∠ACB的外角结论：（1）∠P=90°+21∠A（2）∠P=90°-21∠A（3）∠P=21∠A应用：如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，若∠BPC=30°，则∠BAC= °例2、在△ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，∠A=60°，求证：OD=OE例3、在△ABC中，AD是角平分线，2∠C=∠B， AC-AB=BDDEOBADA课堂练习在正方形ABCD中，∠1=∠2 AE=BE+DF（六）、课堂小结本节课我们学习了什么内容？首先复习了角平分线的定义，性质定理和逆定理。

三角形角平分线有关的定理1.引言1.1 概述概述部分内容：在我们的日常生活和几何学中，三角形是一种常见的几何图形。

它由三条边和三个顶点组成。

而在三角形中，角平分线是一种非常重要的概念。

角平分线是指从一个顶点出发，将一个角平分为两个相等的角的直线或线段。

在本篇文章中，我们将探讨与三角形角平分线相关的一些重要定理。

这些定理涉及到角平分线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。

首先，我们将详细介绍角平分线的定义和性质。

通过理解角平分线的定义，我们可以更好地掌握它的特点和作用。

同时，探究角平分线的性质也能够帮助我们在解决相关几何问题时提供有力的依据。

其次，我们将重点讨论角平分线在几何学中的重要应用。

通过具体的实例和问题，我们将展示角平分线在解决三角形相关问题时的作用和意义。

这些应用包括角平分线的角度关系、角平分线与三角形边长的关系等。

通过学习这些应用，我们可以更好地理解角平分线在解决实际问题中的应用及其重要性。

最后，我们将对本文进行总结，并展望未来对于三角形角平分线相关定理的深入研究。

通过对这些定理的理解和应用的进一步探索，我们有望为几何学的发展做出更多的贡献。

同时，针对目前存在的问题和难点，我们也可以提出一些新的研究方向和解决思路。

通过本文的阅读和学习，我们将更深入地了解三角形角平分线相关的定理，并能够灵活运用于实际问题的解决中。

同时，我们也将对几何学的研究有更深入的认识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。

希望读者能够通过本文的阅读，对三角形角平分线有一个全面而深入的了解。

1.2文章结构文章结构部分是用来概述和介绍整篇文章的组织结构和内容安排。

在本文中，文章结构包括引言、正文和结论三个部分。

引言部分主要是对整篇文章进行概述，介绍了本文讨论的主题是三角形角平分线有关的定理。

文章将从定义和性质、重要应用两个方面进行论述。

此外，介绍了本文的目的是为了深入研究和了解三角形角平分线的基本原理和应用。

正文部分分为两个部分，分别是定理一和定理二。

基本曲线角平分线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可按照以下方式进行撰写：概述：基本曲线角平分线是数学中一个重要的概念，它在几何学、代数学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。

基本曲线指的是曲线当中最基本的类型，例如直线、圆、椭圆等等。

而角平分线则是将一个角分成两个相等的角的线段，它在解决几何问题、构造图形和计算角度等方面发挥着关键作用。

文章结构：本文将围绕基本曲线角平分线展开讨论，主要包括两个要点：第一个要点是基本曲线角平分线的定义和性质，我们将介绍其数学表达式、几何特征以及相关公式的推导；第二个要点是基本曲线角平分线的应用，我们将探讨它在几何问题求解中的具体应用实例，并介绍一些计算机图形学中的应用。

目的：本文的目的是帮助读者加深对基本曲线角平分线的理解与应用。

通过详细阐述其概念、定义、性质以及具体应用示例，希望能够提供读者对于该概念的全面认识，并激发读者进一步探索与应用基本曲线角平分线的兴趣。

通过以上内容的阐述，读者将能够全面了解基本曲线角平分线的概念及其应用领域，为后续的论述和实例引入做好准备。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：2. 文章结构本文将在引言部分对基本曲线角平分线进行概述，并说明文章的目的。

接下来的正文部分将涵盖两个要点，分别介绍基本曲线角平分线的定义、性质和求解方法。

最后的结论部分将对文章的要点进行总结，并展望基本曲线角平分线在未来的应用前景。

2.1 第一个要点在这一部分，我们将详细介绍基本曲线角平分线的定义和基本性质。

首先，我们将阐述什么是基本曲线角平分线，以及为什么它在数学和几何中起着重要的角色。

接着，我们将介绍基本曲线角平分线的性质，如其对称性、平行性等。

此外，我们还将探讨一些实例和应用，以帮助读者更好地理解和应用基本曲线角平分线。

2.2 第二个要点在这一部分，我们将分享基本曲线角平分线的求解方法和计算技巧。

我们将介绍几种常见的求解方法，包括使用几何方法和代数方法。

第3讲角平分线的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习角平分线的性质，角平分线和三角形结合的几何大题也在中考的考查范围之内，该知识点的重要性非同一般，此外我们还要掌握角平分线的判定，有效、快速处理含角平分线的题目。

知识梳理讲解用时：20分钟角平分线和作法1、角平分线定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线2、尺规作角平分线：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N；2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点C；3.作射线OC，射线OC即为∠AOB的角平分线.∠AOC=∠BOC=1∠AOB2或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等用符号语言表示为：∵OC 是∠AOB 的角平分线，点P 在OC 上 PD ⊥OA PE ⊥OB∴PD=PE （不必再证全等，直接得结论）2、三角形的内心：三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心； 三角形的内心到三角形三边的距离相等.（三角形的内心恒在图形内，且到三边的距离都相等）角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上用符号语言表示为：∵ PD ⊥OA PE ⊥OB 且PD=PE ∴OP 平分∠AOB定理所具备的条件： 1、角的平分线 2、点在该平分线上 3、垂直距离定理的作用：证明线段相等证明：在Rt △ODP 和Rt △OEP 中， OP=OP PD=PE∴Rt △ODP ≌Rt △OEP ∴∠DOP=∠EOP ∴OP 平分∠AOB课堂精讲精练【例题1】观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE【答案】C【解析】根据图形的画法得出OE是∠AOB的角平分线，再根据尺规作图的画法结合角平分线的性质逐项分析四个选项即可得出结论．解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了尺规作图中的作角的平分线以及角平分线的性质，解题的关键是逐项分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，牢记尺规作图的方法和步骤是关键．教学建议：熟悉角平分线的作法.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm则PD的长可以是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．7 cm【答案】D【解析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，再根据垂线段最短解答即可．解：作PD⊥OA于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD=PC=6cm，则PD的最小值是6cm，故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．教学建议：熟记角平分线的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】=15，如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD则CD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S=AB•DE=×10•DE=15，△ABD解得DE=3．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握角平分线的性质，并计算三角形的面积.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D 到AB的距离是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【解析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD．解：∵BC=16，BD=10∴CD=6由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=6．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键．教学建议：熟练掌握角平分线的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD 的面积等于（）A．30 B．24 C．15 D．10【答案】C【解析】过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质，即可求得DE的长，继而求得三角形面积．解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=DC=3，∵AB=10，∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15．故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出DE=CD是解此题的关键，注意：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．教学建议：熟练掌握角平分线的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③【答案】A【解析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC=EF=BE，则可证得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC=DF，∠FDE=∠CDE，也可得到AD=AF+FD=AB+DC，∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，即可判断出正确的结论．解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．教学建议：只要看到角平分线的题目，向角两边作垂线，利用垂线段相等解题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD 平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．1个【答案】B【解析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．解：∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAE∵∠C=90°，DE⊥AB∴∠C=∠E=90°∵AD=AD∴△DAC≌△DAE∴∠CDA=∠EDA∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC∴BE+AC=AB∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．教学建议：熟练掌握角平分线的性质进行解题. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定【答案】A【解析】首先设点O到BC的距离为x，由O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，可得×4x=2，继而求得答案．解：设点O到BC的距离为x，∵O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，∴×4x=2，解得：x=1．∴点O到BC的距离为1．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，得到方程×4x=2是解此题的关键．教学建议：熟练掌握三角形三条角平分线的交点就是三角形的内心，到三边的距离都相等.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC= ．【答案】120°【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等判断出点O是三个角的平分线的交点，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴点O是三个角的平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=（180°﹣60°）=60°，在△BCO中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并判断出点O是三个角的平分线的交点是解题的关键．教学建议：熟练掌握三角形三条角平分线的交点就是三角形的内心，到三边的距离都相等.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．【答案】4【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．故答案为：4讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．教学建议：三角形内有一点到三边的距离都相等，三角形外每三条线围成的区域有各有一个，总共是4个.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为．【答案】10【解析】先利用角平分线的性质判断出DE=DF，再用△ABD的面积求出AC×DF=10，即可得出结论．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，∴DE=DF，又∵AB：AC=3：2，∴AB=AC，∵△ABD的面积为15=AB×DE=×AC×DF=15，∴S△ABD∴AC×DF=10=AC×DF=10∴S△ACD故答案为：10．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质判断出DE=DF是解本题的关键．教学建议：充分利用角平分线的性质做题，向角两边作垂线，垂线段相等.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB 上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【答案】OC是∠AOB的平分线【解析】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD=PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD=PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．教学建议：本题主要是角平分线的判定，充分利用到角两边的距离相等便可判定. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．【答案】（1）5cm；（2）点P在∠HAC的平分线上【解析】（1）过P作PF⊥BE于F，由于BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，则根据角平分线的性质即可得到PH=PF=5cm；（2）根据角平分线的性质得PF=PD，则PD=PH，于是根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上得到AP平分∠HAD．（1）解：过P作PF⊥BE于F，如图，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF=5cm，∴点P到直线BC的距离为5cm；（2）证明：∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD，∴PD=PH，∴AP平分∠HAD．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线定理的逆定理．教学建议：熟练应用角平分线的性质和判定进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，已知△ABC的∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点D，求证：D在∠BAC的平分线上．【答案】D在∠BAC的平分线上【解析】首先作辅助线：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知DE=DG，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明．证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，作射线AD，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE=DF．同理DG=DF，∴DE=DG，∴点D在∠EAG平分线上，∴AD是∠BAC的平分线讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质及其逆用；解题的关键是作辅助线，辅助线是证明一道题的重中之重，然后利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理．教学建议：综合利用角平分线的性质和判定.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE 的平分线上．【答案】点F在∠DAE的平分线上【解析】过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足．根据角平分线的性质可得FP=FM，FM=FN．∴FP=FN，∴点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F分别作AE、BC、AD的垂线FP、FM、FN，P、M、N为垂足，∵CF是∠BCE的平分线，∴FP=FM．同理：FM=FN．∴FP=FN．∴点F在∠DAE的平分线上．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查角平分线的性质定理和逆定理．根据角平分线的性质可得FP=FM是解题关键．教学建议：综合利用角平分线的性质和判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】尺规作图的画图工具是（）A．刻度尺、量角器B．三角板、量角器C．直尺、量角器D．没有刻度的直尺和圆规【答案】D【解析】根据尺规作图的定义可知．解：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．故选：D．讲解用时：2分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为．【答案】4cm【解析】先由BC=10cm，BD：DC=3：2计算出DC=4cm，由于∠ACB=90°，则点D到AC的距离为4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于．【答案】8【解析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质求出PE，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可．解：作PE⊥OA于E，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=4，∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ECP=∠AOB=30°，∴PC=2PE=8，故答案为：8．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】AC=AE+DE=3cm【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CE，再根据AC=AE+CE 整理即可．解：AE+DE=AC=3cm．理由如下：∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，∴DE=CE，由图可知，AC=AE+CE，所以，AC=AE+DE=3cm．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．【答案】（1）OC平分∠ACD；（2）OA⊥OC；（3）AB+CD=AC【解析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE，从而求出OE=OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，CD=CE，然后证明即可．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

角平分线问题的处理方法角平分线是数学中的一种基本概念，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线。

在现实生活中，角平分线有着广泛的应用，如几何学、物理学的许多问题中。

本文将介绍角平分线问题的处理方法。

一、角平分线的性质角平分线的性质主要有以下几点：1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；2.角平分线分成的两个角相等或互补；3.角平分线的长度等于这个角的内角的平分线的夹角的一半；4.在同一个三角形中，若有两个角相等，那么这两个角的平分线所对的边也相等。

这些性质可以帮助我们解决许多角平分线问题。

二、处理方法对于角平分线问题，我们可以采取以下几种处理方法：1.利用角平分线的性质：根据题目中的条件，利用角平分线的性质可以快速地解决一些问题。

如利用角平分线的性质可以证明一些等腰三角形或互补的三角形，从而得到一些结论。

2.利用基本图形：在解决角平分线问题时，可以利用一些基本图形，如等腰三角形、直角三角形、三角形内切圆半径等，通过这些基本图形的性质和特点来解决一些复杂的问题。

3.利用三角函数：对于一些比较精确的测量问题，可以利用三角函数来求解。

通过测量角的顶点和角的两边之间的距离，利用三角函数可以求出角的平分线的位置和长度。

4.利用代数方法：对于一些比较复杂的问题，可以利用代数方法将其转化为代数方程或不等式来求解。

通过建立适当的代数模型，可以解决一些看似无法解决的问题。

三、实例分析下面是一个角平分线问题的实例分析：问题：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上的一点，且BE=CE。

求证：AB-BE=AE。

分析：本题涉及到角平分线和等腰三角形的问题，可以利用角平分线的性质和等腰三角形的性质来证明。

首先利用角平分线的性质可以得到EB=EC，然后根据等腰三角形的性质可得AB=AC=2AE+EB=2AE+EC=2AE+BE。

因此，可以证明AB-BE=AE。

总结：角平分线问题是一个比较复杂的问题，需要掌握相关的性质和处理方法。

第3节 角平分线性质定理与张角定理知识与方法1.角平分线性质定理：如图1所示，AD 是BAC ∠的平分线，则AB BDAC CD=. 2.张角定理：如图2所示，D 为边BC 上一点，则()sin sin sin AD AC ABαβαβ+=+.特别地，若AD 恰好为BAC ∠的平分线，则1cos 2AD AD AB AC α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 提醒：小题中这些性质可以直接用，大题可以先证明再用.典型例题【例1】在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2b =，4c =，120BAC ∠=︒，BAC ∠的角平分线交边BC 于点D ，则AD =______.【解析】解法1：如图，由余弦定理，2222cos 28a b c bc BAC =+-∠=，所以27a =由角平分线性质定理，2BD ABCD AC==，所以2BD CD =，从而1273CD a ==，2473BD a =，设AD x =，由图可知ADC ADB π∠=-∠， 所以()cos cos cos ADC ADB ADB π∠=-∠=-∠，222811241699274722x x x x +-+-=⋅⋅，解得：43x =，即43AD =. 解法2：如图，由余弦定理，2222cos 28a b c bc BAC =+-∠=，所以27a =由角平分线性质定理，2BD ABCD AC==，所以2BD CD =，从而1273CD a ==，2473BD a =， 设AD x =，由Stewart 公式，22247272747242727x +-⨯=，解得：43x =，即43AD =.解法3：如图，由角平分线性质定理，2BD ABCD AC==，所以2BD CD =，从而1233AD AB AC =+，所以2221441441161644299999929AD AB AC AB AC ⎛⎫=++⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故43AD =.解法4：由张角定理，1cos 2AD AD BAD AB AC ⎛⎫∠=+ ⎪⎝⎭，即112224AD AD ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：43AD =.【答案】43变式1 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2b =，4c =，BAC ∠的角平分线交边BC 于点D ，且2AD =，则cos BAC ∠=______.【解析】解法1：如图，由角平分线性质定理，2BD ABCD AC==，即2BD CD =，设CD x =，则2BD x =，由图可知ADC ADB π∠=-∠，所以()cos cos cos ADC ADB ADB π∠=-∠=-∠，即2244441648x x x x+-+-=-， 解得：2x =32a =2221cos 28b c a BAC bc +-∠==.解法2：如图，由角平分线性质定理，2BD ABCD AC==，即2BD CD =，设CD x =，则2BD x =， 由Stewart 公式，2224222323x x x x x x ⋅+⨯-⨯=⋅⋅，解得：2x =，所以32a =故2221cos 28b c a BAC bc +-∠==.解法3：如图，由角平分线性质定理，2BD AB CD AC ==，即2BD CD =，所以1233AD AB AC =+，故222144999AD AB AC AB AC =++⋅，从而14416442cos 4999BAC ⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=，解得：1cos 8BAC ∠=.解法4：由张角定理，13cos 24AD AD BAD AB AC ⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭， 所以21cos cos22cos 18BAC BAD BAD ∠=∠=∠-=.【答案】18变式2 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2b =，4c =，点D 在BC 上，AD 是BAC ∠的平分线，则AD 的取值范围为______.【解析】解法1：由角平分线性质定理，2AB BDAC CD==，所以2BD CD =，设CD x =，AD y =，则2BD x =，由243234432xx x +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩得：223x <<，由图可知ADC ADB π∠=-∠，所以()cos cos cos ADC ADB ADB π∠=-∠=-∠，即2222441624x y x y xy xy+-+-=-，化简得：282y x =-223x <<，所以803y <<.解法2：由角平分线性质定理，2AB BD AC CD ==，所以2BD CD =，故1233AD AB AC =+，设BAC θ∠=，则()2221441443216442cos 1cos 9999999AD AB AC AB AC θθ=++⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯=+，因为()0,θπ∈，所以26409AD <<，故803AD <<.解法3：设BAD CAD α∠=∠=，由张角定理，1cos 2AD AD AB AC α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1cos 242AD AD α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故8cos 3AD α=，显然090α︒<<︒，所以803AD <<.【答案】80,3⎛⎫⎪⎝⎭【例2】在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，点D 在边BC 上，BD BC ⊥，120ABC =∠︒，3AB 1BD =，则CD =______.【解析】解法1：如图，120ABC =∠︒且30BD BC ABD ⊥⇒∠=︒，在ABD 中，由余弦定理，2222cos 1AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠=，所以1AD =， 从而AD BD =，30BAD ABD ∠=∠=︒，故120ADB ∠=︒，所以60BDC ∠=︒，故2cos BDCD BDC==∠.解法2：如图，由题意，30ABD ∠=︒，90CBD ∠=︒，由张角定理，sin sin sin ABC CBD ABDBD AB BC∠∠∠=+， 3123BC =+，解得：3BC 222CD BC BD =+. 【答案】2变式 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知120B =︒，点D 在边AC 上且1BD =，BD BC ⊥，则2a c +的最小值为______.【解析】解法1：以B 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,1D ，可设直线AC 的方程为1y kx =+，其中30k <，因为120B =︒，所以直线AB 的方程为3y x =-，联立13y kx y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得：3x k =+，33y k =+，所以333A k k ⎛ ++⎝， 联立10y kx y =+⎧⎨=⎩解得：1x k =-，所以1,0C k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而2213333c k k k ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，1a k =-，所以()()()232223238323333k k a c k k k k k k k k +-+=-+==≥=+-+-+-++⎝⎭， 当且仅当3k k -=3k =时取等号，故2a c +83.解法2：由张角定理，sin sin sin ABC ABD CBDBD BC AB∠∠∠=+， 即sin120sin30sin901a c ︒︒︒=+，化简得：123a c+ 所以)3123434832244a c a c a c a c a c c a c a ⎛⎫⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4a c c a =时取等号，此时2c a =，结合123a c+=23a ，43c =， 故2a c +83.【答案83强化训练1.（★★★）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos b C a =，点D 在边AB 上，ACD BCD ∠=∠，若3b =1CD =，则cos BCD ∠=_______. 【解析】解法1：cos sin cos sin b C a B C A =⇒=， 又()()sin sin sin sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，所以cos sin 0B C =，因为0180C ︒<<︒，所以sin 0C >，故cos 0B =，结合0180B ︒<<︒可得90B =︒，如图，cos BCBCD a CD ∠==，cos 3BC BCA AC ∠==ACD BCD ∠=∠， 所以2BCA BCD ∠=∠，故2cos 2cos 1BCA BCD ∠=∠-2213a =-，解得：3a =或3（舍去），从而3cos BCD ∠.解法2：cos sin cos sin b C a B C A =⇒=，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦，所以cos sin 0B C =，因为0180C ︒<<︒，所以sin 0C >，故cos 0B =， 结合0180B︒<<︒可得90B =︒，设BCD ACD θ∠=∠=，由张角定理，1cos 2CD CD AC BC θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即131cos 2a θ⎫=⎪⎪⎝⎭， 又cos BCa CD θ==，所以1312a a ⎫=⎪⎪⎝⎭，解得：3a =，从而3cos θ=. 【答案32.（★★★）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，点D 在边BC 上，AD AC ⊥，22sin BAC ∠=，32AB =3AD =，则CD =_______. 【解析】解法1：如图，()222222sin sin 90cos BAC BAD BAD ∠=⇒︒+∠=⇒∠=在ABD 中，由余弦定理，2222cos 3BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=，所以3BD =从而2223cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅， 故()3cos cos cos ADC ADB ADB π∠=-∠=-∠=，所以33cos ADCD ADC==∠.解法2：如图，()2222221sin sin 90cos sin 3333BAC BAD BAD BAD ∠=⇒︒+∠=⇒∠=⇒∠=，由张角定理，sin sin sin BAC BAD CADAD AC AB∠∠∠=+， 221332AC =32AC = 所以2233CD AD AC =+=【答案】33 3.（★★★）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，ABC ∠的平分线与边AC 交于点D ，1BD =，3a =，32c =，则b =______.【解析】解法1：由角平分线性质定理，2BC CDAB AD==，所以2CD AD =，设AD x =，则2CD x =，由图可知BDC BDA π∠=-∠，所以()cos cos cos BDC BDA BDA π∠=-∠=-∠，故2291149442x x xx +-+-=-，解得：7x =，所以37b =.解法2：由角平分线性质定理，2BC CDAB AD==，所以2CD AD =，设AD x =，则2CD x =，由Stewart 公式，9923234x x x x x x +⋅-=⋅⋅，解得：7x ，即37b =解法3：由角平分线性质定理，2BC CD AB AD ==，所以2CD AD =，故1233BD BC BA =+，从而22214443113cos 199992BD BC BA BC BA ABC =++⋅=++⨯⨯⨯∠=，解得：1cos 2ABC ∠=-，所以222632cos 4b ac ac B =+-=，故37b =.解法4：由张角定理，11cos 22BD BD ABD AB BC ⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，所以60ABD ∠=︒，故120ABC ∠=︒，由余弦定理，222632cos 4b ac ac ABC =+-∠=，所以37b =.【答案374.（★★★★）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，120ABC =∠︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则a c +的最小值为______.【解析】解法1：如图，13sin 2ABC S ac B ==，)113sin sin 22ABC ABD CBD S S S AB BD ABD BC BD CBD a c =+=⋅⋅∠+⋅⋅∠+，)33a c +，故111a c +=，从而()112224c a c a a c a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当2a c ==时取等号，所以a c +的最小值为4.解法2：如图，由张角定理，1cos 2BD BD ABD AB BC ⎛⎫∠=+ ⎪⎝⎭， 所以111122c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故111a c +=，从而()112224c a c a a c a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2a c ==时取等号，故a c +的最小值为4.【答案】45.（★★★★）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则ABC 的面积最小值为_______.【解析】解法1：如图，13sin 2ABCS ac B ==， )113sin sin 22ABCABDCBDSSSAB BD ABD BC BD CBD a c =+=⋅⋅∠+⋅⋅∠+， )33a c +，从而()24ac a c ac =+≥故16ac ≥，当且仅当4a c ==时取等号， 因为3ABC S =，所以ABC 的面积的最小值为3解法2：如图，由张角定理，1cos 2BD BD ABD AB BC ⎛⎫∠=+ ⎪⎝⎭，所以112222c a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故1112a c +=，从而()24ac a c ac =+≥16ac ≥，当且仅当4a c ==时取等号，因为3ABCS ，所以ABC 的面积的最小值为43【答案】436.（★★★★）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知4b =，6c =，点E 在BC 上，AE 是BAC ∠的平分线，则AE 的取值范围为_______.【解析】解法1：如图，由角平分线性质定理，2233AC CE CE EB AB BE ==⇒=，设3BE x =，AE y =，则2CE x =，由645654456xx x +>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩，得：225x <<，由Stewart 公式，22243625235x x y x x x x ⋅+⋅-⋅=⋅⋅，故2246y x =-，因为225x <<，所以2405y <<. 解法2：如图，设BAC θ∠=，AE y =，则2355AE AB AC =+， 故22224912288288cos 2525252525AE y AB AC AB AC θ==++⋅=+，()0,θπ∈，故222405y ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即2405y <<.解法3：设BAE CAE θ∠=∠=，则090θ︒<<︒，由张角定理，115cos 226424AE AE AE AE AEAB AC θ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以24cos 5AE θ=，因为090θ︒<<︒，所以2405AE <<.【答案】240,5⎛⎫⎪⎝⎭。