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可修改角平分线的性质及应用.ppt

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角平分线的性质教学课件

角平分线的性质教学课件

三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
THANK YOU
角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。

角平分线的性质和判定课件

角平分线的性质和判定课件

A.1:1:1
B.1：2：3
C.2：3：4 D.3：4：5
点拨：高相等，面积比等 于边长的比。
小结
1、尺规作图作角的平分线
2、角的平分线的性质
1.角平分线的判定结论：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角平 分线上。
2.几何语言：
∵PD=PE,PD⊥OA,PE ⊥OB
C
∴OC是∠AOB的平分线
到三角形三边距离相等的点在______
1、 已知∠C=900， ∠1= ∠2，若BC=8， BD=5，求点D到AB的 2
A
2、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若 BD=CD、BE=CF．求证：AD平分∠BAC.
3、已知PA=PB ，OP平分∠AOB ， 求证： ∠1和∠2的数量关系？
F
A1
P
2
O
EB
4.已知PA=PB， ∠1+∠2=1800， 求证：OP平分∠AOB
E
A1
P
2
O
FB
5.如图，O是△ABC的角平分线的交 点，△ABC的面积为2，周长为4，则 点O到BC的距离为（ ）
6、如图，△ABC的三边AB,BC,AC的长分别是 20㎝，30㎝，40㎝，点O为△ABC三内角平分线 的交点，则S△AOB:S△BOC:S△AOC等于（）
角平分线的性质和判定
1.用尺规作图作∠AOB的平分线OC
A
O
B
依据:SSS
2.已知Rt△ABC中，BD平分∠ABC,DE⊥AB于 点E，则图中与DE相等的线段是____,
理由是______________.
若AB=10,BC=8,AC=6,BE=____AE=____
△AED的周长=_____

角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文

角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文

E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A

八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版

八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版

度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。

角的平分线的画法及性质预习课件

角的平分线的画法及性质预习课件

性质
角的平分线上的点到 角的两边的距离相等 。
角的平分线与相对的 边形成一个等腰三角 形。
角的平分线将角平分 为两个相等的小角。
角的平分线的作法
使用量角器
首先找到角的顶点，然后使用量角器将角平分为两个相等的小角，最后通过角 的两边画出射线和交点。
使用圆规
首先以角的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，与角的两边相交于两点，然后 分别以这两点为圆心，相同的半径画弧，两弧相交于一点，最后连接角的顶点 和交点。
角的平分线定理的逆定理
如果一个点到角的两边的距离相等， 则这个点位于角的平分线上。
与角的平分线相关的习题
习题1
已知角平分线上的点A到角的两边 BC和BA的距离相等，求证：角 BAC是直角。
习题2
在三角形ABC中，AD是角BAC的 平分线，E、F分别是AB、AC上 的点，且DE=DF，求证：E、F分 别位于AD的两侧。
证明方法三
01
利用角平分线的定义证明
02
根据角平分线的定义，利用角的 平分线上的点到角的两边的距离 相等，证明角的平分线性质。
04
角的平分线的拓展知识
与角的平分线相关的定理
角的平分线定理
角的平分线与平行线定理
角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等。
角的平分线与相对的平行线交于一点 ，这一点到这个角的两边的距离相等 。
在日常生活中，角的平分线也有广泛 的应用。例如，在制作风筝时，可以 利用角的平分线来平衡风筝的左右两 侧，使其在空中保持平衡。
在建筑设计、道路规划等领域，角的 平分线也经常被用来确定建筑物的位 置、道路的方向等，以确保整体布局 的协调和美观。
在数学问题中的应用
在数学问题中，角的平分线是常见的考点之一。例如，在解决三角形问题时，可 以利用角的平分线来将一个三角形划分为若干个小三角形，从而利用小三角形的 性质来解决问题。

角平分线的定义及性质应用

角平分线的定义及性质应用

角平分线的定义及性质应用角平分线是指从一个角的顶点到其两边上任意一点的线段，将这个角分成两个大小相等的角。

角平分线具有一些重要的性质和应用。

首先，角平分线的定义是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角。

这意味着角平分线与角的两边所夹的角度大小是相等的。

这是角平分线最基本的性质之一。

其次，角平分线具有对称性。

如果一个角的平分线通过其顶点并交于角的另一边上的一个点，那么这个交点将把角分成两个大小相等的角。

同样地，这个交点也可以看作是这个角的另一个平分线通过其顶点并交于另一边上的一个点。

这个交点将角分成两部分，而这两部分的大小是相等的。

此外，角平分线还具有一些其他的重要性质和应用。

以下是其中的一些：1. 角平分线相交于角的内部：角平分线必定在角的内部相交。

这是因为在平面几何中，两点之间的直线是最短的路径，所以角平分线将角分成两部分时必须通过角的内部。

2. 角平分线垂直于角的边：如果一个角的平分线与角的一条边相交，那么它与这条边所夹的角是垂直的。

也就是说，平分线和边的交点处的两个相邻角度是垂直的。

这是一个很有用的性质，可以用来构造垂直角、垂直平分线和垂直双准线等几何图形。

3. 角平分线的长度相等：如果一个角的两条平分线相交，那么它们的长度是相等的。

换句话说，一个角的两条平分线与该角两条边的交点之间的距离是相等的。

这可以通过解析几何或使用三角函数来证明。

4. 角平分线被分成一定比例的线段：如果两个角的平分线相交于一个点，并且它们分别与这两个角的另外一条边相交于不同的点，那么这个交点将把角平分线分成一定比例的线段。

这个性质可以用于求解角平分线上的长度比例，从而解决几何问题。

5. 角平分线和三角形内心：在一个三角形中，三条角的平分线交于一点，这个点称为三角形的内心。

内心是三角形内接圆的圆心，角平分线与三角形内接圆的切点均相交于角的顶点。

内心的存在和性质可以用角平分线来证明。

综上所述，角平分线具有分割角度、对称性、相交于角的内部、垂直于角的边、长度相等、被分成一定比例的线段等性质。

数学上册角的平分线的性质


计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的 对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条 件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质 来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内 角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积 关系
04 角的平分线与三角形面积 关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的 基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如， 在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面 积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中 性质
05 角的平分线在几何变换中 性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下 保持其性质不变，即平移 后的角平分线仍然是原角 的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。

《角的平分线的性质》示范公开课教学PPT课件【部编新人教版八年级数学上册】

三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业

角平分线的性质 课件


角的平分线与等边三角形的关系
角的平分线与等边三角形的联系
在等边三角形中，角的平分线也是中垂线，因此，角的 平分线与等边三角形也有密切的联系。
角的平分线与等边三角形的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如证明等边三 角形、求角度等。
THANKS
谢谢
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用虚线表示角平 分线，并在角平分线上标注相应的字 母。
例如，若角平分线为AD，则可以表示 为AD平分∠BAC。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到该角的两边的距离相等。 这一性质是角平分线的基本性质，也是证明其他角平分线性质的基础。
02
CHAPTER
角平分线的性质
04
CHAPTER
角平分线的作法
通过角的顶点作角的平分线
总结词
角的顶点是角的两条边的交汇点，通过角的顶点作角的平分线的方法是常用的方法之一 。
详细描述
首先，确定角的顶点，然后使用直尺或圆规等工具，从角的顶点出发，作一条与角的一 边平行的线段，线段的长度可以根据需要自行确定。接着，将线段的中点与角的另一边
角的平分线与平行线相交形成的交点，到角的两边的距离 相等。
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如求距离、证明 角相等等。
角的平分线与等腰三角形的关系
角的平分线与等腰三角形 的联系
角的平分线是等腰三角形底边上的中垂线， 因此，角的平分线与等腰三角形有密切的联 系。
角的平分线与等腰三角形 的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如 证明等腰三角形、求角度等。
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
利用角平分线定理，可以证明线段的 比例关系。
证明三角形全等

角平分线课件PPT


生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用
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或：∵ ∠1= ∠2,
O
PD ⊥ OA， PE ⊥ OB
∴PD=PE（角平分线的性质）
A D
1
P
2
C
E B
.精品课件.
8
A 例：已知：如图，△ABC中
∠C=90°，AD是△ABC的角平
分线，DE⊥AB于E，F在AC上
BD=DF，求证：CF=EB。
F
E
证明： ∵ AD平分∠CAB
CD B
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ．
A
Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
.精品课件.
Ｏ
4
解决问题
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到 铁路和公路距离相等，这个集贸市场应建在 何处
公路
铁路
S
.精品课件.
5
1、怎样画一个已知角的角平分线
A
P
B
D
C
.精品课件.
13
课堂 小结
回味无穷
性质 角平分线上的点到这
个角的两边距离相等.
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点
O
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(
已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角
的两边距离相等).
A
D
1
PC
2
EB
.精品课件.
14
课本：习题11.3 第5题
画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分线OP, 过P作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB 问题：①比较PD和PE 的大小关系（量一量）。
PD=PE ②再换一个新的位置看看情况会怎样？
A

D C
P
(2)猜想: 角的平分线上的 点到角的两边的距离相等.
O
EB
.精品课件.
6
2、验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
是E,F.求证:EB=FC.
A
◆证明： ∵AD平分∠CAB
E
F
DE⊥AB ，DF⊥AC(已知)
∴DE=DF (角平分线的性质) B 在Ｒt△BED和Rt△CFD中,
D
C
BD=CD （已证）
DE=DF （已知）
∴ Rt△ BED ≌Rt△CFD (HL)
∴ BE=FC （全等三角形对应边相等）
.精品课件.
解：过E作EN⊥OA垂足为N
B M
∵ E是∠AOB的角平分线上的一点， EM⊥OB，
EN⊥OA，
E
C
∴EM=EN 又∵ EM=3cm，
O
NA
∴EN=3cm
即点E 到OA的距离为3cm。
.精品课件.
12
练习3：如图，四边形ABCD中AB=AD， AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点， 求证：PB=PC．
E
C
∴EM=EN 又∵ EM=3cm，
O
NA
∴EN=3cm
即点E 到OA的距离为3cm。
.精品课件.
11
练习：如图，E是∠AOB的角平分线OC上的 一点， EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm，求 点E 到OA的距离
分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平
分线的性质，可知点E到OA的距离。
角平分线的性质及应用
驶向胜利的彼岸
.精品课件.
1
旧知回顾
角的平分线的定义是什么？
.精品课件.
2
旧知回顾
已知一个角你会将它平分吗？说一说，你 有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。
A
O
B
.精品课件.
3
1、怎样画一个已知角的角平分线
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢＮ于．
10
练习2：如图，E是∠AOB的角平分线OC上 的一点， EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm， 求点E 到OA的距离
分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平
分线的性质，可知点E到OA的距离。
解：过E作EN⊥OA垂足为N
B M
∵ E是∠AOB的角平分线上的一点， EM⊥OB，
EN⊥OA，
已知：“一个点在一个角的平分线上”。
结论：“这个点到这个角两边得距离相等”
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于
点E
求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
A
D
1
C P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴.P精D品课=件P.E（全等三角形的对应边相7等）
3、角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述：
∵ OC是∠AOB的平分线
PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD＝PE
.精品课件.
15
∴ CD＝DE (角平分线的性质)
在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
CD=DE （已证）
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
.精品课件.
9
练习1：已知:如图,在△ABC中,AD是它的角
平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别