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角平分线的定义及性质应用角平分线是指从一个角的顶点到其两边上任意一点的线段，将这个角分成两个大小相等的角。
角平分线具有一些重要的性质和应用。
首先，角平分线的定义是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角。
这意味着角平分线与角的两边所夹的角度大小是相等的。
这是角平分线最基本的性质之一。
其次，角平分线具有对称性。
如果一个角的平分线通过其顶点并交于角的另一边上的一个点，那么这个交点将把角分成两个大小相等的角。
同样地，这个交点也可以看作是这个角的另一个平分线通过其顶点并交于另一边上的一个点。
这个交点将角分成两部分，而这两部分的大小是相等的。
此外，角平分线还具有一些其他的重要性质和应用。
以下是其中的一些：1. 角平分线相交于角的内部：角平分线必定在角的内部相交。
这是因为在平面几何中，两点之间的直线是最短的路径，所以角平分线将角分成两部分时必须通过角的内部。
2. 角平分线垂直于角的边：如果一个角的平分线与角的一条边相交，那么它与这条边所夹的角是垂直的。
也就是说，平分线和边的交点处的两个相邻角度是垂直的。
这是一个很有用的性质，可以用来构造垂直角、垂直平分线和垂直双准线等几何图形。
3. 角平分线的长度相等：如果一个角的两条平分线相交，那么它们的长度是相等的。
换句话说，一个角的两条平分线与该角两条边的交点之间的距离是相等的。
这可以通过解析几何或使用三角函数来证明。
4. 角平分线被分成一定比例的线段：如果两个角的平分线相交于一个点，并且它们分别与这两个角的另外一条边相交于不同的点，那么这个交点将把角平分线分成一定比例的线段。
这个性质可以用于求解角平分线上的长度比例，从而解决几何问题。
5. 角平分线和三角形内心：在一个三角形中，三条角的平分线交于一点，这个点称为三角形的内心。
内心是三角形内接圆的圆心，角平分线与三角形内接圆的切点均相交于角的顶点。
内心的存在和性质可以用角平分线来证明。
综上所述，角平分线具有分割角度、对称性、相交于角的内部、垂直于角的边、长度相等、被分成一定比例的线段等性质。
角平分线及性质知识集结知识元角平分线的性质知识讲解角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长度；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直；如果没有垂直则需要构造垂直后再使用该性质.例题精讲角平分线的性质例1.下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（）A．B．C．D．例2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．6B．5C．4D．3例3.如图，AB∥CD，AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，BD过点E且垂直于AB，若点E到AC的距离为3，则BD=．角平分线的作图知识讲解在角平分线相关的作图问题中，一般常会用到的是角平分线的定义和角平分线的性质.例题精讲角平分线的作图例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）.A．15 B．30 C．45 D．60例2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE角平分线相关的面积计算知识讲解角平分线的性质能够为面积的计算直接提供现有的高以及高的具体值，所以涉及到角平分的计算也常会与面积结合.例题精讲角平分线相关的面积计算例1.如图，是某油路管道的一部分，延伸其中三条支路恰好构成一个直角三角形，其三边长分别为6cm，8cm，10cm，输油中心O在到三条支路距离相等的地方，则中心O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）为（）.A．24cm B．12cm C．10cm D．6cm例2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）A．8B．6C．5D．4例3.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是（）A．3B．4C．5D．6角平分线求点线距离知识讲解求点到线的距离问题在角平分线相关的部分是非常典型的一种类型题，其中需要明确的知识包括点到线的距离的标准定义、角平分线的性质，将两者结合来添加辅助线也是非常重要的一种处理手段.例题精讲角平分线求点线距离例1.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．1B．2C．D．4例2.如图，O是直线BC上的点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q，若EF=10，则FQ+EP的长度为（）.A．5B．10C．15D．20例3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠BAC的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为．利用角平分线的性质求线段取值范围知识讲解求线段取值范围的问题，是利用角平分线的性质和垂线段最短这两个知识处理问题的一个典型题型，有线段的范围就能求出最值，所以求线段的最值问题也是此类型题目，处理方法相同.例题精讲利用角平分线的性质求线段取值范围例1.如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD=3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是（）.A．2B．3C．4D．5例2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）.A．1B．2C．3D．4例3.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2B．2C．4D．4角平分线的性质在几何问题中的应用知识讲解角平分线的性质为几何计算、证明题提供线段相等的条件，所以一般在题目中出现角平分线且有垂直条件出现时，常会考虑到角平分线的性质.例题精讲角平分线的性质在几何问题中的应用例1.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点O到BC边的距离为3，且△ABC 的周长为20，则△ABC的面积为．例2.'如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．'例3.'如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．（1）求证：BD+CE=DE；（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．'角平分线的判定知识讲解1.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意：①这是判定角平分线的一个标准判定方法；②如果强调了“在角的内部”，则满足判定条件的线是唯一的，尤其是在三角形中；如果没有强调“在角的内部”，则满足判定条件的线不唯一.例题精讲角平分线的判定例1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）.A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点例2.'已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．'例3.'如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．'角平分线在选址问题中的应用知识讲解对于选址问题，要能够将实际问题抽象成数学问题，到线性实体的距离相等即等价于到点到线的距离相等，这就是典型的对角平分线的判定方法的考查.例题精讲角平分线在选址问题中的应用例1.三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点，使它到三条直线的距离相等，则这样的点共有（）.A．一个B．两个C．三个D．四个例2.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）A．三边中线的交点处B．三条角平分线的交点处C．三边上高的交点处D．三边的中垂线的交点处角平分线性质和判定的综合应用知识讲解根据角平分线的定义和性质可知，角平分线不仅能提供角的关系，还能提供边的关系：①角平分线将一个大角分成相等的两个小角；②角平分线上的点到角的两边距离相等.角平分线在几何计算和证明中被利用的频率比较高.例题精讲角平分线性质和判定的综合应用例1.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③例2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）A．F到△ABC三边所在直线的距离相等B．F在∠A的平分线上C．F到△ABC三顶点的距离相等D．F到BD、CE的距离相等例3.'如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．'角平分线性质模型知识讲解利用角平分线的性质构造辅助线，其最终的模型如下图：例题精讲角平分线性质模型例1.'如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．'例2.'四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°.求证：2AE=AB+AD．'例3.'在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．'角平分线的对称模型知识讲解在利用角平分线的对称特点添加辅助线类的题目，常会与下一节要讲的截长补短的结构相关，所以在分析题目时，有时候可以从多个角度入手，拓展解题思路.例题精讲角平分线的对称模型例1.'已知，如图，△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求∠B的度数．'例2.'已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．'例3.'在△ABC中，∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O．（1）如图1，若∠ACB=90°，求证：BF+CE=BC；（2）如图2，若∠ABC与∠ACB是任意角度，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．'当堂练习单选题练习1.某地为了发展旅游业，要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址地点共有（）处．练习2.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（）A．F到△ABC三边所在直线的距离相等B．F在∠A的平分线上C．F到△ABC三顶点的距离相等D．F到BD、CE的距离相等练习3.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE练习4.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）练习5.如图，OP平分∠MON，PA⊥OA于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的值为（）A．1B．2C．大于2 D．不小于2练习6.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2B．2C．4D．4练习7.A、B、C表示三个小城，相互之间有公路相连，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址可以是（）A．三边中线的交点处B．三条角平分线的交点处C．三边上高的交点处D．三边的中垂线的交点处练习8.如图，AB⊥AC，AG⊥BG，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°、其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④练习9.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC=8，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．6B．5C．4D．3填空题练习1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=°．解答题练习1.'如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．'练习2.'已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．'练习3.'观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB=2∠B．（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．'练习4.'如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．'练习5.'如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．'练习6.'如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．'练习7.'如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE=DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E=∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．'。
角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。
角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。
2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。
2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线的基本性质之一。
2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。
这是角平分线的另一个重要性质。
具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。
2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。
也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。
3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。
这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。
3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。
如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。
3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。
这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。
总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。
它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。
角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。
