弹性力学圆孔的孔口应力集中

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弹性力学1圆孔的孔口应力集中

2
2
由以上应力分量式（b），显然是满足的，对待定系数问题的解决没作用。
第四章平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
（2）在原点附近，可以看成是一段小边界。在此小边界处，有面力的作用，而面力可以向原点简化为作用于原点的主失量为 F ，主矩为 0 的情形。按照圣维南原理来
进行处理，以点O为中心，以为半径作圆
对于集中力垂直于边界面的情况，直接令上式中的力作用角
度为0，可得到其应力解答式。

2F
p
cos
,
f f 0
第四章平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力

2F
p
cos
,
f f 0
代入坐标变换式（4-8），可求出直角坐标系中的应力分量表达

(1

)

第四章平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
（3）将应力函数代入极坐标中的相容方程，并求解常
微分方程（欧拉方程）得应力函数的具体形式：
f ()cos 2
代入相容方程（4-6）
cos
2υ[
d4 f d ρ4

2 ρ
d3 f d ρ3

9 ρ2
第四章平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
将应力分量表达式（含待定常数）带入上述边界方程（第1、2式
），求得待定常数 C 和 D，并带入（b）式；
D F cos , C F sin
p
p

2F

弹性力学辅导教程第四章圆孔应力集中(7)

(19)
(1
2r 2
2
3r 4 p 4 ) sin 2 2
七. 圆孔的应力集中
讨论圆孔边的应力场
r2 p 4r 2 3r 4 p (1 2 ) (1 2 4 ) cos 2 2 2
p 3r 4 p (1 2 ) (1 4 ) cos 2 2 2 r2
(1
2r 2
2
3r 4 p 4 ) sin 2 2
(1). | a p (1 2 cos 2 ) ( ) max | 900 3.
孔边最大应力比无孔时提高了3倍, 应力集中系数 3
( 2)当r 4 5a时, 在y轴上应力就接近于均布. q r 5a时 : a2 3qo 1 / 25 4% r2 qo 4 a 3qo 1 / 625 0.16 % 4 r 0 简化后 : (1 cos 2 ) 2 0 (1 cos 2 ) 2 0 sin 2 2
得出待定常数B、E 又有条件
r
p B ,E p 2
0 0
A p D p G 2 ( 2 4 ) cos 2 0 r 2 r 2 r

D p G ( 2 4 ) sin 2 0 2 r 2r
由此得出常数A、D、G
qo x o
-qo
qo y
qo
(3)孔边应力分布如图
八. 双向拉伸的解
q2
=
q1 q2 + q1
(q1 ) (q2 ) (q1 ) (q2 ) (q1 ) (q2 )

第4章 (弹力)平面问题的极坐标解答13

圆孔的孔口应力集中
§4-8
圆孔的孔口应力集中
本节课小结掌握压力隧洞的求解方法，了解工程中的四类接触问题；关键：径向变形连续，径向应力连续理解应力集中的概念，掌握圆孔孔口应力集中的求解方法，了解任意荷载任意薄板的应力求解；关键：坐标转换，叠加法
本节课小结掌握压力隧洞的求解方法，了解工程中的四类接触问题；关键：径向变形连续，径向应力连续理解应力集中的概念，掌握圆孔孔口应力集中的求解方法，了解任意荷载任意薄板的应力求解；关键：坐标转换，叠加法
求解A、B、C、D，然后令 a / b = 0，得
Hale Waihona Puke qa q 2 A 0, B , C qa , D 4 4
4
§4-8
圆孔的孔口应力集中
代入应力分量式, 有
q a2 3a 2 r (1 2 )(1 2 ) cos 2 2 r r q a4 1 3 4 cos 2 2 r
q r 2
r 0
§4-8
圆孔的孔口应力集中
q r r b cos 2 2 q r r b sin 2 2
a
问题2求解（非轴对称问题）
内边界
r r a 0
r
r a
外边界
0

b
r
r
乘以 cos 2 ； r 为r 的某一函数乘以
圆孔的孔口应力集中
a
问题2求解（非轴对称问题）
可假设应力函数为：将其代入相容方程：
f (r ) cos 2
2 2

b
r
r
1 1 r 2 r r r 2 2 0

(整理)采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题

采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。

对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。

本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。

二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。

本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。

由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。

应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。

学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。

1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。

首先推导平衡微分方程的极坐标形式。

考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为σρ 和τϕρ,则CD面上的应力分量为如果AD面上的应力分量为σϕ 和τρϕ ，则BC面上的应力分量为。

同时，体力分量在极坐标径向ρ 和环向 ϕ方向的分量分别为F bρϕ 和F bϕ 。

圆孔孔边应力集中

4.8 半无限平面边界上受法向集中力作用的问题一弗拉芒一布辛涅斯克问题没有边界的无限大物体称为无限体。

将它用平面分成两半，每一半就称半无限体。

本节分析的是半无限的弹性平面体在边界上受一法向集中力作用的问题(图4-8)。

这一问题在实际工程问题中会经常遇到，如建筑物地基的应力和沉陷问题等。

最近发展起来的边界元数值计算法也利用这问题的解答。

假定在边界面上沿半无限平面厚度上分布有均匀压力P。

这样，半无限体就处于平面应变状态，单位厚度上分布的压力就可视为集中力P，其量纲为[力×长度-1]解题:如图4-8所示，估计应力呈扇形分布，因此采用极坐标。

为解题方便，取X轴方向向下，y轴方向向右，相应地极坐标r方向向外，θ方向由x轴逆时针旋转。

图4-8半无限平面边界受法间集中力（1）初定应力函数：根据应力的函数形式决定应力函数的形式，而应力的函数形式是根据估计的应力分布情况面定。

本题中估计σr的分布与P ，r ，θ都有关系，与P 成正比，与r 成反比。

故σr 的函数形式估计为)(θσF rPr =（a ）式中σr 与P ，r 都是一次幂关系，这是因为只有这样，等式两边的量纲才能相等(皆为[力×长度-2])。

列出应力函数与应力分量的关系式，即(4.18)式的第一式22211θϕϕσ∂∂+∂∂=r r r r由此式可见，为使等式两边r 的幂次相等，应力函数中的r 的幂次应当比应力分量中r 的幂次高两次，所以初选应力函数的形式为)(θϕrf = （b ）式中f （θ）可通过双调和方程得到。

将（b ）式代入双调和方程（4.17）式得)(1)(1112222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θθθθf r f r r r r r ）（即0)]()(2)([122443=++θθθθθf d f d d f d r （c ）删去因子31r，（c ）式为常系数线性微分方程，其通解为)sin cos (sin cos )(θθθθθθD C B A f +++= （d ）代入（b ）得)]sin cos (sin cos [θθθθθϕD C B A r +++= （e ）式中A ，B ，C ，D ——待定系数，由边界条件决定。

§4-8_圆孔的孔口应力集中

删去因子cos 2��以后，得
f ( ) 2

f ( )
9

2
f ( )
9
3
f ( ) 0
方程两边同乘以ρ4 ，得
4 f ( ) 2 3 f ( ) 9 2 f ( ) 9 f ( ) 0
（4-7）

R
=qcos 2 q sin 2 q cos 2 a -2 q sin cos q sin 2 R
1
而这也是外界上的边界条件。在孔边，边界条件是

由边界条件，假设
r
=0，

��
R, q, 0。
且 R＞＞r，得应力解答
（4-14）
既然 R 远大于 r，可以取 = 0，从而得到解答 2、带小圆孔的矩形板，x,y 向分别受拉压力
q(1
r2

), q(1 2
r2
2
), 0
(a )
2
2

1 4 f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ 0
2
2 1 1 2 1 4 f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ 0 2 2 2 1 2 1 4 1 4 f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ + f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ 2 + 1 2 1 4 f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ =0 2 2

圆形孔洞下应力集中的实验研究

鑫霎Ⅵ渊剥黼圆形孔洞下应力集中的实验研究肖珊1王丽华2(1．江西医学院上饶分院江西上饶3340002．江西科技师范学院江西南昌330013)[摘要]运用材料力学、弹性力学的基本原理和电测法，通过测量有圆形孔洞板圆孔周围的应力，分析圆孔周围应力集中规律；通过单纯受拉或纯弯时的情况分析、讨论叠加原理在处理应力集中问题时的具体应用方法。

[关键词]应力集中应力分布中图分类号：031文献标识码：A文章编号：1671--7597(2008)1010002--02一、前言在整个力学结构中，圆孔、凹口、圆角等是整个系统的应力集中因素，在孔、圆孔、凹口、圆角等附近存在应力集中，应力集中是引起构件破坏的主要因素，系统在这些因素和材料疲劳的共同作用下，造成断裂和破坏的机会很大，在设计的过程中把这些因素考虑进去是十分必要的。

构件中产生应力集中的原因主要有：(1)截面的急剧变化。

如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等：(2)受集中力作用。

如：齿轮轮齿之间的接触点，火车军轮与钢轨的接触点等；(3)材料本身的不连续性。

如材料中的夹杂、气孔等：(4)构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹；(5)构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷D H I、热处理、焊接等而引起的残余应力。

这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中；(6)构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。

应力集中系数可以方便地描述构件的应力集中状态。

应力集中系数可采用数学方法或实验方法求得。

实验方法有：弹性法，精密应变仪测量法，扭转薄膜比拟法，扭转电比拟法。

当实验具有足够的精度时，所得结果与理论应力集中系数非常符合。

本实验研究采用电测法，主要研究有圆形孔洞板的应力集中分布趋势。

二、研究模型和理论分析(一)圆孔边缘附近的应力以有圆形孔洞拉伸和弯曲板为研究模型，根据弹性力学理论，可以求得圆孔近的应力分布情况，圆孔附近A点(图I)的应力为：盱i O-‘|广a2渤+[z等一s爿cos41盯，=罢l z+s詈；cos28-(z詈；一s罟]c。

不同板宽的孔边的应力集中问题

不同板宽的孔边的应力集中问题1 选题目的：对于如图所示的平面圆孔的孔边问题，通过数值实验的方法研究不同板宽的孔边应力集中问题，与弹性力学的解析解进行比较。

给出应力集中系数与相对孔径尺度的关系。

图一不同板宽的孔边的应力集中问题2 背景：就无限大板宽的孔边应力集中问题，有以下弹性力学的解析解：004020002020040020020200200390)2321(90y )31)(1(2sin 2)31(2cos 2)1(2)31)(1(2cos 2)1(2422242222q R r rR rR q rR rR q rR q rR q rR rR q rR q r r r ===++==+--==+-+=--+-=），（）（分布：轴上有在孔边的θσθσσθττθσθσθθθθθθ3 数值分析我们定义板宽和孔径的相对尺度的特征参数： 0R B=ξ进行研究，具体取值如表：结果如图：图2 30=ξ时的应力分布R B =ξ30 24 20 10 6图3 24=ξ时的应力分布图4 20=ξ时的应力分布图5 10=ξ时的应力分布图6 6=ξ时的应力分布4 应力集中系数如表：5 在matlab 中划出曲线：0R B =ξ30 24 20 10 6 0maxq k σ=3.0143.0323.0783.2134.0806 结论随着0R B =ξ增大，k 值减小。

圆孔孔边的应力集中分析及优化

圆孔孔边的应力集中分析及优化一、引言A. 研究背景B. 研究意义C. 研究目的二、圆孔孔边应力集中分析A. 圆孔孔边的问题描述B. 应力场分析C. 应力集中因子计算D. 应力分布图分析E. 结果讨论三、圆孔孔边应力集中优化方案A. 传统优化方法B. 拓扑优化方法C. 优化结果分析比较D. 结论四、拓扑优化求解流程A. 模型准备B. 拓扑优化流程C. 拓扑优化结果分析D. 求解流程总结五、应用案例分析A. 案例背景描述B. 拓扑优化方案设计C. 优化效果分析D. 案例结果总结六、结论A. 研究回顾B. 拓扑优化的优势C. 展望未来研究方向D. 实用意义第一章：引言A. 研究背景圆孔孔边的应力集中问题一直是工程界关注的热点问题之一。

在实际工程中，许多机械零件或结构都包含圆孔，它们的设计和材料选择对工程的可靠性和安全性产生了直接影响。

因此，深入研究圆孔孔边的应力集中分析是十分必要的。

B. 研究意义圆孔孔边的应力集中分析在理论和实际工程中都有重要的应用。

从理论上来看，它可以对结构的强度和稳定性进行分析和评价，为工程设计提供参考。

从实际工程上来看，解决圆孔孔边的应力集中问题可以提高结构的可靠性，避免因应力集中导致的零件断裂、材料疲劳等问题，从而提高工程的安全性和稳定性。

C. 研究目的本文旨在深入探究圆孔孔边的应力集中分析，分析孔边应力集中的原因和特点，提出圆孔孔边应力集中的优化方案，并且通过实际案例分析验证了提出的优化方案的有效性和实用性。

第二章：圆孔孔边应力集中分析A. 圆孔孔边的问题描述圆孔孔边应力集中的问题，在工程实践中是很常见的。

当受力于孔周时，应力将会集中于孔周附近，这会导致零件或结构的强度和稳定性受到影响。

因此，了解圆孔孔边应力集中的原因和特点，对于实际工程还是非常有意义的。

B. 应力场分析对于圆孔孔边应力集中，可以采用弹性力学理论来描述应力场的分布。

在已知外载荷情况和材料的力学参数的情况下，可以利用拉普拉斯方程和应力边界条件来求解圆孔孔边的应力场分布。

弹性力学-第四章-2

可以假设应力函数为：
( , ) f ( ) cos 2
满足相容方程求f(）
( , ) f ( ) cos2
代Φ入相容方程
1 1 2 2 2 0
2 2 2 2 2
2 1 1 2 d 2 f ( ) 1 df ( ) 4 f ( ) 2 2 ( 2 2 )cos 2 0 2 d d
r2

2
), q(1
r2

2
), 0
对比
q q 1 2 令： q 2
代入
基本解答一
q1 q2 r2 (1 2 ), 2

q1 q2 r2 (1 2 ), 2
0
r2 r2 σ ρ q cos 2φ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ r4 σ φ q cos 2φ(1 3 4 ) ρ τ ρφ r2 r2 q sin 2φ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ
e 因为，
t
D f ( ρ) Aρ Bρ C 2 ρ
4 2
2Φ 1 Φ 1 2Φ σρ 2 2 , 2 y 0 ρ ρ ρ 2Φ 2Φ σ 2 2 , x 0 ρ τ ρ
max 4q
3r , 90
1.04q
max K 4
(4-18)
应力集中系数
二、基本解答的应用
解决方法：利用叠加原理，将荷载分解为两部分 (1)双向受拉
＝
＋
(2)一对边受拉，另一对边受压

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p , 0 0 , 0 p , 0
2
2
由以上应力分量式（b），显然是满足的，对待定系数问题的解决没作用。
第四章平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
（2）在原点附近，可以看成是一段小边界。在此小边界处，有面力的作用，而面力可以向原点简化为作用于原点的主失量为 F ，主矩为 0 的情形。按照圣维南原理来
f ()cos 2
代入相容方程（4-6）
cos
2υ[
d4 f d ρ4
2 ρ
d3 f d ρ3
9 ρ2
d2 f d ρ2
9 ρ3
d d
f ] ρ
0
除去 cos 2υ ，为欧拉方程，得解
f
( ρ)、C、D为待定常数，带入得
cos
2 ( Aρ4
Bρ2
C
D ρ2
)
第四章平面问题的极坐标解答
第四章平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
A cosf B sinf f(C cosf Dsinf)
其中前两项： A cosf B sinf Ax By
略去应力函数中与应力分布无关的一次式，得到式(4-20)的应
力函数。
(C cos D sin )
3、由应力函数求应力分量
D F cos , C F sin
p
p
2F
p
(cos
cos
sin
sin
)
0
对于集中力垂直于边界面的情况，直接令上式中的力作用角
度为0，可得到其应力解答式。
2F
p
cos
,
f f 0
第四章平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力
2F
p
cos
,
f f 0
代入应力分量表达式（4-5），得式（b）。
1
1
2
2
2
2
(D cos
C sin )
2
2
0
(1
)
0
第四章平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力
4、考察边界条件由于集中力作用在原点，本题的边界
条件应分为两部分考虑：
（1）不包含原点，则在≠0 ， f= ±p/2
的边界面上，没有任何法向和切向面力作用，因而应力边界条件为
（2）求出孔心处的主应力1、2和主方向；（3）然后可简化为，在两个方向分别受均布拉力q1=1、 q2=2的远处应力场作用下，用叠加法求小孔口附近的应
力集中问题。
第四章平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力
半平面体的解答常用于地基等实际工程问题。如图，半平面体受集中力 F （单位厚度上的力）的作用，采用半逆解法求解。
第四章平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
（二）应变及位移分量
求出应力解答后，将极坐标下的应力解答式（4-22）物理方
程式（4-3）求出应变分量，然后根据几何方程通过与4.5节
相同的方法求出位移分量。
对几何方程第一式积分，求出 uρ ，含 f1(υ) ；
对几何方程第二式积分，求出 uυ ，含 f2 () ；
为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，
在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同，
即
x y q , xy 0
代入应力分量坐标变换式(4-7)，得大圆周上的极坐标应力分
量为
q , 0
求解圆孔附近应力分布问题就转化为一个新问题：内半径为 r、外
半径为 R 的圆环或圆筒在外边界受均布拉力的轴对称应力问题
分四种情况讨论圆孔口的一些解答（1）双向均布拉力
（2）均布拉力和压力（相等和不相等两种情况）
（3）只有x向的均布拉力。
第四章平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
1. 距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力
由于主要考虑圆孔附近的应力，故采用极坐标系求解。
以坐标原点为圆心，以远大于 r 的长度 R
第四章平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
根据4.6节中圆环只有外压力作
用时的解答式，可取内、外压力分
别为 q1=0 ，q2=-q，代入得
r2
1
1
2
r2
q,
R2
r2
1
1
2
r2
q
R2
由于 R 远大于 r ，上式可化简为
q(1
r2
2
),
q(1
r2
2
)
第四章平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
4.8 圆孔的孔口应力集中
（4）由应力函数求应力分量：代入方程，可得应力分
量表达式。
（5）考察内外边界处的边界条件，并考虑到 R 远大于
r 令 r 0 ，确定四个待定常数A、B、C、D为：
R
A 0, B q, C qr2 , D q r4
2
2
代入应力分量表达式，得最终解答式（4-18）。
σρ
q cos 2υ(1
r2 ρ2
)(1 3
r2 ρ2
)
r4 συ q cos 2υ(1 3 ρ4 )
τ ρυ
q sin
2υ(1
r2 ρ2
)(1
3
r2 ρ2
)
第四章平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
3. 距圆孔较远处的左右两边受均布拉力q1、上下两边受均布拉力q2 根据解的叠加原理，可将荷载分解为两个部分：
代入坐标变换式（4-8），可求出直角坐标系中的应力分量表达
式（4-23）。
x
cos2
2F
p
cos3
x
sin2
2F
p
sin2 cos
xy
sin cos
2F
p
sin cos2
利用 x cos, y sin, x2 y2 2 带入上式可得：
直角坐标的应力分量表达式（4-24）
对于第一部分荷载，可应用前面第1种情况的解
答，并将其中的 q 替换为q/2；
对于第二部分荷载，可应用前面第2种情况的解答
，并将其中的 q 替换为q/2；
根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得在原荷载作用下的应力分量解答式（4－43）。
第四章平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
R q cos 2 , R q sin 2
在孔边处的边界条件为（内边界条件）
r 0, r 0
第四章平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
因此求解圆孔附近的应力分布问题转化为一个非轴对称
应力问题，下面采用半逆解法来进行求解。（1）由边界处的边界条件，假设应力分量的函数形式：
第四章平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
“小孔口问题”应符合两个条件：（1）孔口尺
寸远小于弹性体的尺寸，这使孔口的存在所引起的
应力扰动只局限于一个小的范围内；（2）孔边距
离弹性体边界比较远（约大于1.5倍的孔口尺寸）
，这使孔口与边界之间不发生相互干扰。
max
在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现
分析第4种情况时（只在左右两边受均布拉力q），圆孔
附近的应力状态——环向应力
1. 在 y 轴上（f= p/2），环向正应力为
q(1
1 2
r2
2
3 2
r4
4
)
在 y 轴上，环向正应力在孔边达到最大值 3q，随着远离
孔边而急剧趋近于q ；
2.
在
x
轴上（
f=0 ），环向正应力为
q 2
r2
2
(3
r2
2
1)
在 x 轴上，环向正应力在孔边达到最小值 –q ，在 3r
2. 距圆孔较远处的左右两边受均布拉力 q、上下两边受
均布压力 q
以坐标原点为圆心，以远大于 r 的长度 R
为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，
在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同，
即 x q, y q, xy 0
代入应力分量坐标变换式(4-7)，得大圆
周上极坐标应力分量为（外边界条件）
处变为0，即在此段距离内应力变号，成为压应力；此后
，随着远离孔边而又变为拉应力，并逐渐趋近于0；
第四章平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
3. 在 x 轴上（ f=0 ）或 y 轴上（ f= p/2 ），分析可得，在距离圆孔为1.5倍孔口尺寸时（ =4r ），由于圆孔引起的应
力扰动已小于q 值的 5%，可忽略不计。
代入第三式，分开变量，求出 f1(υ) 和 f2 () ，得（d）式：
uρ
2F
pE
cosf
ln
(1 )F pE
f
sin f
I
cosf
K
sin f
uυ
2F
pE
sin
ln
(1 )F pE
cos
(1 )F pE
sin
H I sin K cos
其中H、I、K均为待定的常数。
第四章平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力
第四章平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
小孔口应力集中特点小结及本节内容的推广应用
1.小孔口的应力集中现象（圆孔、非圆孔）共同的特点：
（1）集中性--孔口附近应力>>远处的应力，孔口附近
应力>>无孔时的应力。
（2）局部性--应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径范围内。此区域外的应力扰动，一般<5%。