第05讲(向量组的线性相关性的判定、向量组的秩)

向量组线性相关与秩的关系摘要：向量组线性相关性对于数学学科中很多问题都具有极其重要的作用，且与向量组线性相关性紧密相关的秩也有极为重要的意义。

本文从定义、特性及性质三方面详细剖析了向量组线性相关性与秩之间的关系并举例说明，最后总结出两者的关联性。

关键词：线性相关性；秩；关系根据定义和特性，向量组线性相关性与秩之间的关系划分如下：一、定义1、向量组线性相关性：指向量组之间存在相同的值，当向量组自身中存在两个不同的元素值出现在多个向量组时，这两个元素之间就具有线性相关性。

2、秩：指向量组的组件元素可以依照一定的次序组合出一系列不同的向量，而这些向量所能形成的矩阵的秩就被称为该向量的秩，用数字表示的时候我们称为秩值。

二、特性1、向量组线性相关性与秩之间存在着一定的联系，当向量组存在线性相关性时，秩值一定要小于其中的维数，因为线性相关性就是说必须要有不同的元素值在向量组中出现两次以上，这样一定会减少可以被组合出新向量的组件维数。

2、向量组线性相关性若是存在，秩值必定小于维数，但若向量组线性相关性不存在，秩值可能和维数相同。

三、性质1、向量组线性相关性和秩之间的关系：若向量组中存在相关性，则秩值必定小于该向量组的维数，反之若无相关性，秩值理论上可以等于其维数。

2、秩的确定性：确定一个向量组的秩依据主元素的构成，若一个向量组是由各位秩相等的多个线性无关子组组成，则它的秩为子组秩之和，即主元素的总数。

3、向量组的线性相关性和秩之间的关系实例：❶若有 A=(1,2,3),B=(2,4,6),C=(3,6,9),则可以看出，ABC三个向量的每个分量的值按照等比数列变化，因此A、B、C三个向量之间存在线性相关性，且它们的秩值只有一（即rank(A)=1）；❷若有 D=(1,2,3),E=(4,8,9),F=(7,14,15),则可以看出，DEF三个向量之间不存在线性相关性，且它们的秩值是３（即rank(D)=3）；分析：从来上可以看出，线性相关性和秩值之间存在着一定的联系，若向量组中存在线性相关性，则秩值一定要小于其维数，即秩值=元素数-线性相关项数，反之，若无线性相关性，秩值可以和维数相同。

线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用2023年，随着科技的不断发展，线性代数在各行各业中的应用不断扩展，尤其是在数据科学、机器学习和人工智能领域中。

而线性相关性作为线性代数中的一个重要概念，在这些领域中也得到了广泛应用。

本文将重点讨论线性相关性的概念、判断方法和应用，以帮助读者更好地理解和使用线性相关性。

一、概念线性相关性是指向量组中存在线性关系，即其中至少存在一个向量可以表示为其它向量的线性组合的形式，或者说存在一个向量可以由其它向量线性表示。

具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，若存在一个非零向量$\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\mathbf{v_i}$，其中$c_i$为任意实数，则称向量组$V$是线性相关的，否则称其线性无关。

二、判断方法下面介绍两种判断向量组线性相关的方法，分别为行列式法和向量空间法。

1.行列式法行列式法是最常用的判断向量组线性相关的方法，其基本思想是求出向量组的行列式，如果其值为0，则向量组线性相关，否则其线性无关。

具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，可以将其写成矩阵形式，即：$$ A=\begin{bmatrix} v_{11}&v_{12}&\cdots&v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\cdots&v_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\cdots&v_{nn} \end{bmatrix} $$然后求出其行列式$|A|$，若$|A|=0$，则向量组$V$是线性相关的，否则其线性无关。

向量组线性相关性在线性代数中，向量组的线性相关性是一个重要的概念。

当我们谈论向量组的线性相关性时，实际上是在探讨这些向量之间是否存在一种线性关系，即是否存在一组实数使得这些向量的线性组合为零向量。

在本文中，我们将深入探讨向量组的线性相关性，包括线性相关性的定义、判定方法以及线性相关性与线性无关性之间的关系。

定义给定一个由n个向量$\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2, \\ldots,\\boldsymbol{v}_n$组成的向量组，如果存在不全为零的实数$k_1, k_2, \\ldots,k_n$，使得$k_1\\boldsymbol{v}_1 + k_2\\boldsymbol{v}_2 + \\ldots +k_n\\boldsymbol{v}_n = \\boldsymbol{0}$，那么这个向量组就被称为线性相关的；否则，这个向量组就被称为线性无关的。

判定方法方法一：行列式判别法对于n个n维向量组成的矩阵$A=[\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2,\\ldots, \\boldsymbol{v}_n]$，如果$\\text{det}(A) = 0$，则这个向量组线性相关；如果$\\text{det}(A) \ eq 0$，则这个向量组线性无关。

方法二：向量组的秩将向量组的向量依次排列成矩阵A的列向量，然后对矩阵A进行行变换化为阶梯形矩阵B，向量组的秩r即为矩阵B的非零行数，如果r=n，则向量组线性无关；如果r<n，则向量组线性相关。

线性相关性与线性无关性的关系线性相关性和线性无关性是一对互补的概念。

线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，而线性无关的向量组中每个向量都不能被其他向量线性表示。

在实际应用中，线性相关的向量组会造成冗余信息，降低计算效率，而线性无关的向量组则被广泛应用于解方程组、矩阵变换等问题中。

高中数学《向量组的线性相关性》课件1、 引言在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。

向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。

二、 向量组的线性相关性定义定义：设向量组 alpℎa 1,α2,...,αm ，如果存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m ，使得 $$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$则称向量组 α1,α2,...,αm 线性相，否则称向量组 线性无关。

三、 向量组线性相关性的判定1. 利用定义判定根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m 使得 k1α1+k 2α2+...+k m αm =0 来判定向量组的线性相关性。

2. 利用秩判定设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 r ，则： • 当 r <m 时，向量组线性相关。

• 当 r =m 时，向量组线性无关。

3. 利用行列式判定设向量组 α1,α2...,αm 的坐标分别为(a 11,a 12,...,a 1n ),(a 21,a 22,...,a 2n ),...,(a m1,a m2,...,a mn )，则* 当 m >n 时，向量组线性相关。

* 当 m =n 时，向量组线性相关当且仅当行列式∣∣∣∣∣∣a 11a 12...a 1a 21a 22...a 2n ............a m1a m2...a mn ∣∣∣∣∣∣=0 * 当 m <n 时，向量组线性无关。

四、 向量组线性相关性的性质1. 零向量组线性相关2. 包含零向量的向量组线性相关3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关4. 向量组线性无关，则其任意子向量组线性无关5. 向量组线性相关，则其任意子向量组可能线性相关，也可能线性无关五、向量组线性相关性应用1. 判断向量组的线性相关性2. 求解向量组的线性组合3. 求解向量组的线性无关子组4. 求解向量空间的基六、例题*例1：**判断向量组α1=(1,2,3),α2=(2,4,6),α3=(3,6,9)的线性相关性。

3.抽象向量组线性相关性的判定与证明对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法.方法1 定义法：先设，然后对其作恒等变形，如用某个矩阵同乘该式两边，或对该式拆项重新组合等. 究竟用什么方法应当从已知条件去寻找信息，通过一次或多次恒等变形来分析能够不全为零还是必须全为零，从而得知是线性相关还是线性无关.方法2 求秩法：要论证线性相关或线性无关，可将其构成矩阵，利用或来说明.方法3 利用有关结论，如“等价的向量组有相同的秩”等. 方法4 反证法.例1 已知向量组线性无关. 设，，讨论的线性相关性 .解法1 利用定义. 设，代入的表达式，有整理得由于线性无关，所以有其系数行列式从而方程组有非零解，即不全为零(或求得方程组的通解任意；取得)，故线性相关.法2 利用矩阵的秩. 将看做行向量，令，其中因为线性无关，所以，又可求得，从而. 又知因此，故线性相关.注上题中，如将看做列向量，则有其余证明同法2.例2 已知向量组，令，，证明：(1) 当为偶数时，向量组线性相关；(2) 当为奇数时，向量组与同时线性相关或线性无关.证(1) 法1 当为偶数时，由于所以线性相关.法2 设数组，使得(*)代入的表达式并整理得令，则上式成立. 该齐次方程组的系数行列式(两条线行列式)故有非零解，即存在不全为零的数使(*)式成立，从而线性相关.(2) 当为奇数时，将看做列向量，则有其中由于，所以可逆，从而这表明向量组与可以互相线性表出，即它们等价，从而有相同的秩. 故当向量线性无关，即秩为时，向量组的秩也是，即线性无关；而当线性相关时，也线性相关.注上题中，如将看做行向量，则有例3 向量组线性无关，则下列线性无关的向量组是．(A) ，，，；(B) ，，，；(C) ，，，；(D) ，，，应填:(B)．分析法1．观察可知(A)线性相关；(C)线性相关；(D) 线性相关．由排除法可知应选(B)．法2 ．对(B)，设拆项重组为由线性无关知，系数行列式所以方程组只有零解，，从而(B)线性无关．用此法可知(A)，(C)，(D)均线性相关．法3 ．对(B)，设。

浅谈向量组线性相关性的几种判定摘要：向量线性相关性是《线性代数》中的重要内容。

所包含的定理、证明，常用结论在本书的难点中涉猎应用诸多。

通过利用定义、矩阵的秩、行列式的值、齐次线性方程组的解等知识，归纳出六种向量组线性相关性的判定方法。

关键词：线性相关；线性无关；向量组；判定方法向量组的线性相关性是向量组之间线性相关或线性无关的统称。

方程组的线性相关与线性无关是对立的，掌握其一者的满足条件全部取反，则可得另一者。

若干向量组之间的线性相关性可应用于多种向量组的相关知识，例如最大无关组、向量组的秩、线性方程组的解的结构、过渡矩阵等。

一、向量组线性相关性的引出和概念线性表示的概念，形如，由此式可得，是的线性组合，如有这一集合，使得时，是向量组的一个线性组合。

由线性组合的相关概念可引出线性相关与线性无关的概念。

1.线性相关定义：给定向量组： ,如果存在不全为零的数 ,使,则称向量组A是线性相关的。

设向量组：线性无关，而向量组：线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式是唯一的。

常见结论：（1）零向量与所有向量组线性相关，向量组只包含一个向量时，为0向量，则说A线性相关。

（2）线性相关的对应向量成比例，的各元素都不为0，根据向量乘法就是各元素成比例。

但若中有元素为0，成比例的说法不成立，使用或的方式来判断。

（3）若向量组：线性相关，则向量组：也线性相关。

含有相同向量的向量组线性相关。

增加向量的个数，不改变向量的相关性。

一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。

2.线性无关定义：给定向量组： ,如果存在不全为零的数 ,使,向量组A中的任何一个向量都不能由其余项进行表示，则称向量组是线性无关的。

常见结论：（1）向量组中的任何一个向量都不为零。

向量组的秩与线性相关的关系
向量组的秩与线性相关的关系是向量没有秩，向量组才有。

向量组的秩是其线性不相关的子向量组中的个数最多的一个。

一、线性相关与线性表达
1、定义不同：线性表示—指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示。

零向量可由任一组向量线性表示。

线性相关—在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。

2、满足条件不同：线性表示是说对于一个向量,可以用n个向量线性来表示,这n个向量的系数为任意整数x= a1x1 + a2x2+…+anxn； a1…an为任意整数。

线性相关是指n个向量 a1x1+a2x2+…+anxn=0中,满足条件的a1…an不全为0。

3、表示不同：线性表示是一个向量与一个向量组的关系。

线性相关性是向量组内部向量之间的关系。

线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。

二、向量组的秩与最大线性无关组
1、设在矩阵中有一个非零的r阶子式，且所有r+1阶子式的值均为零。

r的值称为矩阵的秩R(A)。

2、一组向量里取出一个部分向量组。

这个部分向量组满足线性无关且能表示整组向量的每个元素称作极大无关组。

3、一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组
的秩。

三、向量个数与维数
1、增加向量的个数，不改变向量的相关性。

减少向量的个数，不改变向量的无关性。

2、向量维数=方程组的个数；向量组数=方程组中未知数的个数。