1.4.3正切函数的图像和性质(1)

§1.4.3正切函数的图像与性质

【教学目标】

1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】

教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y=tanx的图象，对直线x=2k，Zk是y=tanx的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

【教学方法】

1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

【课时安排】1课时

【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。

问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？

大家怎么知道正切函数的值域是R?

通过单位圆中的正切线可以得到。

那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问）

问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？ 三角函数 y=sinx y=cosx y=tanx

定义域 R R Zkkx,2

值域 [－1,1] [－1,1] R

周期性及周期 2 2 

奇偶性 奇 偶 奇

正切函数和余切函数的图像和性质

知识点：

1.正切函数和余切函数的概念；

2.正切函数与余切函数的图像和性质；

3.正切函数与余切函数性质的应用；

教学过程：

1.正切函数和余切函数的概念：

（1）正切函数---形如tanyx的函数称为正切函数；

余切函数--形如cotyx的函数称为余切函数；

2.函数的图像和性质：

（1）正切函数的图像：

见正切函数图像课件。

（2）正切函数图像：

23223

（3）与切函数的图像：

归纳填表格：

三角函正切函数tanyx 余弦函数cotyx 222数

定义域 ,2xkkZ ,xkkZ

值域

yR yR

最值 无最值 无最值

奇偶性 奇函数 奇函数

周期性 T T

单调性 递增区间：2(,,)2kkxkZ；

没有递减区间； 递减区间：(,),xkkkZ；

没有递增区间；

轴对称 没有 没有

渐进性 渐近线：,2xkkZ 渐近线：,xkkZ

中心对称性 对称中心是(,0)k及(,0),2kkZ

例1.求下列函数的周期：

（1）tan(3)3yx；

（2）221tgxytgx；

（3）cottanyxx；

（4）22tan21tan2xyx；

（5）sin1tantan2xyxx

例2.求下列函数的单调区间：

（1）tan(2)24yx； （2）tan()123xy；

（3）123logcot3yx

例3.求下列函数的定义域：

（1）tan4yx；

（2）12logtanyx；

（3）3cotsincos3yxxx；

例4.（1）求函数22lg[3(31)tantan]9yxxx的定义域；

（2）解不等式：23tan(2)(33)tan(2)3044xx

1.4.3正切函数的性质与图象

班级 姓名

学习目标：

1、用单位圆中的正切线作正切函数的图象；

2、用正切函数图象解决函数有关的性质；

3、理解并掌握作正切函数图象的方法；

4、理解用函数图象解决有关性质问题的方法；

教案重点：正切函数的性质与图象的简单应用.

教案难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用.

教案过程：

知识探究

思考1：正切函数的定义域是__________,

思考2：根据诱导公式与周期函数的定义，你能判断正切函数是周期函数吗？若是，其最小正周期 T=_______

思考3:函数的周期T=__,

一般地，函数 的周期T=____.

思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？

思考5：观察右图中的正切线,当角x在 <）内增加时,

正切函数值发生什么变化?

由此反映出一个什么性质?

思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？

正切函数在开区间<）<）内都是(增、减>函数。

思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？

正切函数会不会在某一区间内是减函数？

思考8：当x大于且无限接近时，正切值如何变化？

当x小于且无限接近时, 正切值又如何变化？

由此分析，正切函数的值域是什么? T1 O x v

A T2

O 知识探究

思考1:类比正弦函数图象的作法,可以利用正切线作正切函数y=tanx,

x∈<）的图象，具体应如何操作？

思考2：右图中,直线x=和x= 与正切函数的图象的位置关系如何？

思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？

思考4：正切函数y=tanx,x∈R,x≠+kπ，的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？

思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？

一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？

应用示例

例1 比较大小.(1>tan138°与tan143°；(2>tan(>与tan(>.

正切函数的图象和性质 第1页 §1.4.3 正切函数的性质与图像

1.函数y＝3tan

èæøö

2x＋π

4的定义域是

A.

îíì

þýü

x |x≠kπ＋π

2，k∈Z B.

îíì

þýü

x |x≠k

2π－3π

8，k∈Z

C.

îíì

þýü

x |x≠k

2π＋π

8，k∈Z D.

îíì

þýüx |x≠k

2π，k∈Z

2.已知函数f(x)＝tan

èæøö

2x＋π

3，则函数f(x)的最小正周期为

A.π

4 B.π

2 C.π D.2π

3.函数y＝tan

èæ

øö

x＋π

5的一个对称中心是

A.(0，0) B.

èæ

øöπ

5，0 C.èæ

øö4π

5，0 D.(π，0)

4.函数y＝tan

èæøöx

2＋π

3的单调递增区间是________. 5.设Q＝tan21π5，P＝tan17π

7，则Q与P的大小关系为________.

[限时45分钟；满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.y＝tan(x＋π)是

A.奇函数 B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数

2.函数y＝tan 2èæ

øö

x＋π

4的最小正周期为

A.π

2 B.π C.2π D.3π

3.直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan x相交的相邻两点间的距离是

A.π B.π

2

C.2π D.与a值有关

4.在下列函数中，同时满足以下三个条件的是

①在èæ

øö

0，π

2上单调递减.

②最小正周期为2π.

③是奇函数.

A.y＝tan x B.y＝cos x

C.y＝sin(x＋3π) D.y＝sin 2x

5.下列不等式正确的是 A.tan4

7π＞tan3

7π B.tanèæ

øö

－13π

4＞tanèæ

øö

－12

5π

C.1

tan 4＜1

tan 3 D.1

tan 281°＜1

tan 665°

6.(能力提升)下列关于函数y＝tanèæ

øö

x＋π

3的说法正确的是

A.在区间

èæøö

－π

6，5π

6上单调递增 B.最小正周期是π

C.图像关于点

èæ