1.4.3正切函数图象与性质

鸡西市第十九中学高一数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名

1.4.3 正切函数的性质与图象

学习

目标 1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．

2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．

重点

难点 类比正弦函数和余弦函数的研究方法，抓住正切函数的图象具有渐近线(x＝kπ＋π2，k∈Z)这一明显特征

【正切函数的图象】阅读下文，了解正切函数图象的几何作法．

类比正弦函数图象的作法，作正切函数y＝tan x，x∈－π2，π2图象的步骤：

(1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆．

(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的 线．

(3)在x轴上，把－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x轴上的位置．

(4)把角x的 线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合．

(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y＝tan x，x∈－π2，π2的图象，如图所示．

现在我们作出了正切函数一个周期上的图象，根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y＝tan x(x∈R，且x≠π2＋kπ(k∈Z))的图象，我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示)，它是被无数条直线________________所隔开的无数条曲线组成的． 鸡西市第十九中学高一数学组

2

【正切函数的性质】

由正切函数的图象可得：

(1)正切函数的定义域：x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.

(2)正切函数的值域：对于x∈ (k∈Z)，

当x→－π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→－∞；当x→π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→＋∞.

所以y＝tan x可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为 __，

第一章 三角函数

1.4.3 正切函数的性质与图象

一、正切函数的性质

1．周期性

由诱导公式可知，πtanπtan,π,2()xxxxkkRZ,，因此 是正切函数的一个周期.

一般地，函数()(tan0)yAxkA的最小正周期π||T.学科=网

2．奇偶性

正切函数的定义域为π{|,π,}2xxxkkRZ,关于原点对称，由于sintancosxfxxx

sintancosxxfxx，因此正切函数是 .

3．单调性和值域

单位圆中的正切线如下图所示.

利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：

角x ππ022 π3ππ22

正切线AT 0 0

tanx 增函数 增函数

由上表可知正切函数在ππ(,)22,π3π(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k

ππ)()2kkZ.此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)或R，因此正切函数 最值.

二、正切函数的图象

利用正切线作出函数ππtan,(,)22yxx的图象（如图）.

作法如下：

(1)作直角坐标系，并在y轴左侧作单位圆.

(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.

(3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）

(4)连线.

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan,yxxR，且ππ(2xkkZ)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).

正切曲线是被相互平行的直线ππ()2xkkZ所隔开的无穷多支曲线组成的.

K知识参考答案：

一、1．π 2．奇函数 3．没有

K—重点 正切函数的性质与图象

K—难点 正切函数的性质的应用，正切函数的图象的应用

1.4.3正切函数的性质与图象

学习目标：

1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质.

2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.

3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用.

自学导引

1．正切函数tanyx的定义域是 ；

2．回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是周期函数吗？如果是，那么最小正周期是 ；

3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是 (奇、偶)函数；

4．正切函数在每个开区间_____________________________内均为增函数；

典例精析

例1求函数)ln(tan)(xxf的定义域；

变式 求函数)3(tantan1xxy的定义域；

例2若]4,3[x，求函数1tan2cos12xxy的最值及相应的x的值；

变式 函数]4,4[,tansinxxxy的值域为

例3作出函数)321tan(xy在一个周期内的图象；

变式 作出函数|sintan|sintanxxxxy在区间)23,2(内的大致图象；

例4（1）求函数)46tan(3)(xxf的周期和单调递减区间；（2）试比较)(f与)23(f的大小；

变式 是否存在实数a，且Za，使得函数)4cot(axy在)85,8(x上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在说明理由；

例5（1）求函数xxytansin的定义域；

（2）画出函数|tan|xy的简图，并根据图象写出其最小正周期和单调区间；

自主反馈

1、与函数tan24yx的图象不相交的一条直线是（ ）

2Ax 2Bx 4Cx 8Dx

§1.4.3正切函数的性质与图象

一、教学理念

通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象。以提高学生的学习兴趣,提高课堂教学质量。通过合理运用教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力。这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果。

二、教材分析

本节课之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质。函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式。一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述。但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象。这样处理是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面。

三、学情分析

由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法。

四、教学目标

1.会作正切函数的图象并用图象解决与性质有关的问题．

2.运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质．

3.通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生探索精神和创新思维．

五、教学重点、难点

重点:正切函数的性质与图象的简单应用.

难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.

六、教学方法

自主学习、合作探究、讲练结合 七、教学过程

环节 教学内容 师生互动 设计意图

导入

新课

回忆：在前面已经研究了正弦函数、余弦函数的图象及其性质，通常研究函数的哪些性质？